A20533. Où Lucas se cache
On donnef(1) = 3, f(0)6= 0,
f(x)f(y) =f(x+y) +f(x−y).
Déterminerf(7).
Solution
Avecy= 0 puisy= 1, on trouvef(0) = 2 puis f(x+ 1) = 3f(x)−f(x−1), relation de récurrence définissantf(x) pourx entier.
Une réminiscence de trigonométrie (transformation de produit en somme) donne un raccourci, suggérant f(x) = 2 cos(xa), ou plutôt 2 cosh(xa) car f(1)>2.
Alors cosh(a) = 3/2 conduit à exp(a) = (3 +√
5)/2 =ϕ2, carré du nombre d’or, puis f(x) =ϕ2x+ϕ−2x.
Pour x entier, f(x) =L2x, terme de la suite de Lucas L0 = 2, 1, 3, . . ., où chaque terme est la somme des deux précédents. Ainsif(7) =L14= 843.
Remarques.
1. L’énoncé ne donne pas d’indication permettant de déterminerf(x) pour x non entier.
2. On résout classiquement ce type de récurrence en étudiant les progressions géométriques qui la satisfont, d’où ici l’équation caractéristiquex2= 3x−1, de racinesϕ2 et 1/ϕ2.
