D137 Où se cache le nombre d’or

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D137 Où se cache le nombre d’or ? [*** à la main]

Solution

1) Dans le triangle équilatéral ABC de côté 1, la droite AO coupe BC en son milieu I et DE en son milieu J. O est centre de gravité du triangle ABC. On a donc AO = 2AI/3. Par ailleurs AJ=AI/2=3AO/4. Donc OJ = AO-AJ=AO/4.

Il en découle OJ = OF/4 avec OF = 2AI/3 = 1/ 3. D’où JF = OF²OJ² = 5/4 et DF = DJ + JF = BC/4 + JF = ( 51)/4. Comme DE = ‘1/2, on a le ratio DF / DE = ( 51)/2 qui est le nombre d’or.

2) Dans le triangle ABC, on définit les vecteurs ABb et ACc. Alors APpbet c

q

AQ avec p,q(0,1). On en déduit PCcpb et QBbqc.

Par ailleurs BTnBQ et PTmPC avec m,n(0,1). Comme BPPTBT, on conclut que (p1)bm(cpb)n(qcb)ou encore (p1-pmn)b(m-qn)c0. D’où il résulte

(2)

que (p–1 – pm + n) = (m – qn)=0, ce qui entraîne : m = q(1 – p)/(1 – pq) et n = (1 – p)/(1 – pq).

Dès lors TPq(1p)(pbc)/(1pq) et TQp(1p)(qcb)/(1pq). On est alors en mesure de calculer l’aire S du triangle PQT qui est égale à TP.TQ/2 = f(pq,). b.c /2 avec f(p,q) = pq(1 – p – q – pq)/ (1 – pq).

Comme p + q 2 pq, on peut conclure que f(p,q)

pq(12 pqpq)/(1pq)pq(1 pq)/(1 pq) avec l’égalité atteinte seulement pour p

= q. En posant pq = u, on obtient f(p,q) g(u) = u²(1u)/(1u).

Par différentiation de la fonction g(u), on obtient le maximum de g(u) sur l’intervalle (0,1) grâce à l’équation du second degré en u : u²u -10 qui a pour solution >0 u =( 51)/2. Le maximum de l’aire du triangle PQT est ainsi atteint avec p = q = ( 51)/2. Le segment PQ est parallèle au côté BC et le rapport BC / PQ est égal au nombre d’or φ(1 5)/2.

3) On pose AB = 1.

Il est naturel de calculer CD puis CX. Le triangle ABC est équilatéral. CD est égal à deux fois sa hauteur CM= 3/2.D’où CD = 3.

Par ailleurs CX = CM + MX avec MX AX²AM²  2²1/2²  15/2. D’où CX = )/2

15 3

( 

Il en résulte CX / CD = ( 51)/2 qui est à nouveau le nombre d’or.

4) On pose à nouveau AB = 1 et on s’intéresse à la longueur de AG et au ratio AB / AG. Les droites CD et FK coupent l’axe des abscisses en I et J. dans le triangle rectangle BFH, on a BH =4, BF = 1. Comme BF²BJ.BH, il en résulte BJ = 1/4. Comme BI = AB /2 = 1/2, on en déduit IJ = 1/4 et JF = JF BF²BJ² = 15/4.

(3)

D’autre part les triangles GCI et GFJ étant semblables, on peut écrire IG / GJ = IC / JF = ( 3/2)/( 15/4) = 2/ 5. Ceci entraîne IG = 2.IJ/( 52)( 52)/2 et AG=’1/2 + IG =

1)/2 5

(  et AB/AG = ( 51)/2 qui est encore le nombre d’or.

A noter que la droite FD coupe l’axe des abscisses en G’ tel que AG’ = ( 51)/2, le nombre d’or toujours lui !