Étude numérique et expérimentale de la diffraction en géométrie conique de réseaux optiques aux longueurs d’ondes X et UV

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géométrie conique de réseaux optiques aux longueurs

d’ondes X et UV

Ahmed Akarid

To cite this version:

Ahmed Akarid. Étude numérique et expérimentale de la diffraction en géométrie conique de réseaux optiques aux longueurs d’ondes X et UV. Optique [physics.optics]. Université Paris Saclay (COmUE), 2019. Français. �NNT : 2019SACLS327�. �tel-02495350�

Étude numérique et expérimentale

de la diffraction en géométrie

conique de réseaux optiques aux

longueurs d’ondes X et UV

Thèse de doctorat de l'Université Paris-Saclay préparée à l’Université Paris Sud

École doctorale n°572 Ondes et matière(EDOM) Spécialité de doctorat: Optique et photonique

Thèse présentée et soutenue à Saint Aubin, le 1 Octobre 2019, par

Ahmed Akarid

Composition du Jury

Mme Danielle Dowek Présidente Directrice de recherche CNRS,

Institut des Sciences Moléculaires d’Orsay UMR 8214

M. Gérard Granet Rapporteur Professeur, Université Blaise Pascal

Institut Pascal, UMR 6602, Clermont-Ferrand

M. Luca Poletto Rapporteur Directeur de Recherche, CNR

Institute of Photonics and Nanotechnologies, Padova, Italie

Mme Sophie Kazamias Examinateur Professeur, Université Paris-Sud

Laboratoire de Physique des Gaz et des Plasmas, UMR 8578, Orsay

M. Nicolas Bonod Examinateur Directeur de Recherche CNRS

Institut Fresnel, UMR 7249, Marseille

M. Francois Polack Directeur de thèse Responsable du groupe optique

Synchrotron SOLEIL, Saint-Aubin

M. Sébastien de Rossi Co-directeur de thèse Maître de conférences, Université Paris-Sud

Laboratoire Charles Fabry, UMR8501, Palaiseau

N N T : 20 19 S A C LS 32 7

Étude numérique et expérimentale de la

diffraction en géométrie conique de réseaux

Remerciements

Le travail présenté dans ce mémoire a été effectué au centre de rayonnement Synchrotron SOLEIL à Saint-Aubin au sein du groupe Optique. Je remercie mon co-directeur de thèse, M Sébastien de ROSSI, pour son constant soutien, et mon directeur de thèse, M.François POLACK, de m’avoir accueilli au sein de son groupe, de m’avoir partagé ses connaissances au long de ce travail, et de m’avoir aidé à appréhender un sujet de recherche aussi complexe et passionnant que celui de la diffraction en géométrie conique dans les longueurs d’ondes X et UV.

Je voudrais remercier chaleureusement tous les membres du groupe Optique sans qui ce travail n’aurait pu être mené à bien:

- M.Gilles CAUCHON, pour sa participation à la mise en place du goniomètre, ainsi que pour sa gentillesse et de grands moments de discussion et d’échange au cours de nos pauses de déjeuner

- Mme.Blandine CAPITANIO, pour son investissement décisif à la mise au point du goniomètre et pour tous les efforts déployés pour que celui-ci soit opérationnel avant la fin de ma thèse.

- M.David DENNETIERE, pour son aide à conduire les expériences sur la ligne Métrologie et pour les moments agréables que nous avons eu ensemble

- M.Thierry MORENO pour son soutien amical, de nombreux et riches échanges sur l’histoire grecque, comme la physique, et pour ces moments extrêmement chaleureux que nous avons passés ensemble autour d’un café matinal.

- Mme Muriel THOMASSET, pour les mesures AFM du réseau optique utilisé comme objet des expériences qui m’ont permis de valider la partie théorique de ce travail

- M.Sylvain BROCHET pour sa gentillesse et sa sagesse, et les conversations amicales autour du café du déjeuner

- M.Thibault MICHELOTTO, avec qui j’ai, un temps, partagé mon bureau, pour sa participation au montage du goniomètre ainsi que pour les moments sympathiques que nous avons eu ensemble.

Je remercie particulièrement M.Mondher BESBES pour les simulations effectuées avec RETICOLO à l’Institut d’Optique.

Je ne peux pas oublier M.Fadi CHOUEIKANI et M.James ABLETT pour leur gentillesse ainsi que tous les membres des lignes de lumiere DIEMOS et GALAXIES pour les moments conviviaux que nous avons vécu ensemble

Je remercie très sincèrement Madame Danielle DOWEK d’avoir accepté la tâche de présider mon jury de thèse, et pour les remarques fort utiles qu’elle m’a adressées.

Je remercie très sincèrement Monsieur Luca POLETTO et Monsieur Gérard Granet qui ont accordé un temps précieux à la revue de ce manuscrit. Je leur sais gré de leurs commentaires positifs et de leurs remarques qui ont permis d’améliorer la qualité finale de ce mémoire. J’exprime également tous mes remerciements Madame Sophie KAZAMIAS ainsi qu’à Monsieur Nicolas BONOD pour avoir accepté d’examiner mon manuscrit et d’apporter leur jugement sur la qualité de mon travail.

J’exprime ma profonde gratitude envers le LIDEX OPT2X de l’Université Paris-Saclay et au Synchrotron SOLEIL pour avoir financé mes travaux de thèse

Table des matières

Table des matières 5

Liste des notations utilisées 9

Introduction générale 13

Chapitre I: Méthode différentielle en géométrie classique 21

I.1 Introduction: ... 21

I.2 Equations de propagation des ondes électromagnétiques:... 22

I.3 Propagation dans la structure en polarisation TE ... 31

I.4 Propagation dans la structure en polarisation TM ... 34

I.5 Efficacité de diffraction ... 39

I.6 Mise en œuvre numérique du calcul de réflectivité ... 42

I.7 Conclusion ... 54

Notes 55

Note I.1 Fréquence de plasma ... 55

Note I.2 Explicitation du la transformée de Fourier du produit de convolution sous forme matricielle ... 55

Note I.3 Règle de Laurent et règle de Li ... 57

Note I.4 Calcul de séries de Fourier de l’indice de réfraction : ... 57

Appendices 59

A-1.Intégration numérique 59

Chapitre II: Méthode différentielle en géométrie conique 71

II.1 Introduction ... 71

II.2 La géométrie oblique ... 71

II.2.1 Définition ... 71

II.2.2 Expression du vecteur d’onde et du champ incident... 72

II.2.3 Expression des vecteurs d’onde des ordres diffractés ... 73

II.3 Méthode différentielle en géométrie oblique ... 77

II.3.1 Equations de Maxwell ... 77

II.3.2 Equations différentielles vérifiées par les champs transverses ... 77

II.3.3 Résolution de l’équation différentielle et calcul de la matrice réflectivité ... 83

II.4 Conclusion ... 85

Appendice ... 86

Démonstration de la relation de passage champ-onde en géométrie oblique ... 86

Chapitre III Polarisation de la lumière diffractée par un réseau 91 III.1. Rappels sur la polarisation de la lumière ... 91

Polarisation de la lumière... 91 III.1.1. Représentation de Jones ... 92 III.1.2. Représentation de Stokes ... 94 III.1.4. III.1.5. Matrice de Müller ... 96

III.2. Calcul de la polarisation des ondes diffractées en géométrie conique ... 98

III.2.1. Description de la polarisation des ondes diffractées ... 98

III.2.2. Etat de polarisation des faisceaux diffractés ... 104

III.3. Conclusion ... 108

Chapitre IV Calcul des propriétés de diffraction de différents types de réseaux en géométrie conique et classique ... 111

IV.1. Réseau lamellaire... 111

Définition du réseau ... 111

IV.1.1 Efficacité de diffraction ... 112

IV.1.2 Polarisation de la lumière diffractée ... 113

IV.1.3 Phase des ordres diffractés ... 116

IV.1.4 IV.2. Réseau à profil triangulaire (réseau blazé) ... 118

Description du réseau ... 118

IV.2.1 Réflectivité du réseau blazé ... 119

IV.2.2 Polarisation de la lumière diffractée ... 122

IV.2.3 Phase des ordres diffractés ... 123

IV.2.4 Calcul de la matrice de Müller ... 123

IV.2.5 IV.3. Etude d’un réseau multicouche ... 125

Rappels sur les miroirs multicouches ... 125

IV.3.1 Cas d’un réseau lamellaire multicouche ... 127 IV.3.2

Réflectivité du réseau lamellaire multicouche en géométrie conique et classique ... 129

IV.3.3 Polarisation de la lumière diffractée ... 130

IV.3.4 Phase du réseau des ordres diffractés ... 131

IV.3.5 IV.4. Etude d’un réseau multicouches à profil pseudo-triangulaire ... 132

Description du réseau multicouche à profil pseudo-triangulaire ... 132

IV.4.1 Efficacité de diffraction ... 133

IV.4.2 Polarisation de la lumière diffractée ... 133

IV.4.3 Phase des ordres diffractés ... 134

IV.4.4 IV.5. Conclusion ... 134

Appendices ... 135

A.IV.1 Loi de Bragg pour un miroir multicouche ... 135

A.IV.2 Loi de Bragg pour un réseau multicouche en géométrie oblique... 136

A.IV.3 Calcul de la réflectivité d’un réseau blazé dans l’approximation cinématique ... 137

Chapitre V. Etude expérimentale de la diffraction par un réseau blazé 141 V.1 Introduction ... 141

V.2 Ligne de Métrologie du Synchrotron Soleil ... 142

V.2.1 La branche X-mous ... 142

V.2.2 Pureté spectrale de la ligne de la Branche X-mous ... 143

V.2.3 Estimation de la contamination harmonique à 90 eV ... 147

V.3 Le Goniomètre 8 axes et son contrôle ... 149

V.3.1 Goniomètre: Description et fonctions nécessaires ... 149

V.3.2 Pilotage du goniomètre ... 150

V.4 Mesures et résultats expérimentaux ... 154

V.4.1 Echantillon ... 154

V.4.2 Principe de la mesure du réseau en diffraction conique ... 155

V.4.3 Mesures des intensités diffractées et traitement des données ... 157

V.4.4 Comparaison des résultats expérimentaux avec les simulations du code COROX ... 165

V.5 Conclusion ... 167

Annexe du chapitre V 167 A-V.1 Alignement du réseau : les mouvements nécessaires pour les mesures ... 167

Conclusion générale 173

Article Review of Scientific Instruments, 90, 021709(2019) 177

Liste des notations utilisées

ε

:permittivité diélectrique du milieu

0

ε

: permittivité diélectrique du vide

µ

: perméabilité magnétique

J

: densité de courant

ν

: Indice de réfraction du milieu (l’indice complexe est parfois noté ν= −1 δ +iβ à ne pas confondre avec les azimuts coniques et la composante verticale du vecteur d’onde)

:

d

période du réseau

:

ρ

densité de charges libres dans un matériau ou dans un plasma,

:

e charge élémentaire de l’électron, :

m masse d'un électron,

N

: ordre de la troncature des séries de Fourier dans les calculs

i

θ

: angle d’incidence rasante

n

θ

: angle d’émergence rasant de l’ordre de diffraction n

x : direction perpendiculaire aux traits dans le plan du réseau y :direction des traits du réseau

z :direction de la normale au réseau

n

ϕ : angle entre le plan d’émergence et la direction d’invariance du réseau.

i

ψ :angle entre le champ électrique de l’onde diffractée et le substrat

i

ϕ : angle entre le plan d’incidence et la direction d’invariance du réseau.

i

ψ : angle entre le champ électrique de l’onde incidente et le substrat

i

γ : en géométrie conique, angle entre le rayon incident et la direction des traits du réseau

i

δ : en géométrie conique, azimut conique, angle entre la normale au réseau et la projection du vecteur d’onde sur un plan (x,z) perpendiculaire aux traits

2

K d

π

= : vecteur d’onde du réseau

λ

: longueur d’onde dans le vide

ω: pulsation d’une onde électromagnétique

0 2

k

π

λ

= : module du vecteur d’onde dans le vide

0

α

: projection du vecteur d’onde incident selon l’axe x (perpendiculaire aux traits)

n

α

: projection du vecteur d’onde diffracte selon l’axe x

β : partie imaginaire de l’indice de réfraction 0

β

: projection du vecteur d’onde incident selon l’axe z

n

β

: projection du vecteur d’onde diffracte selon l’axe z

(

,

)

f x z : Un champ, qui peut être soit électrique, soit magnétique,

( )

ˆ

n

f z : décomposition d’un champ, électrique ou magnétique, en série de Fourier.

x

E

: projection selon l’axe x du champ électrique

E

y

E : projection selon l’axe y du champ électrique

E

z

E

: projection selon l’axe z du champ électrique

E

x

H

: _{projection selon l’axe x du champ magnétique} H

y

H : projection selon l’axe y du champ magnétique H

z

H

: projection selon l’axe z du champ magnétique H ˆ x E : transformée de Fourier de

E

_x ˆ y E : transformée de Fourier de E_y ˆ z E : transformée de Fourier de

E

_z ˆ x H : transformée de Fourier de

H

_x

ˆ y H : transformée de Fourier de H_y ˆ z H : transformée de Fourier de

H

_z TE

ψ _{: Matrice de passage de la représentation onde à la représentation champ en polarisation TE}

TM

ψ _{: Matrice de passage de la représentation onde à la représentation champ en polarisation TM}

[ ]

F _{: Vecteur regroupant les composantes de Fourier du champ électromagnétique}

[ ]

V _{: Vecteur regroupant les composantes d’ondes montantes et descendantes du champ}

électromagnétique

M : Matrice liant les composantes de Fourier des champs à leurs dérivées par rapport à z

TE

M _, TM

M _{: cas particuliers pour la polarisation TE et TM} E+ _{: Composantes montantes du champ électromagnétique}

E−

: Composantes descendantes du champ électromagnétique H+ _{: Composantes montantes du champ magnétique}

H− _{: Composantes descendantes du champ magnétique}

ξ: azimut de l’ellipse de polarisation

χ: ellipticitéde l’ellipse de polarisation

:

S _{vecteur de Stokes} J: vecteur de Jones M : matrice de Mueller G: matrice de Jones

C: matrice de cohérence de Wolf

,

s ob

D : dispersion en géométrie oblique

,

s cl

D : dispersion en géométrie classique

Symboles

nm

δ

: Symbole de Kronecker égale à 1 si n=m égale 0 si non

*

X : conjugaison complexe (ou matrice transconjuguée)

ˆX

: Le symbole ^ désigne le vecteur des composantes de Fourier de la grandeur physique X

( )

Re X : Partie réelle de variable complexeX .

( )

Im X : Partie imaginaire de variable complexeX .

⊗

: Le produit de convolution

. Cette notation désigne une matrice de Toeplitz

[ ]

. Cette notation désigne un vecteur ou une matrice

Abréviations

TE: Transverse électrique TM: Transverse magnétique

T C: Taux de cohérence TP: Taux de polarisation

T PC: Taux de polarisation circulaire

Introduction générale

1)

Contexte

Bien que son intérêt potentiel pour les courtes longueurs d’onde ait été signalé il y a plus de 40 ans [Werner 1981, Werner 1977], la géométrie de diffraction conique, aussi appelée géométrie hors-plan extrême (extreme off-plane geometry dans les publications en langue anglaise), est longtemps demeurée une simple curiosité pour les opticiens. Cette géométrie est caractérisée par le fait d’éclairer le réseau sous incidence rasante en orientant le réseau pour que le plan d’incidence, contrairement à l’usage habituel, soit parallèle aux traits du réseau. On conçoit que cette orientation minimise les effets d’écrantage par le relief de gravure, et autorise des rasances extrêmes favorables à une utilisation à très courte longueur d’onde.

Deux applications différentes ont plus récemment relancé l’intérêt pour ce type de montage. Dans le domaine de l’astronomie, un projet de télescope et de spectromètre pour les rayons X, nommé X-Constellation a été étudié notamment à l’université du Colorado [McEntaffer 2004]. Les énergies de photons étant dans ce cas de plusieurs keV, des rasances de quelques milliradians sont nécessaires ce qui pose un certain nombre de problèmes pratiques. Toutefois, des progrès notables ont été réalisés et le sujet reste ouvert et actif [MILES 2018]. La diffraction conique rasante est l’une des deux technologies de réseaux pour rayons X actuellement retenues par la NASA pour la future mission Lynx, un projet d’Observatoire en Rayon X qui devrait être mis en orbite en 2030. Cette mission emportera un spectrographe pour rayons X (XGS) [GASKIN 2019]. Le projet XGS devra avoir une surface de collection de 4000 cm2 _{et couvrira le domaine spectral 0,3 à 0,7keV avec un pouvoir de}

résolution λ 5000

λ

∆ = et contribuera à comprendre les mécanismes de formation galactique

[McENTAFFER 2019].

Egalement en 2004, Luca Poletto publie un article sur un monochromateur à compensation temporelle basé sur des réseaux en géométrie conique [Poletto 2004]. L’application visée est celle de l’utilisation de sources de lumière ultra brèves émettant dans l’UV extrême par l’interaction d’une impulsion laser infrarouge (IR) très brève et intense sur un gaz. Nous n’entrerons pas ici dans les détails de la physique de ces sources dite à génération d’harmoniques d’ordre élevé (HHG) [Burnett 1977]. Du point de vue de leur utilisation cependant, on peut simplement les caractériser comme émettant un spectre des raies harmoniques impaires de la fréquence du laser IR, en une impulsion très brève femto-seconde ou sub-femtoseconde. Selon le gaz, ce spectre s’étend plus ou moins largement dans le VUV et au-delà, soit au-dessus de 20 eV d’énergie de photon [Ferray1988]. [Lewenstein1995] [Weber2015]

La possibilité d’obtenir des impulsions ultra-brèves à de telles énergies de photon a ouvert des perspectives d’expériences totalement nouvelles pour comprendre la physique de l’interaction lumière matière, en physique atomique et physique du solide, hors des états d’équilibre. Toutefois l’exploitation expérimentale des sources HHG requiert de pouvoir isoler à la demande une largeur spectrale étroite, égale à une raie harmonique ou sensiblement plus étroite. Cette demande des

expérimentateurs a ainsi créé le besoin de construire an aval de sources HHG, une véritable ligne de lumière, similaire à celles existant sur les sources de rayonnement synchrotron, permettant projeter sur un échantillon en bout de ligne une image de la source filtrée en énergie.

L’élément fondamental d’une telle ligne est le monochromateur, qui à ces énergies est classiquement composé d’un système dispersif à réseau et d’une fente de sélection dont la largeur définit la bande spectrale transmise. La sélection d’une bande spectrale étroite impose nécessairement une durée temporelle minimum, puisque fréquence et temps sont des variables conjuguées.

2 1 F t c λ ω π λ ∆ ≈ = ∆ ∆

Cette limite physique est appelée limite de Fourier.

Cependant l’usage d’un réseau a nécessairement pour effet d’étirer temporellement l’impulsion lumineuse proportionnellement au nombre de périodes éclairées car, d’une période du réseau à une autre, le rayonnement est effectivement remis en phase mais au prix d’un allongement de la propagation égal à n longueurs d’onde, si n est l’ordre de diffraction utilisé. Dans l’ordre 1, l’allongement temporel est ainsi t N

c λ

∆ = ou N est le nombre de traits éclairés du réseau. Lorsque le système optique est limité par la diffraction, N est également le pouvoir de résolution spectrale du

monochromateur E N

E λ

λ = ≈

∆ ∆ . L’allongement temporel est ainsi proche de la limite de Fourier. Le dessin de la ligne résultera d’un compromis entre les besoins de résolution en énergie et en durée d’impulsion des expérimentateurs. Typiquement à une énergie de 30 eV (λ≈40 nm), une bande passante de 50 meV, demandée par certaines expériences de photoémission, correspondra à un étirement d’impulsion de 600 λ soit 80 fs, ce qui déjà largement supérieur à la durée de l’impulsion laser initiale. On voit donc qu’il convient d’éclairer un strict minimum de traits du réseau.

Or avec une divergence de quelques mrad, la dimension transverse du faisceau UV atteint rapidement quelques mm au niveau des optiques. Celles-ci pour conserver une réflectivité suffisante doivent travailler sous une incidence rasante de quelques degrés. Il en résulte un étalement du faisceau sur l’optique, dans la direction d’incidence, de plusieurs dizaines de mm. Ainsi, utiliser un réseau dans une géométrie classique, c'est-à-dire plan d’incidence perpendiculaires aux traits, conduirait soit à éclairer un nombre de traits N très supérieur au pouvoir résolvant cherché et à étirer considérablement l’impulsion, soit à employer un réseau de très faible densité de traits, de l’ordre de 10 traits par mm (t/mm). Cette dernière solution n’est pas applicable en pratique pour des raisons de de fabrication (qualité de la surface de base, production et qualité de la gravure).

Les concepts exprimés dans l’article de L. Poletto, apportent une double réponse à ces problèmes. D’une part en tournant l’orientation des traits du réseau de 90°, on n’éclaire plus qu’une hauteur de quelques mm du réseau, soit un gain d’un facteur 10 sur l’allongement de l’impulsion, on peut alors utiliser des réseaux dont la densité est voisine de 100 t/mm et qui présentent, ainsi que nous le verrons par la suite, une bonne efficacité de diffraction.

Cette disposition optique qui est représentée à la figure -1, présente un gain en elle-même et a été adoptée par plusieurs laboratoires HHG. C’est notamment le cas de la branche monochromatique de la ligne Artemis du Central Laser Facility (Rutherford Appleton Laboratory, UK) [Frassetto 2011]. Avec ce dispositif des mesures de Photémission Résolue Angulairement et Temporellement (TR-ATPES) ont pu être réalisées [Gierz 2015]. Des bandes passantes relativement larges ont été employées dans ces expériences pour préserver une durée d’impulsion très brève. Cette durée est de 14fs pour une

bande passante de 500 meV à 30eV avec un réseau de 300 t/mm ; elle descend à 8fs pour une bande-passante de 800mev avec un réseau de 60 t/mm.

Le concept exposé par L. Poletto dans l’article cité plus haut, va cependant plus loin en proposant un dispositif double, disperseur et compresseur, composé de deux systèmes optiques semblables. Le premier disperse la lumière dans le plan de la fente de sélection, le second compense l’étirement temporel généré par le premier réseau par une dispersion de signe inverse. On peut ainsi rester proche de la limite de Fourier imposée par la bande passante, quelque qu’elle soit, définie par la fente.

Figure -1 :Monochromateur EUV à faible dispersion pour source HHG. [Poletto 2004]. Ce monochromateur est constitué

d’un réseau en géométrie conique, fonctionnant en lumière parallèle entre deux miroirs focalisants stigmatiques.

Figure -2 : Monochromateur double à compensation temporelle. [Poletto 2004]. L’élongation de l’impulsion produite par la

dispersion par le premier réseau est compensée, grâce au deuxième réseau par une dispersion de signe inverse

Ce système a été mis en œuvre au Département de Physique du « Politecnico di Milano » [Poletto 2007, Poletto 2009]. Les mesures les plus récentes de la durée d’impulsion après sélection d’une harmonique unique avec ce dispositif ont donné des durées variables selon le rang de l’harmonique, mais pouvant descendre jusqu’à 5 fs [Lucchini 2018].

Le groupe Optique du synchrotron SOLEIL, au sein duquel j’ai pu effectuer les travaux relatés dans cette thèse, s’est intéressé aux problématiques de monochromatisation de pulses X et UV ultra-brefs à l’occasion d’un projet de recherche collaborative regroupant plusieurs laboratoires du Plateau de Saclay autour de cette thématique à l’intérieur du LIDEX OPT2X (Optimizing Optical pulses for XUV ultrafast science). Cette collaboration a permis diverses réalisations dont celle d’une ligne de lumière équipée de plusieurs dispositifs de sélection en énergie, pour exploiter la source HHG développée dans le cadre de l’Equipex Attolab (CEA, Orme des Merisiers) [Golinelli 2017] . Parmi ces dispositifs, un monochromateur à réseau en géométrie conique, semblable à celui décrit plus haut, est désormais

opérationnel [OPT2X 2016]. Il est prévu dans le futur d’y adjoindre également un étage de compensation temporelle.

2)

Objectifs et contenu de la thèse

Les travaux initiés par le LIDEX OPT2X visent à exploiter la source HHG FAB10 d’Attolab pour des expériences de physique de surface ou de physique atomique. D’abord, si un monochromateur à compensation temporelle doit être développé à Attolab, il conviendra de modéliser finement la variation spectrale de phase pour minimiser les distorsions temporelles de l’impulsion. Ensuite, les expérimentateurs ont besoin de bien connaitre l’état du faisceau arrivant sur leur échantillon, notamment ses propriétés de polarisation. Les expériences de photo-dissociation résolue dans le temps sont particulièrement exigeantes à cet égard[Veyrinas 2016][Poullain 2017], mais les outils de modélisation de la diffraction adaptés aux rayons X et aux incidences obliques sont difficilement disponibles. De même, par manque d’outil de modélisation, il n’existe pas à notre connaissance, d’étude portant sur des réseaux utilisés comme déphaseurs polarisants (lames λ/4 si possible), alors que de telles propriétés ont été observées sur des cristaux et des miroirs multicouches.

Il apparait indispensable à terme de disposer d’outils pour modéliser et étudier des structures de réseau plus complexes que celle d’un simple réseau métallique gravé, notamment de réseaux pourvus d’un revêtement multicouche périodique ou apériodique. Dans le domaine X cette approche multicouche s’est révélée fructueuse et a permis d’accroître considérablement vers les hautes énergies, jusqu’à quelques keV, le domaine spectral couvert par les monochromateurs à réseaux. [Polack2007] [Lagarde2012]. D’autres applications sont également prévisibles pour les énergies plus faibles, illumination structurée pour l’imagerie, diviseurs de faisceaux à répartition égale ou inégale. Ce composant élémentaire présent dans tous les montages optiques en lumière visible, est singulièrement absent du domaine X.

Toutes ces raisons sont suffisantes pour s’intéresser à la modélisation numérique de la diffraction par des réseaux aux longueurs d’ondes X-UV dans des géométries coniques ou quelconques jusqu’ici relativement peu étudiées. Parmi les méthodes possibles, nous avons opté pour la méthode différentielle. Nous en expliciterons les raisons dans le développement de cette thèse. La raison fondamentale est qu’elle s’applique particulièrement bien à des milieux diélectriques continus ou quasi continus. Or aux longueurs d’onde X et UV, qui correspondent à des fréquences bien au-dessus des fréquences de plasma des matériaux conducteur, les charges libres n’interagissent pas avec les champs. Au contraire les champs interagissent avec la polarisation dipolaire des matériaux, parfaitement représentée par la partie haute fréquence de la constante diélectrique.

La structure de cette thèse est la suivante. Dans le premier chapitre on repartira cependant de la méthode différentielle en géométrie classique (polarisation TE et TM), appliquée dans un premier temps à un réseau lamellaire (structure invariante selon deux dimensions). Dans un en second temps on l’appliquera à un réseau à profil quelconque (méthode RCWA– Rigourous Coupled Wave Analysis)..La méthode différentielle s’appuie sur la décomposition des champs en séries de Fourier de même période que le réseau. Ces séries doivent être tronquées et cette troncature est indispensable au traitement numérique. Toutefois la gestion de cette troncature a un très fort impact sur la convergence des algorithmes en polarisation TM. Cet effet est particulièrement notable pour les réseaux infiniment conducteurs, qui, nous l’avons dit sortent du champ de nos travaux. On reviendra cependant sur les solutions proposes par P.Lalanne [Lalanne and Morris,1996] et sur les règles mathématiques énoncées par L.Li [Li1996], que l’on doit prendre en compte pour calculer convenablement la convolution de

séries de Fourier tronquées. Par la suite on présentera des méthodes numériques permettant d’améliorer la vitesse de calcul. Une première méthode est celle de multiplication des matrices de transfert ; celle-ci pose toutefois certains problèmes de convergence qui apparaissent aux énergies élevées. Pour les éviter, nous utiliserons principalement la propagation de la matrice de réflectivité [Mirone1998], en géométrie classique comme d’ailleurs en géométrie conique.

Le second chapitre généralise les notions développées dans le premier chapitre pour des géométries obliques, pour lesquelles le vecteur d’onde incident n’est pas contenu dans le plan perpendiculaire aux traits du réseau. Ces géométries se caractérisent par un couplage entre les états de polarisation des différents ordres diffractés ce qui oblige à propager le champ vectoriel complet au travers de la structure diffractante, contrairement au cas classique, où les deux polarisations TE et TM peuvent être traitées indépendamment. Ce couplage introduit une complexité de calcul supplémentaire qui a une importante incidence sur le temps de calcul. Tous les résultats et toutes les contraintes, étudiés dans ces deux premiers chapitres, sont inclus dans un code numérique que nous avons développé en C++ en exploitant la bibliothèque d’algèbre linéaire Eigen distribuée par l’INRIA [EIGEN]. Ce code, que nous avons appelé COROX (COmputation of Reflectivity in Oblique X-ray geometry)offre la capacité de traiter des réseaux diélectriques minces ou épais. Il inclut les tables d’indice les plus généralement employées dans le domaine XUV, publiées avec le logiciel multicouches IMD [WINDT1998][IMD]. L’analyse de la polarisation de la lumière diffractée est traitée dans le chapitre trois. Dans un rappel sur les notions de base de polarisation de la lumière, nous passerons en revue les divers formalismes utilisés pour décrire les états de polarisation. Nous commencerons par le formalisme de Jones qui convient pour décrire une lumière totalement polarisée et peut suffire à représenter les propriétés d’un réseau en tant que composant optique. Toutefois les expérimentateurs sont plus habitués à utiliser le formalisme plus général de Stokes-Müller qui permet de décrire la polarisation d’une source de lumière totalement ou partiellement polarisée. Le formalisme de Stokes analyse la polarisation, en 4 termes d’intensités selon différentes orientations de polarisation. Ces intensités sont en principe des grandeurs physiquement mesurables, si du moins on dispose des polariseurs et analyseurs nécessaires. Notons que le dispositif expérimental de l’utilisateur joue, en quelque sorte, ce même rôle d’analyseur. Dans le formalisme de Stokes, l’effet d’un composant ou d’un système optique est décrit par une matrice, la matrice de Müller, qui lie le vecteur de Stokes de la polarisation incidente au vecteur de Stokes de la polarisation émergente. Cette matrice synthétise les propriétés de polarisation d’un réseau en tant que composant, mais dépend, en revanche, du repère dans lequel cette polarisation est analysée. Son choix porte une part d’arbitraire. Pour le calculateur, le repère naturel est celui lié au réseau ; pour l’opticien qui conçoit le monochromateur, un repère lié au plan de diffraction, et pour l’utilisateur un repère lié à l’échantillon. Le repère adopté ici tente de concilier les deux premiers critères ; il est basé sur l’axe des traits du réseau et la direction des vecteurs d’onde. C’est dans ce repère que sont exprimés tous nos résultats ultérieurs.

Nous avons regroupé dans le chapitre quatre une série d’études numériques effectuées sur différents type de réseaux de diffraction qui représentent des modèles de ceux utilisés en pratique. Les caractéristiques de diffraction de ces réseaux modèles en géométrie conique sont comparées à celles calculée dans la géométrie classique. Le premier modèle est celui du réseau lamellaire fabriqué dans un seul matériau qui constitue un objet de référence. Nous poursuivons par l’étude d’un réseau à profil triangulaire, ou réseau blazé, qui est le type de réseau le plus adapté aux monochromateurs pour impulsions brèves EUV présentés plus haut. Enfin nous revenons à un réseau lamellaire mais pourvu d’un revêtement multicouche. Ceci nous permet de valider le comportement de COROX dans un cas d’énergie sensiblement plus élevée, mais où les effets d’épaisseur sont très importants. Dans chaque

cas nous avons étudié et analysé, l’efficacité de diffraction dans les différents ordres, leur taux de polarisation et la phase spectrale de la lumière diffractée.

Le dernier chapitre est consacré à une étude expérimentale effectué sur un des réseaux destinés à la ligne FAB10 d’ATTOLAB. La topographie de ce réseau blazé en or de 150 t/mm a d’abord été mesurée par AFM, ce qui nous permet de modéliser, avec COROX, ses propriétés de diffraction. Les expériences ont été effectuées sur la ligne Métrologie du Synchrotron SOLEIL, avec un goniomètre nouvellement construit pour effectuer ce type de mesure. Après avoir décrit l’environnement expérimental : les propriétés de la ligne de lumière et du rayonnement qui y est disponibles et le fonctionnement de notre goniomètre, nous précisons le protocole employé pour mesurer l’efficacité des différents ordres de diffraction en fonction de l’énergie de photon et de l’angle d’incidence rasante. Les résultats sont analysés d’une part en fonction de l’angle de rasance pour une énergie fixe, d’autre part à rasance fixe, en fonction de l’énergie de photon. Les mesures expérimentales sont comparées aux simulations numériques et montrent un accord raisonnable pourvu qu’on prenne en considération la rugosité assez importante du réseau étudié.

En annexe de ce travail, nous avons joint le tiré à part d’un article consacré à notre code de calcul COROX et publié dans Review of Scientific Instruments en Janvier 2019.

Chapitre I: Méthode différentielle en

géométrie classique

Chapitre I: Méthode différentielle en géométrie classique ... 21 I.1 Introduction: ... 21 I.2 Equations de propagation des ondes électromagnétiques: ... 22 I.2.1 Les équations de Maxwell: ... 22 I.2.2 Propagation dans un milieu périodique ... 25 I.2.3 Les deux polarisations fondamentales de la géométrie classique ... 27 I.2.4 Solution de l’équation de propagation à l’extérieur de la structure en polarisation TE .... 28 I.2.5 Résolution à l’extérieur de la structure en polarisation TM ... 30 I.3 Propagation dans la structure en polarisation TE ... 31 I.3.1 Expression du champ à l’intérieur de la structure ... 31 I.3.2 Résolution de l’équation différentielle ... 33 I.4 Propagation dans la structure en polarisation TM ... 34 I.4.1 Expression du champ à l’intérieur de la structure ... 34 I.4.2 Expression de la propagation TM basée sur les règles de Li ... 36 I.4.3 Propagation TM tenant compte des règles de Li... 37 I.5 Efficacité de diffraction ... 39 I.5.1 Calcul des matrices réflectivité et transmission ... 40 I.5.2 Calcul de l’efficacité de diffraction en cas de polarisation TE ... 41 I.6 Mise en œuvre numérique du calcul de réflectivité ... 42 I.6.1 Validation des résultats numériques ... 42 I.6.2 Limitations de la méthode différentielle et solutions appliquées ... 44 I.6.3 Propagation de la matrice réflectivité ... 45 I.6.4 Multiplication de la matrice de transfert ... 47 I.6.5 Convergence en fonction de la profondeur ... 50 I.6.6 Extension aux profils quelconques (RCWA Rigorous Coupled Wave Analysis) ... 52 I.7 Conclusion ... 54 Notes ... 55 Note I.1 Fréquence de plasma ... 55 Note I.2 Explicitation du la transformée de Fourier du produit de convolution sous forme

matricielle ... 55 Note I.3 Règle de Laurent et règle de Li ... 57 Note I.4 Calcul de séries de Fourier de l’indice de réfraction : ... 57 Appendices ... 59

A-1. Intégration numérique ... 59 i. La méthode d’Euler: ... 59 ii. Méthode du trapèze (Crank-Nicolson) :... 60 iii. Méthode Runge-Kutta ... 60 iv. Choix du pas d’intégration ... 62 A-2. Equations de propagation pour un profil non lamellaire ... 64 i. Cordonnées locales du profil: ... 64 ii. Expression de

_{[ ]}

E

_z ... 66 iii. Expression de 2 x k E     ... 67

Chapitre I: Méthode différentielle en

géométrie classique

I.1 Introduction:

Le calcul de la lumière diffractée par un réseau optique, peut être effectué par différentes méthodes numériques, notamment la méthode différentielle[NEVIERE2002], la méthode de transformation des coordonnées ou encore la méthode intégrale [Elschner2003] qui est basée sur l’intégration des équations de Maxwell aux interfaces. Toutes ces méthodes sont basées sur une décomposition des champs en séries de Fourier. En effet, considérant une structure, périodique selon une direction x, éclairée par une onde plane, le champ diffracté doit nécessairement être quasi-périodique. Par quasi périodique nous entendons une dépendance en x de la forme exp[i(k0+nK)x] où K est le vecteur de

périodicité de la structure, k0 la projection du vecteur d’onde dans la direction x, et n un nombre entier.

La solution du problème s’exprime donc sous forme d’une somme d’ondes planes.

Le principe de calcul consistant à décomposer le champ électromagnétique en somme d’ondes planes et l’indice en séries de Fourier de même période que le réseau, a été introduit par Roger Petit [Petit1966] à la fin des années 1960 avec la méthode différentielle. La décomposition en onde planes, transforme les équations de Maxwell en un ensemble d’équations différentielles couplées. La décomposition exacte en onde planes faisant apparaitre une série illimitée de composantes de Fourier, il ne sera possible d’intégrer ces équations par des méthodes numériques, qu’à la condition de ne conserver qu’un nombre fini d’ordres dans le calcul. Moyennant quoi, des méthodes numériques ordinaires, comme la méthode de Runge-Kutta permettent de traiter le problème. Toutefois, la troncature des séries de Fourier qui est indispensable à un traitement numérique de problème, peut conduire à des instabilités numériques et le choix du nombre d’ordres conservés doit être effectué avec précaution.

Les méthodes citées plus hauts diffèrent quant à la manière de traiter les conditions aux limites, et notamment le passage discontinu d’un matériau à un autre. Ce point est particulièrement critique lorsque les matériaux sont conducteurs et que des charges libres sont susceptibles de se développer aux interfaces. Dans ce cas, la méthode intégrale apporte une solution rigoureuse, au prix d’une complexité accrue.

Dans le cas qui nous concerne, des très courtes longueurs d’onde VUV et X, nous pouvons remarquer que les fréquences sont largement supérieures aux fréquences de plasma des milieux traversés (Note I-1) et que, par conséquent tous les milieux ont un comportement diélectrique. Nous pourrons donc ignorer les courants de surface. De plus, quand les énergies deviennent grandes, la distance d’interdiffusion d’un matériau dans un autre dans le voisinage d’une interface se rapproche de la longueur d’onde ce qui atténue, voire supprime, la discontinuité d’indice. Il nous semble donc que la méthode différentielle ne présente pas, aux énergies de photons concernées par cette étude, les défauts qu’elle peut avoir pour les fréquences optiques et infra-rouges. Elle est en revanche, plus simple de mise en œuvre.

Nous verrons toutefois que certaines précautions doivent être prises dans l’utilisation de la méthode différentielle et l’implémentation des algorithmes de calcul pour éviter des problèmes de convergence

et de stabilité numérique. La première cause d’instabilité numérique est liée à l’atténuation rapide des amplitudes des champs en fonction de la profondeur à l’intérieur de la structure d’un réseau épais. Entre le substrat et la surface externe du réseau la différence d’intensité peut atteindre un nombre très élevé de puissances de 10. Il en résulterait de graves pertes de précision si le calcul de la réflectivité était simplement effectué à partir de la fonction de transfert entre substrat et surface. Nous verrons comment la propagation de la réflectivité, plutôt que celle de la fonction de transfert, permet de s’affranchir de cette difficulté. Une autre source d’instabilité numérique provient de la troncature de séries de Fourier lorsqu’on évalue la convolution de fonctions présentant des discontinuités aux mêmes points. Ce cas est intrinsèquement présent dans le calcul de propagation du champ électrique en propagation TM. Il nécessite l’application de règles de calcul précises qui ont été formalisées de façon complète en 1996 [Lalanne and.Morris 1996], [Li, 1996].

Dans ce chapitre on décrira la méthode différentielle en polarisation TE et TM. On analysera les problèmes de convergence liés à la troncature des séries de Fourier, et à la divergence des algorithmes lors de l’intégration des équations de propagation. On présentera les solutions qui sont adoptées pour les contourner, notamment l’approximation par une structure lamellaire. Nous terminerons ce chapitre en examinant l’extension de la méthode différentielle à des structures non lamellaires, délimitées par des interfaces quelconques avec la méthode RCWA (Rigorous Coupled-Wave Analysis).

I.2 Equations de propagation des ondes électromagnétiques:

I.2.1

Les équations de Maxwell:

La propagation de champs électromagnétique dans les milieux continus peut être exprimée à l’aide de quatre fonctionnelles vectorielles, dépendant des variables spatiales (x,y,z) et du temps t. Pour être concis on notera r = (x, y, z) la position spatiale. Ces quatre fonctionnelles sont :

1. le champ électrique E. 2. l’induction magnétique B. 3. le champ magnétique H. 4. le déplacement électrique D.

Ces fonctionnelles vectorielles sont reliées entre elles ainsi qu’aux densités de charge,

ρ

, et de courant, J, par les équations de Maxwell qui sont définies au sens des distributions [Walter2008] et s’écrivent: rot t ∂ = − ∂ B

E Maxwell Faraday (I-1)

rot t ∂ = + ∂ D H J

Maxwell Ampère (I-2)

0

div B= _{Maxwell conservation du flux (I-3)}

div D=

ρ

_{Maxwell Gauss (I-4)}

Dans le cas de milieux à réponse linéaire, le déplacement D et l’induction B s’expriment en fonction

( )

r

=

ε

( )

r

D

E

(I-5)

( )

r

=

µ

( )

r

B

H

(I-6) Avec

ε

ε

_{( )}

ε ε

₀

_{( )}

r

=

r

=

r

(I-7)

( )

0

( )

µ µ

=

r

=

µ µ

_r

r

(I-8)

a) Equations de Maxwell en régime harmonique dans un milieu diélectrique

Nous nous plaçons en régime harmonique de pulsation ω, et nous représentons la dépendance temporelle des champs en notation complexe, exp(-iωt). De plus dans tout ce qui suivra nous considérerons qu’il n’existe ni charge libre, ni courant dans les milieux de propagation et donc

ρ

=0

et J=0. Cette hypothèse est valide pour des milieux diélectriques, elle ne l’est pas pour des matériaux conducteurs aux fréquences de la lumière visible, inférieures à la fréquence de plasma (Note I-1) où des accumulations et des déplacements collectifs des électrons de conduction peuvent se produire. Lorsque la fréquence est largement supérieure à la fréquence de plasma et notamment aux courtes longueurs d’ondes du VUV et des rayons X, les électrons ne peuvent pas entrer en résonnance avec le champ excitateur, qui ne peut induire qu’une polarisation diélectrique. Nous nous placerons exclusivement dans ce cas. De plus nous considérons les milieux de propagation comme non magnétiques, donc

µ

_r =1. Cette approximation est généralement valide mais peut être mise en défaut sur certains matériaux et certaines énergies de photon, par exemple au voisinage des résonnances L ou M des métaux de transition. [ATTWOOD2007]

Compte tenu de ces hypothèses, les équations de Maxwell prennent la forme simplifiée suivante:

rot E=i

ωµ

H (I-9)

( )

rot

H

= −

i

ωε

r

E

(I-10) 0 div B= (I-11) 0 div D= (I-12)

Pour simplifier l’écriture de ces équations on pose :

ωµ

′ = H H (I-13) et 2 2 2 2 0 k =

ω εµ

=k

ν

(I-14)

La projection de ces équations sur les axes de cordonnées conduits à un ensemble de six équations différentielles couplées ' y z x E E iH y z ∂ ∂ − = ∂ ∂ (I-15) ' x z y E E iH z x ∂ ∂ − = ∂ ∂ (I-16)

' y x z E E iH x y ∂ ∂ − = ∂ ∂ (I-17) ' ' 2 y z x

H

H

ik E

y

z

∂

∂

−

= −

∂

∂

(I-18) ' ' 2 x z y

H

H

ik E

z

x

∂

∂

−

= −

∂

∂

(I-19) ' ' 2 y x z

H

_H

ik E

x

y

∂

∂

−

= −

∂

∂

(I-20)

b) Continuité des champs aux interfaces

Les équations de Maxwell ont également une forme intégrale qui peut être déduite de la forme différentielle donnée ci-dessus (équations (I-1) et suivantes) par application des théorèmes de Stokes-Kelvin et de Gauss-Ostrogradsky. La forme intégrale de l’équation de Maxwell-Faraday est la suivante: . C S S dl rot d d t ∂ = = − ∂

∫

E

∫∫

E S

∫∫

B S (I-21)

où S est une surface fermée et C le contour de cette surface

Appliquant cette relation à une surface infinitésimale coupant l’interface entre deux matériaux, comme indiqué sur la figureI.1, où n est la normale à l’interface et n.dx =0, et faisant tendre dz vers 0 on peut écrire, si E1 et E2 sont les valeurs du champ électrique de part et d’autre de l’interface :

(

1 1

)

lim

lim

0

_C

.

.

0

_S

0

dz

dl

dz

dz

t

d

∂

=

−

=

−

=

∂

→

∫

→

∫∫

B

E

E

E

S

Figure I.1 Contour d’intégration pour démonter la continuité des champs parallèles aux interfaces

Par suite il vient que

(

1 2

)

0

×

−

=

n

E

E

(I-22)

La relation de Maxwell-Ampère prenant une forme identique en l’absence de courants (J=0), on aura également dx dz n E₁ E₂

(

1 2

)

0

×

−

=

n

H

H

(I-23)

L’équation de Gauss _int

S

d Q

D S =

∫∫

où Qintest la densité des charges portée par l’élément de surface

dS, conduit à la continuité des composantes normale de déplacement électrique D

(

1 2

)

.

−

=

0

n D

D

(I-24)

L’équation de la conservation de flux 0

S

d B S =

∫∫

à la continuité des composantes normale de champ magnétique B

(

1 2

)

.

−

=

0

n B

B

(I-25)

En conséquence, à l’interface, les composantes tangentielles de E et H et les composantes normales de D et B sont continues

I.2.2

Propagation dans un milieu périodique

Nous considérons un milieu dans lequel la constante diélectrique est modulée. Si cette modulation est périodique, elle impose une pseudo-périodicité de même période aux ondes électromagnétiques qui se propagent dans le milieu. La modulation de la constante diélectrique est ainsi à l’origine des phénomènes optiques de diffraction et de diffusion. Dans ce mémoire, on s’intéresse la diffraction de la lumière par la structure uni-périodique d’un réseau optique Figure I.2

Figure I.2 : Schémas d’une structure de réseau dans une géométrie d’éclairement classique

Définition d’un réseau optique

Nous considérons un milieu dont les paramètres optiques sont distribués périodiquement avec une période d selon une direction x et sont invariants dans une direction y orthogonale à la direction x. Dans la direction z orthogonale au plan (x,y), paramètres du milieu dépendent de la position z dans un

intervalle [z0,z1], en dehors duquel ils restent constants et uniformes. Cette structure définit un réseau

optique. Le plan d’orientation (x,y) sera appelé plan du réseau. L’intervalle [z0,z1] à l’intérieur duquel

les paramètres optiques sont modulés sera appelé épaisseur du réseau. Les régions z <z0 et z >z1 ou les

paramètres optiques sont constants sont respectivement nommés substrat et superstrat.

Dans tout le mémoire on se référera au repère orthonormé (O,x,y,z) muni d’une base

(

e e e_x, ,_{y z}

)

orientée selon la définition précédente, avec (O,x,y) parallèle au plan du réseau.

Par suite de la définition ci-dessus l’indice de réfraction satisfait dans tout l’espace l’équation de Bloch[Eastham1973]

(

x z

,

)

(

x

d z

,

)

ν

=

ν

+

(I-26)

Dans un cas dit classique, le réseau est éclairé, à partir du superstrat, par une onde électromagnétique dont le plan d’incidence est (x,z) et le vecteur d’onde k₀ =k_0xe_x +k_0ze_z. Dans ces conditions les

champs électromagnétiques ne dépendent, dans tout l’espace que des cordonnées spatiales x et z. En raison de la périodicité du réseau les champs électrique, magnétique sont pseudopériodiques. Par conséquent, ils se décomposent en séries de Fourrier de même période que celle du réseau [NEVIERE2002]

(

,

)

ik0xx ˆ

( )

inKx ˆ

( )

ik xnx n n f x z e f z e f z e ∞ ∞ −∞ −∞ = =

∑

∑

(I-27) Avec k_nx =k_0x+nK (I-28)

Où

K

est le vecteur réciproque du réseau

2 K d

π

= (I-29) 0 x

k et knx sont les projections sur x du vecteur d’onde respectivement de l’ordre 0 et de l’ordre n du

spectre d’ondes planes propagées. Pour simplifier l’écriture on adoptera le plus souvent dans la suite la notation suivante

;

nx n nz n

k =

α

k =

β

(I-30)

Selon l’habitude de l’optique X et UV, on utilisera de préférence à l’angle d’incidence, l’angle de rasance, noté , que fait le vecteur d’onde k, avec le plan (O,x,y)

( )

0 0 2π cos θ λ x k =

α

= (I-31)

Si maintenant, le vecteur d’ondek₀ n’est pas perpendiculaire à e_y, sa composante k_{0 y}selon e_y, est identiquement conservée par toutes les ondes diffractées et par suite:

(

)

ˆ

( )

(( 0 ) 0 )

, ,

i kx nK x k yy n

f x y z

f

z e

+ − + ∞ ∞

=

∑

(I-32)

I.2.3

Les deux polarisations fondamentales de la géométrie classique

Dans le cas de la géométrie classique, les champs ont une expression indépendante de y et le problème dans son ensemble devient invariant selon la direction y. Toutes les dérivées partielles des champs E et

H’ par rapport y sont donc nulles

Les équations (I-15) à (I-20) conduisent donc à deux systèmes indépendants de trois équations :

Système 1 ' ' ' 2

'

y x y z x z y

E

iH

z

E

iH

x

H

H

ik E

z

x

∂

−

=

∂

∂

=

∂

∂

∂

−

= −

∂











∂









(I-33) Système 2 ' 2 ' 2 ' y x y z x z y H ik E z H ik E x E E iH z x ∂ = ∂ ∂ = − ∂ ∂     ∂ − = ∂ ∂      (I-34)

On voit aisément que chacun de ces deux systèmes peut se ramener à une équation différentielle du deuxième ordre d’une unique variable scalaire, E_y pour le système 1 et

H

'y pour le système 2. Ils

correspondent aux deux modes de polarisation, respectivement TE et TM.

Définition :

On dit que l’onde est de polarisation TE (transverse électrique) lorsque le champ électrique est perpendiculaire au plan d’incidence, donc parallèle aux traits du réseau en géométrie de diffraction classique. Lorsque le champ magnétique est perpendiculaire au plan d’incidence, donc parallèle aux traits du réseau en géométrie classique, on parle de polarisation TM (transverse magnétique) [NEVIERE2002].

Ces définitions de polarisation sont uniquement relatives aux champs incidents. Il est important de noter qu’en géométrie classique, si l’onde incidente est polarisée soit TE, soit TM, l’onde diffractée conserve la polarisation de l’onde incidente. En revanche dans le cas de la diffraction oblique dont on parlera plus tard, l’onde diffractée contient un mélange de TE et TM

En dérivant les deux premières équations du système 1 (I-33) et en les reportant dans la troisième, on obtient, pour la polarisation TE, l’équation de propagation de Helmoltz suivante:

2 2 2 2 2 2

0

0

y y y y y

E

E

k E

x

z

E

k E

∂

∂

+

+

=

∂

∂

∆

+

=

(I-35)

Le cas de la polarisation TM est un peu plus complexe car on est conduit à dériver ' 2

1

H

y

k

z

∂

∂

et ' 2

1

H

y

k

x

∂

∂

où k dépend des variables x et z. Le système 2 (I-34) se ramène à :

( )

' ' ' 2 2 ' ' 2

1

1

0

1

0

y y y y y

H

H

H

z k

z

x k

x

div

grad H

H

k



∂





∂



∂

∂

+

+

=

















∂

_

∂

_

∂

_

∂

_





+

=









(I-36)

I.2.4

Solution de l’équation de propagation à l’extérieur de la structure en polarisation

TE

a) Solution de l’équation de propagation TE

A l’extérieur de la structure le champ satisfait l’équation (I-33) et l’indice de réfraction est constant. Après décomposition en série de Fourier selon x, on obtient:

(

)

2 2 2 2 ˆ ˆ ₀ ny n ny d E k E dz + −

α

= (I-37)

Cette équation différentielle de la variable z admet une solution de la forme :

( )

ˆ

_{( )}

n n n i z i z ny n

E

z

=

A e

− −β

+

A e

+ β (I-38)

où on a posé comme noté plus haut 2 2 2

n k n

β

= −

α

. A_n− et A_n+ sont des constantes d’intégration Notons que

β

_n peut être imaginaire

2 2 2 2 2 2 2 2 = si = si n n n n n n k k i k k

β

α

α

β

α

α

− ≥ − < (I-39)

Le champ à l’extérieur de la zone modulée peut alors s’exprimer par :

(

,

)

(

i n(z z0) i n(z z0)

)

i nx y n n

E

x z

E e

−β −

E e

β

e

α ∞ − − − + ∞

=

∑

+

(I-40)

où E_n+ et E_n− représentent les amplitudes complexes dans un plan de référence z=z0, des ondes planes

respectivement progressives (propagation vers+e_z ) et rétrogrades (propagation vers−e_z) Cette équation peut aussi se mettre sous la forme:

(

,

)

n y y n i x

E

x

z

E

e

α ∞ −∞

=

∑

(I-41)

avec

_{( )}

i n(z z0) i n(z z0) ny n n

E

z

=

E e

− −β −

+

E e

+ β − (I-42) et

E

ny

( )

z

₀

E

n

E

n − +

=

+

(I-43)

D’après l’équation (I.36), la composante parallèle au plan du réseau du champ magnétique de l’onde plane associée à En est

(

)

(

( 0) ( 0)

)

'

_,

ny

( , )

i n z z i n z z i nx nx n n n n

dE

H

x z

i

z

E e

E e

e

d

x

z

β β α

β

β

∞ − − − − + −∞

=

=

∑

−

(I-44)

La composante parallèle du champ magnétique dans le même plan de référence z=z0, à l’extérieur de

la zone modulée s’écrit donc :

( )

0

'

nx n n n n

H

z

₌

β

E

−

₋

β

E

+ _(I-45)

b) Passage de la représentation champ à la représentation onde

On se place dans un plan de référence z=z0, et on simplifie la notation en omettant les références aux

directions de projection à z0. Les équations (I-43) et (I-45 ) deviennent

' n n n n n n n n n

E

E

E

dE

H

E

E

d

i

z

β

β

− + − +

=

+

=

−







=





(I-46)

On définit les vecteurs complexes de dimension 2N+1 suivants:

0 0 0 0

[ ]

; [ ]

; [

]

; [

]

N N N N N N N N

E

E

E

H

E

E

E

E

H

H

E

E

E

H

_E

_E

− − − − + − − + − + − +









′

















































′

′









=

=

=

_

_

=

_

_







































_′













_



_



_



_

⋮

⋮

⋮

⋮

⋮

⋮

_⋮

_⋮

(I-47)

Ces vecteurs contiennent l’expansion à l’ordre N des amplitudes des champs et ondes qui se propagent dans la structure.

On définit également le vecteur des champs

_{[ ]}

F

construit en 2 blocs à partir des vecteurs

[ ]

E

et [H ′]

[ ]

[ ]

E F H  _{ } =   ′     (I-48)

et le vecteur des ondes

_{[ ]}

V

construit à partir des vecteurs des ondes progressives et rétrogrades

[ ]

V

E

E

− +





_



_







=





_



_







(I-49)