PC 1 / 4

(1)

X Maths PC 2011 — Énoncé 1/4

ÉCOLE POLYTECHNIQUE – ÉCOLES NORMALES SUPÉRIEURES ÉCOLE SUPÉRIEURE DE PHYSIQUE ET DE CHIMIE INDUSTRIELLES

CONCOURS D’ADMISSION 2011 FILIÈREPC

COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES – (XEULC)

(Durée : 4 heures)

L’utilisation des calculatrices n’est pas autorisée pour cette épreuve.

⋆ ⋆ ⋆

Matrices infiniment divisibles

Notations :

On désigne parRle corps des nombres réels et parR₊l’ensemble des réels positifs ou nuls.

Soit nun entier > 1. On désigne parMn(R)l’espace vectoriel réel des matrices carrées à n lignes etncolonnes. SiM∈ M_n(R),on notedet(M)son déterminant. On désigne parSM_n(R) le sous-espace vectoriel deMn(R) des matrices symétriques. On noteI_n ∈ Mn(R)la matrice identité. On identifieRⁿet l’espace des matrices ànlignes et1colonne.

Première partie : la fonctionΓ

1a.Montrer que pour réels > 0,la fonctionx7→e^−xx^s−¹ est intégrable sur[ 0,+∞[. On pose alors Γ(s) =

Z+∞ 0

e^−xx^s−¹dx.

1b.CalculerΓ(m)pourmentier strictement positif.

1c.Montrer queΓest continue sur]0,+∞[.

2a.Montrer que pour tout entier strictement positifmet pourx∈[ 0, m], Å

1− x m

ã_m 6e^−x. Montrer que lim

m→+∞

Å 1− x

m ãm

=e^−x.

2b.Montrer que Z_m

0

(1− x

m)^mx^s−¹dx= m!m^s

s(s+ 1)· · ·(s+m), pour tout réels >0et pour tout entierm. (On pourra procéder par intégrations par parties successives).

2c.Montrer que pour tout réels >0,Γ(s) = lim

m→+∞

m!m^s s(s+ 1)· · ·(s+m).

Téléchargé gratuitement surwww.Doc-Solus.fr.

(2)

Deuxième partie : matrices positives et produit de Hadamard

SoitA= (aij)∈ Mn(R). On dit queAest positive siAest symétrique et

∀X=^t(x1,· · ·, xn)∈Rⁿ, hX, AXi=^tXAX= ^X

16i,j6n

aijxixj>0

oùh., .idésigne le produit scalaire euclidien standard surRⁿ. 3.SoitA=

Ça b b d å

∈ SM2(R). Montrer queAest positive si et seulement sia>0, d>0, det(A)>0.

4.SoitA= (aij)∈ SMn(R). Montrer queAest positive si et seulement si ses valeurs propres sont des réels positifs ou nuls.

5.Soit A = (aij) ∈ SMn(R) une matrice positive, et λ1,· · ·, λ_n des réels. Montrer que, posantbij=λiλjaij,la matriceB= (bij)est positive.

6. Soit H un espace vectoriel préhilbertien réel, pour lequel le produit scalaire de deux élémentsx, y∈ Hest notéhx, yi. Soientu1,· · ·, u_n∈ H. On posea_ij=hui, u_ji. Montrer que la matriceA= (a_ij)est positive.

SoientA= (aij), B= (bij)∈ Mn(R). Leur produit de Hadamard est la matriceC = (cij)∈ Mn(R)donné par :c_ij=a_ijb_ij. On désignera cette opération par le signe∗:C=A∗B.

7.Montrer que siA∈ SMn(R)est une matrice positive et siBest une matrice diagonale à coefficients diagonaux positifs ou nuls, alorsA∗Best une matrice positive.

8a.Montrer que siA∈ SMn(R)est une matrice positive, elle peut s’écrire comme somme de matrices de la formeY^tY =^t(y1,· · ·, y_n)(y1,· · ·, y_n), oùY =^t(y1,· · ·, y_n)∈Rⁿ. On pourra commencer par le cas oùAest diagonale.

8b.Montrer que siA, B∈ SMn(R)sont des matrices positives, alorsA∗Best une matrice positive.

Troisième partie : matrices infiniment divisibles

On considère maintenant des matricesA= (aij)∈ SMn(R) dont les coefficients sont des réels positifs ou nuls. Il résulte de la question8b.que siAest positive, alors pour tout entier r >0,la matriceA^∗r= (a^r_ij)est positive. On dit qu’une matrice symétriqueAà coefficientsa_ij positifs ou nuls est infiniment divisible si pour toutréelr >0,la matrice(a^r_ij)est positive. On désignera encore, lorsquerest un réel strictement positif, parA^∗rla matrice(a^r_ij).

9a.SoitA∈ M2(R)une matrice symétrique positive à coefficients positifs ou nuls. Montrer qu’elle est infiniment divisible.

(3)

9b.SoitA=

Ö1 1 0 1 2 1 0 1 1

è

. Montrer queAest positive. Déterminer les valeurs der >0pour lesquellesA^∗rest positive.

10.Montrer que siA= (aij)est infiniment divisible et siλ1,· · ·, λ_nsont des réels strictement positifs, alors posantb_ij=λ_iλ_ja_ij,la matriceB= (bij)est infiniment divisible.

11.SoitAune matrice symétrique à coefficients positifs ou nuls. Montrer que si pour tout entierm>1, A^∗^m¹ est positive, alorsAest infiniment divisible.

12. Soient λ1, . . . , λ_n des réels strictement positifs. On forme la matrice C = (cij) avec c_ij= 1

λ_i+λ_j et on se propose de montrer qu’elle est infiniment divisible.

SoitHl’espace vectoriel des fonctions continues sur R₊ à valeurs réelles, dont le carré est intégrable. On munitH du produit scalaire : pourf, g ∈ H,hf, gi=

Z+∞ 0

f(t)g(t)dt. On pose, pour toutt>0, ui(t) =e^−λⁱ^t.

12a.Calculerhui, u_jiet en déduire queC est positive.

12b.Montrer que pourr >0etα >0, 1 α^r = 1

Γ(r) Z+∞

0

e^−tαt^r−¹dt.

12c. Soit, pour r > 0,Hr l’ensemble des fonctions continues u sur R₊ à valeurs réelles telles que la fonctiont7→u(t)²t^r−¹est intégrable surR₊. On admet que c’est un espace vectoriel.

Montrer que si on pose, pouru, v∈ Hr,hu, vi= Z+∞

0

u(t)v(t)t^r−¹dt, on munitHrd’un produit scalaire.

12d.Montrer queC est infiniment divisible.

13. Soient λ1,· · ·, λn des réels strictement positifs. Pour 1 6 i, j 6 n on pose kij = Γ(λi+λj+ 1)

Γ(λi+ 1)Γ(λj+ 1). On se propose de montrer que la matrice K = (kij) est infiniment divisible.

13a.Montrer quekij= lim

m→+∞

1 m.m!

mY+1 p=1

(λi+p)(λj+p) (λi+λj+p) .

13b.Montrer que pour tout entierp>1, la matrice

Ç(λ_i+p)(λ_j+p) (λi+λ_j+p)

å

16i,j6n

est infiniment divisible. Conclure.

(4)

Quatrième partie : matrices conditionnellement positives

On dit qu’une matriceA= (aij)deMn(R)est conditionnellement positive si elle est symé- trique et si pour toutX=^t(x1,· · ·, x_n)∈Rⁿtel que ^Pⁿ

i=1

x_i= 0, on a

tXAX= ^X

16i,j6n

a_ijx_ix_j>0.

14.Soientλ1,· · ·, λ_ndes réels strictements positifs. Posonsa_ij=−ln(λi+λ_j).Montrer que A= (a_ij)est conditionnellement positive. (PourX =^t(x1,· · ·, x_n)∈Rⁿtel que ^Pⁿ

i=1

x_i= 0,on pourra introduire la fonction définie surR₊par :

f(r) = ^X

16i,j6n

x_ix_j Ç 1

λ_i+λ_j år

et utiliser les résultats de la question12.).

15. Notons J la matrice de Mn(R) dont tous les coefficients sont égaux à 1. Soit B ∈ SMn(R). Considérons les deux conditions suivantes :

(i)Best conditionnellement positive.

(ii)∀ε >0,∃λ >0tel que la matriceB+ε I_n+λJ est positive.

Montrer que(ii) implique(i).

On admettra dans la suite que ces deux conditions sont en fait équivalentes.

16a.On suppose queA= (a_ij)est infiniment divisible et que tous les coefficients deAsont strictement positifs. Montrer que la matrice(lna_ij)est conditionnellement positive.

16b.Réciproquement, supposons que la matriceB = (bij)est conditionnellement positive.

En considérant pour toutε >0une matriceC= (cij) =B+εI_n+λJ comme au15., montrer que pour toutr >0,la matrice(exp(rcij))est positive. En déduire que la matrice(exp(rbij)) est positive.

17a.Soientz1,· · ·, z_ndes nombres complexes. Montrer que la matrice(e^−|zⁱ^−z^j^|²)est infiniment divisible.

17b.Soientz1,· · ·, z_ndes nombres complexes. Montrer que pour toutt >0, la matrice de coefficients 1

t+|zi−zj|² est positive, puis que la matrice de coefficients− Z+∞

0

t⁻¹² |zi−zj|² t+|zi−zj|²dt est conditionnellement positive.

17c.Montrer que la matrice(e^−|zⁱ^−z^j^|)est infiniment divisible.

∗ ∗

∗