Exercices de mécanique 6 Champs de forces. Plan incliné
Exercice 1
On considère une particule qui se déplace dans un champ de force :
1x
3 2
1yF xay y x
1) calculer le travail reçu par la particule, en fonction de a :
a. si elle se déplace en ligne droite du point O (0, 0) au point A (2, 4).
b. si elle se déplace de O en A suivant le trajet OA’A (A’ étant la projection de A sur Ox)
c. si elle se déplace de O en A suivant OA’’A (A’’ étant la projection de A sur Oy)
Conclusions ?
2) Calculer en fonction de a le travail reçu par la particule qui effectue un tour le long d’un cercle de rayon 2 centré sur O (dans le sens trigonométrique)
3) Pour quelle valeur de a le champ de forces dérive-t-il d’un potentiel V.
Déterminer V (x, y) (Méthode devinette). Conclusions ?
Rappel : Un E en sous ensemble de R3. Un champ vectoriel défini sur R3 est une fonction F qui fait correspondre à chaque point (x, y, z) de E un vecteur de dimension trois F x y z
, ,
Si f est une fonction scalaire de trois variables, son gradient est un champ vectoriel défini sur R3 par :
, ,
x'
, ,
1x y'
, ,
1y z'
, ,
1zf x y z f x y z f x y z f x y z
Un champ vectoriel est dit champ vectoriel conservatif s’il est le gradient d’une certaine fonction scalaire, c’est-à-dire s’il existe une fonction f telle que F f . Dans cette situation, f est appelée fonction potentiel F
Dans ce cas, on montre que l’intégrale .
C
F d r
selon le chemin C est indépendante du chemin et ne dépend que des extrémités A et B du chemin et on a :
C
F d rV B V A
La différence V B
V A
est la différence de potentiel entre A et B.Le moyen le plus simple de vérifier qu’un champ vectoriel est conservatif est de
Le travail de la force F le long du chemin C est l’intégrale curviligne :
'
.
B
C A C
F d r F r t r t dt F Tds
où T est le vecteur unitaire tangent et s l’abscisse curviligne.
Solution
1-Travail reçu par la particule.
a- Déplacement en ligne droite OA.
PREMIERE METHODE
La particule se déplace sur la droite OA d’équation y2x.
Le travail élémentaire de la force
, 3 2
F xay y x est
. . 3 2 .
or 2 2
2 . 6 2 .2
9 2
dW F d r x ay dx y x dy
y x dy dx
dW x ax dx x x dx
a dx
Par conséquent : 02
2 20
9 2 9 2 18 4
2
x
OA x
W a x dx a x a
DEUXIEME METHODE
On utilise les équations paramétriques. Cette méthode est souvent plus simple et plus rapide.
Il est utile de connaître l’expression qui permet d’obtenir simplement l’équation vectorielle en fonction du paramètre t d’un segment de droite AB.
1 1
0 0
2 1 1
0
0
1
Ici : 1 0, 0 2, 4 2 , 4
2 et 4 et aussi ' 2, 4
2 4 1 12 4 1 2 1 2 1 8 1
. ' 4 1 2 32
36 8 36 8 18 4
2
A B
x y x y
t t
OA t t
t t
r t t r t r
r t t t t t
x t y t r t
F r t t at t t t a t
W F r t r t dt t a t dt
a t dt a t a
A (2, 4)
A' (2, 0) A'' (0, 4)
O
x y
b- déplacement OA’A
On décompose le déplacement selon OA’ et A’A Le long de OA’ : y 0 dy0
2 2 2
' ' 0
0
. . 3 2 .
2 2
x
OA OA x
dW F d r x ay dx y x dy
dW x dx W x dx x
Le long de A’A : x2 dx0
2 4 4
' ' 0
0
. . 3 2 .
3 4 3 4 3 4 8
2
y
A A A A y
dW F d r x ay dx y x dy
dW y dy W y dy y y
Le long de OA'A : WOA A' WOA'WA A' 2 8 10 J c- déplacement OA’’A
Même raisonnement :
On décompose le déplacement selon OA’’ et A’’A Le long de OA’’ : x 0 dx0
2 4 4
'' '' 0
0
. . 3 2 .
3 3 3 24
2
y
OA OA y
dW F d r x ay dx y x dy
dW y dy W y dy y
Le long de A’’A : y4 dy0
2
2 2'' ' 0
0
. . 3 2 .
4 4 4 2 8
2
x
A A A A x
dW F d r x ay dx y x dy
dW x a dx W x a dx x ax a
Le long de OA'’A : WOA A'' WOA''WA A'' 24 2 8 a26 8 a J
CONCLUSION : Le travail reçu dépend du chemin parcouru, par conséquent le champ de force n’est pas conservatif.
Note : il était facile de déterminer que le champ n’est pas conservatif.
En effet :
Le champ est : , 1 , 1 .1 3 2 .1
Il suffit de calculer
, ,
et 2
Par conséquent, si 2 le champ n'est pas conservatif
x y x y
F P x y Q x y x ay y x
P x y Q x y
y a x
a
2- Travail reçu par la particule (trajectoire circulaire).
La trajectoire x2y2 22est définie par les équations paramétriques
2cos et 2sin
x t y t. Et donc les déplacements élémentaires sont
2sin et 2cos
dx t dt y t dt
Dés lors, on a la force qui agit sur la particule est :
.1x
3 2
.1y 2 cos
sin
1x 2 3sin
2 cos
1yF xay y x ta t t t
Et le travail est :
2 0
2 2 2 2 2
0 0 0
4 sin cos sin 3sin 2 cos cos
4 sin 8 cos sin cos
4 2
x y
cercle cercle cercle
W F d r F dx F dy
a t t t t t t dt
a t dt dt t t dt
a
3- Potentiel
Le champ dérive d’un potentiel si , par définition, F V.
On vérifie facilement que le champ est conservatif (donc dérive d’un potentiel) si rotF F 0
Par conséquent :
2
2
2 2
2 1
3 2 2
De 1 2 2 ' 3
2
En comparant 2 et 3 , ' 3 3
2
Conclusion : 2 3 .
2 2
V x y
x
V y x
y
x V
V xy g y x g y
y
g y y g y y
x y
V xy cste
Exercice 2
Une particule se déplace dans le champ de forces
2
25 1 1 2 1
6 x y z
F y z x z x suivant la trajectoire :
2
3 2
2 x t y t z t
1)
a. Calculer la puissance reçue par la particule à l’instant t.
b. Quelle est la position de la particule lorsque cette puissance est minimale.
2)
a. Que vaut le travail fourni par le champ de forces entre t = 0 et t = 2 s ? b. Que vaut le travail si la particule est astreinte à se déplacer en ligne
droite de sa position à l’instant t1= 0 à sa position à l’instant t2 = 2s Conclusions ?
Solution 1)
a) Puissance reçue
2
2
2 2 2 2
Par défintion :
. ' ' '
En fonction de t, cela donne :
25 . 3 4 2 1
6
Or 3 2 2
25 8 8 2 11 8 19 19 8 (Watts)
x y z
F v F x F y F z
y z x t z x
x t y t z t
t t t t t t t
P =
P =
P =
b) Puissance minimale
2
2
La puissance est minimale si 0
19 19 8 1
38 19 0
2 ce qui correspond au point :
3
3 1 3
2 , ,
x
t t
t t s
x
x t
y t
P
2)
a) Travail fourni
2 1
2 2
Par définition : t 0 19 19 8 28, 7 J
t
dW W dt t t dt
dt
P = P
b) Déplacement en ligne droite
1 2
1 2
En 0, la paticule se trouve A : 0, 0, 2 En 2, la paticule se trouve A : 6,8, 0
définit la droite d'équation :
1 0, 0, 2 6,8, 0 6 ,8 , 2 2
Le travail reçu entre 0 ou 0 et 2 ou =1 est :
x y z
t t A A a
t t
W f dx f dy f
=1
=0
2 2
=1 2
=0
Avec :
25 100
4 2 2 8 22 8
6 3
6 8 2
16 124 67,3 J
x y z
dz
f y f z x f z x
dx d dy d dz d
W d
Par conséquent, le champ n’est pas conservatif, puisque le travail fourni dépend du chemin.
Exercice 3
Une caisse de 12 kg est lâchée du sommet d’un plan incliné de 5 m de long qui fait un angle de 40° avec l’horizontale. Une force de frottement de 60 N s’oppose au
mouvement.
1) Quelle est l’accélération de la caisse ?
2) Après combien de temps arrive-t-elle à la base du plan incliné ? 3) Que vaut le coefficient de frottement ?
Solution
5 m
40°
mg ur N uur
60 N
x
Prenons l'axe des x parallèle au plan incliné.
On a trois forces
1) La force de frottement de 60 N
2) La force de liaison qui est perpendiculaire au plan incliné.
3) Le poids de la caisse = Selon
N mg
2
2
0 0 0 0
l'axe x, on a :
sin 40 1, 31
Le temps pour atteindre le bas du plan incliné est
1 avec 0 et 0
2 2, 76
Pour obtenir le coefficient de frottement, on considére l'axe
x x fr x x
x
F ma mg f ma a m s
x a t v t x v x
t s
y
cos 40 0 90 N
y y
F ma Nmg N
