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(1)

Diagonalisation des endomor-

phismes J.M. Morvan

Rappels sur les endomorphismes Rappels sur les polynômes

Racines d’un polynôme Polynômes scindés Polynômes de matrices

Diagonalisation d’un endomorphisme

Vecteurs propres, valeurs propres Polynôme caractéristique Le cas des matrices symétriques réelles Deux remarques pour conclure

Diagonalisation des endomorphismes

Jean-Marie Morvan

Université de Lyon

Février 2012

(2)

phismes J.M. Morvan

Vecteurs propres, valeurs propres Polynôme

Généralités

E désigne un espace vectoriel sur K = R ou C de dimension finie n,

(e₁, ...,e_k, ...,e_n)une base quelconque de E . Soit f : E → E un endomorphisme de E . Posons

f (e₁) = a₁₁e₁+a₂₁e₂+ ... +a_j1e_j+ ... +a_n1e_n, f (e₂) = a₁₂e₁+a₂₂e₂+ ... +a_j2e_j+ ... +a_n2en,

... ...

f (en) = a_1ne₁+a_2ne₂+ ... +a_jne_j+ ... +annen.

(3)

phismes J.M. Morvan

Généralités

(e₁, ...,e_k, ...,e_n)une base quelconque de E . Soit f : E → E un endomorphisme de E .

Posons

... ...

f (en) = a_1ne₁+a_2ne₂+ ... +a_jne_j+ ... +annen.

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phismes J.M. Morvan

Vecteurs propres, valeurs propres Polynôme caractéristique Le cas des matrices

Généralités

(e₁, ...,e_k, ...,e_n)une base quelconque de E . Soit f : E → E un endomorphisme de E . Posons

.. ..

(5)

phismes J.M. Morvan

Généralités

La représentation matricielle de f dans la base (e_i)1≤i≤nest la matrice

M(f )_(e_i₎_1≤i≤n =







a₁₁ a₁₂ ... a_1i ... a_1n a₂₁ a₂₂ ... a_2i ... a_2n ... ... ... ... ... ...

a_j1 a_j2 ... a_ji ... a_jn ... ... ... ... ... ...

a_n1 a_n2 ... a_ni ... a_nn







(6)

phismes J.M. Morvan

Généralités

Si (_j)1≤j≤n est une autre base de E ,

M(f )₍_j₎ =P⁻¹M(f )_(e_i₎P, (1)

où P est la matrice de passage de la base (e_i)_1≤i≤n dans la base (_j)1≤j≤n.

(7)

phismes J.M. Morvan

Généralités

Si (_j)1≤j≤n est une autre base de E ,

M(f )₍_j₎ =P⁻¹M(f )_(e_i₎P, (1) où P est la matrice de passage de la base (e_i)_1≤i≤n dans la base (_j)1≤j≤n.

(8)

phismes J.M. Morvan

Généralités

Plus précisément, si

₁ = p₁₁e₁+p₂₁e₂+ ... +p_n1en,

₂ = p₁₂e₁+p₂₂e₂+ ... +p_n2e_n, ... ...

_n = p_1ne₁+p_2ne₂+ ... +p_nne_n, alors

P =







p₁₁ p₁₂ ... p_1i ... p_1n p₂₁ p₂₂ ... p_2i ... p_2n ... ... ... ... ... ... p_j1 p_j2 ... p_ji ... p_jn ... ... ... ... ... ... p_n1 p_n2 ... p_ni ... pnn







(9)

phismes J.M. Morvan

Généralités

Plus précisément, si

₁ = p₁₁e₁+p₂₁e₂+ ... +p_n1en,

₂ = p₁₂e₁+p₂₂e₂+ ... +p_n2e_n, ... ...

_n = p_1ne₁+p_2ne₂+ ... +p_nne_n, alors

P =







p₁₁ p₁₂ ... p_1i ... p_1n p₂₁ p₂₂ ... p_2i ... p_2n ... ... ... ... ... ...

p_j1 p_j2 ... p_ji ... p_jn ... ... ... ... ... ...

p_n1 p_n2 ... p_ni ... pnn







(10)

phismes J.M. Morvan

Généralités

Notations -

• On note L(E ) l’espace des endomorphismes de E .

• On note M_n(K ) l’espace des matrices carrées d’ordre n, (c’est-à-dire à n lignes et n colonnes¹) à coefficients dans K .

• On note I_E l’application identique de E dans E , et Inla matrice identité, (dont les coefficients sont égaux à 1 sur la diagonale et à 0 partout ailleurs).

(11)

phismes J.M. Morvan

Généralités

Notations -

1. On dit aussi des matrices (n, n).

(12)

phismes J.M. Morvan

Généralités

Notations -

(13)

phismes J.M. Morvan

Généralités

Definition

Des matrices A et B de M_n(K ) sont dites semblables

s’il existe une matrice inversible P ∈ M_n(K ) telle que

B = P⁻¹AP.

(14)

phismes J.M. Morvan

Généralités

Definition

Des matrices A et B de M_n(K ) sont dites semblables s’il existe une matrice inversible P ∈ M_n(K ) telle que

B = P⁻¹AP.

(15)

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Polynômes

Soit P(X ) un polynôme de degré p à coefficients dans K . Soit a ∈ K .

• On dit que a est une racine de P si P(a) = 0. Dans ce cas, on pourra écrire

P(X ) = (X − a)P₁(X ), où P₁(X ) est un polynôme de degré p − 1.

• On dit que a est une racine d’ordre k (ou de multiplicité k ) de P si l’on peut écrire

P(X ) = (X − a)^kP_k(X ),

où P_k(X ) est un polynôme de degré (p − k ) qui n’admet pas a comme racine.

(16)

phismes J.M. Morvan

Polynômes

P(X ) = (X − a)^kP_k(X ),

(17)

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Polynômes

P(X ) = (X − a)^kP_k(X ),

(18)

phismes J.M. Morvan

Polynômes

Theorem

Soit P(X ) un polynôme de degré p à coefficients dans C.

Alors

• P(X ) a p racines (distinctes ou confondues) ;

• on peut écrire

P(X ) = a(X − a₁)^α¹...(X − a_k)^α^k...(X − a_q)^α^q, où a, a_k ∈ C, αk ∈ N, (1 ≤ k ≤ q), avec

α1+ ... + αk + ... + αq =p;

• en particulier, si P(X ) a p racines distinctes, alors P(X ) est le produit de p facteurs de degré 1 :

P(X ) = a(X − a₁)...(X − a_k)...(X − a_p).

(19)

phismes J.M. Morvan

Polynômes

Theorem

Alors

• on peut écrire

α1+ ... + αk + ... + αq =p;

P(X ) = a(X − a₁)...(X − a_k)...(X − a_p).

(20)

phismes J.M. Morvan

Polynômes

Theorem

Alors

• on peut écrire

P(X ) = a(X − a₁)...(X − a_k)...(X − a_p).

(21)

phismes J.M. Morvan

Polynômes

Theorem

Alors

• on peut écrire

α1+ ... + αk + ... + αq =p;

P(X ) = a(X − a₁)...(X − a_k)...(X − a_p).

(22)

phismes J.M. Morvan

Polynômes

Il est bien évident que ce résultat tombe en défaut si l’on considère des polynômes à coefficients dans R.

Par exemple, on peut écrire

X²+1 = (X − i)(X + i) en travaillant dans C,

mais on ne peut pas écrire X²+1 comme produit de deux polynômes de degré 1 à coefficients réels.

Le corps K dans lequel vivent les coefficients est donc crucial dans ce type de questions.

(23)

phismes J.M. Morvan

Polynômes

(24)

phismes J.M. Morvan

Polynômes

mais on ne peut pas écrire X²+1 comme produit de deux

(25)

phismes J.M. Morvan

Polynômes

(26)

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Polynômes scindés

Definition

Soit P(X ) un polynôme à coefficients dans K . On dit que P(X ) est scindé dans K si l’on peut écrire P(X ) sous la forme :

P(X ) = a(X − a₁)^α¹...(X − a_k)^α^k...(X − a_q)^α^q, où a, a_k ∈ K , et αk ∈ N, (1 ≤ k ≤ q).

(27)

phismes J.M. Morvan

Polynômes scindés

Definition

Soit P(X ) un polynôme à coefficients dans K . On dit que P(X ) est scindé dans K si l’on peut écrire P(X ) sous la forme :

P(X ) = a(X − a₁)^α¹...(X − a_k)^α^k...(X − a_q)^α^q, où a, a_k ∈ K , et αk ∈ N, (1 ≤ k ≤ q).

(28)

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Polynômes de matrices

Si P(X ) est un polynôme à coefficients dans K ,

l’indéterminée X peut décrire un ensemble de matrices.

Ainsi, si

P(X ) = αpX^p+ α_p−1X^p−1+ ... + α₁X + α₀,

où pour tout i ∈ {0, ..., p}, α_i ∈ K , on pose, pour tout A ∈ Mn(K ),

P(A) = α_pA^p+ αp−1A^p−1+ ... + α1A + α₀I_n, où I_ndésigne la matrice identité.

(29)

phismes J.M. Morvan

Polynômes de matrices

Ainsi, si

P(X ) = αpX^p+ α_p−1X^p−1+ ... + α₁X + α₀, où pour tout i ∈ {0, ..., p}, α_i ∈ K , on pose, pour tout A ∈ Mn(K ),

P(A) = α_pA^p+ αp−1A^p−1+ ... + α1A + α₀I_n, où I_ndésigne la matrice identité.

(30)

phismes J.M. Morvan

Vecteurs propres, valeurs propres Polynôme caractéristique Le cas des matrices symétriques réelles Deux remarques

Polynômes de matrices

Ainsi, si

P(X ) = αpX^p+ α_p−1X^p−1+ ... + α₁X + α₀, où pour tout i ∈ {0, ..., p}, α_i ∈ K , on pose, pour tout A ∈ Mn(K ),

P(A) = α A^p+ α A^p−1+ ... + α A + α I ,

(31)

phismes J.M. Morvan

Polynômes de matrices

De la même façon, la variable peut aussi décrire l’ensemble des endomorphismes de E . Ainsi, si u est un

endomorphisme de E ,

P(u) = α_pu^p+ α_p−1u^p−1+ ... + α₁u + α₀I_E, où I_E désigne l’endomorphisme identité.

(32)

phismes J.M. Morvan

Polynômes de matrices

De la même façon, la variable peut aussi décrire l’ensemble des endomorphismes de E . Ainsi, si u est un

endomorphisme de E ,

P(u) = α_pu^p+ α_p−1u^p−1+ ... + α₁u + α₀I_E,

(33)

phismes J.M. Morvan

Un exemple

P(X ) = X²+2, et

A =1 2 0 3

,

alors

P(A) = A²+2I₂, c’est-à-dire

P(A) =1 2 0 3

1 2 0 3

+21 0 0 1

=3 8 0 11

.

(34)

phismes J.M. Morvan

Un exemple

P(X ) = X²+2, et

A =1 2 0 3

, alors

P(A) = A²+2I₂,

c’est-à-dire

P(A) =1 2 0 3

1 2 0 3

+21 0 0 1

=3 8 0 11

.

(35)

phismes J.M. Morvan

Un exemple

P(X ) = X²+2, et

A =1 2 0 3

, alors

P(A) = A²+2I₂, c’est-à-dire

P(A) =1 2 0 3

1 2 0 3

+21 0 0 1

=3 8 0 11

.

(36)

phismes J.M. Morvan

Diagonalisation

On dit que f est diagonalisable

s’il existe une base

(1, ..., k, ..., n)de E dans laquelle la matrice M(f )₍_i₎de f est diagonale.

(37)

phismes J.M. Morvan

Diagonalisation

On dit que f est diagonalisable s’il existe une base (1, ..., k, ..., n)de E

dans laquelle la matrice M(f )₍_i₎de f est diagonale.

(38)

phismes J.M. Morvan

Diagonalisation

On dit que f est diagonalisable s’il existe une base

(1, ..., k, ..., n)de E dans laquelle la matrice M(f )₍_i₎ de f est diagonale.

(39)

phismes J.M. Morvan

Diagonalisation

La matrice M(f )₍_i₎aura alors une expression du type suivant :

M(f )₍_i₎=







λ₁ 0 ... 0 ... 0 0 λ2 ... 0 ... 0 ... ... ... ... ... ... 0 0 ... λi ... 0 ... ... ... ... ... ... 0 0 ... 0 ... λn







(40)

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Vecteurs propres, valeurs propres Polynôme caractéristique

Diagonalisation

La matrice M(f )₍_i₎aura alors une expression du type suivant :

M(f )₍_i₎=





λ₁ 0 ... 0 ... 0 0 λ2 ... 0 ... 0 ... ... ... ... ... ... 0 0 ... λi ... 0 .. .. .. .. .. ..





(41)

phismes J.M. Morvan

Diagonalisation

On dit qu’une matrice carrée M ∈ M_n(K ) est diagonalisable

si elle est semblable à une matrice diagonale, c’est-à-dire s’il existe une matrice diagonale D ∈ Mn(K ) et une matrice inversible P ∈ M_n(K ) telle que

M = PDP⁻¹.

(42)

phismes J.M. Morvan

Diagonalisation

On dit qu’une matrice carrée M ∈ M_n(K ) est diagonalisable si elle est semblable à une matrice diagonale,

c’est-à-dire s’il existe une matrice diagonale D ∈ Mn(K ) et une matrice inversible P ∈ M_n(K ) telle que

M = PDP⁻¹.

(43)

phismes J.M. Morvan

Diagonalisation

On dit qu’une matrice carrée M ∈ M_n(K ) est diagonalisable si elle est semblable à une matrice diagonale, c’est-à-dire s’il existe une matrice diagonale D ∈ Mn(K ) et une matrice inversible P ∈ M_n(K ) telle que

M = PDP⁻¹.

(44)

phismes J.M. Morvan

Vecteurs propres, valeurs propres

Soit E un espace vectoriel sur K = R ou C.

Definition

Soit v un vecteur de E .On dit que v est un vecteur propre de f si

• v n’est pas nul ;

• les vecteurs v et f (v ) sont proportionnels, c’est-à-dire s’il existe λ ∈ K tel que

f (v ) = λv .

L’élément λ de K s’appelle la valeur propre associée à v .

(45)

phismes J.M. Morvan

Vecteurs propres, valeurs propres

Definition

Soit v un vecteur de E .

On dit que v est un vecteur propre de f si

f (v ) = λv .

(46)

phismes J.M. Morvan

Vecteurs propres, valeurs propres

Definition

f (v ) = λv .

(47)

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Vecteurs propres, valeurs propres

Definition

f (v ) = λv .

(48)

phismes J.M. Morvan

Vecteurs propres, valeurs propres Polynôme caractéristique Le cas des matrices

Vecteurs propres, valeurs propres

Definition

(49)

phismes J.M. Morvan

Vecteurs propres, valeurs propres

Definition

f (v ) = λv .

(50)

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Vecteurs propres, valeurs propres

Definition

Le spectre Spec(f ) de f est l’ensemble des valeurs propres de f .

(51)

phismes J.M. Morvan

Un exemple

f de R²défini dans la base canonique (e₁,e₂)par :

(f (e₁) =2e₁+e₂,

f (e₂) =e₁+2e₂. (2) Alors le vecteur

v = e₁+e₂ vérifie

f (v ) = f (e₁+e₂) =f (e₁) +f (e₂) =3(e₁+e₂). En définitive,

f (v ) = 3v ,

ce qui signifie que v est un vecteur propre de f , dont la valeur propre associée est 3.

(52)

phismes J.M. Morvan

Un exemple

f de R²défini dans la base canonique (e₁,e₂)par : (f (e₁) =2e₁+e₂,

f (e₂) =e₁+2e₂. (2)

Alors le vecteur

f (v ) = f (e₁+e₂) =f (e₁) +f (e₂) =3(e₁+e₂). En définitive,

f (v ) = 3v ,

(53)

phismes J.M. Morvan

Un exemple

f (v ) = f (e₁+e₂) =f (e₁) +f (e₂) =3(e₁+e₂).

En définitive,

f (v ) = 3v ,

(54)

phismes J.M. Morvan

Un exemple

f (v ) = f (e₁+e₂) =f (e₁) +f (e₂) =3(e₁+e₂).

En définitive,

f (v ) = 3v ,

(55)

phismes J.M. Morvan

Vecteurs propres, valeurs propres

Definition

Soit λ une valeur propre de f .

Le sous-espace vectoriel E_λ= {v ∈ E : f (v ) = λv }

s’appelle le sous-espace propre associé à λ.

Remarquons que le sous-espace E_λ est composé des vecteurs propres associés à λ, auxquels on a ajouté 0.

(56)

phismes J.M. Morvan

Vecteurs propres, valeurs propres

Definition

Soit λ une valeur propre de f . Le sous-espace vectoriel E_λ= {v ∈ E : f (v ) = λv }

s’appelle le sous-espace propre associé à λ.

Remarquons que le sous-espace E_λ est composé des vecteurs propres associés à λ, auxquels on a ajouté 0.