Annulateurs circulaires des groupes de classes logarithmiques
Jean-François Jaulent
Résumé. Étant donnés un corps abélien réel F de groupe G
Fet un nombre premier impair `, nous définis- sons le sous-groupe circulaire E e
F◦du pro-`-groupe des unités logarithmiques E e
Fet nous montrons que pour tout morphisme galoisien ρ de E e
Fdans Z
`[G
F], l’image ρ( E e
F) annule le `-groupe des classes logarithmiques C` e
F. Nous en déduisons une preuve de l’analogue logarithmique de la conjecture de Solomon.
Abstract. Given a real abelian field F with group G
Fand an odd prime number `, we define the circular subgroup E e
F◦of the pro-`-group of logarithmic units E e
Fand we show that for any Galois morphism ρ : E e
F→ Z
`[G
F], the subalgebra ρ( E e
F) annihilates the `-group of logarithmic classes C` e
F. We deduce from this a proof of the logarithmic version of Solomon conjecture.
Introduction
Les `-groupes de classes logarithmiques C` e F introduits dans [11] sont des invariants arithmé- tiques canoniques attachés à un corps de nombres F pour chaque nombre premier `.
Ces groupes, qui sont finis sous la conjecture de Gross-Kuz’min, donc inconditionnellement pour F abélien, s’apparentent aux groupes de classes de diviseurs des corps de fonctions (ils s’obtiennent comme quotient du groupe des diviseurs de degré nul par son sous-groupe principal), sont liés aux noyaux sauvages de la K-théorie et interviennent naturellement en théorie d’Iwasawa.
Par exemple, la conjecture de Greenberg sur la trivialité des invariants structurels attachés aux
`-groupes de classes dans la Z ` -extension cyclotomique F
∞/F revient à postuler que le `-groupe C e ` F des classes logarithmiques de F capitule dans F
∞pour F totalement réel (cf. [13, 14]).
La première ambition de ce travail est de transposer aux groupes de classes logarithmiques des corps abéliens réels les théorèmes d’annulation obtenus par Thaine, Rubin, All et al. (cf.
[1, 3, 5, 18, 20, 22, 23]) pour les groupes de classes habituels. Nous introduisons pour cela la notion d’unité logarithmique circulaire en intersectant le `-adifié du groupe des éléments circulaires à la Sinnott avec le pro-`-groupe des unités logarithmiques E e F . C’est l’objet de la section 1.
Ce point acquis, la section 2 suit l’approche de Rubin [20] et de All [1] pour établir (Th. 9) : Théorème A. Étant donné un corps abélien réel F de groupe de Galois G F et ` un premier impair, pour tout morphisme galoisien ρ de E e F dans Z ` [G F ], l’image ρ(e E F
◦) du sous-groupe des unités logarithmiques circulaires annule le `-groupe des classes logarithmiques C e ` F .
Nous en déduisons une version logarithmique d’un résultat conjecturé par Solomon (Th. 12) : Théorème B. Soient F un corps abélien réel, G F son groupe de Galois, ` un nombre premier impair, l une place de F au-dessus de ` et Z
ll’anneau des entiers du complété l-adique F
l; puis ϑ le Z ` [G F ]-morphisme du pro-`-groupe E e F des unités logarithmiques de F dans F
l[G F ] défini par :
ϑ(ε) = P
σ∈G
FLog
l(ε σ )σ
−1.
Alors, pour tout élément a de l’algèbre F
l[G F ] tel qu’on ait aϑ(e E F ) ⊂ Z
l[G F ], l’image aϑ( E e F
◦)du pro-`-groupe des unités logarithmiques circulaires annule Z
l⊗
Z`C e ` F .
Rappelons enfin qu’en présence des racines `-ièmes de l’unité les éléments de Stickelberger et
leurs reflets permettent également de construire des annulateurs galoisiens pour les `-groupes de
classes logarithmiques (cf. [15]), à la manière de Gras et Oriat (cf. [8, 19]).
1 Éléments circulaires et unités logarithmiques
1.1 Rappel sur les classes et unités logarithmiques
Soient ` un nombre premier donné et F un corps de nombres. À chaque place finie p de F , il est attaché dans [11] une application à valeurs dans Z ` , définie sur le groupe multiplicatif F
p×du complété de F en p par la formule :
˜
ν
p(x
p) = ν
p(x
p), pour p - ` ; et ˜ ν
p(x
p) = −
deg1pLog ` (N F
p/
Qp(x
p)), pour p|` ;
où Log ` désigne le logarithme d’Iwasawa et deg p est un facteur de normalisation, dont l’expression exacte est sans importance ici, destiné à assurer que l’image de F
p×soit dense dans Z ` . Cette application induit un morphisme surjectif du compactifié `-adique du groupe multiplicatif F
p×R F
p= lim
←− F
p×/F
p×`ndont le noyau, dit sous-groupe des unités logarithmiques de R F
p,
U e F
p= {x
p∈ R F
p| ν ˜
p(x
p) = 0}
s’identifie par la Théorie `-adique locale du corps de classes (cf. [12]) au sous groupe normique de R F
passocié à la Z ` -extension cyclotomique F
pc de F
p. C’est donc l’analogue du groupe
U F
p= {x
p∈ R F
p| ν
p(x
p) = 0}
des unités de de R F
p, qui correspond, lui, à la Z ` -extension non-ramifiée de F
p.
Soit maintenant J F le `-adifié du groupe des idèles de F , i.e. le produit J F = Q
resp
R F
pdes compactifés R F
pdes groupes multiplicatifs des complétés F
p, restreint aux familles (x
p)
pdont presque tous les éléments tombent dans le sous-groupe unité U F = Q
p
U F
p. La Théorie `-adique globale du corps de classes (cf. [12]) assure l’existence d’un isomorphisme de groupes topologiques compacts entre le `-groupe des classes d’idèles C F défini comme quotient
C F = J F /R F
de J F par son sous-groupe principal R F = Z ` ⊗
ZF
×et le groupe de Galois G F = Gal(F
ab/F ) de la pro-`-extension abélienne maximale de F . Dans la correspondance ainsi établie (cf. [11, 12]) :
(i) Le groupe de normes associé à la Z ` -extension cyclotomique F c = F
∞de F est le sous- groupe des idèles de degré nul : J e F = {x = (x
p)
p∈ J F | deg(x) = P
p
e ν
p(x
p) deg p = 0}.
(ii) Le groupe de normes associé à la plus grande sous-extension F
lcde F
abqui est localement cyclotomique (i.e. complètement décomposée sur F c en chacune de ses places) est le produit U e F R F du sous-groupe U e F = Q
p
U e F
pdes unités logarithmiques locales et de R F .
(iii) En particulier, le groupe de Galois Gal(F lc /F c ) s’identifie au quotient C e ` F = J e F / U e F R F , lequel peut être regardé comme quotient du groupe D f ` F = J e F /e U F des diviseurs logarith- miques de degré nul par son sous-groupe principal P` F = R F U e F / U e F , le numérateur f D ` F
s’identifiant au sous-groupe ⊕ e
pZ ` p des diviseurs de degré nul de la somme formelle ⊕
pZ ` p.
(iv) Et le noyau E e F = R F ∩ U e F du morphisme div : f x 7→ P
p
e ν
p(x) p de R F dans D f ` F est le sous-groupe des normes cyclotomiques (locales comme globales) de R F .
Définition. Nous disons que C` e F = J e F / U e F R F ' f D ` F /P ` F est le `-groupe des classes logarith- miques (de degré nul) du corps F et que E e F est le pro-`-groupe des unités logarithmiques globales.
Le quotient C e `
∗F = J F / U e F R F , qui s’identifie non canoniquement à la somme directe de C e ` F et de Z ` , est, par convention, le pro-`-groupe des classes logarithmiques de degré arbitraire.
Comme expliqué dans [11], la conjecture de Gross-Kuz’min (pour le corps F et le premier `) revient à postuler la finitude du (pro)-`-groupe C e ` F ou, de façon équivalente, que le Z ` -rang du pro-`-groupe des unités logarithmiques E e k est le somme r
F+ c
Fdes nombres de places réelles et complexes de F . Elle est toujours vérifiée dès lors que F est abélien.
Enfin, du point de vue de la théorie d’Iwasawa, le groupe C e ` F s’interprète comme le quotient des genres
ΓT F , relativement au groupe procyclique Γ = Gal(F
∞/F ), du module de Kuz’min-Tate
T F = lim
←− C `
0F
n
limite projective des `-groupes de `-classes d’idéaux attachés aux étages finis K n de la tour K
∞/K.
1.2 Éléments cyclotomiques logarithmiques
Notons (ζ n ) n>1 un système cohérent de racines primitives de l’unité (en ce sens qu’on ait ζ m m/n = ζ n pour n|m, par exemple ζ n = exp 2iπ/n) et ` un nombre premier arbitraire.
Théorème 1. Soient F un corps abélien de conducteur f > 1 et G F = Gal(F/ Q ).
— Pour ` | f , l’élément η F = N
Q[ζf]/F(1 − ζ f ) est une unité logarithmique : η F ∈ E e F .
— Pour ` - f , l’intersection du Z ` [G F ] module multiplicatif engendré par η F avec le pro-`- groupe E e F des unités logarithmiques de F contient le Z ` [G F ]-module engendré par l’élément
η e F = η
1−(F
`)−1
F .
En d’autres termes, on a : η F
Z`[GF]⊂ E e F dans le premier cas ; η e F
Z`[GF]⊂ E e F dans le second.
Preuve. Il est bien connu (cf. e.g. [8], §4.2) que les η F satisfont les identités normiques :
N F /K (η F ) = η
Q
p 1− Kp
−1K (1)
où, pour toute sous-extension K de F, le produit fait intervenir les symboles d’Artin attachés aux premiers p qui se ramifient dans F/ Q mais non dans K/ Q .
Rappelons en outre que les η F sont des p-unités qui ne sont pas unités lorsque f est p-primaire pour un premier p ; des unités sinon. Cela étant, distinguons les cas :
— Pour ` | f , le cas f = p r avec p 6= ` étant exclu, η F est toujours une `-unité et il vient donc : e v
p(η F ) = v
p(η F ) = 0, chaque p - `,
puisqu’aux places étrangères à ` les valuations logarithmique v e
pet ordinaire v
pcoïncident.
Aux places au-dessus de `, il vient, en revanche :
e v
l(η F ) =
deg1lLog ` (N F
l/
Q`(η F )).
Introduisons donc le sous-corps de décomposition F
◦de ` dans F/ Q . Par hypothèse le premier ` se ramifie alors dans F mais non dans F
◦et l’on a en outre F `
◦= 1, de sorte que la formule normique plus haut nous donne immédiatement :
e v
l(η F ) =
deg1lLog ` (N F /F
◦(η F )) =
deg1 lLog ` 1 = 0, sauf dans le cas `-primaire f = ` r , où l’on a directement :
e v
l(η F ) =
deg1lLog ` (N F /
Q(η F )) =
deg1lLog ` ` = 0,
En fin de compte, il vient bien e v
l(η F ) = 0 pour l | ` ; et η F est une unité logarithmique.
— Pour ` - f , l’élément η F est toujours une unité (et donc une unité logarithmique aux places en dehors de `), sauf dans le cas primaire f = p r , dans lequel c’est une p-unité qui n’est pas une unité. Dans cette dernière situation, si p est alors l’unique place de F au-dessus de p, l’égalité e v
p(η α F ) = v
p(η α F ), pour tout α dans Z ` [G F ] donne l’équivalence :
e v
p(η F α ) = 0 ⇔ α ∈ Z
aug` [G F ], idéal d’augmentation de l’algèbre Z ` [G F ].
Reste dans tous les cas à évaluer les valuations logarithmiques aux places l au-dessus de `.
La formule e v
l(η α F ) =
deg1lLog ` (N F
l/
Q`(η F α )) donne l’équivalence : e v
l(η α F ) = 0 ⇔ N F /F
◦(η F α ) ∈ `
Z`⇔ N F /F
◦(η F α ) = 1,
où F
◦désigne, comme précédemment, le sous-corps de décomposition de `. Et cette dernière condition est évidemment remplie lorsque α est contenu dans l’idéal d’augmentation du sous-groupe de décomposition D ` de ` ; autrement dit lorsque c’est un multiple de 1 −( F ` )
−1. Scolie 2. Sous les mêmes hypothèses, les éléments η F pour ` | f (et η e F pour ` - f ) sont en fait des normes universelles dans la Z ` -tour cyclotomique F
∞de F, i.e. des éléments de l’intersection N F = T
n∈N N F
n/F (e E F
n) des groupes de normes logarithmiques attachés aux étages finis de F
∞. Preuve. C’est une conséquence immédiate des identités normiques citées plus haut. On a, en effet : N F
n/F (η F
n
) = η F , dans le premier cas ; N F
n/F (η F
n
) = η e F , dans le second.
1.3 Unités logarithmiques circulaires
Soient toujours ` un nombre premier arbitraire, F un corps abélien réel, f = f F son conducteur, G F = Gal(F/ Q ) son groupe de Galois et F
∞= S
n∈
NF n sa Z ` -extension cyclotomique.
Rappelons que le groupe des normes universelles est l’intersection N F = T
n∈
NN F
n/F ( E e F
n) des sous-groupes de normes d’unités logarithmiques attachés aux étages finis F n de F
∞.
Pour chaque sous-corps K de F , notons f K son conducteur et η K = N
Q[ζfK]/K
(1 − ζ f
K).
Le `-adifié C F
◦du groupe des éléments circulaires (à la Sinnott) est le Z ` [G F ]-module engendré dans R F = Z ` ⊗ F
×par les images de −1 et des éléments η K , pour K ⊂ F . Il est donc naturel de définir le pro-`-groupe des unités logarithmiques circulaires (à la Sinnott) du corps abélien réel F comme l’intersection E e F ∩ R
◦F de R
◦F avec le pro-`-groupe E e F des unités logarithmiques : Définition 3. Par pro-`-groupe des éléments circulaires de F nous entendons le Z ` [G F ]-module R
◦F engendré dans R F = Z ` ⊗ F
×par les images de −1 et des éléments η K , pour K ⊂ F .
Par convention le pro-`-groupe des unités logarithmiques circulaires (à la Sinnott) est l’inter- section de R
◦F avec le pro-`-groupe E e F des unités logarithmiques : E e F
◦= E e F ∩ C K
◦.
Et nous disons que l’intersection N F
◦= T
n∈N N F
n/F ( E e F
◦n
) des groupes de normes d’unités logarithmiques circulaires est le sous-groupe des normes universelles circulaires.
Théorème 4. Soient F un corps abélien réel et F
◦le sous-corps de décomposition de ` ; puis E F/F
0 ◦, E F/F
◦ ◦et E e F/F
◦ ◦les pré-images respectives du `-groupe des racines µ F
◦par la norme N F/F
◦dans les pro-`-groupes des `-unités E F
0, des unités circulaires E F
◦et des unités logarithmiques circulaires E e F
◦. Notons enfin G F le groupe de Galois Gal(F/ Q ) et D ` le sous-groupe Gal(F/F
◦).
(i) Lorsque F possède plus d’une place au-dessus de `, i.e. pour F
◦6= Q , il vient : E e F
◦= E e F/F
◦ ◦= E F/F
◦ ◦.
En particulier, le caractère χ e
◦F du Z ` [G F ]-module des unités logarithmiques circulaires E e F
◦est alors l’induit à G F du caractère d’augmentation du sous-groupe de décomposition D ` :
χ e
◦F = Ind G D
F`
χ
augD
`
.
(ii) Lorsque, en revanche, le corps F admet une unique place au-dessus de `, on a : E F
◦⊂ E e F
◦. (ii,a) Si F est ramifié en ` (e.g. pour F ⊂ Q [ζ `
k+ ¯ ζ `
k]), le groupe des unités logarithmiques circulaires est contenu avec un indice fini dans le pro-`-groupe des `-unités : E e F
◦≈ E F
0. C’est donc alors, tout comme celui-ci, un Z ` [G F ]-module de caractère régulier.
(ii,b) Sinon, E e F
◦coïncide avec E F
◦≈ E F et on a directement : χ e
◦F = χ
◦F = χ
augG
F
. La preuve de ce résultat repose sur le Lemme suivant :
Lemme 5. Pour tout corps abélien réel F 6= Q dans lequel le nombre premier ` se décompose complètement, le pro-`-groupe des unités logarithmiques circulaires E e F
◦se réduit au `-groupe des racines de l’unité µ F = {±1}
Z`; i.e. E e F
◦= 1, pour ` impair ; E e F
◦= {±1}, pour ` = 2.
Preuve. En l’absence de ramification en ` dans F/ Q , les éléments cyclotomiques η K pour K ⊂ F sont des unités aux places au-dessus de `. On a donc : E e F
◦= R
◦F ∩ E e F ⊂ E F ∩ E e F . Puis, sous l’hypothèse de complète décomposition : E F ∩ E e F = µ F (cf. [10], p. 218, l. 11–13, ou [14], Prop.6).
Preuve du Théorème. Regardons d’abord (i). Le Lemme donne N F/F
◦(e E F
◦) ⊂ E e F
◦◦= µ F
◦, puis : E e F
◦= E e F/F
◦ ◦= E F/F
0 ◦∩ E F
◦= E F/F
◦ ◦,
puisque les places au-dessus de ` ne se décomposent pas dans F/F
◦. L’expression du caractère χ e
◦F en résulte immédiatement, puisque E F
◦≈ E F est un Z ` [G F ]-module de caractère χ
augG
F
.
Examinons maintenant (ii). La formule du produit pour les valuations `-adiques montre que,
dans ce dernier cas, les unités logarithmiques sont exactement les `-unités, i.e. que l’on a : E e F = E F
0.
En particulier, E e F
◦= E e F ∩ C F
◦contient alors E F
◦= E F ∩ C F
◦, qui est d’indice fini dans E F . Si ` se
ramifie dans F , le groupe circulaire C F
◦contient l’image de ` et E e F
◦est ainsi d’indice fini dans E F
0.
Sinon, les éléments circulaires sont des unités en `, le groupe E e F
◦se réduit à E F
◦et tout est dit.
2 Annulateurs circulaires des groupes de classes logarithmiques
2.1 Application du Théorème de Čebotarev
Prenons désormais ` impair et considérons un corps abélien réel F de conducteur f = f F > 1.
Écrivons G F = Gal(F/ Q ) son groupe de Galois. Notons C e ` F le `-groupe des classes logarithmiques (de degré nul) attaché à F et C` e
∗F le groupe des classes logarithmiques sans condition de degré.
Prenons m assez grand pour avoir ` m C e ` F = 0, de sorte que C e ` F puisse être regardé canonique- ment comme un sous-groupe du quotient d’exposant ` m du pro-`-groupe des classes logarithmiques de degré arbitraire : C e ` F ⊂ `
mC e `
∗F = C e `
∗F /` m C e `
∗F .
Désignons par F e la plus grande extension abélienne de F qui est d’exposant ` m et localement cyclotomique, de sorte que nous avons par la Théorie du corps de classes : Gal( F/F e ) ' `
mC e `
∗F . Et notons F m
0= F e ∩ F
∞le sous-corps de F e fixé par C` e F .
Donnons-nous enfin un morphisme galoisien ρ ¯ du pro-`-groupe E e F des unités logarithmiques de F vers l’algèbre Z /` m Z [G F ] ; et considérons les extensions emboîtées :
F ζ = F [ζ `
m] ⊂ F ρ = F ζ [
`p
mKer ¯ ρ ] ⊂ F ε = F ζ [
`mq
E e F ],
Observons pour cela que tout élément x du tensorisé R F = Z ` ⊗
ZF
×peut être représenté par un élément x de F
×modulo une puissance ` m -ième de R F , disons x = xy `
m, et que cet élément x est unique modulo F
×`
m; ce qui permet de définir sans ambiguïté F ζ [
`√
mx] comme étant F ζ [
`√
mx].
Observons en outre que les trois extensions F ζ , F ρ et F ε sont linéairement disjointes de F e sur F m
0, de sorte que leurs composés F e ζ , F e ρ et F e ε avec F e donnent lieu au schéma galoisien :
F e
C`eF
F e ζ F e ρ F e ε
F m
0F ζ
G
Fζ=Gal(Fζ/
Q)F ρ F ε
F
G
FQ
Par construction, le radical kummérien de F ε /F ρ est : Rad(F ε /F ρ ) = E e F / Ker ¯ ρ ' Im ¯ ρ. C’est un sous-module de Z /` m Z [G F ] ; et le groupe de Galois Gal(F ε /F ρ ) ' Hom G
Fζ(Rad(F ε /F ρ ), µ `
m), qui s’identifie donc à un quotient de Z /` m Z [G F ], est, de ce fait, Z ` [G F
ζ]-monogène.
Soient alors σ F
ε
∈ Gal(F ε /F ρ ) un Z ` [G F
ζ]-générateur de Gal( F e ε / F e ρ ) et σ
F
e∈ Gal( F/F e m
0) provenant d’une classe donnée arbitraire [c] de C e ` F regardée dans `
mC` e
∗F .
Définissons enfin σ dans Gal( F e ε /F ρ ) en imposant σ
|Fε= σ F
εet σ
|Fe
= σ
F
e. Cela étant : Proposition 6. Il existe une infinité de nombres premiers impairs p 6= `, complètement décompo- sés dans F ρ / Q , tels que l’image de l’une des places de F e ε au-dessus par l’opérateur de Frobenius coïncide avec σ. Sont alors satisfaites en particulier les propriétés suivantes :
(i) p est complètement décomposé dans F [ζ `
m], donc vérifie la congruence : p ≡ 1[ mod ` m ].
(ii) La classe [p] de l’un des premiers p de F au-dessus de p dans `
mC e `
∗F coïncide avec [c].
(iii) Les Frobenius dans F ε des places au-dessus de p engendrent Gal(F ε /F ρ ).
Preuve. L’existence est une conséquence immédiate du théorème de densité de Čebotarev. De plus, (i) la congruence résulte de la condition de complète décomposition dans F ρ , donc dans Q [ζ `
m] ; (ii) provient du fait que σ
F
eest induit par l’image canonique [c] C`
∗F `
mde [c] dans `
mC` e
∗F ;
(iii) enfin, résulte du fait que les conjugués de σ
|Fεpar G F
ζengendrent Gal(F ε /F ρ ).
2.2 Lemmes d’annulation logarithmiques
Conservons les mêmes notations, supposons fixé le premier p de F au-dessus de p ≡ 1[ mod ` m ] donné par la Proposition 6 et considérons la restriction à E e F du morphisme de semi-localisation s p induit par le plongement de F dans le produit de ses complétés F
pσaux places au-dessus de p.
Par construction, pour chacune des places p σ de F au-dessus de p, le complété F
pσs’identifie à Q p et le `-sous-groupe de Sylow µ
pσdu groupe F
p×σest d’ordre ` m
pavec m p = v ` (p − 1) ≥ m.
En particulier le quotient `
mµ F
p
= µ F
q
/µ F `
mp
est un Z /` m Z [G F ]-module libre de dimension 1.
Lemme 7. Sous les hypothèses de la Proposition, le morphisme galoisien ρ ¯ : E e F → Z /` m Z [G F ] s’écrit ρ ¯ = ¯ ρ p ◦ s ¯ p , où s ¯ p : E e F → `
mµ F
p
est induite par l’application de semi-localisation et ρ ¯ p est un morphisme galoisien de `
mµ F
p
vers Z /` m Z [G F ].
Preuve. Le noyau de s p dans E e F est formé des unités logarithmiques qui sont localement puissances
` m -ièmes aux places au-dessus de p, i.e. des ε ∈ E e F pour lesquelles les extensions F [
`√
mε]/F sont complètement décomposées aux places p σ (ou, ce qui revient au même, pour lesquelles l’extension F ζ [
`√
mε]/F ζ est complètement décomposée aux places au-dessus de p). Du fait du choix de σ F
ε
, cela revient à exiger que les conjugués de α F
ε
agissent trivialement sur F ζ [
`√
mε] ; autrement dit, que ε soit une puissance ` m -ième dans F ρ , i.e. le produit d’un élément de Ker ¯ ρ et d’une puissance
` m -ième dans F ζ et finalement dans F , puisque, ` étant impair, les éléments de F qui sont des puissances ` m -ièmes dans F ζ sont déjà des puissances ` m -ièmes dans F (cf. e.g. [20], Lem. 5.7). En fin de compte, il suit : Ker ¯ s p = Ker ¯ ρ, ce qui assure, par Z /` m Z [G F ]-injectivité de `
mµ F
p
, l’existence du morphisme factorisant ρ ¯ q .
Soit maintenant ζ p une racine primitive p-ième de l’unité. L’extension F[ζ p ]/F possède une unique sous-extension F
0de degré ` m , laquelle est cyclique, totalement ramifiée au-dessus de p et non-ramifiée en dehors. En particulier, si p
0= p
F0désigne l’unique place de F
0au-dessus de p = p
Fet F
p0son complété en la place p
0, on a d’une part p
F= p `
Fm0; et, d’autre part, l’égalité entre
`-groupes de racines locales de l’unité : µ F
0p
= µ F
p
.
Le lemme qui suit peut être regardé comme l’analogue logarithmique du Th.5.1 de [20].
Lemme 8. Avec les notations ci-dessus, soient E e F
0/F = {η F
0∈ E e F
0| N F
0/F (η F
0) = 1} le groupe des unités logarithmiques relatives de l’extension F
0/F et s p l’homomorphisme de semi-localisation à valeurs dans la somme directe µ F
0p
= µ F
p
= ⊕
p|pµ F
p
' µ
Qp
⊗ Z ` [G F ] ' ( Z /` m
pZ )[G F ].
Tout α ∈ Z ` [G F ] qui annule le quotient µ F
p
/s p (e E F
0/F )µ ` F
mp
annule la classe de p dans `
mC e `
∗F . Preuve. Écrivons F
p00= F
p[
`p
mπ
p] pour une uniformisante π
p∈ F
p; et x
F0∈ R F
0un relèvement de (
`p
mπ
p, 1, · · · , 1) ∈ Q
pF0|p
R F
0pF0
; notons enfin δ un générateur de ∆ = Gal(F
0/F ) ' Gal(F
p00/F
p).
Par construction, nous avons s p (x
F0) δ−1 = s p (x δ−1
F0)) = (ζ
p, 1, · · · , 1) pour une racine ` m -ième de l’unité ζ
p∈ F
p; puis, par hypothèse, s p (x α
F) δ−1 = s p (x δ−1
F)) α = s p (η
F0), pour un η
F0∈ E e F
0/F . Le Théorème 90 de Hilbert nous permet alors d’écrire η
F0= y
Fδ−1
0pour un y
F0∈ R F
0, qui engendre donc un diviseur logarithmique ambige. Il suit (en notations additives) :
f div y
F0= P
σ∈G
Fα
0σ p σ
F0+ a
0F; puis : f div N F
0/F (y
F0) = P
σ∈G
Fα σ
0p σ
F+ ` m a
0Fde sorte que l’élément α
0= P
α
0σ σ ∈ Z ` [G F ] annule bien la classe de p = p
Fdans C e `
∗F /` m C e `
∗F . Reste à vérifier que α
0et α sont dans la même classe modulo ` m Z ` [G F ]. Pour cela, observons que l’identité s p (x α
F0/y
F0)
(δ−1)= 1 nous donne s p (x α
F0) = s p (y
F0z
F), pour un z
Fconvenable de R F . Écrivant alors α = P α σ σ et prenant les diviseurs logarithmiques respectifs des deux membres de l’identité, nous restreignant enfin aux seules composantes au-dessus de p, nous obtenons ainsi :
P
σ∈G
Fα σ p σ
F0= P
σ∈G
Fα
0σ p σ
F0+ a F
pour un diviseur logarithmique a F de F , donc finalement, comme attendu : P
σ∈G
Fα σ σ ≡ P
σ∈G
Fα
0σ σ [ mod ` m Z ` [G F ] ],
puisque les diviseurs logarithmiques au-dessus de p sont totalement ramifiés dans F
0/F .
2.3 Annulation des classes logarithmiques réelles
Nous pouvons maintenant énoncer le Théorème principal sur les annulateurs circulaires.
Théorème 9. Étant donné un corps abélien réel F de groupe de Galois G F et ` un premier impair, pour tout morphisme galoisien ρ de E e F dans Z ` [G F ], l’image ρ(e E F
◦) du sous-groupe des unités logarithmiques circulaires annule le `-groupe des classes logarithmiques C e ` F .
Preuve. Choisissons m assez grand pour que ` m annule le `-groupe C e ` F des classes logarithmiques ; prenons un élément α dans ρ(e E F
◦) ; et partons d’une classe [c] de C e ` F regardée dans `
mC e `
∗F .
Notons ρ ¯ la réduction de ρ modulo ` m , à valeurs dans Z /` m Z [G F ], et faisons choix d’un premier impair p 6= ` satisfaisant les conditions de la Proposition 6. Par construction p ≡ 1[ mod ` m ] est complètement décomposé dans F et l’on a [c] = [p] dans `
mC e `
∗F pour l’un des premiers p de F au-dessus de p.
Tout revient donc à montrer que l’on a : α[p] = 0 ¯ dans `
mC e `
∗F , où α ¯ ∈ Im ¯ ρ est la réduction de α modulo ` m . Or, par le Lemme 7, ρ ¯ se factorise via l’application de semi-localisation s ¯ p . Et : Lemme 10. Pour toute unité logarithmique circulaire η ∈ E e F
◦, il existe une unité logarithmique circulaire relative η
0∈ E e F
0/F telle qu’on ait : s p (η) = s p (η
0).
Ainsi α, qui est l’image par ¯ ρ ¯ d’une unité logarithmique circulaire η, provient d’une unité logarithmique circulaire relative η
0∈ E e F
0/F ; et il résulte alors du Lemme 8 qu’il annule la classe de p dans `
mC e `
∗F . D’où le résultat annoncé.
Preuve du Lemme. Il s’agit de vérifier que les unités logarithmiques circulaires sont mutatis mutan- dis ce que Rubin appelle des unités spéciales dans [20]. Reprenons pour cela dans le cadre logarith- mique les calculs de All (cf. [1], §3) : partons d’une unité logarithmique circulaire ε = Q
K⊂F η
Kα
Kavec α
K∈ Z ` [G F ] ; notons Q
0l’unique sous-corps de degré ` m de Q [ζ p ] et K
0= K Q
0, pour K ⊂ F ; identifions G F = Gal(F/ Q ) à G
0F = Gal(F[ζ p ]/ Q [ζ p ]) ; et raisonnons modulo m
0= Q
p0|p
p
0. De ζ p ≡ 1, nous tirons : η
Q[ζf]
= 1 − ζ f ≡ 1 − ζ f ζ p = (1 − ζ f p ) ρ = η
Q[ζρ
f p]pour un ρ de G
0F ; et, plus généralement : η
K≡ η ρ
KK0, pour un ρ
Kde G
0F .
Posant alors ε
0= Q
K⊂F η
Kα
0Kρ
K, nous obtenons bien ε ≡ ε
0, i.e. s p (ε) = s p (ε
0), puisque ε est une unité aux places au-dessus de p, et N F
0/F (ε
0) = 1, puisque p est ramifié dans chaque K
0mais complètement décomposé dans chacun des sous-corps K.
Le résultat obtenu ci-dessus pour les classes logarithmiques peut naturellement être mis en parallèle avec celui de Rubin [20] sur les classes d’idéaux tel que présenté par All (cf. [1], §3).
Désignons pour cela par C ` F
0le sous-groupe du `-groupe des classes d’idéaux C` F engendré par les idéaux de degré nul, de sorte que l’on a C ` F
0' Gal(F
∞F
nr/F
∞), où F
nrdésigne le `-corps de classes de Hilbert de F . Il vient alors :
Corollaire 11. Soient ` un premier impair, F abélien réel de groupe G F et ρ un morphisme galoisien du `-adifié E F
0= Z ` ⊗
ZE F
0du groupe des `-unités de F dans l’algèbre Z ` [G F ]. Alors :
(i) L’image ρ(E F
◦) du pro-`-groupe construit sur les unités circulaires annule C ` F
0. (ii) L’image ρ( E e F
◦) du pro-`-groupe des unités logarithmiques circulaires annule C e ` F .
L’assertion (i) n’est autre qu’une réécriture `-adique du résultat initial de Rubin ; l’assertion (ii) provient directement du Théorème 9. Les classes logarithmiques sont conventionnellement de degré nul (sauf mention explicite du contraire), mais non les classes au sens ordinaire ; de ce fait l’introduction du sous-groupe C ` F
0renforce le parallélisme des résultats.
Remarque. Lorsque le corps F possède plusieurs places au-dessus de `, i.e. lorsque le sous-corps
de décomposition F
◦de ` n’est pas le corps des rationnels Q , le Théorème 4 affirme en particulier
que E e F
◦est contenu dans le noyau de la norme N F /F
◦. Le Théorème 9 ne donne donc de ce fait
aucune information directe sur le groupe C` e F
◦.
Appendice : lien avec la conjecture de Solomon
Supposons toujours F abélien réel et ` impair, mais fixons maintenant l’une l des places au- dessus de `. Solomon a conjecturé dans [22] que si ` ne se ramifie pas dans F l’élément
ϑ F
Sol=
1` P
σ∈G
FLog
l(η F σ )σ
−1annule le tensorisé Z
l⊗
Z`C ` F du `-groupe des classes d’idéaux de F .
Conséquence du Théorème principal de Mazur-Wiles [17] dans le cas semi-simple ` - [F : Q ], ce résultat a été prouvé par Belliard et Nguyen Quang Do dans [4] pour ` décomposé, et sans restriction par All (cf. [1], Th. 1.1) sous une forme plus générale qu’on peut réécrire comme suit : Théorème (All). Soient F un corps abélien réel, G F son groupe de Galois, ` un nombre premier impair, l une place de F au-dessus de ` et Z
ll’anneau des entiers du complété l-adique F
l; puis ϑ le Z ` [G F ]-morphisme du `-adifié E e F = Z ` ⊗
ZE F du groupe des unités dans F
l[G F ] défini par :
ϑ(ε) = P
σ∈G
FLog
l(ε σ )σ
−1.
Alors, pour tout a de F
l[G F ] tel qu’on ait aϑ(E F ) ⊂ Z
l[G F ], l’image aϑ(E F
◦)du pro-`-groupe des unités circulaires annule le tensorisé Z
l⊗
Z`C` F
0du `-groupe des classes d’idéaux de degré nul.
Nota. Dans l’isomorphisme du corps de classes C` F ' Gal(F
nr/F ), où F
nrdésigne la `-extension abélienne non ramifiée de F (i.e. son `-corps de classes de Hilbert), le sous-groupe C` F
0des classes de degré nul correspond à Gal(F
nr/(F
nr∩ F
∞)), où F
∞est la Z ` -extension cyclotomique de F .
En parfaite analogie avec ce résultat, nous pouvons énoncer en termes logarithmiques : Théorème 12. Soient F un corps abélien réel, G F son groupe de Galois, ` un nombre premier impair, l une place de F au-dessus de ` et Z
ll’anneau des entiers du complété l-adique F
l; puis ϑ le Z ` [G F ]-morphisme du pro-`-groupe E e F des unités logarithmiques de F dans F
l[G F ] défini par :
ϑ(ε) = P
σ∈G
FLog
l(ε σ )σ
−1.
Alors, pour tout élément a de l’algèbre F
l[G F ] tel qu’on ait aϑ( E e F ) ⊂ Z
l[G F ], l’image aϑ( E e F
◦)du pro-`-groupe des unités logarithmiques circulaires annule Z
l⊗
Z`C e ` F .
Preuve. Elle est strictement identique à celle donnée dans [1], §3. Rappelons-en brièvement l’argu- mentation : donnons-nous une Z ` -base (v
1, · · · , v d ) de Z
let notons (v
∗1, · · · , v
∗d ) la base duale de la codifférente. Partons d’un élément a = P
a σ σ
−1de F
l[G F ] et posons L
a(ε) = P
σ∈G
Fa σ
−1Log
l(ε σ ).
Nous obtenons aϑ(ε) = P
L
a(ε σ )σ
−1, avec L
a(ε σ ) ∈ Z
lpar hypothèse.
Écrivons maintenant L
a(ε σ ) = P d
i=1 Tr(v
∗i L
a(ε σ ))v i la décomposition de L
a(ε σ ) dans Z
l. Nous obtenons : aϑ(ε) = P
σ∈G
FP d
i=1 Tr(v
∗i L
a(ε σ ))v i
σ
−1= P d i=1
P
σ∈G
FTr(v
∗i L
a(ε σ ))σ
−1v i , i.e.
aϑ(ε) = P d
i=1 ϑ
v∗i(ε)v i avec ϑ
v∗i(ε) = P
σ∈G
FTr(v
∗i L
a(ε σ ))σ
−1; et l’application ϑ
v∗i
: ε 7→ P
σ∈G
FTr(v
∗i L
a(ε σ ))σ
−1est un Z ` [G F ]-morphisme de E e F dans Z ` [G F ].
En fin de compte, si x est un élément de Z
let [c] une classe de C e ` F , il vient : aϑ(ε).(x ⊗ [c]) = P d
i=1 xv i ⊗ ϑ
v∗i(ε)[c].
Or, on a ϑ
v∗i
