Licence Informatique 2 e année Informatique théorique II
Examen - 03/01/2006 - 2h00
Les notes de cours et de TD sont autorisées. Il sera tenu compte pour la notation de la qualité de rédaction, de la lisibilité des copies et éventuellement de la précision des références au cours.
1 Perdu en mer (5 points)
Le phare de la Teignouse émet un signal rouge avec une période de 4 secondes, celui du port de Saint-Gildas à Houat est vert de période 7 secondes, celui des Grands Cardinaux au large de Hoedic est blanc de période 15 secondes (Source : Almanach du marin breton).
Il est minuit pile. J’ai vu la Teignouse il y a 2 secondes, Houat il y a 3 secondes, les Cardinaux il y a 5 secondes. Combien de temps vais-je devoir attendre pour voir en même temps les trois feux?Les calculs sont à justifier par des résultats du cours.
2 Algèbre de Boole (4 points)
Montrer que pour tout triplet a,b,x d’éléments d’une algèbre de Boole, si b≤aalors(∃utel quex=a.u+b.¯u)⇒b≤x≤a.Les calculs doivent être justifiées par des propriétés des algèbres de Boole.
3 Décomposition en éléments simples (5 points)
Décomposer en éléments simples la fraction rationnelle (x−2)x23−7(x−1)2. Les méthodes utilisées pour les calculs doivent être explicitées.
4 Résolution de récurrence (6 points)
Soit la suite récurrenteun définie par 4un = 3un−2−un−3+1n sin≥3et u0= 0,u1= 1etu2= 1. Déterminer, par la méthode des séries génératrices, le termeunen fonction de n.Les méthodes utilisées pour les calculs doivent être explicitées.Rappel : (1−x)1i+1 = Σn≥0Cnn+ixn et (1−a.x)1 = Σn≥0an.xn
1
Perdu en mer
Le système de congruence est : – x≡2mod4
– x≡4mod7 – x≡10mod15
On ak1= 105,k2= 60 etk3= 28. En résolvant 105u+ 4v= 1, on obtient u= 1et v=−26doncx1= 105. En résolvant60u+ 7v = 1, on obtient u= 2 et v = −17 donc x2 = 120. En résolvant28u+ 15v = 1, on obtientu = 7et v=−13doncx3= 196. Doncx= 2x1+ 4x2+ 10x3= 2650. Les 3 feux seront visibles à minuit, 44 minutes et 10 secondes.
Algèbre de Boole
b.x=b.a.u+b.b.¯u=b.a.u+b.¯u=b.u+b.¯u=b.(u+u+ 1) =b a.x=a.a.u+a.b.¯u=a.u+b.¯u=x
Décomposition en éléments simples
Le résultat est −16x−2+(x−2)10 2 +(x−2)−33 +x−116 +(x−1)6 2
Résolution de récurrence
Le résultat est un = (−1)n.A− B
2n+1 + C
n n+1.C
2n+2 avec A = −213−ln(2)9 , B =
−A−7
2 etC= 282
2
