cycles

Universit´e Lyon 1 Capes Externe Math. 2010–2011

Permutations et cycles

D´efinition 1 E repr´esente un ensemble fini non vide. On appelle groupe des permuta- tions de E, le groupe des bijections de E sur E, et IdE l’application identique de E.

D´efinition 2 Soit σ une permutation de E, et x ∈ E. On appelle orbite de x sous l’action deσ, l’ensemble x, σ(x), σ²(x), . . . = σ^k(x) ; k ∈ N , que l’on note parfois O_σ(x).

Proposition 1 Soit E un ensemble fini de cardinal n, σ une permutation de E, et x ∈ E.

Il existe un plus petit entier k, 1 ≤ k ≤ n, tel que σ^k(x) = x. L’orbite de x est l’ensemble de cardinal k

O_σ(x) = n

x, σ(x), σ²(x), . . . σ^k−1(x) o

.

C’est aussi le plus petit sous–ensemble de E contenant x et stable par σ (c’est `a dire le plus petit sous–ensemble F de E qui contient x et tel que σ(F ) ⊂ F ).

D´efinition 3 Soit E un ensemble fini de cardinal n, et σ une permutation de E. On dit que σ est une permuation circulaire de E s’il existe un ´el´ement x ∈ E dont l’orbite est E tout entier. Dans ce cas, pour tout y ∈ E on a O_σ(y) = E.

D´efinition 4 Soit E un ensemble fini de cardinal n, k un entier, 1 ≤ k ≤ n, et F un sous–ensemble de E de cardinal k et et x₁, x₂, . . . x_k une ´enum´eration des ´el´ements de F , c’est `a dire une bijection i 7→ xi de {1, 2, . . . , k} sur F . On note (x1, x2, . . . , xk) la permutation c de E d´efinie par

c(x) =







x si x 6∈ F

x_i+1 si x = x_i (i ≤ k − 1) x1 si x = xk

Cette permutaion est appel´ee le le cycle (x1, x2, . . . , x_k). On appelle longueur de ce cycle l’entier k. La restriction de c `a {x₁, x₂, . . . , x_k} est une permutation circulaire de cet ensemble. Mais (x₁, x₂, . . . , x_k) n’est une permutation circulaire de E que si k = n.

D´efinition 5 On dira que les cycles a = (x₁, x₂, . . . , x_p) et b = (y₁, y₂, . . . , y_q) sont dis- joints, si les ensembles {x2, x2, . . . , xp} et {y₁, y2, . . . , yq} sont disjoints.

Remarques :

1. Si k = 1 le cycle (x) n’est pas autre chose que l’application Id_E.

2. Si k = 2 le cycle (x₁, x₂) est la transposition qui ´echange x₁ et x₂ et pr´eserve tous les autres ´el´ements de E.

3. Soit c le cycle (x₁, x₂, . . . , x_k). Pour 1 ≤ i ≤ k, on a O_c(x_i) = {x₁, x₂, . . . , x_k}. Si x 6∈ {x₁, x₂, . . . , x_k} on a c(x) = x et donc O_c(x) = {x}.

4. Attention : Les k ´ecritures (x1, x2, . . . , xk), (x2, x3, . . . , xk, x1), . . . , (xk, x1, . . . , xk−1) repr´esentent toutes le mˆeme cycle.

Permutations et cycles 1 M. Del´eglise

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5. Soit σ une application d’un ensemble quelconque E dans lui mˆeme. On appelle support de σ l’ensemble supp(σ) = {x ∈ E ; σ(x) 6= x}. Si k ≥ 2, le support du cycle c = (x₁, x₂, . . . , x_k) est donc {x₁, x₂, . . . , x_k}, tandis que, pour k = 1, on a c = IdE et supp(c) = ∅. Dans tous les cas, les supports de deux cycles disjoints sont donc disjoints.

Th´eor`eme 1 Soit E fini de cardinal n ≥ 1 et σ une permutation de E. Les orbites des

´el´ements de E forment une partition F1, F2, . . . , Fk de E, c’est `a dire que les Fi sont non vides, F_i∩ F_j = ∅ for i 6= j et F₁∪ F₂∪ . . . F_k= E.

La restriction de σ `a chacune de ces orbites est une permutation circulaire de cette orbite.

Pour 1 ≤ i ≤ k, notons c_i l’application d´efinie par c_i(x) =

(σ(x) si x ∈ Fi

x sinon.

Chaque c_i est un cycle de E, les c_i commutent deux `a deux, et σ = c₁c₂. . . c_k.

De plus, `a condition de ne pas tenir compte de l’ordre des facteurs, ni des cycles de longueur 1 qui sont tous ´egaux `a IdE, cette d´ecomposition est l’unique fa¸con de d´ecomposer σ en un produit de cycles 2 `a 2 disjoints.

Exemple : Soit σ la permutation de {1, 2, . . . , 10} donn´ee par le tableau de ses valeurs

 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

3 10 2 4 7 9 8 5 6 1



·

Les ´egalit´es σ(1) = 3, σ(3) = 2, σ(2) = 10 et σ(10) = 2 donnent Oσ(1) = {1, 3, 2, 10}.

L’´egalit´e σ(4) = 4 prouve que l’orbite O_σ(4) est {4}. Les ´egalit´es σ(5) = 7, σ(7) = 8, σ(8) = 5 donnent une nouvelle orbite O_σ(5) = {5, 7, 8} et le cycle (5, 7, 8). Enfin σ(9) = 6 et σ(6) = 9, donnent la derni`ere orbite Oσ(6) = (6, 9), et enfin la d´ecomposition

σ = (1, 3, 2, 10) (4) (5, 7, 8) (6, 9).

Attention : Si on n’exige pas que les cycles de la d´ecomposition soient 2 `a 2 disjoints, il n’y a pas d’unicit´e de la d´ecomposition en produit de cycles, et, de plus les facteurs ne commutent plus 2 `a 2. Par exemple

(1, 2, 3) = (1, 2)(1, 3) 6= (1, 3)(1, 2) = (1, 3, 2).

D´efinition 6 L’ ordre d’une permutation σ de E est le plus petit entier r ≥ 1 tel que σ^r = I_E.

Proposition 2 L’ordre d’un cycle de longueur k est k.

Proposition 3 Soit σ une permutation de E σ = c₁c₂. . . c_m sa factorisation en produit de cycles de supports disjoints. L’ordre de σ est le plus petit commun multiple des ordres des ci, pour 1 ≤ e ≤ q.

Exemple : La d´ecomposition en cycle de la permuation σ de l’exemple ci dessus est σ = (1, 3, 2, 10) (4) (5, 7, 8) (6, 9).

Les cycles sont d’ordres (4, 1, 3, 2). L’ordre de σ est donc ppcm(4, 1, 3, 2) = 12.

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