E654. Une ouverture bien verrouillée
Le coffre-fort du club de 7 membres ne doit pouvoir être ouvert qu'en présence de 3 membres.
On veut assurer cette condition par un système de serrures multiples et de distribution de clés.
Combien faut-il au minimum de serrures ? et de clés ?
Généralisation avec un club de m membres et l'ouverture du coffre en présence de p membres.
Solution proposée par Paul Voyer:
Chaque serrure doit pouvoir résister à 2 membres quelconques mais jamais à 3.
Chaque clé est possédée par exactement 2 membres,
- pas moins, sinon ce seul membre serait toujours nécessaire à l'ouverture - pas plus, sinon plus de 2 membres pourraient ouvrir la serrure correspondante.
Il y a au moins autant de serrures que de paires de membres, car une serrure ne peut bloquer plus d'une paire de membres, 3 membres devant pouvoir ouvrir.
Il y a au plus 7-2=5 clés par serrure, sinon il existerait des paires de membres qui pourraient ouvrir.
La solution minimale fait fi du "au plus" et du "au moins" et les remplace par "exactement".
Il faut donc autant de serrures que de paires de membres, soit
C
27= 21 serrures.Et par conséquent
C
27x5 = 105 clés.Généralisation :
Comme précédemment, il y a (au plus) (m-p+1) clés par serrure.
Chaque clé est possédée par (p-1) membres.
Il y a (au moins) autant de serrures que de groupes de (p-1) membres.
Le nombre de serrures est
C
mp1
= ( 1)!( 1)!
!
p p m
m et le nombre de clés par serrure est (m-
p+1).
Il faut donc
C
mp1
(m-p+1) =
)!
( )!
1 (
! p m p
m
clés.
