CONCOURS BLANC 2-1ère épreuve - CORRECTION

(1)

Louis Merlin

CONCOURS BLANC 2 - 1` ere ´ epreuve - CORRECTION

1. Bar`eme et exigences.

Exercice 1. 35 points.

Partie A.

1. a. 2 points. Il est important de citer qu’une fonction qui tend vers une limite finie est ´equivalente

`

a cette limite et qu’un ´equivalent du quotient est le quotient des ´equivalents.

b. 2 points. 1 pour la bonne IPP, -0.5 si on ne justifie pas l’IPP (les fonctions sont C¹...), 1 pour la limite.

c. 2 points. 1 point pour citer correctement le th´eor`eme de comparaison.

2. a. 2 points. 1 pour l’équivalent du dénominateur, 1 pour la bonne utilisation des croissances comparées.

b. 2 points. 1 pour citer le r´esultat de convergence de l’int´egrale de Riemann, 1 pour la mise en oeuvre.

3. 2 points. 1 pour la relation de Chasles, 1 pour dire que la somme de deux int´egrales convergentes est convergente.

Partie B.

4. a. 2 points. 0.5 pour remarquer que le terme du milieu est la somme de deux nombres positifs et en déduire l’inégalité de gauche, 1.5 pour le seconde inégalité.

b. 2 points. 1 pour la bonne IPP, 1 pour la fin du calcul.

c. 3 points. 1 pour la croissance de l’int´egrale, 1 pour le recours `a la question 1.b, 1 pour la conclusion.

5. a. 3 points. 1 pour ln(x)6x, 2 pour les deux in´egalit´es.

b. 2 points. 1 pour croissance de l’int´egrale, 1 pour le calcul.

c. 2 points, 1 pour chaque limite.

Partie C.

6. 2 points. -1 si soit les bornes, soit la fonction, soit dt est mal modifi´e.

7. a. 1 point.

b. 2 points. 1 point pour citer le théorème de transfert, 1 point pour faire apparaˆıtre la bonne intégrale.

8. 2 points. 1 pour ne pas confondre net m, 1 pour la bonne formule pour Y(i).

9. 2 points. Toute tentative rapporte facilement 1 point.

1

(2)

Partie A : exemples de matrices appartenant `a A.

1. 2 points. 1 pour mettre α en ´equation, 1 pour la r´esoudre.

2. 2 points. 0.5 pour l’affirmation du r´esultat, 1.5 pour un bon contre-exemple.

3. a. 2 points, 1 pour chaque calcul.

b. 3 points. 1 pour donner les valeurs propres, 2 pour les espaces propres.

c. 2 points. 1 pour citer le cours pour montrer queB est diagonalisable, 1 pour la matriceP (on ne demande pas de calculerP⁻¹).

d. 2 points. 1 pour D, 1 pour le raisonnement qui montre que deux matrices semblables sont simultan´ement dansAou non. Le calcul direct pourB marche aussi (mais c’est plus long).

4. 2 points.

Partie B : Diagonalisabilit´e des matrices deA.

5. 2 points. 1 pour le polynˆome annulateur, 1 pour le spectre (question de cours).

6. 1 point, il suffit de citer le cours.

7. a. 2 points. 1 pour l’inversibilit´e, c’est du cours (caract´erisation des valeurs propres), 1 pour la conclusion.

b. 1 point. Constater que le raisonnement est le mˆeme suffit.

8. 1 point. C’est `a nouveau le mˆeme argument.

9. a. 2 point. 1 pour trouver par le même argument un polynôme annulateur. 1 pour justifier que ce polynôme annulateur est responsable des deux formules.

b. 1 point, c’est du cours.

c. 2 points. 1 pour utiliser un raisonnement par l’absurde et 1 pour la mise en place.

d. i. 1 point, c’est du cours.

ii. 2 points. 1 pour la d´efinition de famille libre, 1 pour la justification.

iii. 3 points. 1 pour dire que être dans le noyau de ker(f +Id) c’est être un multiple de u (pareil avec v), 1 pour en déduire les deux égalité, puis 1 pour la conclusion.

10. 2 points, il faut r´ecapituler en reprenant tous les cas.

Partie I. Conditionnement par une loi de Poisson.

1. 2 points. 1 pour reconnaˆıtre la loi d’apr`es le texte, 1 pour ´ecrire la formule (-0.5 s’il manque un commentaire sur le support).

2. 2 points. 1 pour la formule des probabilit´es totales, 1 pour dire que si i < k, la probabilit´e conditionnelle est nulle.

3. 2 points. 1 pour finir le calcul en explicitant les probabilités conditionnelles dans la formule précédente, 1 pour reconnaˆıtre la loi.

4. 2 points. 1 pour la loi de X+Y, 1 pour en d´eduire l’ind´ependance.

5. 3 points. 1 pour la formule de la covariance deX etY qui fait intervenir la somme, 1 pour finir explicitement le calcul, 1 pour un commentaire sur le signe de la covariance.

(3)

Partie II. Conditionnement par une loi binomiale.

6. 1 point, c’est du cours.

7. a. 1 point, c’est du cours.

b. 2 points. 1 pour organiser les calculs avec la formule des probabilités composées, 1 pour le résultat explicite.

c. 2 points. 1 pour la loi marginale, 1 pour la covariance.

8. 2 points. 1 pour reconnaˆıtre la loi, 1 pour la formule exacte.

9. 2 points. Il suffit d’expliciter les coefficients binomiaux.

10. 2 points. 1 pour refaire le calcul avec la formule des probas totales, 1 pour reconnaˆıtre la loi.

11. 2 points.

12. 2 points. 1 pour le calcul de la covariance, 1 pour le commentaire sur le signe.

Total97 points, multipli´es par 0.28 pour obtenir la note sur 20 (7.16 points de bonus).

2. Erreurs fr´equentes.

Quelques points sont bˆetement perdus en analyse par manque de rigueur dans la r´edaction.

◦ On ne fait pas de changement de variables dans des int´egrales impropres.

◦ On ne fait pas d’int´egration par parties dans des int´egrales impropres.

◦ Il faut citer les théorèmes utilisés (comparaison, relation de Chasles).

Lorsqu’on a trouvé 2 valeurs propres pour la matrice B dans la question 3.a, on n’est pas sûr de les avoir trouvées toutes. Ce n’est qu’à la fin de la questionb. que l’on sait que les valeurs propres sont exactement −1 et −2.

Une grosse partie des raisonnements faux de l’exercice d’algèbre linéaire consistent à utiliser (à tort !) qu’un produit de 3 matrices est nul si et seulement si l’un des trois facteurs est nul.

C’est faux pour les matrices !

Ne surtout pas calculer l’inverse d’une matrice pour rien !

Des confusions entre matrice non inversible et matrice nulle (question7.ade l’exercice d’alg`ebre).

S’il y a une question avant la question ”l’ensemble ... est-il un espace vectoriel”, c’est très probablement que l’ensemble n’est pas un sous-espace vectoriel et que la raison provient de la question précédente. S’il n’y a pas de question avant, il est probable que l’ensemble soit un espace vectoriel.

Ne pas connaˆıtre encore les caractéristiques des lois de probabilité modèles est une faute im- pardonnable.

Il faut donner le support lorsqu’on veut d´ecrire une loi de proba.

3. Correction d´etaill´ee.

EXERCICE 1. ECRICOME 2021Exercice 2.

Pour tout entiernsupérieur ou égal à 2, on pose, si ces intégrales convergent : In=

Z +∞

0

ln(t)

1 +tⁿdt, Jn= Z 1

0

ln(t)

1 +tⁿdt et Kn= Z +∞

1

ln(t) 1 +tⁿdt.

Partie A

Dans cette partie, on fixe un entiern supérieur ou égal à 2.

(4)

1. a. D´emontrer que : _1+t^ln(t)n ∼

t→0ln(t).

b. D´emontrer que :∀y∈]0,1], Z 1

y

ln(t)dt=−1 +y−yln(y).

En d´eduire que l’int´egrale Z 1

0

ln(t)dt converge et d´eterminer sa valeur.

c. Démontrer que l’intégrale définissantJ_n converge.

2. a. Calculer lim

t→+∞

t^{3/2 ln(}_1+t^t)n

.

b. En déduire la nature de l’intégrale définissantK_n. 3. Quelle est la nature de l’intégrale définissantI_n? Partie B

Dans cette partie, on s’int´eresse `a la limite deI_nlorsque ntend vers +∞.

4. a. Démontrer que pour tout entier nsupérieur ou égal à 2, on a :

∀t∈]0,1], 06 ln(t)

1 +tⁿ −ln(t)6−tⁿln(t).

b. A l’aide d’une int´` egration par parties, démontrer que pour tout entier n supérieur ou égal

`

a 2, l’int´egrale Z 1

0

−tⁿln(t)dt converge et vaut _(n+1)¹ 2. c. Déduire des questions précédentes que : lim

n→+∞Jn=−1.

5. a. Démontrer que pour tout réel xsupérieur ou égal à 1 : 06ln(x)6x.

En déduire que pour tout réel x supérieur ou égal à 1 et pour tout entier n supérieur ou

´egal `a 3 :

06 ln(x)

1 +xⁿ 6 1 xⁿ⁻¹.

b. En déduire que pour tout entiern supérieur ou égal à 3 : 06K_n6 _n−2¹ . c. Déterminer lim

n→+∞Kn, puis lim

n→+∞In. Partie C

L’objectif de cette partie est d’obtenir une valeur approchée de l’intégraleJn à l’aide deScilab 6. Soit nun entier supérieur ou égal à 2 ety un réel de ]0,1]. À l’aide du changement de variable

u=−ln(t), montrer que : Z 1

y

ln(t) 1 +tⁿdt=

Z −ln(y) 0

−u 1 +e^−nudu.

7. SoitX une variable aléatoire définie sur un espace probabilisé (Ω,A,P), suivant la loi exponentielle de paramètre 1.

a. Donner une densit´e deX.

b. Pour tout entiernsupérieur ou égal à 2, on poseYn= _1+e^−X−nXnⁿ .

Démontrer que pour tout entier supérieur ou égal à 2, Yn admet une espérance et que E(Y_n) =J_n.

(5)

8. On rappelle qu’en langage Scilab, l’instruction grand(1,1,'exp',1) renvoie une réalisation d’une variable aléatoire suivant une loi exponentielle de paramètre 1.

Recopier et compléter la fonction ci-dessous qui prend en argument deux entiers net m, et qui renvoie une matrice à une ligne etmcolonnes dont chaque coefficient est une simulation de la réalisation de Yn.

function Y=simulY(n,m)

Y=zeros( ... , ... ) for i= ... : ...

X=grand(1,1,'exp',1) Y(i)= ...

end endfunction

9. ¹ On admet pour les besoins de cette questions l’énoncé suivant. Soit (Xn)n∈N une suite de variables aléatoires mutuellement indépendantes et de même loi qui admet une espéranceE(X₁).

Alors la variable al´eatoire

1 m

m

X

k=1

X_k

converge (en un sens qu’il n’est pas nécessaire de préciser) lorsque m tend vers +∞ vers la variable aléatoire certaine E(X1). C’est-à-dire que la moyenne empirique converge vers la moyenne théorique.

En utilisant ce résultat et la fonction précédente, écrire enScilabune fonction qui demande

`

a l’utilisateur un entier n>2, puis calcule et affiche une valeur approch´ee deJ_n. Corrig´e.

Partie A

Dans cette partie, on fixe un entiern≥2.

1. a. Etant clair que 1 +´ tⁿ −→1, t→0, on a 1 +tⁿ∼1, t→ 0, et par quotient d’´equivalents, on obtient bien

ln(t) 1 +tⁿ ∼

t→0ln(t).

b. Soit y∈]0; 1]. L’int´egrale demand´ee, classique, se calcule par IPP. En posant, u(t) = ln(t)

v⁰(t) = 1

u⁰(t) = 1/t v(t) = t ,

on d´efinit deux fonctionsuetvde classeC¹ sur [y; 1] rendant licite la formule d’int´egration par parties qui donne

Z 1 y

ln(t)dt = [tln(t)]¹_y− Z 1

y

dt

= −yln(y)−[t]¹_y

= −yln(y)−1 +y,

ce qu’on voulait. Par croissance compar´ee,yln(y)−→0,y→0, ce qui permet de conclure

`

a la convergence de l’intégrale considérée et d’écrire Z 1

0

ln(t)dt=−1.

1. Le texte de cette question a été modifié.

(6)

c. On a écrit précédemment que ln(t) 1 +tⁿ ∼

t→0 ln(t) et que Z 1

0

ln(t)dt était convergente. At- tention, le critère de convergence par équivalence s’applique normalement à des fonctions positives, mais quitte à multiplier par −1, on peut l’appliquer à des fonctions négatives, il est simplement important que les fonctions considérées soient de signe constant. On peut donc affirmer, par critère d’équivalence, que Jn converge.

2. a. On voit que

t^3/2 ln(t) 1 +tⁿ ∼

t→+∞t^3/2ln(t)

tⁿ = ln(t) t^n−3/2.

Or, commen≥2,n−3/2>0 et un argument de croissante compar´ee donne

t→+∞lim t^3/2 ln(t) 1 +tⁿ = 0.

b. On a également choisi 3/2 > 1 de sorte à pouvoir appliquer un critère de Riemann. En effet, l’intégrale

Z +∞

1

dt t^3/2

est convergente. La limite précédente permet d’écrire que ln(t)

1 +tⁿ =o 1

t^3/2

, t→+∞.

Ainsi, commet7→ ln(t)

1 +tⁿ est continue sur [1; +∞[, par critère de négligeabilité (ici tout est positif), on peut conclure à la convergence de l’intégraleKn.

3. L’intégrale définissantI_npeut s’écrire, par Chasles, comme somme de deux intégrales (à savoir Jnet Kn) convergente ; elle est donc également convergente.

Partie B

4. a. Soit n≥2 un entier et soitt∈]0; 1] un r´eel. On a ln(t)

1 +tⁿ −ln(t) = ln(t) 1

1 +tⁿ −1

= ln(t)

−tⁿ 1 +tⁿ

.

Or, ln(t)≤0 et clairement−tⁿ/(1 +tⁿ)≤0. Donc−tⁿln(t)≥0 et il suit que 0≤ 1

1 +tⁿ ≤1 =⇒0≤ −ln(t)tⁿ

1 +tⁿ ≤ −tⁿln(t) ce qui donne bien l’encadrement demand´e.

b. Soit y∈]0; 1]. En posant

u(t) = −ln(t) v⁰(t) = tⁿ

u(⁰t) = −1/t

v⁰(t) = tⁿ⁺¹/(n+ 1) ,

(7)

on d´efinit deux fonctionsuetvde classeC¹ sur [y; 1] rendant licite la formule d’int´egration par parties qui donne

Z 1 y

−tⁿln(t)dt =

−ln(t)tⁿ⁺¹ n+ 1

1 y

+ 1

n+ 1 Z 1

y

tⁿdt

= ln(y)yⁿ⁺¹ n+ 1 + 1

n+ 1 tⁿ⁺¹

n+ 1 1

y

= ln(y)yⁿ⁺¹

n+ 1 + 1

(n+ 1)² − yⁿ⁺¹ (n+ 1)²

−→y→0

1 (n+ 1)²

par croissance comparée. Ainsi, on a bien convergence de l’intégrale considérée qui vaut Z 1

0

−tⁿln(t)dt= 1 (n+ 1)².

c. D’après l’encadrement obtenu à la Question (4a), le fait que les trois intégrales suivantes convergent, la linéarité et la croissance de l’intégrale, on a

0≤ Z 1

0

ln(t) 1 +tⁿdt−

Z 1 0

ln(t)dt≤ Z 1

0

−tⁿln(t)dt ou encore

0≤J_n−(−1)≤ 1 (n+ 1)².

Comme 1/(n+ 1)² −→0,n→+∞, le th´eor`eme des gendarmes donne queJn+ 1−→0 ou encore

n→+∞lim J_n=−1.

5. a. Il est bien connu que pour x ≥ 1, ln(x) ≥ 0. Pour l’autre in´egalit´e (ultra-)classique, les arguments sont nombreux. On peut par exemple dire quex7→ln(1 +x) est concave surR+

(car de dérivée seconde strictement négative) et donc en dessous de ses tangentes, y compris celle en 0 d’équation y=x. Puis, commex≤x+ 1 et que la fonction ln est croissante, on a bien

0≤ln(x)≤ln(x+ 1)≤x.

(Observons qu’avec cette preuve, on a seulement besoin de x >0.)

En multipliant cet encadrement par 1/(1 +xⁿ) qui est une quantit´e positive (et inf´erieure

`

a 1), on obtient bien

0≤ ln(x)

1 +xⁿ ≤x× 1

1 +xⁿ ≤ x

xⁿ = 1 xⁿ⁻¹.

b. L’intégrale qui définit Kn est convergente et comme n ≥ 3, n−1 > 1 donc par critère de Riemann, l’intégrale

Z +∞

1

dx

xⁿ⁻¹ est également convergente. La croissance de l’intégrale appliquée à l’encadrement de la question précédente donne

0≤ Z +∞

1

ln(x) 1 +xⁿdx≤

Z +∞

1

dx xⁿ⁻¹. Comme

Z A 1

dx xⁿ⁻¹ =

− 1

(n−2)xⁿ⁻² A

1

A→+∞−→

1 n−2, on d´eduit bien

0≤Kn≤ 1 n−2.

(8)

c. Par le théorème des gendarmes, l’encadrement précédent donne

n→+∞lim Kn= 0.

Comme I_n =J_n+K_n, `a l’aide de la limite de J_n obtenue `a la Question (4c), on conclut que

n→+∞lim I_n=−1 + 0 =−1.

Partie C

6. Soient n≥2 un entier et y∈]0; 1] un r´eel. Le changement de variableu=u(t) =−ln(t) est de classe C¹ sur [y; 1] donc licite et donne (observant quet= exp(−u))

du=u⁰(t)dt=−dt

t ⇐⇒dt=−e^−udu.

Il suit que Z 1

y

ln(t) 1 +tⁿdt=

Z 0

−ln(y)

−u

1 + (e^−u)ⁿ(−e^−u)du=

Z −ln(y) 0

−ue^−u 1 +e^−nudu, comme attendu.

7. Soit X ,→ E(1).

a. On récite le cours. En notantf une densité de X, on peut écrire f(t) =

0, sit <0 e^−t, sit≥0 b. Soit n≥2. On pose Y_n= −X

1 +e^−nX. D’après le théorème de transfert Y_nadmet une espérance ⇐⇒

Z +∞

−∞

−x

1 +e^−nxf(x)dx converge absolument

⇐⇒

Z +∞

0

−x

1 +e^−nxe^−xdx converge Or, d’après le changement de variable précédent,

Z −ln(y) 0

−ue^−u 1 +e^−nudu=

Z 1 y

ln(t) 1 +tⁿdt.

Comme

Z 1 y

ln(t)

1 +tⁿdt−→

y→0J_n, et −ln(y)−→

y→0+∞, on en conclut que l’int´egrale

Z +∞

0

−ue^−u

1 +e^−nudu converge et vautJn et donc Yn admet une esp´erance et

E(Y_n) =J_n.

8. Il suffit d’appliquer la formule qui définitY_n en fonction deX à des réalisations successives de variables de loi exponentielles à l’aide de la boucle for.

function Y=simulY(n,m)

Y=zeros(1,m) // m realisations de Y_n : on prepare m composantes for i=1:m

X=grand(1,1, 'exp', 1) Y(i)=-X/(1+exp(-n*X)) end

endfunction

(9)

9. On peut s’inspirer du r´esultat admis pour fabriquer une approximation deJn. En effet, il suffit pour cela de simuler la variable

1 m

m

X

k=1

Y_k,

où (Y_k) est une suite de variables indépendantes qui suivent toutes la loi deYn. On obtient ainsi une bonne approximation de E(Y_n), c’est-à-dire deJ_n. On en déduit la ligne de code suivante disp(mean(simulY(n,1000))

Le nombre 1000 est arbitraire et peut-ˆetre remplac´e par n’importe quelle ”grande” valeur de m.

(10)

EXERCICE 2. ECRICOME 2021Exercice 1

Soit E=M₃(R) l’ensemble des matrices carrées d’ordre 3 à coefficients réels.

On note I₃ la matrice identit´e et 0₃ la matrice nulle de E.

Soit Al’ensemble des matrices M de E vérifiant l’égalité : M(M+I₃)(M + 2I₃) = 0₃. (?) Partie A. Exemples de matrices appartenant à A.

1. D´eterminer l’ensemble des r´eelsα tels que αI3 ∈ A.

2. L’ensemble Aest-il un sous-espace vectoriel de E.

3. On note B =





−1 −1 1

1 −3 1

1 −1 −1



.

a. On poseX1=



 1 1 0



 etX2 =



 1 1 1



. Calculer BX1 etBX2. b. En d´eduire deux valeurs propres deB.

D´eterminer une base de chacun des sous-espaces propres associ´es.

c. D´emontrer que B et diagonalisable et expliciter une matriceDdiagonale et une matriceP inversible telles que B=P DP⁻¹.

d. D´emontrer queD∈ A, puis queB∈ A.

4. Plus g´en´eralement, on suppose queM est une matrice deE diagonalisable, telle que le spectre de M soit inclus dans {0,−1,−2}.

Montrer que M ∈ A.

Soit M une matrice appartenant `a A. On note Sp(M) le spectre deM.

5. Déterminer un polynôme annulateur deMet démontrer que le spectre est inclus dans{0,−1,−2}.

6. On suppose dans cette question que M admet 0,−1 et −2 comme valeurs propres.

Justifier que M est diagonalisable.

7. a. On suppose dans cette question que −1 est l’unique valeur propre de M. Justifier queM etM+ 2I₃ sont inversibles, puis d´emontrer que M =−I₃. b. Que peut-on dire deM si Sp(M) ={−2}? Si Sp(M) ={0}?

8. On suppose dans cette question que M n’admet aucune valeur propre.

Justifier que les matricesM,M+I3etM+ 2I3sont inversibles. Aboutir `a une contradiction.

9. Dans cette question, on suppose que M admet exactement deux valeurs propres distinctes.

On traite ici le cas o`u Sp(M) = {−1,−2} (on on admet que dans les autres situations, le r´esultat serait similaire).

On veut d´emontrer par l’absurde que la matrice M est diagonalisable, et on suppose donc que M ne l’est pas.

On note B la base canonique deR³. Soitf l’endomorphisme de R³ dont la matrice dans la base B estM.

On note Id l’endomorphisme identit´e deR³. a. Montrer que :

(f+Id)◦(f+ 2Id) = 0 et (f+ 2Id)◦(f+Id) = 0.

(11)

b. D´emontrer que dim(ker(f +Id))>1 et que dim(ker(f+ 2Id))>1.

c. En utilisant le fait queM n’est pas diagonalisable, d´emontrer que dim(ker(f+Id)) = 1 et dim(ker(f+ 2Id)) = 1.

d. Soit uun vecteur propre de f associ´e `a la valeur propre−1.

Soit vun vecteur propre de f associ´e `a la valeur propre−2.

i. Justifier que (u, v) forme une famille libre dans R³. ii. Soit wun vecteur de R³ n’appartenant pas `a Vect(u, v).

Montrer que la famille (u, v, w) est une base deR³.

iii. En utilisant le fait que ((f+Id)◦(f+ 2Id)) (w) = 0 et ((f + 2Id)◦(f +Id)) (w) = 0, montrer qu’il existe deux r´eelsαet β tels que

f(w) + 2w=αu et f(w) +w=βv.

En déduire quew est une combinaison linéaire de u et de v, et aboutir à une contradiction.

10. Montrer alors que pour toute matrice M etE :

M ∈ A ⇐⇒M est diagonalisable et Sp(M)⊂ {0,−1,−2}. Corrig´e.

Partie A : exemples de matrices appartenant `a A.

1. Soit α∈R. Par d´efinition de A

αI3 ∈ A ⇐⇒ αI3(αI3+I3)(αI3+ 2I3) = 03

⇐⇒ α(α+ 1)(α+ 2)I3 = 03

⇐⇒ α(α+ 1)(α+ 2) = 0

⇐⇒ α = 0 ouα=−1 ou α=−2.

2. D’après la question précédente, −I₃ et −2I₃ sont deux matrices de A. Or, −I₃ + (−2I₃) =

−3I₃6∈ A etA n’est pas stable par addition et ne peut donc pas ˆetre un sous-espace vectoriel de E.

3. On note B =





−1 −1 1

1 −3 1

1 −1 −1



.

a. On fait le calcul BX1 =





−2

−2 0



=−2X₁, BX2 =





−1



=−X₂.

b. On déduit des deux calculs précédents (et du fait que les vecteurs X1 etX2 sont non nuls) queX₁ est vecteur propre deB associé à la valeur propre−2 et queX₂ est vecteur propre de B associé à la valeur propre −1. En particulier, −1 et −2 sont deux valeurs propres de B.

Une base des sous-espaces propres correspondants s’obtient en r´esolvant BX = λX pour λ∈ {−1;−2}.

(12)

Pour λ=−1 : X=



 x y z



∈E−1(B) ⇐⇒ (B+I3)X= 0

⇐⇒







−y+z = 0 x−2y+z = 0 x−y = 0

⇐⇒ x=y=z

⇐⇒ X=x



 1 1 1





Ainsi,

E−1(B) = Vect







 1 1 1









En particulier, (X₂) forme une base de E−1(B) qui est donc de dimension 1.

Pour λ=−2 : X=



 x y z



∈E−2(B) ⇐⇒ (B+ 2I₃)X= 0

⇐⇒ x−y+z= 0

⇐⇒ X=y



 1 1 0



+z





−1 0 1





Ainsi,

E−2(B) = Vect







 1 1 0



;





−1 0 1









Donc



X1,





−1 0 1







 forme une base deE−2(B) qui est alors de dimension 2.

c. On a trouvé deux valeurs propres dont la somme des dimensions des sous-espaces propres associés est 3. On peut alors conclure que ce sont les seules valeurs propres de B et comme la somme des dimensions des sous-espaces propres deB est égale à l’ordre deB, celle-ci est diagonalisable.

En notant

P =





1 1 −1

1 1 0

1 0 1





la matrice de passage de la base canonique vers la base de vecteurs propres



X2;X1,





−1 0 1







 (qui en est bien une par principe de concat´enation), la formule de changement de base donne bienB =P DP⁻¹, o`u

D=





−1 0 0

0 −2 0

0 0 −2



.

(13)

d. Il est facile de voir que Dv´erifie la relation (∗) D(D+I₃)(D+ 2I₃) =





−1 0 0

0 −2 0

0 0 −2









0 0 0

0 −1 0

0 0 −1









1 0 0 0 0 0 0 0 0



= 0₃ doncD∈ A. Mais alors,

B(B+I₃)(B+ 2I₃) = P DP⁻¹ P DP⁻¹+I₃

P DP⁻¹+ 2I₃

= P DP⁻¹ P DP⁻¹+P P⁻¹

P DP⁻¹+P2I3P⁻¹

= P DP⁻¹P(D+I₃)P⁻¹P(D+ 2I₃)P⁻¹

= P D(D+I₃)(D+ 2I₃)P⁻¹

= 0₃ etB appartient bien ´egalement `aA.

4. Soit M une matrice diagonalisable dont le spectre est inclus dans {0;−1;−2}. Il existe donc une matrice de passage inversible Qet une matrice diagonale

∆ =





λ₁ 0 0 0 λ2 0 0 0 λ₃





avec λ_i ∈ {0,−1,−2}telles que

M =Q∆Q⁻¹. On voit facilement que ∆ v´erifie (∗). En effet,

∆(∆ +I₃)(∆ + 2I₃) =





λ1(λ1+ 1)(λ1+ 2) 0 0

0 λ₂(λ₂+ 1)(λ₂+ 2) 0

0 0 λ3(λ3+ 1)(λ3+ 2)



= 0₃ car commeλi∈ {0,−1,−2}, on a n´ecessairementλi(λi+ 1)(λi+ 2) = 0. En passant `aM comme dans la Question (3d), on obtient que M ∈ A.

Soit M une matrice appartenant `a A. On note Sp(M) le spectre deM.

5. La condition (∗) permet immédiatement d’affirmer que le polynôme X(X+ 1)(X+ 2) annule la matrice M. Les racines de ce polynôme étant 0, 1 et−2, le cours permet de conclure que

Sp(M)⊂ {0,−1,−2}.

6. Dans ce cas,M est une matrice d’ordre 3 admettant 3 valeurs propres distinctes. Le cours nous permet de conclure directement que M est diagonalisable.

7. a. Comme−1 est l’unique valeur propre deM, c’est l’unique r´eel pour lequel M−λI₃ n’est pas inversible. En particulier,M etM+ 2I3 sont inversibles et admettent donc des matrices inverses. En utilisant ces inverses dans la relation (∗) satisfaite par M, on obtient

0₃=M⁻¹·M(M+I₃)(M+ 2I₃)·(M + 2I₃)⁻¹=M+I₃ et doncM =−I₃.

b. Il suffit, pour répondre à cette question, d’échanger le rôle de −1 avec celui de 0 ou de

−1 avec 2. Dans le premier cas, c’est M +I3 et M+ 2I3 qui seront inversibles et par les inverses desquelles on pourra multiplier dans (∗) pour obtenirM = 0₃ dans l’autre c’estM etM+I3 qui sont inversibles et qui m`enent `aM + 2I3 = 03 ou encore M =−2I₃.

(14)

8. On suppose dans cette question que M n’admet aucune valeur propre. Ainsi, pour tout r´eel λ, les matrices M−λI₃ sont inversibles, c’est le cas en particulier pourM, M+I₃ et M+ 2I₃. En multipliant par leurs inverses dans (∗) on aboutit `a

03 =M⁻¹·M(M+I3)(M + 2I3)·(M+ 2I3)⁻¹·(M+I3)⁻¹ =I3, ce qui est absurde. Ainsi, M admet au moins une valeur propre.

9. Dans cette question, on suppose queM admet exactement deux valeurs propres distinctes et on traite ici le cas{−1;−2}. Comme le précise l’énoncé, les autres situations (c’est à dire couplages de valeurs propres dans {−1,−2,0}) se traitent exactement e la même manière.

On suppose que M n’est pas diagonalisable.

On note Bla base canonique deR³ etf l’endomorphisme deR³ dont M est la amtrice dans la base B.

a. Comme, par hypoth`ese, 0 n’est pas valeur propre deM,M est inversible et en multipliant

`

a gauche par M⁻¹ dans (∗), on obtient

(M +I3)(M+ 2I3) = 03. Sachant que

Mat(f+ Id) =M+I₃, Mat(f+ 2Id) =M+ 2I₃ et que

Mat ((f+ Id)◦(f+ 2Id)) = (M+I₃)(M+ 2I₃), on a bien

(f+ Id)◦(f + 2Id) = 0 Comme de plus les matrices correspondantes commutent

(M+I3)(M + 2I3) =M²+ 2M +M+I3 =M²+ 3M+I3= (M+ 2I3)(M+I3), on a ´egalement

(f + 2Id)◦(f + Id) = 0.

b. Les noyaux Ker(f+Id) et Ker(f+2Id) sont les sous-espaces propres respectivement associ´es

`

a −1 et −2 qui sont les valeurs propres de B donc def. Comme ces valeurs sont bien des valeurs propres, ces noyaux ne peuvent être réduits à{0}et sont donc au moins de dimension 1.

c. Comme M n’est pas diagonalisable, la somme des dimensions des sous-espaces propres (à savoir les deux noyaux susmentionnés) ne peut être égale à 3. Cette somme est donc inférieure ou égale à 2. Comme elle est au moins égale à 1+1 = 2, elle est en fait exactement

égale à 2 et donc chacun des deux sous-espaces propres est de dimension égale à 1.

d. Soit uun vecteur propre (donc non nul) def associ´e `a la valeur propre−1.

Soit vun vecteur propre (également non nul) def associé à la valeur propre−2.

i. Par principe de concaténation, la famille (u, v) est libre dansR³. ii. Soit wun vecteur de R³ non élément de Vect(u, v).

La famille (u, v, w) est alors libre. En effet, soient α, β, γ sont trois r´eels tels que αu+βv+γw= 0.

Siγ 6= 0, on peut écrirewcomme combinaison linéaire deu etv, ce qui est contradictoire avec le fait quew n’appartient pas à Vect(u, v). Donc γ = 0. Mais alors, comme (u, v) est libre, on déduit de αu+βv = 0 queα=β = 0. On a bien ce qu’on voulait.

La famille (u, v, w) est composée de trois vecteurs linéairement indépendants dans un espace de dimension 3 : elle en forme bien une base.

(15)

iii. Comme (f+ 2Id)◦(f+ Id) = (f+ Id)◦(f+ 2Id) = 0, on retrouve bien 0 si on applique ces compos´ees `a w. Ce qui se traduit d’une part par le fait que

(f+ 2Id)(w)∈Ker(f+ Id) = Vect(u) ce qui donne l’existence d’un r´eel α tel que

f(w) + 2w= (f+ 2Id)(w) =αu, et d’autre part par

(f + Id)(w)∈Ker(f+ 2Id) = Vect(v) ce qui fournit un r´eel β tel que

f(w) +w= (f + Id)(w) =βv, comme demand´e.

iv. Il suit de la question pr´ec´edente que

w=f(w) + 2w−(f(w) +w) =αu−βv∈Vect(u, v),

ce qui est contradictoire avec la construction dew qui découle de l’hypothèse de non diagonalisabilité de M. Ainsi, nécessairement,M est diagonalisable.

10. SiM ∈ A, la Question (5) nous a permis d’obtenir que Sp(M)⊂ {0;−1;−2}. Les questions qui ont suivi on permis d’obtenir successivement que M avait au moins une valeur propre. Si elle n’en a qu’une seule, la Question (7) nous a permis de conclure queM était déjà diagonale donc diagonalisable. Si M en a trois (distinctes), on a également conclus queM était diagonalisable avec la Question (6). Si M n’a que deux valeurs propres distinctes, le raisonnement (étendu) de la Question (9) a aussi permis de conclure que M était diagonalisable. Ainsi, dans tous les cas, M est diagonalisable et on a bien le sens =⇒de l’équivalence demandée.

Réciproquement, siM est diagonalisable avec un spectre inclus dans{0,−1,−2}, la Question (4) a permis de conclure que M était un élément de A.

On a bien démontré l’équivalence souhaitée.

(16)

EXERCICE 3. Dans tout l’exercice, on dispose d’une pi`ece amenantPile avec la probabilit´e 1/3.

les parties I et II de cet exercice sont ind´ependantes.

Partie I. Conditionnement par une loi de Poisson.

Soitλun réel strictement positif etN une variable aléatoire suivant la loi de Poisson de paramètre λ.

On suppose queN donne le nombre de lancers successifs de la pi`ece.

Autrement dit, pour tout i∈N, si N =i, alors on lance ifois de suite la pi`ece et on note.

X le nombre de Pile obtenus lors de ces ilancers.

Y le nombre de Face obtenus lors de cesi lancers.

Les différents lancers de la pièce sont indépendants.

1. Soit i∈N. D´eterminer la loi conditionnelle deX sachant [N =i].

2. Montrer que :

∀k∈N, P(X=k) =

+∞

X

i=k

P_[N=i](X =k)P(N =i).

3. Prouver que X suit une loi de Poisson dont on pr´ecisera le param`etre.

On admet de mˆeme que Y suit la loi de Poisson de param`etre 2λ/3.

4. Que vaut X+Y. Prouver que les variables al´eatoiresX etY sont ind´ependantes.

5. Toujours en considérant la variable aléatoire X+Y, calculer la covariance deX et de N. Comment peut-on interpréter le signe de cette covariance ?

Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 2. On lance n fois de suite la pièce et on note N le nombre de lancers ayant amené Face.

On relance alors la pièce autant de fois que l’on a obtenuFace lors de la première série de lancers.

Autrement dit pour touti∈J0, nK, si N =i, alors on relance ifois de suite la pi`ece et on note

X le nombre de Pile obtenus lors de ces ilancers.

Y le nombre de Face obtenus lors de cesi lancers.

6. D´eterminer la loi deN.

7. Dans cette question seulement on suppose que n= 2.

a. Expliciter la loi deN.

b. D´eterminer la table de la loi conjointe de N et de X.

c. En d´eduire la loi marginale deX ainsi que la covariance de X et N.

8. Soit i∈J0, nK. D´eterminer la loi conditionnelle deX sachant que [N =i].

9. Montrer que si 06k6i6n alors : i

k n

i

= n

k

n−k i−k

. 10. Montrer que X suit la loi binomiale de param`etren et 2/9.

On admet de mˆeme que Y suit la loi binomiale de param`etren et4/9.

11. Prouver que les variables al´eatoires X etY ne sont pas ind´ependantes.

12. En considérant la variable aléatoire X+Y, calculer la covariance deX et deY. Comment peut-on interpréter le signe de la covariance ?

(17)

Corrig´e.

Partie I. Conditionnement par une loi de Poisson

1. Conditionné à [N =i] et en considérant que Pile est le succès d’une épreuve de Bernoulli (le succès a ici probabilité 1/3 de se produire), on constate que X est le nombre de succès d’une répétition de iépreuves de Bernoulli indépendantes. C’est donc une loi binomiale de paramètre iet 1/3. Explicitement, la loi conditionnelle deXsachant [N =i] a pour supportJ0, iKet, pour k∈J0, iK,

P_[N=i](X=k) = i

k 1 3

k 2 3

i−k

.

2. L’ensemble des événements (N = i) pour tout i ∈ N est un système complet d’événements.

On calcule alors P(X = k) en utilisant ce système complet d’événements et la formule des probabilités totales. Il vient, pour toutk∈N,

P(X=k) =

+∞

X

i=0

P_[N=i](X=k)P(N =i).

Or, si i < k, on a P_[N_=i](X = k) = 0 d’après la question précédente (le support de la loi conditionnelle est exactement J0, iK). On a donc

P(X =k) =

+∞

X

i=0

P_[N=i](X=k)P(N =i) =

+∞

X

i=k

P_[N=i](X =k)P(N =i).

3. On poursuit maintenant le calcul commencé à la question précédente. Pour cela, on rappelle que, puisque N suit la loi de Poisson de paramètreλ, on a

P(N =i) =e^−λλⁱ i!. On a alors

P(X=k) =

+∞

X

i=k

P_[N=i](X=k)P(N =i)

=

+∞

X

i=k

i k

1 3

k 2 3

i−k

e^−λλⁱ i!

=

+∞

X

i=k

i!

(i−k)!k!

1 3

k 2 3

i−k

e^−λλⁱ i!

= 1

k!

1 3

k

e^−λ

+∞

X

i=k

1 (i−k)!

2 3

i−k

λⁱ

= 1

k!

1 3

k

e^−λ

+∞

X

i=0

1 i!

2 3

i

λ^i+k

= 1

k!

λ 3

k

e^−λ

+∞

X

i=0

1 i!

2λ 3

i

= 1

k!

λ 3

k

e^−λe^2λ/3

= 1

k!

λ 3

k

e^−λ/3

(18)

Plusieurs lignes de ce calcul méritent une explication. À la troisième ligne, on a explicité la valeur du coefficient binomial. À la quatrième, on a factorisé dans la somme tous les termes indépendants dei. À la cinquième, on a fait le changement de variable i=i+k. À la sixième, on a écrit λî+k =λⁱλ^k et on a factorisé λ^k dans la somme, puis écrit que ¹₃k

λ^k = ^λ₃k

(et même manipulation dans la somme). Enfin, on a reconnu une série exponentielle de paramètre

2λ 3 .

On reconnaˆıt finalement la formule de la loi de Poisson de param`etre ^λ₃. Donc X suit la loi de Poisson de param`etreλ/3.

4. On aX+Y =N car la somme des lancers amenantPile et des lancers amenantFace est ´egale au nombre total de lancers. Puis on a

P(X=k∩Y =j) = P(X =k∩N −X=j)

= P(X =k∩N =X+j)

= P(X =k∩N =k+j)

= P_[N=k+j](X=k)P(N =k+j)

=

k+k k

1 3

k 2 3

j

e^−λ λ^k+j (k+j)!

= (k+j)!

k!j!

λ 3

k 2λ

3 j

e^−λ (k+j)!

= 1

k!j!

λ 3

k 2λ

3 j

e^−λ

= e^−λ/3 k!

λ 3

k

·e^−2λ/3 j!

2λ 3

j

= P(X =k)P(Y =j) On conclut bien que X etY sont ind´ependantes.

5. On a

Cov(X, N) = Cov(X, X+Y) = Cov(X, X) + Cov(X, Y) = var(X)

car X et Y sont ind´ependantes et donc Cov(X, Y) = 0, puis que Cov(X, X) = var(X). Or X suit la loi de Poisson de param`etre λ/3, sa variance est donc _λ⁹2.

Il n’est pas étonnant de trouver ici une covariance positive, car X et N évoluent dans le même sens : lorsque le nombre de lancers est grand, le nombre de face est probablement plus grand aussi.

6. La variable N suit une loi binomiale de paramètre n et ²₃ : on compte le nombre de succès (Face) dans une suite d’épreuves de Bernoulli indépendantes et de même probabilité de succès

2

3. Plus explicitement, on a N(Ω) =J0, nKet pour touti∈J0, nK, P(N =i) =

n i

2 3

i 1 3

n−i

7. a. On a donc ici

P(N = 0) = 1

9 P(N = 1) = 21 3 ×2

3 = 4

9 P(N = 2) = 4 9

b. On a toujours X 6 N donc le support de la loi conjointe de X et N est l’ensemble des couples (k, i) avec k ∈ J0,2K et i ∈ J0,2K. Pour calculer P(X = k∩N =i), on utilise la

(19)

formule des probabilit´es compos´ees.

P(X =k∩N =i) =P_[N=i](X =k)P(N =i).

Comme dans les questions de la premi`ere partie, la loi conditionnelle deX sachant [N =i]

est une loi binomiale de param`etre iet 1/3. On trouve alors les valeurs suivantes.

k/i 0 1 2

0 1/9 4/27 16/81

1 0 8/27 16/81

2 0 0 4/81

c. Pour avoir la loi marginale, il faut sommer sur les lignes du tableau pr´ec´edent. On a P(X= 0) = 1

9 + 4 27 +16

81 = 37 81. P(X= 1) = 0 + 4

27+ 16 81 = 40

81 P(X = 2) = 0 + 0 + 4

81

(on v´erifie que la somme de ces trois probabilit´es fait bien 1).

Pour calculer la covariance, nous avons besoin de E(N), E(X) et E(N X). Commen¸cons (par le plus difficile) par

E(N X) =

2

X

i,k=0

P(X=k∩N =i)

= 0×1/9 + 0×4/27 + 0×16/81 + 0×0 + 1×8/27 + 2×16/81 + 0×0 + 2×0 + 4×4/81.

= 72/81 = 24/27.

On connaˆıt E(N), c’est l’espérance de la loi binomiale de paramètre 2 et ²₃, on a E(N) = 4/3. PourE(X), on se ramène à sa loi :

E(X) = 0×P(X= 0) + 1×P(X= 1) + 2×P(X= 2) = 48/81.

Finalement, on trouve

Cov(X, N) =E(N X)−E(N)E(X) = 72 81 −4

3×48

81 = 8/81.

8. On a déjà remarqué que, de la même manière que dans la première partie, conditionnée à [N =i], X suit une loi binomiale de paramètre net ¹₃. Ainsi, le support de cette loi conditionnelle est J0, iKet, pour tout k∈J0, iK, on a

P_[N=i](X=k) = i

k 1 3

k 2 3

i−k

9. On a i

k n

i

= i!

k!(i−k)!

n!

i!(n−i)! = n!

k!(n−k)!

(n−k)!

(i−k)!(n−i)! = n

k

n−k i−k

(20)

10. On utilise à nouveau la formule des probabilités totales avec le système complet d’événements (N =i)i∈N. On a alors

P(X=k) =

+∞

X

i=0

P_[N=i](X=k)P(N =i)

=

n

X

i=k

P_[N=i](X=k)P(N =i)

=

n

X

i=k

i k

1 3

k 2 3

i−k n

i 2 3

i 1 3

n−i

=

n

X

i=k

n k

n−k i−k

1 3

k 2 3

i−k 2 3

i 1 3

n−i

= n

k 1 3

k n

X

i=k

n−k i−k

2 3

i−k 2 3

i 1 3

n−i

= n

k 1 3

k n−k

X

i=0

n−k i

2 3

i 2 9

i+k 1 3

n−i−k

= n

k 2 9

k n−k

X

i=0

n−k i

2 3

i 2 3

i 1 3

n−i−k

= n

k 2 9

k n−k

X

i=0

n−k i

4 9

i 1 3

n−i−k

= n

k 2 9

k 4 9 +1

3 n−k

= n

k 2 9

k 7 9

n−k

Tous les calculs sont assez parlants. On a utilisé la formule du binôme à l’avant-dernière ligne.

On reconnaˆıt enfin la loi binomiale de param`etre net 2/9.

11. On note encore une fois que X +Y = N. On peut raisonner de la manière suivante. Si les variables étaient indépendantes, on aurait Var(X+Y) = Var(X) + Var(Y). Or

Var(X+Y) = Var(N) =n×²₃ ×¹₃ = ²ⁿ₉ .

Var(X) = ¹⁴ⁿ₈₁ .

Var(Y) = ²⁰ⁿ₈₁.

Puis on constate qu’on n’a pas l’égalité Var(X+Y) = Var(X) + Var(Y). Donc les variablesX et Y ne sont pas indépendantes.

12. On a la formule

Cov(X, Y) = 1

2(Var(X+Y)−Var(X)−mathrmV ar(Y)). On trouve alors, en utilisant les données de la question précédente

Cov(X, Y) =−22n 81 .

La covariance est donc négative ; et on aurait pu s’y attendre car plus on tire dePile, moins on tire de Face, donc les variables X etY semblent en effet corrélées dans des sens opposés.