LYCEE CLASSIQUE D’EDEA 03.10.2017 EXAMEN SEQUENCE N° 1 Durée : 3h Classe :

Lycée Classique d’Edéa Devoir de Synthèse N° 1 du 03 /10/2017 Prof : TNAM@LCE 2017 -2018 Classe de C

EXERCICE 1 : 3,5 points

1. (a) Démontrer que , 0,5pt (b) Déterminer le reste de la division euclidienne de par 0,5pt 2. Montrer par congruence que est divisible par 0,75pt 3. Dans le système décimal, un nombre entier naturel s’écrit :

(a) Vérifier que 0,25pt (b) Déterminer tous les nombres entiers qui sont divisibles par 1,5pt EXERCICE 2 : 4,5 points

Soit un entier naturel. On pose

1. Calculer et 0,5pt 2. Démontrer que 0,5pt 3. Montrer que pour tout , l’écriture décimale de se termine par 0,75pt 4. Montrer par récurrence que : 1pt

5. Pour , on pose et

(a) Montrer que 0,5pt

(b) En déduire que divise 0,5pt (c) Montrer que si divise et , alors divise 0,5pt (d) Montrer que 0,25pt EXERCICE 3 : 4 points

1. Dans , on définit la loi de composition interne notée par :

On définit également par et

(a) Exprimer et en fonction de 0,75pt (b) Faire une conjecture sur l’expression de 0,5pt (c) A l’aide d’un raisonnement par récurrence, démontrer la conjecture de (b). 0,75pt

2. Résoudre dans le système . 1pt

3. Un phare d’un camion émet un signal jaune toutes les secondes et un signal rouge toutes les secondes. On aperçoit le signal jaune secondes après minuit et le signal rouge secondes après.

A quelle heure verra-t-on pour la première fois les deux signaux émis en même temps ? 1pt

MINESEC LYCEE CLASSIQUE D’EDEA

03.10.2017 EXAMEN SEQUENCE N° 1 Durée : 3h Classe :

C COEFF. 5 EPREUVE MATHEMATIQUES

,

  n ³

^{ 1 5 .}  

2018

5.

2 1 2

,3

2

n

   ^7.

00 . N  x y

 

10

  1 7 .

N 7.

n F

 2

 1.

0

,

,

F F F F

. ,

  n F

  F

 1 

 1.

1

n  F

7.

1

*

0

, 2 .

n

n k

k

n F F





    

1

k  F

 2

 1 a  2 .

2

1

1 .

k

n k n

F a

F a



  

 F

F

 2.

d F

F

^{d 2.}

1.

d 

*

, ,

 a b  a * b    a b ab .

 ⁿ

a a

 a ^{   n}   ^{0,1 , a}

^{ a}

_* ^{a .}

 ²  ³

,

a a a

a .

 ⁿ

. a

  ^{S :}  

 

2 15 8 28 x

x





15

28 2

8

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Lycée Classique d’Edéa Devoir de Synthèse N° 1 du 03 /10/2017 Prof : TNAM@LCE 2017 -2018 Classe de C

EXERCICE 4 : 4 points

Le plan complexe P est muni d’un repère orthonormé direct et sont des points d’affixes respectives et est l’application de P vers P qui, à tout point

associe tel que Pour tout entier naturel , on désigne par le point d’affixe On donne dans l’équation où

1. Pour quelles valeurs de les points appartiennent-ils à l’axe réel ? 0,5pt 2. Déterminer pour que les points appartiennent à la première bissectrice. 0,5pt 3. Déterminer l’ensemble des points invariants par 0,5pt 4. Donner une interprétation géométrique du module et d’un argument de . 0,5pt 5. Déterminer et construire dans le même repère :

(a) L’ensemble E des points d’affixe tels que : 0,5pt (b) L’ensemble F des points d’affixe tels que soit réelle. 0,5pt

6. Résoudre l’équation dans 1pt EXERCICE 5 : 4 points

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct Soit un point du plan d’affixe . On considère les points et du plan d’affixes respectives et On pose

1. Montrer que si les points et sont confondus, alors, il existe quatre positions

du point que l’on déterminera. 2pts 2. Ecrire le polynôme sous la forme de deux trinômes de second

degré à coefficients réels. 0,5pt 3. (a) En déduire que dans tout système de numération de base , le nombre

est multiple de 0,5pt (b) On suppose que Ecrire dans cette base le quotient de par 0,5pt 4. Déterminer la forme algébrique de 0,5pt

z

 ^{O u v , ,}  ^{. A B}

A

2

z  i z

 i . f ^   ^B

 

M z ^{M z ,}  ^,  ^{z i z 2 i .}

z i

 



, n M

 ³ 

^.

z

  i   ^{E : z}

^cos

^{  z sin 2    1 0}

 

n M

n M

.

f ,

z z

 1.

z , .

M z

M ,

  ^E .

 ^{O e e , ,}

 ^{. M}

z P Q , R z

, z

1.

     

 ^{, 4 , ,3 , ,1 .} 

G  bar P Q R

G O

M

  ⁴

³

¹

P z  z  z 

5

b  40301

211.

9.

b  40301 211.

2013 0

1 .

2 2

z      i   

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