Complément en mécanique des fluides
Formation de formateurs 23 janvier 2020
Barde Michel et Nathalie, Mazerat Christophe, Tarride Isabelle
B.O. (spécialité première) :
• D’où vient la relation fondamentale de
l’hydrostatique et quelles sont les conditions d’application ?
• Considérons une particule élémentaire de fluide , de volume V = dxdydz. Elle est soumise aux forces de pression de la part des autres particules de
fluide :
Suivant l’axe (Oz),la
projection des forces est : p(z)dxdy – p(z+dz)dxdy
= - 𝜕𝑝
𝜕𝑧 dzdxdy
…et de même sur les autres axes.
Finalement, la résultante des forces de pression sur la particule de fluide est :
𝐹 : - dxdydz
La force volumique correspondante est :
𝐹
𝑝= -
La force volumique correspondant au poids est :
𝑃
𝑣=
Si le fluide est au repos :
𝑃𝑣 = et 𝐹𝑝 = - se compensent
Ainsi :
D’où :
• P ne dépend que de l’altitude z
• dP = - dz
s’intègre facilement si est constant ce qui est le cas des fluides incompressibles (sinon
dépend de P )
dP = - dz
P
B– P
A= - ( z
B– z
A)
P
B– P
A= (z
A- z
B)
Attention donc si l’axe est orienté vers le bas !
(axe de profondeur)
si l’axe est orienté vers le bas
dP = - dz
P
B– P
A= - ( z
B– z
A)
P
B– P
A= (z
B- z
A)
B.O. (spécialité terminale) :
Définition du débit massique (hors programme) : C’est la masse qui traverse une surface par unité de temps. Unité : kg/s
Dans le cas d’une section droite d’un tube de courant :
D
m= v S
Ԧ 𝑣
Définition du débit volumique (au programme):
C’est le volume qui traverse une surface par unité de temps. Unité : m3/s
Dans le cas d’une section droite d’un tube de courant :
D
V= v S
Ԧ 𝑣
En régime stationnaire, le débit massique se
conserve à travers toute section d’un tube de courant : Dm1 = Dm2
donc
1 v
1 S
1=
2 v
2 S
2Dans le cas d’un fluide incompressible, = cste
1 = 2 et 1 v1 S1 = 2 v2 S2 devient :
v
1 S
1= v
2 S
2Dans le cas d’un fluide incompressible, = cste
v
1 S
1= v
2 S
2Il y a conservation du débit volumique pour un fluide incompressible en régime permanent.
D
v1= D
v2Et pour les écoulements gazeux ? Les gaz sont compressibles !
Mais pour v 0,3 vson ( 370 km/h à 0°C)
On peut considérer que l’écoulement est incompressible.
Le débit volumique peut donc être considéré comme constant même si le fluide n’est pas incompressible.
B.O. (spécialité terminale) :
La relation de Bernoulli :
Pour un écoulement incompressible :
• d’un fluide parfait (pas de viscosité, donc pas de forces de frottements),
• en régime stationnaire,
• et sans échange de chaleur avec l’extérieur (le fluide reste à température constante) :
P + 𝑣 2
2 + gz = Cste
Le long d’une ligne de courant*
La relation traduit un bilan d’énergie mécanique :
En appliquant le principe de conservation de l’énergie mécanique à une particule fluide de masse dm = Dmdt :
dEm = d(Ec + Epp)
=
W(forces de pression)Dmdt ( 1
2 (𝑣22-𝑣12) + g(z2 – z1)) = P1v1dtS1 – P2v2dtS2 Avec Dm = v1S1 = v2S2 (écoulement incompressible)
z1 z2 v1dt
v2dt
On aboutit à :
P
1+
𝑣122
+ gz
1= P
2+
𝑣222
+ gz
2Énergie volumique de
pression
Énergie cinétique volumique
Énergie potentielle volumique
Daniel Bernoulli (1700-1782)
Application : Effet Venturi P1 + 𝑣12
2 + gz1 = P2 + 𝑣22
2 + gz2
v alors P ( pour z constant)
Vaporisateur
Trompe à vide
• Application de la relation de Bernoulli : mesure de la vitesse d’un écoulement à l’aide d’un tube de Pitot.
Bernoulli entre A et A (point d’arrêt) : PA + 𝑣2
2 = 0 + PA
Bernoulli entre B et B (ligne de courant):
PB + 𝑣2
2 = PB + 𝑣2
2 donne PB = PB
Loin du tube, PA = PB
D’où 𝑣2
2 = PA – PB
Un manomètre différentiel mesure PA – PB
On peut en déduire v, la vitesse de l’écoulement par rapport au tube de Pitot.
• Tube de Pitot utilisé dans l’aéronautique
Mirage 2000
