Pr´eparation CAPES 2006-2007 Fiche 3 Page 1
G´ eom´ etrie euclidienne
Espaces vectoriels euclidiens
Exercice 1 : Soit E un espace vectoriel euclidien de dimension 3. On donne les matrices M et N des endomorphisnes f et g dans une base orthonorm´ee directe :
M =
8 1 −4
−4 4 −7
1 8 4
N =
3 1 √
6
1 3 −√
6
−√ 6 √
6 2
1- Montrer que f est une similitude positive. ´Etudier f (nature - caract´eristiques).
2- ´Etudier g.
Exercice 2 : Dans un espace vectoriel euclidien de dimension 4, on consid`ere B = (e1, e2, e3, e4) une base orthonorm´ee et on pose e = e1+e2+e2 3+e4. On note P le plan vectoriel de base e1, e, orient´e de telle sorte que la base (e1, e) soit directe, soit Q = P⊥.
1- D´eterminer (en fonction de e1 et e) le vecteur e0 de P tel que (e1, e0) soit une base orthonormale directe de P .
2- Calculer la mesure de l’angle orient´e α =ed1e.
3- Quelle est la dimension de Q ? En donner une base en fonction des ei. Soit u l’endomorphisme de E d´efini par la matrice suivante dans la base B :
A = 1 6
3 −3 −3 −3
3 5 −1 −1
3 −1 5 −1
3 −1 −1 5
4- Quelle est la restriction de u `a Q? Montrer que le plan P est stable par u, et que la restriction r de u `a P est la rotation d’angle α.
5- Conclure sur la nature de u, et en donner les caract´eristiques.
6- Soit s la r´eflexion (=sym´etrie orthogonale par rapport `a un hyperplan) par rapport
`
a l’hyperplan H orthogonal au vecteur e1. Caract´eriser s ◦ u.
Espaces affines euclidiens
Exercice 3 : Soient E un espace affine euclidien et f ∈ Isom(E) une isom´etrie de E. On d´esigne par −→
f l’automorphisme orthogonal de −→
E associ´e `a f . 1- Montrer que ker(−→
f − id) et im(−→
f − id) sont orthogonaux.
2- En d´eduire que l’on a :
−
→E = ker(−→
f − id)⊕ im(⊥ −→ f − id) 3- Montrer qu’il existe a ∈ E tel que f (a) − a ∈ ker(−→
f − id).
4- En d´eduire que l’on peut ´ecrire f sous la forme : f = τ−→tg (∗)
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o`u g est une isom´etrie poss´edant un point fixe et o`u τ−→t est une translation de vecteur
−
→t avec−→
t ∈ ker(−→ f − id).
5- Montrer que cette ´ecriture de f est unique (toujours avec g une isom´etrie poss´edant un point fixe et τt une translation de vecteur −→
t appartenant `a ker(−→
f − id)).
6- Montrer que f poss`ede au moins un point fixe si et seulement si dans l’´ecriture de f sous la forme (∗) on a −→
t = 0.
7- (Re)d´emontrer que f poss`ede un unique point fixe si et seulement si ker(−→
f − id) = {0}
8- Montrer que l’on a τ−→tg = gτ−→t.
Application : classification des isom´etries.
On suppose que dim(E) = 2.
On pose d+ = dim(ker(−→
f − id)), d−= dim(ker(−→
f + id)).
9- On suppose que d+= 2. Caract´eriser f si −→
t = 0 et si−→ t 6= 0.
10- On suppose que d+ = 1. Montrer que d− = 1. Caract´eriser f lorsque −→
t = 0 et
−
→t 6= 0.
11- On suppose que d+ = 0. Montrer que −→
t = 0. Montrer que d− = 0 ou d− = 2.
Caract´eriser f en fonction de ces deux cas.
12- Classifier les isom´etries en dimension 3.
Exercice 4 : Distance d’un point `a un hyperplan.
Soient E un espace affine euclidien de dimension n, (A; −→e1, · · · , −→en) un rep`ere cart´esien orthonorm´e et H un hyperplan de E.
1- Rappeler pourquoi il existe a0, a1, · · · , an ∈ R non tous nuls tels que : H = {y = A + y1−→e1 + · · · + yn−→en , a0+ y1a1+ · · · ynan = 0}
2- Montrer que le vecteur−→
t = a1−→e1 + · · · + an−→en est orthogonal `a H.
3- Soit x = A + x1−→e1 + · · · + xn−→en ∈ E, et soit y ∈ H le projet´e orthogonal de x sur H. Montrer que y = x + λ−→
t pour un certain λ ∈ R.
4- Montrer que
λ = −a0+ x1a1+ · · · + xnan k−→
t k2 5- Conclure que
dist(x, H) = |a0+ x1a1+ · · · + xnan| k−→
t k
Exercice 5 : Distance entre deux vari´et´es.
Soient E un espace affine euclidien et V1, V2 deux sous-espace affines. On appelle distance entre V1 et V2 le nombre :
dist(V1, V2) = inf{kx1− x2k , x1 ∈ V1, x2 ∈ V2}
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1- Justifier que le “inf” existe bien.
2- Montrer que (−→ V1+−→
V2)⊥=−→ V1⊥∩−→
V2⊥.
3- Soient a1 ∈ V1 et a2 ∈ V2. En d´ecomposant a1− a2 dans
−
→E = (−→ V1+−→
V2)⊕ (⊥ −→ V1+−→
V2)⊥ montrer qu’il existe x1 ∈ V1 et x2 ∈ V2 tels que x1 − x2 ∈−→
V1⊥∩−→ V2⊥.
4- Soient y1 ∈ V1 et y2 ∈ V2 montrer que ky1− y2k ≥ kx1− x2k et que l’on a ´egalit´e si et seulement si y1− y2 = x1− x2.
5- En conclure que l’on dist(V1, V2) = kx1− x2k.
6- Montrer que le couple (x1, x2) ∈ V1×V2 tel que dist(V1, V2) = kx1−x2k est unique si et seulement si −→
V1∩−→
V2 = {0}.
7- Que peut-on en d´eduire lorsque dim(E) = 3 et que V1 et V2 sont deux droites non parall`eles.
8- Soit (−→e1, · · · , −→er) une base de−→ V1+−→
V2. Montrer que l’on a dist(V1, V2)2 = gram(y1− y2, −→e1, · · · , −→er)
gram(−→e1, · · · , −→er) o`u y1 ∈ V1 et y2 ∈ V2 (gram(−→
t1, · · · ,−→
tn) = det h−→
ti ·−→ tjii,j
).
Exercice 6 : Soit E un espace affine euclidien.
1- Soient A et B deux points distincts de E et soit α un r´eel strictement positif.
Quel est l’ensemble des points M de E tels que AM = αBM ?
2- Soit ABC un triangle. Quel est l’ensemble des points M de E tels que
−−→M A.−−→
M B +−−→
M B.−−→
M C +−−→
M C.−−→
M A = 0 ?
3- Soient A et B deux points distincts de de E et soit α un r´eel. Quel est l’ensemble des points M de E tels que −→
AB.−−→
AM = α ?
Exercice 7 : Soit ABC un triangle et soit A0, B0 et C0 les pieds des hauteurs issues respectivement de A, B et C. On suppose que les droites (BC) et (B0C0) (resp. (AC) et A0C0, resp. (AB) et (A0B0)) sont s´ecantes en α (resp. β, resp. γ).
On note C (resp. C0) le cercle circonscrit au triangle ABC (resp. A0B0C0).
1- Montrer que les points C, B, B0 et C0 sont cocycliques.
On note C00 le cercle passant par ces quatre points.
2- Montrer que α appartient `a l’axe radical de C et C00. 3- Montrer que α appartient `a l’axe radical de C0 et C00. 4- En d´eduire que les points α, β et γ sont align´es.
