1. Par conservation du débit volumique : ve

1. Par conservation du débit volumique :ve.Se=v.S=vs.Ss

2. On peut appliquer la relation de Bernoulli entre

✓ L’entrée et la section juste avant l’hélice : v²_e 2 +p0

ρ = v² 2 +p₊

µ

✓ La section juste après l’hélice et la sortie : v² 2 +p₋

ρ =v_s² 2 +p0

µ

3. La vitesse est considérée comme égale avant et après le passage au travers de l’hélice, donc Ð→p(t+dt)−Ð→p(t)=Ð→0 =(+p₊−p₋).S+Ð→F_{helice→f luide}, ce qui donne la relation proposée.

4. Ð→p(t+dt)−Ð→p(t)=ρ.Dv.(Ð→vs−Ð→ve)=∯^Σp0.Ð→dS+Ð→Fhelice→f luide

Avec Dv=v.S, ce qui donneρ.v.S.(vs−ve)=(p₋−p₊).S 5. Comme(p₋−p₊).S=S.v²_s−v²_e

2 .ρen déduit donc immédiatement que v= v_e+v_s 2 6. ρ.D_v.1

2(v²_s−v_e²)=p0.S_e.v_e−p0.S_s.v_s−P= −P AvecD_v=S.v=S.v_e+v_s

2 doncP =ρ.S.v_e+v_s 2 .1

2(v²_e−v²_s)=ρ.v²_e

2.S.v_e.1

2(1+x).(1−x²) Ce qui donnef(x)=1

2(1+x).(1−x²)

7. On a l’énergie cinétique d’une masse δm0 = v_e.dt.S entrant dans ce tube de courant pendant la durée dt : dE_c0 = ρ.v_e.dt.S.v²_e

2, ce qui donne la puissanceP⁰= dE_c0

dt =ρ.v_e.S.v_e² 2 8. On a doncP =ρ.v²_e

2.S.v_e=P⁰.f(x), soitf(x)= P

P⁰ qui correspond au rendement.

Ce rendement est maximum pour x=1

3, ce qui donne alors P = 8

27.ρ.S.v³_e =2,1 M W 9. On a alors Ss

S = v v_s = 1

2.(1

x +1)=2.

On a doncL>√

2.D=112 m afin que les éoliennes ne se perturbent pas.