Chapitre3: Les fractions rationnelles

(1)

UNIVERSIT ´E SIDI MOHAMED BEN ABDELLAH FACULT ´E DES SCIENCES Dhar El Mehraz

Cours d’alg `ebre 1

(2)

Chapitre 3

LES FRACTIONS RATIONNELLES

(3)

Les formes d’une fraction rationnelle

Les formes d’une fraction rationnelle

D ´efinitions

X On appelleforme d’une fraction rationnelletout quotient A_B, avec A ∈ K [X ] et B ∈ K [X ]?_;

A est appel ´ele num ´erateur

B est appel ´ele d ´enominateur

X La formeBA est diteirr ´eductiblesi A ∧ B = 1.

X On note K (X ) l’ensemble des fractions rationnelles `a coefficients dans K .

K (X ) = {A

B tq (A, B) ∈ K [X ] × K [X ]

?

}

(4)

Les formes d’une fraction rationnelle

Les formes d’une fraction rationnelle

Exemple

Soit F = _2X2X3_{−X −1}2−2 . Trouver une forme irr ´eductible de F .

On a 2X2− 2 = 2(X − 1)(X + 1) et 2X3− X − 1 = 2(X − 1)(X2+X +1 2) Donc F = X + 1 X2₊_{X +}1 2

Puisque −1 n’est pas une racine de X2₊_{X +}1

2 alors (X + 1) - (X2+X + 1 2)

Comme (X + 1) irr ´eductible alors

(X + 1) ∧ (X2+X +1 2) =1

(5)

Op ´eration sur K (X )

Op ´eration sur K (X )

D ´efinitions

Soient A, A0 dans K [X ] et B, B0 dans K [X ]?_{et P ∈ K [X ] :}

1 A B+ A0 B0 = AB0+BA0 BB0 . 2 A B. A0 B0 = AA0 BB0. 3 _PA B = PA B.

(6)

les p ˆoles des fractions rationnelles

les p ˆoles des fractions rationnelles

D ´efinition

Soient F une fraction rationnelle non nulle `a coefficients dans K et A_B une forme irr ´eductiblede F

1 _{Les racines de B dans K sont appel és aussi}_{les p ôles de F dans K}_. 2 _{On dit que a est un p ôle de F d’ordre n si a est une racine de B d’ordre}

de multiplicit ´e n. En particulier :

• On dit que a est un p ˆole simple de F si a est une racine simple de B.

• On dit que a est un p ˆole multiple de F si a est une racine multiple de B .

(7)

les p ˆoles des fractions rationnelles

Exemple

Soit F = _{(X −1)}(X −1)(X +1)(X −2)4_{(X +1)(X +2)(X}2₊₁₎2. Trouver les p ˆoles de F dans IR et dans IC.

On a F = (X − 1)(X + 1)(X − 2) (X − 1)4_{(X + 1)(X + 2)(X}2₊₁₎2 = X − 2 (X − 1)3_{(X + 2)(X}2₊₁₎2 puisque (X − 2) ∧ (X − 1)3_{(X + 2)(X}2₊₁₎2₌_{1 alors} X − 2

(X − 1)3_{(X + 2)(X}2₊₁₎2 est une forme irr ´eductible de F dans IR(X )

(8)

les p ˆoles des fractions rationnelles

Exemple (suite)

X − 2

(X − 1)3_{(X + 2)(X + i)}2_{(X − i)}2 est une forme irr ´eductible de F dans IC(X )

d’ou

? 1 est un p ˆole de F dans IC d’ordre 3.

? −2 est un p ˆole de F dans IC d’ordre 1.

(9)

Le degr ´e d’une fraction rationnelle

Le degr ´e d’une fraction rationnelle

d ´efinition

Soient F = A_B une fraction rationnelle à coefficients dans K . d0_{A − d}0_{B est appel é le degr é de F et on note d}0_{F = d}0_{A − d}0_B.

(10)

Le degr ´e d’une fraction rationnelle

Le degr ´e d’une fraction rationnelle

Propri ´et ´es

Soient F , G deux fractions rationnelles `a coefficients dans K .

1 _d0_{F ∈ ZZ ∪ {−∞}.} 2 _d0_{F = −∞ ⇔ F = 0.}

3 _d0_{(F + G) ≤ Max (d}0_{F , d}0_G)

Si d0_{F 6= d}0_{G alors d}0_{(F + G) = Max (d}0_{F , d}0_G).

(11)

Partie enti `ere et partie principale d’une fraction rationnelle

Partie enti `ere et partie principale d’une fraction

rationnelle

Th éor ème et D éfinition

Pour toute fraction rationnelle F ∈ K [X ] il existe d’une fac¸on unique un polyn ˆome E ∈ K [X ] et une fraction rationnelle G ∈ K (X ) tels que

F = E + G et d0G < 0

E est appel é la partie enti ère de F G est appel é la partie principale de F .

(12)

Partie enti `ere et partie principale d’une fraction rationnelle

Partie enti `ere et partie principale d’une fraction

rationnelle

Exemple

Soit F = 6X5+5X4−4X3_−5x2₋₂

2X3_+3X2₋₅

On effectue la division euclidienne de A = 6X5₊_5X4_{− 4X}3_{− 5X}2_{− 2 par}

B = 2X3₊_3X2_{− 5.} On trouve A = (3x2− 2X + 1)B + 7X2− 10X + 3 Donc F =(3x2−2X +1)B+7X_B 2−10X +3 =(3x2−2X +1)B_B +7X2−10X +3_B =3x2_{− 2X + 1 +}7X2−10X +3 2X3_+3X2₋₅

(13)

la d écomposition d’une fraction rationnelle en él éments simples

la d ´ecomposition d’une fraction rationnelle en

´el ´ements simples

Th ´eor `eme Soit F = A Pk1₁ Pk2₂ ...Pnkn ∈ K (X ) tels que 1 _{A ∈ K [X ]} 2 _P

1,P2, ...,Pndes polyn ômes irr éductibles de K [X ] non associes deux à

deux.

3 _k

(14)

la d ´ecomposition d’une fraction rationnelle en

´el ´ements simples

Th ´eor `eme (suite)

Il existe d’une fac¸on unique des polyn ˆomes :

E , A1,1,A1,2, ...,A1,k1,A2,1,A2,2, ...,A2,k2, ...,An,1,An,2, ...,An,kn `a coefficients

dans K tels que :

1 F = E +A1,1 P1 + A1,2 P2 1 +A1,3 P3 1 + ... + A1,k1 P₁k1 +A2,1 P2 + A2,2 P2 2 +A2,3 P3 2 ... + A2,k2 P₂k2 +A3,1 P3 + A3,2 P2 3 +A3,3 P3 3 ... + A3,k3 P2k3 +... +An,1 Pn + An,2 P2 n + An,3 P3 n ... + An,kn Pnkn

(15)

la d ´ecomposition d’une fraction rationnelle en

´el ´ements simples

Th ´eor `eme (suite)

F E est la partie enti `ere de F F E , A1,1 P1 , A1,2 P2 1 ,A1,3 P3 1 , ...,A1,k1 P1k1 , A2,1 P2 , A2,2 P2 2 ,A2,3 P3 2 , ...,A2,k2 P2k2 , A3,1 P3 , A3,2 P2 3 ,A3,3 P3 3 , ...,A3,k3 P2k3 , ...An,1 Pn , An,2 P2 n , An,3 P3 n , ..., An,kn Pknn

sont appel és les él éments simples de F dans K (X ).

F La fraction rationnelle Ai,1

Pi + Ai,2 P2 i +Ai,3 P3 i ... + Ai,ki

P_iki est appel ´e la

partie principale de F associ ´ee `a Pi

F En particulier :

X Si Pi =X − a alors la partie principale de F associ ´ee `a pi est

α1 (X −a)+ α2 (X −a)2 + α3 (X −a)3... + α_ki

(16)

Les m éthodes de d écomposition d’une fraction rationnelle en él éments

simples M ´ethode (a) :En utilisant la division suivant les puissances croissantes

M ´ethode (a) : En utilisant la division suivant les

puissances croissantes

M ´ethode (a) : En utilisant la division suivant les puissances croissantes

Soient F ∈ K (X ) et a un p ˆole de F d’ordre n. alors il existe A, B ∈ K [X ] tels que

F = _{(X −a)}A n_B

B(a) 6= 0

On fait un changement de variables en posant X − a = Y . Alors X = Y + a Donc

F = A(Y + a) Yn_{B(Y + a)}

alors [B(Y + a)](0) = B(a) 6= 0. On peut effectuer la division suivant les puissances croissantes du polyn ˆome A(Y + a) par B(Y + a) `al’ordre n − 1.

(17)

En utilisant la division suivant les puissances

croissantes

Exemple 1 (m ´ethode (a))

Soit F = _{(X −1)}7X2−22X +273_{(X −3)}2. Posons X − 1 = Y alors X = Y + 1. Alors :

F =7(Y +1)_Y32_{(Y +1−3)}−22(Y +1)+272

=7Y2−8Y +12

Y3_{(Y −2)}2

On effectue la division suivant les puissances croissantes du polyn ˆome 7Y2_{− 8Y + 12 par (Y − 2)}2₌_Y2_{− 4Y + 4 `a l’ordre 2}_{. Alors}

7Y2− 8Y + 12 = (2Y2₊_{Y + 3)(Y − 2)}2_{− Y}3_{(2Y − 7)}

(18)

En utilisant la division suivant les puissances

croissantes

Exemple 1 (m ´ethode (a)( suite))

Posons alors Z = Y − 2. alors Y = Z + 2 et Z = X − 1 − 2 = X − 3.

Donc F =_{X −1}2 +_{(X −1)}1 2 + 3 (X −1)3 − 2(Z +2)−7 Z2 =_{X −1}2 + 1 (X −1)2 + 3 (X −1)3 − 2 Z + 3 Z2 =_{X −1}2 +_{(X −1)}1 2 +_{(X −1)}3 3 −_{X −3}2 +_{(X −3)}3 2 D’ou F = _{X −1}2 + 1 (X −1)2 + 3 (X −1)3 − 2 X −3 + 3 (X −3)2 est la d ´ecomposition de F en

(19)

En utilisant la division suivant les puissances

croissantes

Exemple(2)(m ´ethode (a))

Soit F = _{(X −1)}2_(XX +72_{−2X +5)}2

Posons X − 1 = Y . Alors X = Y + 1 et X2_{− 2X + 5 = Y}2₊_{4. Donc}

F = Y + 1 + 7 Y2_(Y2₊₄₎2 =

Y + 8 Y2_(Y2₊₄₎2

On effectue la division suivant les puissances croissantes de Y + 8 par (Y2₊₄₎2₌_Y4₊_8Y2₊_{16 `a l’ordre 1. Alors} Y + 8 = 1 16(Y + 8)(Y 2₊₄₎2₋ 1 16Y 2_(Y3₊_8Y2₊_{8Y + 64)}

(20)

En utilisant la division suivant les puissances

croissantes

Exemple (2) (m ´ethode (a) (Suite))

On effectuela division euclidiennedu polyn ˆome Y3₊_8Y2₊_{8Y + 64 par}

Y2₊_{4. Alors :}

Y3+8Y2+8Y + 64 = (Y2+4)(Y + 8) + 4Y + 32

Donc F = _16Y1 +_2Y12 −

(Y +8)(Y2_{+4)+4Y +32}

16(Y2₊₄₎2

= _16Y1 +_2Y12 −_16(YY +82₊₄₎−_16(Y4Y +322₊₄₎2

= 1 16(X −1)+ 1 2(X −1)2 −_16(XX +72_{−2X +5)}−_4(X2_{−2X +5)}X +7 2 Ainsi : F = _{16(X −1)}1 + 1 2(X −1)2 − X +7 16(X2_{−2X +5)}− X +7 4(X2_{−2X +5)}2 est la d ´ecomposition

(21)

simples M ´ethode (b)

Les m ´ethodes de d ´ecomposition d’une fraction

rationnelle en ´el ´ements simples

M ´ethode (b)

Soit F ∈ K (X ). Pour d écomposer F en él éments simples on peut donner la forme de cette d écomposition et puis on peut remplacer les X de cette d écomposition par des valeurs convenables.

(22)

Les m ´ethodes de d ´ecomposition d’une fraction

rationnelle en ´el ´ements simples

Exemple (m ´ethode (b))

Soit F = _{(X −1)}7X2−22X +273_{(X −3)}2.

Puisque d0_{F = d}0_(7X2_{− 22X + 27) − d}0_{[(X − 1)}3_{(X − 3)}2_{] =}_{2 − 5 = −3 < 0}

alors la partie enti `ere de F est nulle.

Donc la d écomposition de F en él éments simples est de la forme :

F = a1 X − 1+ a2 (X − 1)2 + a3 (X − 1)3 + b1 X − 3+ b2 (X − 3)2 avec 1 _a 3= [(X − 1)3F ](1) =7X 2_{−22X +27} (X −3)2 =3 2 _b 2= [(X − 3)2F ](3) = 3

(23)

Les m ´ethodes de d ´ecomposition d’une fraction

rationnelle en ´el ´ements simples

Exemple (m ´ethode (b)(suite)) 1 _lim x →+∞(xF (x )) = limx →+∞x (7x 2_−22x+27) (x −1)3_{(x −3)}2 =0 2 _lim x →+∞(xF (x )) = limx →+∞(_{x −1}a1x +_{(x −1)}a2x2 + a3x (x −1)3 +_{x −3}b1x +_{(x −3)}b2x2)

donc a1+b1=0 et par suitea1= −b1 (1)

d’autre part, on a F (0) = −3 alors :

[ a1 X − 1 + a2 (X − 1)2+ a3 (X − 1)3 + b1 X − 3 + b2 (X − 3)2](0) = −3 ⇔ −a +a − a −b1+b2 = −3

(24)

Les m ´ethodes de d ´ecomposition d’une fraction

rationnelle en ´el ´ements simples

Exemple (m ´ethode (b)(suite))

de m ˆeme on a F (2) = 11 = [ a1 X − 1+ a2 (X − 1)2 + a3 (X − 1)3+ b1 X − 3+ b2 (X − 3)2](2) Donc 2a1+a2=5 (3)

Alors (2) et (3) implique que

a1=2

a2=1

(25)

simples M ´ethode (c)

Les m ´ethodes de d ´ecomposition d’une fraction

rationnelle en ´el ´ements simples

M ´ethode (c)

Soient F ∈ K (X ) et a un p ˆole de F avec

a1

X −a+ a2

(X −a)2 + .... +

an

(X −a)n est la partie principale de F associ ée à a • Si F est pairealors −a est un p ôle de F et la partie principale de F (X ) associ ée au p ôle −a est égale à

− a1 X + a+ a2 (X + a)2 − .... + (−1) n an (X + a)n

• Si F est impairealors −a est un p ôle de F et la partie principale de F (X ) associ ée au p ôle −a est égale à

(26)

Les m ´ethodes de d ´ecomposition d’une fraction

rationnelle en ´el ´ements simples

Exemple (m ´ethode (c))

Soit F = _(XX22₋₁₎+33.

Puisque d0_{F = −3 < 0 alors la partie enti `ere de F est nulle.}

F (−X ) = F donc F paire. D’autre part F =_{(X −1)}X23+3_{(X +1)}3

Puisque F est paire alors la d écomposition de F en él éments simples est de la forme F = a1 X − 1 + a2 (X − 1)2+ a3 (X − 1)3 − a1 X + 1+ a2 (X + 1)2− a3 (X + 1)3 alors : ?a3= [(X − 1)3F ](1) = 1₂

(27)

Les m ´ethodes de d ´ecomposition d’une fraction

rationnelle en ´el ´ements simples

Exemple (m ´ethode (c) (suite)) ?F (0) = −3donc [ a1 X − 1 + a2 (X − 1)2 + a3 (X − 1)3− a1 X + 1 + a2 (X + 1)2 − a3 (X + 1)3](0) = −3 ⇔ −a1+a2− a3− a1+a2− a3= −3 ⇔ −2a1+2a2− 2a3= −3 ⇔ a2=a1− 1 ?F (2) = 7 27 donc

(28)

Les m ´ethodes de d ´ecomposition d’une fraction

rationnelle en ´el ´ements simples

Exemple (m ´ethode (c) (suite))

⇔ a1+a2+a3− a1 3 + a2 9 − a3 27= 7 27 ⇔ 18a1+30a2+26a3=7

⇔ 18a1+30(a1− 1) + 26 1 2 =7 a1= 1 2 Ainsi a1=1₂, a2= −1₂ et a3=1₂ et F = _{2(X −1)}1 − 1 2(X −1)2 +_{2(X −1)}1 3 −_{2(X +1)}1 −_{2(X +1)}1 2 −_{2(X +1)}1 3 est la

(29)

simples M ´ethode (d )

Les m ´ethodes de d ´ecomposition d’une fraction

rationnelle en ´el ´ements simples

M ´ethode (d )

Soient F ∈ IR(X ) , P un polyn ˆome de degr ´e 2 et b1+a1X

P +

b2+a2X

P2 + ... +

bn+anX

Pn ,

o ù a1,b1, ...,an,bn∈ IR, est la partie principale de F associ ée à P.

• Si F est pairealors

b1−a1X +

P(−X ) + b2−a2X

P(−X )2+ ... +bn

−anX

P(−X )n est la partie principale de F associ ´ee `a P(−X ).

• Si F est impairealors

a1X −b1

P(−X ) + a2X −b2

P(−X )2 + ... +

anX −bn

(30)

Les m ´ethodes de d ´ecomposition d’une fraction

rationnelle en ´el ´ements simples

Exemple (m ´ethode (d ))

Soit F = _(X2_{−2X +5)(X}7X2+152_{+2X +5)}

• d0_{F = −2 < 0 donc la partie entiere de F est nulle.}

• F (−X ) = F donc F est paire.

• X2_{− 2X + 5 et X}2₊_{2X + 5 sont irr ´eductibles dans IR[X ]. Ainsi, puisque F}

est paire, la d écomposition de F en él ément simples est de la forme :

F = b + aX X2_{− 2X + 5}+

b − aX X2₊_{2X + 5}

(31)

Les m ´ethodes de d ´ecomposition d’une fraction

rationnelle en ´el ´ements simples

Exemple (m ´ethode (d ))

1 + 2i est une racine de X2_{− 2X + 5 dans I}_{C. Alors}

a(1 + 2i) + b = [(X2− 2X + 5)F ](1 + 2i) = 7X

2₊₁₅ X2₊_{2X + 5}(1 + 2i) ⇔ a + b + 2ai = −21 + 28i + 15 4(1 + 2i ⇔ a + b + 2ai =5 2 +2i 3

(32)

simples M ´ethode (e)

Les m ´ethodes de d ´ecomposition d’une fraction

rationnelle en ´el ´ements simples

M ´ethode (e)

SoientF ∈ IR(X )et a un p ˆole de F avec a1

X −a + a2

(X −a)2 + .... + _{(X −a)}an n est la

partie principale de F associ ´ee `a a. Alors

¯

a est un p ôle de F et la partie principale de F associ ée au p ôle ¯a est égale à :

¯ a1 X − ¯a+ ¯ a2 (X − ¯a)2 + .... + ¯ an (X − ¯a)n

(33)

Les m ´ethodes de d ´ecomposition d’une fraction

rationnelle en ´el ´ements simples

Exemple (M ´ethode (e))

Soit F = _{(X −2)}2_(X2_{−2X +2)(X}2X −1 2_{−2X +5)}

Puisque d0_{F < 0 alors la partie entier de F est nulle.}

Pour le polyn ˆome X2_{− 2X + 2 :}

∆0 =i2_{. Donc les racines du polyn ˆome X}2_{− 2X + 2 sont 1 + i et 1 − i.}

Alors X2_{− 2X + 2 = (X − 1 − i)(X − 1 + i)}

Pour le polyn ˆome X2− 2X + 5 :

∆0 = −4 = (2i)2. Donc les racines de X2− 2X + 5 sont 1 + 2i et 1 − 2i. Alors X2− 2X + 5 = (X − 1 − 2i)(X − 1 + 2i)

(34)

Les m ´ethodes de d ´ecomposition d’une fraction

rationnelle en ´el ´ements simples

Exemple (M ´ethode (e))(suite)

Puisque F ∈ IR[X ] alors la d écomposition de F en él éments simples dans I C(X ) est de la forme : a1 X − 2 + a2 (X − 2)2 + b X − 1 − i + ¯ b X − 1 + i + c X − 1 − 2i + ¯ c X − 1 + 2i •a2= [(X − 2)2F ](2) = _(X2_{−2X +2)(X}2X −12_{−2X +5)}(2) = ₁₀3. •Posons G = F − 103 (X −2)2. Alors a1= [(X − 2)G](2) = ₃₀₀11

•b = [(X − 1 − i)F ](1 + i) =_{(X −2)}2_{(X −1+i)(X −1−2i)(X −1+2i)}2X −1 (1 + i) = 1+2i₁₂ •c = [(X − 1 − 2i)F ](1 + 2i) =_{(X −2)}2_{(X −1−i)(X −1+i)(X −1+2i)}2X −1 (1 + 2i) = 8−19i₃₀₀