Stability and Synchronization in Neural Fields

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Stability and Synchronization in Neural Fields

Olivier Faugeras, François Grimbert, Jean-Jacques Slotine

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Olivier Faugeras, François Grimbert, Jean-Jacques Slotine. Stability and Synchronization in Neural Fields. [Research Report] RR-6212, INRIA. 2007, pp.46. �inria-00153052v2�

(2)

a p p o r t

d e r e c h e r c h e

ISRNINRIA/RR--6212--FR+ENG

Thème BIO

INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE ET EN AUTOMATIQUE

Stability and Synchronization in Neural Fields

Olivier Faugeras — François Grimbert — Jean-Jacques Slotine

N° 6212

Juin 2007

(3)

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S⁰_im = sup_xS⁰_i(x) DSm = maxiS⁰_im^& ^' ^? ^+* ^##-,(#

DSm

+ 1# 2 0/.

diag(S_im⁰ )^&

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P SPij(t−s)^{n7g\^,w} ^y ^qG\i

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q w\s jlorqG

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Z

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Vi(t) =X

j

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j

Z t t0

P SPij(t−s)Sj(Vj(s))ds,

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νi(t) =Si



X

j

Z t t0

P SPij(t−s)νj(s)ds



 ^¸kJ¹

(9)

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i M|p^ ^,\|MqG)ib^¡h^ y sE¡ >y o npsr^iorMq y |\^ y jlq ,qtwphj·q y' | > j jlorqtU¢sr^ >y \or\u\¢

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P SPij(t) =wijP SPi(t).

i^{¥+Zp^} ^y ^{^} i+o¨j+or\Z\onpojli&oj&¥+Z\^,

wij <0^¤

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P SPi(t) =kie⁻^t/τⁱY(t) ^{¸¥+Z\^} ^y ^{^} Y ^{ori´jlZp^} ^½ ^{^} ¡Voribor|\^m|\oikj y onpwQª jlorqG@¹¢\q y ^Jv7w\o¨¡ s^,hjls¨gjlZ j

τidP SPi(t)

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¥¦^^\|w ¥+o¨jlZ.jlZp^´qtsrsrq,¥+or\u®ikgVikjl^,] qGq y |po >y g.|\o=^ y ^,hjlo sX^,v7w jloqG\i

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dt +Vi(t) τi

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X

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,w yby ^7j

Iext(t)jlqm]mq7|p^sHjlZ\^´\qGQª¬srqV sU,qtp\^jloqG\i+qG q wps jlorqt

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S^¢ Rⁿ→Rⁿ

ibwpZjlZ j

S(x)oriNjlZp^+¡h^jlq y qGUqVq y |\or jl^i

Si(xi)^¤ ^/ ^{^} ^y ^{^¥} ^y ^{ojl^¸} ^, ¹Eor¡h^jlq y ·q y ] \|qtn\j or

jlZp^qGssrqJ¥+opumikgQikjl^] qt

n^q ^y ^|\or ^>y ^{g.|\o=^} ^y ^{^,hjlo} ^{sU^,v7w} ^jlorqG\i

V˙ =−LV+WS(V) +Iext, ^¸47¹

¥+Zp^ y ^

L ori&jlZ\^´|\o uGqt sX] j y o

L= diag(1/τi)^¤

À t ÁHÂ À Å Ä Å À #

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,^srs4¢\jlZ j&ori

P SPij(t) =wijP SPj(t).

¼{i n=qJ¡G^¯¥¦^¯ibw p qGib^jlZ j

P SPi(t) ⁱ jlorikp^i.jlZ\^¯|\o=^ y ^,hjlo s^,v7w jlorqG ¸¬h¹ p| |\^\^jlZ\^

Aj(t) = Z t

t0

P SPj(t−s)νj(s)ds.