Annulateurs circulaires des groupes de classes logarithmiques

(1)

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Preprint submitted on 12 Mar 2021

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Annulateurs circulaires des groupes de classes logarithmiques

Jean-François Jaulent

To cite this version:

Jean-François Jaulent. Annulateurs circulaires des groupes de classes logarithmiques. 2020. �hal-

02519397v2�

(2)

Annulateurs circulaires des groupes de classes logarithmiques

Jean-François Jaulent

Résumé.

Étant donnés un corps abélien réel

F

de groupe

GF

et un nombre premier impair

ℓ, nous définis-

sons le sous-groupe circulaire

Ee_F^◦

du pro-ℓ-groupe des unités logarithmiques

Ee_F

et nous montrons que pour tout morphisme galoisien

ρ

de

Ee_F

dans

Zℓ[GF], l’imageρ(Ee_F)

annule le

ℓ-groupe des classes logarithmiques

e

Cℓ_F

. Nous en déduisons une preuve de l’analogue logarithmique de la conjecture de Solomon.

Abstract.

Given a real abelian field

F

with group

GF

and an odd prime number

ℓ, we define the circular

subgroup

Ee_F^◦

of the pro-ℓ-group of logarithmic units

Ee_F

and we show that for any Galois morphism

ρ : Ee_F →Zℓ[GF], the subalgebra ρ(Ee_F)

annihilates the

ℓ-group of logarithmic classes Ceℓ_F

. We deduce from this a proof of the logarithmic version of Solomon conjecture.

Introduction

Les ℓ-groupes de classes logarithmiques C e ℓ

F

introduits dans [12] sont des invariants arithmé- tiques canoniques attachés à un corps de nombres F pour chaque nombre premier ℓ.

Ces groupes, qui sont ﬁnis sous la conjecture de Gross-Kuz’min, donc inconditionnellement pour F abélien, s’apparentent aux groupes de classes de diviseurs des corps de fonctions (ils s’obtiennent comme quotient du groupe des diviseurs de degré nul par son sous-groupe principal), sont liés aux noyaux sauvages de la K-théorie et interviennent naturellement en théorie d’Iwasawa.

Par exemple, la conjecture de Greenberg sur la trivialité des invariants structurels attachés aux ℓ-groupes de classes dans la Z

ℓ

-extension cyclotomique F

∞

/F revient à postuler que le ℓ-groupe C e ℓ

F

des classes logarithmiques de F capitule dans F

∞

pour F totalement réel (cf. [16, 17]).

La première ambition de ce travail est de transposer aux groupes de classes logarithmiques des corps abéliens réels les théorèmes d’annulation obtenus par Thaine, Rubin, All et al. (cf.

[1, 4, 6, 23, 25, 27, 28]) pour les groupes de classes habituels. Nous introduisons pour cela la notion d’unité logarithmique circulaire en intersectant le ℓ-adiﬁé du groupe des éléments circulaires à la Sinnott avec le pro-ℓ-groupe des unités logarithmiques E e

^F

. C’est l’objet de la section 1.

Ce point acquis, la section 2 suit l’approche de Rubin [25] et de All [1] pour établir (Th. 9) : Théorème A. Étant donné un corps abélien réel F de groupe de Galois G

F

et ℓ un premier impair, pour tout morphisme galoisien ρ de E e

^F

dans Z

ℓ

[G

F

], l’image ρ(e E

F^◦

) du sous-groupe des unités logarithmiques circulaires annule le ℓ-groupe des classes logarithmiques C e ℓ

F

.

Nous en déduisons une version logarithmique d’un résultat conjecturé par Solomon (Th. 12) : Théorème B. Soient F un corps abélien réel, G

F

son groupe de Galois, ℓ un nombre premier impair, l une place de F au-dessus de ℓ et Z

l

l’anneau des entiers du complété l-adique F

l

; puis ϑ le Z

ℓ

[G

F

]-morphisme du pro-ℓ-groupe E e

^F

des unités logarithmiques de F dans F

l

[G

F

] défini par :

ϑ(ε) = P

σ∈GF

Log

_l

(ε

^σ

)σ

⁻¹

.

Alors, pour tout élément a de l’algèbre F

l

[G

F

] tel qu’on ait aϑ(e E

^F

) ⊂ Z

l

[G

F

], l’image aϑ(e E

F^◦

)du pro-ℓ-groupe des unités logarithmiques circulaires annule Z

l

⊗

^Zℓ

C e ℓ

F

.

Rappelons enﬁn qu’en présence des racines ℓ-ièmes de l’unité les éléments de Stickelberger et

leurs reﬂets permettent également de construire des annulateurs galoisiens pour les ℓ-groupes de

classes logarithmiques (cf. [18]), à la manière de Gras et Oriat (cf. [9, 24]).

(3)

1 Éléments circulaires et unités logarithmiques

1.1 Rappel sur les classes et unités logarithmiques

Soient ℓ un nombre premier donné et F un corps de nombres. À chaque place ﬁnie p de F , il est attaché dans [12] une application à valeurs dans Z

ℓ

, déﬁnie sur le groupe multiplicatif F

p^×

du complété de F en p par la formule :

˜

ν

p

(x

p

) = ν

p

(x

p

), pour p ∤ ℓ ; et ˜ ν

p

(x

p

) = −

deg¹p

Log

_ℓ

(N

Fp/Qp

(x

p

)), pour p | ℓ ;

où Log

_ℓ

désigne le logarithme d’Iwasawa et deg p est un facteur de normalisation, dont l’expression exacte est sans importance ici, destiné à assurer que l’image de F

p^×

soit dense dans Z

ℓ

. Cette application induit un morphisme surjectif du compactifié ℓ-adique du groupe multiplicatif F

p^×

R

^Fp

= lim

←− F

p^×

/F

p^×ℓⁿ

dont le noyau, dit sous-groupe des unités logarithmiques de R

^Fp

, U e

^Fp

= { x

p

∈ R

^Fp

| ν ˜

p

(x

p

) = 0 }

s’identiﬁe par la Théorie ℓ-adique locale du corps de classes (cf. [13]) au sous groupe normique de R

^Fp

associé à la Z

ℓ

-extension cyclotomique F

_p^c

de F

p

. C’est donc l’analogue du groupe

U

^Fp

= { x

p

∈ R

^Fp

| ν

p

(x

p

) = 0 }

des unités de de R

^Fp

, qui correspond, lui, à la Z

ℓ

-extension non-ramiﬁée de F

p

.

Soit maintenant J

^F

le ℓ-adifié du groupe des idèles de F , i.e. le produit J

^F

= Q

res

p

R

^Fp

des compactifés R

^Fp

des groupes multiplicatifs des complétés F

p

, restreint aux familles (x

p

)

p

dont presque tous les éléments tombent dans le sous-groupe unité U

^F

= Q

p

U

^Fp

. La Théorie ℓ-adique globale du corps de classes (cf. [13]) assure l’existence d’un isomorphisme de groupes topologiques compacts entre le ℓ-groupe des classes d’idèles C

^F

déﬁni comme quotient

C

^F

= J

^F

/ R

^F

de J

^F

par son sous-groupe principal R

^F

= Z

ℓ

⊗

^Z

F

^×

et le groupe de Galois G

F

= Gal(F

^ab

/F ) de la pro-ℓ-extension abélienne maximale de F . Dans la correspondance ainsi établie (cf. [12, 13]) :

(i) Le groupe de normes associé à la Z

ℓ

-extension cyclotomique F

^c

= F

∞

de F est le sous- groupe des idèles de degré nul : J e

^F

= { x = (x

p

)

p

∈ J

^F

| deg(x) = P

p

e ν

p

(x

p

) deg p = 0 } . (ii) Le groupe de normes associé à la plus grande sous-extension F

^lc

de F

^ab

qui est localement

cyclotomique (i.e. complètement décomposée sur F

^c

en chacune de ses places) est le produit U e

^F

R

^F

du sous-groupe U e

^F

= Q

p

U e

^Fp

des unités logarithmiques locales et de R

^F

.

(iii) En particulier, le groupe de Galois Gal(F

^lc

/F

^c

) s’identiﬁe au quotient C e ℓ

F

= J e

^F

/ U e

^F

R

^F

, lequel peut être regardé comme quotient du groupe D f ℓ

F

= J e

^F

/e U

^F

des diviseurs logarith- miques de degré nul par son sous-groupe principal P ℓ

F

= R

^F

U e

^F

/ U e

^F

, le numérateur f D ℓ

F

s’identiﬁant au sous-groupe ⊕ e

^p

Z

ℓ

p des diviseurs de degré nul de la somme formelle ⊕

^p

Z

ℓ

p.

(iv) Et le noyau E e

^F

= R

^F

∩ U e

^F

du morphisme div : f x 7→ P

p

ν e

p

(x) p de R

^F

dans D f ℓ

F

est le sous-groupe des normes cyclotomiques (locales comme globales) de R

^F

.

Déﬁnition. Nous disons que C e ℓ

F

= J e

^F

/ U e

^F

R

^F

≃ f D ℓ

F

/ P ℓ

F

est le ℓ-groupe des classes logarith- miques (de degré nul) du corps F et que E e

^F

est le pro-ℓ-groupe des unités logarithmiques globales.

Le quotient C e ℓ

^∗_F

= J

^F

/ U e

^F

R

^F

, qui s’identifie non canoniquement à la somme directe de C e ℓ

F

et de Z

ℓ

, est, par convention, le pro-ℓ-groupe des classes logarithmiques de degré arbitraire.

Comme expliqué dans [12], la conjecture de Gross-Kuz’min (pour le corps F et le premier ℓ) revient à postuler la ﬁnitude du (pro)-ℓ-groupe C e ℓ

F

ou, de façon équivalente, que le Z

ℓ

-rang du pro-ℓ-groupe des unités logarithmiques E e

^k

est le somme r

F

+ c

F

des nombres de places réelles et complexes de F . Elle est toujours vériﬁée dès lors que F est abélien.

Enﬁn, du point de vue de la théorie d’Iwasawa, le groupe C e ℓ

F

s’interprète comme le quotient des genres

^Γ

T

^F

, relativement au groupe procyclique Γ = Gal(F

∞

/F ), du module de Kuz’min-Tate

T

^F

= lim

←− C ℓ

^′_F_n

limite projective des ℓ-groupes de ℓ-classes d’idéaux attachés aux étages ﬁnis K

n

de la tour K

∞

/K .

(4)

1.2 Éléments cyclotomiques logarithmiques

Notons (ζ

n

)

n>1

un système cohérent de racines primitives de l’unité (en ce sens qu’on ait ζ

m^m/n

= ζ

n

pour n | m, par exemple ζ

n

= exp 2iπ/n) et ℓ un nombre premier arbitraire.

Théorème 1. Soient F un corps abélien de conducteur f > 1 et G

F

= Gal(F/Q).

— Pour ℓ | f , l’élément η

_F

= N

Q[ζf]/F

(1 − ζ

_f

) est une unité logarithmique : η

_F

∈ E e

F

.

— Pour ℓ ∤ f , l’intersection du Z

ℓ

[G

F

] module multiplicatif engendré par η

F

avec le pro-ℓ- groupe E e

^F

des unités logarithmiques de F contient le Z

ℓ

[G

F

]-module engendré par l’élément

e

η

_F

= η

¹⁻⁽_F ^F^ℓ⁾⁻¹

.

En d’autres termes, on a : η

_F^Z^ℓ^[G^F^]

⊂ E e

^F

dans le premier cas ; η e

_F^Z^ℓ^[G^F^]

⊂ E e

^F

dans le second.

Preuve. Il est bien connu (cf. e.g. [9], §4.2) que les η

_F

satisfont les identités normiques :

N

F/K

(η

_F

) = η

Q

p 1− ^K_p

−1

K

(1)

où, pour toute sous-extension K de F, le produit fait intervenir les symboles d’Artin attachés aux premiers p qui se ramiﬁent dans F/Q mais non dans K/Q.

Rappelons en outre que les η

_F

sont des p-unités qui ne sont pas unités lorsque f est p-primaire pour un premier p ; des unités sinon. Cela étant, distinguons les cas :

— Pour ℓ | f , le cas f = p

^r

avec p 6 = ℓ étant exclu, η

_F

est toujours une ℓ-unité et il vient donc : e

v

p

(η

_F

) = v

p

(η

_F

) = 0, chaque p ∤ ℓ,

puisqu’aux places étrangères à ℓ les valuations logarithmique v e

p

et ordinaire v

p

coïncident.

Aux places au-dessus de ℓ, il vient, en revanche : e

v

l

(η

_F

) =

_deg¹_l

Log

_ℓ

(N

Fl/Qℓ

(η

_F

)).

Introduisons donc le sous-corps de décomposition F

◦

de ℓ dans F/Q. Par hypothèse le premier ℓ se ramiﬁe alors dans F mais non dans F

◦

et l’on a en outre

^F_ℓ^◦

= 1, de sorte que la formule normique plus haut nous donne immédiatement :

e

v

l

(η

_F

) =

_deg¹ _l

Log

_ℓ

(N

F/F_◦

(η

_F

)) =

_deg¹ _l

Log

_ℓ

1 = 0, sauf dans le cas ℓ-primaire f = ℓ

^r

, où l’on a directement :

e

v

l

(η

_F

) =

_deg¹_l

Log

_ℓ

(N

F/Q

(η

_F

)) =

_deg¹_l

Log

_ℓ

ℓ = 0,

En ﬁn de compte, il vient bien e v

l

(η

_F

) = 0 pour l | ℓ ; et η

_F

est une unité logarithmique.

— Pour ℓ ∤ f , l’élément η

_F

est toujours une unité (et donc une unité logarithmique aux places en dehors de ℓ), sauf dans le cas primaire f = p

^r

, dans lequel c’est une p-unité qui n’est pas une unité. Dans cette dernière situation, si p est alors l’unique place de F au-dessus de p, l’égalité e v

p

(η

^α_F

) = v

p

(η

^α_F

), pour tout α dans Z

ℓ

[G

F

] donne l’équivalence :

e

v

p

(η

_F^α

) = 0 ⇔ α ∈ Z

^aug_ℓ

[G

F

], idéal d’augmentation de l’algèbre Z

ℓ

[G

F

].

Reste dans tous les cas à évaluer les valuations logarithmiques aux places l au-dessus de ℓ.

La formule e v

l

(η

_F^α

) =

_deg¹_l

Log

_ℓ

(N

Fl/Qℓ

(η

^α_F

)) donne l’équivalence : e

v

l

(η

^α_F

) = 0 ⇔ N

F/F_◦

(η

_F^α

) ∈ ℓ

^Z^ℓ

⇔ N

F/F_◦

(η

_F^α

) = 1,

où F

◦

désigne, comme précédemment, le sous-corps de décomposition de ℓ. Et cette dernière condition est évidemment remplie lorsque α est contenu dans l’idéal d’augmentation du sous-groupe de décomposition D

ℓ

de ℓ ; autrement dit lorsque c’est un multiple de 1 − (

^F_ℓ

)

⁻¹

. Scolie 2. Sous les mêmes hypothèses, les éléments η

_F

pour ℓ | f (et η e

_F

pour ℓ ∤ f ) sont en fait des normes universelles dans la Z

ℓ

-tour cyclotomique F

∞

de F, i.e. des éléments de l’intersection N

^F

= T

n∈N

N

Fn/F

(e E

^Fn

) des groupes de normes logarithmiques attachés aux étages finis de F

∞

.

Preuve. C’est une conséquence immédiate des identités normiques citées plus haut. On a, en eﬀet :

N

Fn/F

(η

_F_n

) = η

_F

, dans le premier cas ; N

Fn/F

(η

_F_n

) = e η

_F

, dans le second.

(5)

1.3 Unités logarithmiques circulaires

Soient toujours ℓ un nombre premier arbitraire, F un corps abélien réel, f = f

F

son conducteur, G

F

= Gal(F/Q) son groupe de Galois et F

∞

= S

n∈N

F

n

sa Z

ℓ

-extension cyclotomique.

Rappelons que le groupe des normes universelles est l’intersection N

^F

= T

n∈N

N

Fn/F

( E e

^Fn

) des sous-groupes de normes d’unités logarithmiques attachés aux étages ﬁnis F

n

de F

∞

.

Pour chaque sous-corps K de F , notons f

K

son conducteur et η

_K

= N

Q[ζfK]/K

(1 − ζ

fK

).

Le ℓ-adiﬁé C

^◦F

du groupe des éléments circulaires (à la Sinnott) est le Z

ℓ

[G

F

]-module engendré dans R

^F

= Z

ℓ

⊗ F

^×

par les images de − 1 et des éléments η

K

, pour K ⊂ F . Il est donc naturel de déﬁnir le pro-ℓ-groupe des unités logarithmiques circulaires (à la Sinnott) du corps abélien réel F comme l’intersection E e

F

∩ R

^◦F

de R

^◦F

avec le pro-ℓ-groupe E e

^F

des unités logarithmiques : Déﬁnition 3. Par pro-ℓ-groupe des éléments circulaires de F nous entendons le Z

ℓ

[G

F

]-module R

^◦F

engendré dans R

^F

= Z

ℓ

⊗ F

^×

par les images de − 1 et des éléments η

K

, pour K ⊂ F .

Par convention le pro-ℓ-groupe des unités logarithmiques circulaires (à la Sinnott) est l’inter- section de R

^◦F

avec le pro-ℓ-groupe E e

^F

des unités logarithmiques : E e

F^◦

= E e

F

∩ C

K^◦

.

Et nous disons que l’intersection N

F^◦

= T

n∈N

N

Fn/F

( E e

F^◦n

) des groupes de normes d’unités logarithmiques circulaires est le sous-groupe des normes universelles circulaires.

Théorème 4. Soient F un corps abélien réel et F

^◦

le sous-corps de décomposition de ℓ ; puis E

F/F^′ ^◦

, E

_F/F^◦ ◦

et E e

F/F^◦ ^◦

les pré-images respectives du ℓ-groupe des racines µ

_F◦

par la norme N

F/F^◦

dans les pro-ℓ-groupes des ℓ-unités E

F^′

, des unités circulaires E

F^◦

et des unités logarithmiques circulaires E e

F^◦

. Notons enfin G

F

le groupe de Galois Gal(F/Q) et D

ℓ

le sous-groupe Gal(F/F

^◦

).

(i) Lorsque F possède plus d’une place au-dessus de ℓ, i.e. pour F

^◦

6 = Q, il vient : E e

F^◦

= E e

F/F^◦ ^◦

= E

F/F^◦ ^◦

.

En particulier, le caractère χ e

^◦_F

du Z

ℓ

[G

F

]-module des unités logarithmiques circulaires E e

F^◦

est alors l’induit à G

F

du caractère d’augmentation du sous-groupe de décomposition D

ℓ

: e

χ

^◦_F

= Ind

^G_D^F_ℓ

χ

^aug_D_ℓ

.

(ii) Lorsque, en revanche, le corps F admet une unique place au-dessus de ℓ, on a : E

F^◦

⊂ E e

F^◦

. (ii,a) Si F est ramifié en ℓ (e.g. pour F ⊂ Q[ζ

ℓ^k

+ ¯ ζ

ℓ^k

]), le groupe des unités logarithmiques circulaires est contenu avec un indice fini dans le pro-ℓ-groupe des ℓ-unités : E e

F^◦

≈ E

F^′

. C’est donc alors, tout comme celui-ci, un Z

ℓ

[G

F

]-module de caractère régulier.

(ii,b) Sinon, E e

F^◦

coïncide avec E

F^◦

≈ E

F

et on a directement : χ e

^◦_F

= χ

^◦_F

= χ

^aug_G_F

. La preuve de ce résultat repose sur le Lemme suivant :

Lemme 5. Pour tout corps abélien réel F 6 = Q dans lequel le nombre premier ℓ se décompose complètement, le pro-ℓ-groupe des unités logarithmiques circulaires E e

F^◦

se réduit au ℓ-groupe des racines de l’unité µ

_F

= {± 1 }

^Z^ℓ

; i.e. E e

F^◦

= 1, pour ℓ impair ; E e

F^◦

= {± 1 } , pour ℓ = 2.

Preuve. En l’absence de ramiﬁcation en ℓ dans F/Q, les éléments cyclotomiques η

_K

pour K ⊂ F sont des unités aux places au-dessus de ℓ. On a donc : E e

F^◦

= R

^◦F

∩ E e

F

⊂ E

F

∩ E e

F

. Puis, sous l’hypothèse de complète décomposition : E

F

∩ E e

F

= µ

_F

(cf. [11], p. 218, l. 11–13, ou [17], Prop.6).

Preuve du Théorème. Regardons d’abord (i). Le Lemme donne N

F/F^◦

( E e

F^◦

) ⊂ E e

F^◦^◦

= µ

_F◦

, puis : E e

F^◦

= E e

F/F^◦ ^◦

= E

F/F^′ ^◦

∩ E

F^◦

= E

F/F^◦ ^◦

,

puisque les places au-dessus de ℓ ne se décomposent pas dans F/F

^◦

. L’expression du caractère χ e

^◦_F

en résulte immédiatement, puisque E

F^◦

≈ E

F

est un Z

ℓ

[G

F

]-module de caractère χ

^aug_G_F

.

Examinons maintenant (ii). La formule du produit pour les valuations ℓ-adiques montre que,

dans ce dernier cas, les unités logarithmiques sont exactement les ℓ-unités, i.e. que l’on a : E e

F

= E

F^′

.

En particulier, E e

F^◦

= E e

F

∩ C

^◦F

contient alors E

F^◦

= E

F

∩ C

F^◦

, qui est d’indice ﬁni dans E

F

. Si ℓ se

ramiﬁe dans F , le groupe circulaire C

F^◦

contient l’image de ℓ et E e

F^◦

est ainsi d’indice ﬁni dans E

F^′

.

Sinon, les éléments circulaires sont des unités en ℓ, le groupe E e

F^◦

se réduit à E

F^◦

et tout est dit.

(6)

2 Annulateurs circulaires des groupes de classes logarithmiques

2.1 Application du Théorème de Čebotarev

Prenons désormais ℓ impair et considérons un corps abélien réel F de conducteur f = f

F

> 1.

Écrivons G

F

= Gal(F/Q) son groupe de Galois. Notons C e ℓ

F

le ℓ-groupe des classes logarithmiques (de degré nul) attaché à F et C e ℓ

^∗_F

le groupe des classes logarithmiques sans condition de degré.

Prenons m assez grand pour avoir ℓ

^m

C e ℓ

F

= 0, de sorte que C e ℓ

F

puisse être regardé canonique- ment comme un sous-groupe du quotient d’exposant ℓ

^m

du pro-ℓ-groupe des classes logarithmiques de degré arbitraire : C e ℓ

_F

⊂

^ℓ^m

C e ℓ

^∗_F

= C e ℓ

^∗_F

/ℓ

^m

C e ℓ

^∗_F

.

Désignons par F e la plus grande extension abélienne de F qui est d’exposant ℓ

^m

et localement cyclotomique, de sorte que nous avons par la Théorie du corps de classes : Gal( F/F e ) ≃

^ℓ^m

C e ℓ

^∗_F

. Et notons F

m0

= F e ∩ F

∞

le sous-corps de F e ﬁxé par C e ℓ

F

.

Donnons-nous enﬁn un morphisme galoisien ρ ¯ du pro-ℓ-groupe E e

^F

des unités logarithmiques de F vers l’algèbre Z/ℓ

^m

Z[G

F

] ; et considérons les extensions emboîtées :

F

ζ

= F [ζ

ℓ^m

] ⊂ F

ρ

= F

ζ

[

^ℓ

p

^m

Ker ¯ ρ ] ⊂ F

ε

= F

ζ

[

^ℓ^m

q E e

F

],

Observons pour cela que tout élément x du tensorisé R

^F

= Z

ℓ

⊗

^Z

F

^×

peut être représenté par un élément x de F

^×

modulo une puissance ℓ

^m

-ième de R

^F

, disons x = xy

^ℓ^m

, et que cet élément x est unique modulo F

^×^ℓ^m

; ce qui permet de déﬁnir sans ambiguïté F

ζ

[

^ℓ

√

^m

x] comme étant F

ζ

[

^ℓ

√

^m

x].

Observons en outre que les trois extensions F

ζ

, F

ρ

et F

ε

sont linéairement disjointes de F e sur F

m0

, de sorte que leurs composés F e

ζ

, F e

ρ

et F e

ε

avec F e donnent lieu au schéma galoisien, où l’on a posé G

Fζ

= Gal(F

ζ

/Q) :

F e

e CℓF

F e

ζ

F e

ρ

F e

ε

F

m0

F

ζ

GFζ

☞ ☞ ☞ ☞ ☞ ☞ ☞ ☞ ☞ ☞ ☞ ☞ ☞ ☞ ☞

F

ρ

F

ε

F

GF

Q

Par construction, le radical kummérien de F

ε

/F

ρ

est : Rad(F

ε

/F

ρ

) = E e

^F

/ Ker ¯ ρ ≃ Im ¯ ρ. C’est un sous-module de Z/ℓ

^m

Z[G

F

] ; et le groupe de Galois Gal(F

ε

/F

ρ

) ≃ Hom

GFζ

(Rad(F

ε

/F

ρ

), µ

ℓ^m

), qui s’identiﬁe donc à un quotient de Z/ℓ

^m

Z[G

F

], est, de ce fait, Z

ℓ

[G

Fζ

]-monogène.

Soient alors σ

_F_ε

∈ Gal(F

ε

/F

ρ

) un Z

ℓ

[G

Fζ

]-générateur de Gal( F e

ε

/ F e

ρ

) et σ

_F_e

∈ Gal( F/F e

m0

) provenant d’une classe donnée arbitraire [c] de C e ℓ

F

regardée dans

^ℓ^m

C e ℓ

^∗_F

.

Déﬁnissons enﬁn σ dans Gal( F e

ε

/F

ρ

) en imposant σ

|_Fε

= σ

_F_ε

et σ

|_F_e

= σ

_F_e

. Cela étant : Proposition 6. Il existe une infinité de nombres premiers impairs p 6 = ℓ, complètement décompo- sés dans F

ρ

/Q, tels que l’image de l’une des places de F e

ε

au-dessus par l’opérateur de Frobenius coïncide avec σ. Sont alors vérifiées en particulier les propriétés suivantes :

(i) p est complètement décomposé dans F [ζ

ℓ^m

], donc vérifie la congruence : p ≡ 1[ mod ℓ

^m

].

(ii) La classe [p] de l’un des premiers p de F au-dessus de p dans

^ℓ^m

C e ℓ

^∗_F

coïncide avec [c].

(iii) Les Frobenius dans F

ε

des places au-dessus de p engendrent Gal(F

ε

/F

ρ

).

Preuve. L’existence est une conséquence immédiate du théorème de densité de Čebotarev. De plus,

(i) la congruence résulte de la condition de complète décomposition dans F

ρ

, donc dans Q[ζ

ℓ^m

] ;

(ii) provient du fait que σ

_F_e

est induit par l’image canonique [c] C ℓ

^∗_F^ℓ^m

de [c] dans

^ℓ^m

C e ℓ

^∗_F

;

(iii) enﬁn résulte du fait que les conjugués de σ

|_Fε

par G

Fζ

engendrent Gal(F

ε

/F

ρ

).

(7)

2.2 Lemmes d’annulation logarithmiques

Conservons les mêmes notations, supposons ﬁxé le premier p de F au-dessus de p ≡ 1[ mod ℓ

^m

] donné par la Proposition 6 et considérons la restriction à E e

^F

du morphisme de semi-localisation s

p

induit par le plongement de F dans le produit de ses complétés F

p^σ

aux places au-dessus de p.

Par construction, pour chacune des places p

^σ

de F au-dessus de p, le complété F

p^σ

s’identiﬁe à Q

p

et le ℓ-sous-groupe de Sylow µ

_pσ

du groupe F

p^×^σ

est d’ordre ℓ

^m^p

avec m

p

= v

ℓ

(p − 1) ≥ m.

En particulier le quotient

^ℓ^m

µ

_F_p

= µ

_F_q

/µ

_F^ℓ^m_p

est un Z/ℓ

^m

Z[G

F

]-module libre de dimension 1.

Lemme 7. Sous les hypothèses de la Proposition, le morphisme galoisien ρ ¯ : E e

^F

→ Z/ℓ

^m

Z[G

F

] s’écrit ρ ¯ = ¯ ρ

p

◦ s ¯

p

, où s ¯

p

: E e

^F

→

^ℓ^m

µ

_F_p

est induite par l’application de semi-localisation et ρ ¯

p

est un morphisme galoisien de

^ℓ^m

µ

_F_p

vers Z/ℓ

^m

Z[G

F

].

Preuve. Le noyau de s

p

dans E e

^F

est formé des unités logarithmiques qui sont localement puissances ℓ

^m

-ièmes aux places au-dessus de p, i.e. des ε ∈ E e

^F

pour lesquelles les extensions F [

^ℓ

√

^m

ε]/F sont complètement décomposées aux places p

^σ

(ou, ce qui revient au même, pour lesquelles l’extension F

ζ

[

^ℓ

√

^m

ε]/F

ζ

est complètement décomposée aux places au-dessus de p). Du fait du choix de α

_F_ε

, cela revient à exiger que les conjugués de α

_F_ε

agissent trivialement sur F

ζ

[

^ℓ

√

^m

ε] ; autrement dit, que ε soit une puissance ℓ

^m

-ième dans F

ρ

, i.e. le produit d’un élément de Ker ¯ ρ et d’une puissance ℓ

^m

-ième dans F

ζ

et ﬁnalement dans F , puisque, ℓ étant impair, les éléments de F qui sont des puissances ℓ

^m

-ièmes dans F

ζ

sont déjà des puissances ℓ

^m

-ièmes dans F (cf. e.g. [25], Lem. 5.7). En ﬁn de compte, il suit : Ker ¯ s

p

= Ker ¯ ρ, ce qui assure, par Z/ℓ

^m

Z[G

F

]-injectivité de

^ℓ^m

µ

_F_p

, l’existence du morphisme factorisant ρ ¯

q

.

Soit maintenant ζ

p

une racine primitive p-ième de l’unité. L’extension F[ζ

p

]/F possède une unique sous-extension F

^′

de degré ℓ

^m

, laquelle est cyclique, totalement ramiﬁée au-dessus de p et non-ramiﬁée en dehors. En particulier, si p

^′

= p

F^′

désigne l’unique place de F

^′

au-dessus de p = p

F

et F

_p^′

son complété en la place p

^′

, on a d’une part p

_F

= p

^ℓ_F^m′

; et, d’autre part, l’égalité entre ℓ-groupes de racines locales de l’unité : µ

_F^′

p

= µ

_F

p

.

Le lemme qui suit peut être regardé comme l’analogue logarithmique du Th.5.1 de [25].

Lemme 8. Avec les notations ci-dessus, soient E e

^F^′^/F

= { η

_F′

∈ E e

^F^′

| N

F^′/F

(η

_F′

) = 1 } le groupe des unités logarithmiques relatives de l’extension F

^′

/F et s

p

l’homomorphisme de semi-localisation à valeurs dans la somme directe µ

_F′

p

= µ

_F

p

= L

p|p

µ

_F_p

≃ µ

_Q_p

⊗ Z

ℓ

[G

F

] ≃ (Z/ℓ

^m^p

Z)[G

F

].

Tout α ∈ Z

ℓ

[G

F

] qui annule le quotient µ

_F_p

/s

p

(e E

^F^′^/F

)µ

^ℓ_F^m_p

annule la classe de p dans

^ℓ^m

C e ℓ

^∗_F

. Preuve. Écrivons F

_p^′′

= F

_p

[

^ℓ

p

^m

π

_p

] pour une uniformisante π

p

∈ F

p

; et x

F^′

∈ R

^F^′

un relèvement de (

^ℓ

p

^m

π

_p

, 1, · · · , 1) ∈ Q

p_F′|p

R

F_p^′

F′

; notons enﬁn δ un générateur de ∆ = Gal(F

^′

/F ) ≃ Gal(F

_p^′′

/F

_p

).

Par construction, nous avons s

p

(x

F^′

)

^δ−1

= s

p

(x

^δ−1F^′

)) = (ζ

p

, 1, · · · , 1) pour une racine ℓ

^m

-ième de l’unité ζ

p

∈ F

p

; puis, par hypothèse, s

p

(x

^αF

)

^δ−1

= s

p

(x

^δ−1F

))

^α

= s

p

(η

F^′

), pour un η

F^′

∈ E e

F^′/F

. Le Théorème 90 de Hilbert nous permet alors d’écrire η

_F′

= y

F^δ−1^′

pour un y

_F′

∈ R

^F^′

, qui engendre donc un diviseur logarithmique ambige. Il suit (en notations additives) :

f

div y

_F′

= P

σ∈GF

α

^′_σ

p

^σ_F′

+ a

^′_F

; puis : f div N

F^′/F

(y

_F′

) = P

σ∈GF

α

^′_σ

p

^σ_F

+ ℓ

^m

a

^′_F

de sorte que l’élément α

^′

= P

α

^′_σ

σ ∈ Z

ℓ

[G

F

] annule bien la classe de p = p

F

dans C e ℓ

^∗_F

/ℓ

^m

C e ℓ

^∗_F

. Reste à vériﬁer que α

^′

et α sont dans la même classe modulo ℓ

^m

Z

ℓ

[G

F

]. Pour cela, observons que l’identité s

p

(x

^αF^′

/y

F^′

)

^(δ−1)

= 1 nous donne s

p

(x

^αF^′

) = s

p

(y

F^′

z

F

), pour un z

F

convenable de R

^F

. Écrivant alors α = P

α

σ

σ et prenant les diviseurs logarithmiques respectifs des deux membres de l’identité, nous restreignant enﬁn aux seules composantes au-dessus de p, nous obtenons ainsi :

P

σ∈GF

α

σ

p

^σ_F′

= P

σ∈GF

α

^′σ

p

^σ_F′

+ a

F

pour un diviseur logarithmique a

F

de F , donc ﬁnalement, comme attendu : P

σ∈GF

α

σ

σ ≡ P

σ∈GF

α

^′_σ

σ [ mod ℓ

^m

Z

ℓ

[G

F

] ],

puisque les diviseurs logarithmiques au-dessus de p sont totalement ramiﬁés dans F

^′

/F .

(8)

2.3 Annulation des classes logarithmiques réelles

Nous pouvons maintenant énoncer le Théorème principal sur les annulateurs circulaires.

Théorème 9. Étant donné un corps abélien réel F de groupe de Galois G

F

et ℓ un premier impair, pour tout morphisme galoisien ρ de E e

^F

dans Z

ℓ

[G

F

], l’image ρ(e E

F^◦

) du sous-groupe des unités logarithmiques circulaires annule le ℓ-groupe des classes logarithmiques C e ℓ

F

.

Preuve. Choisissons m assez grand pour que ℓ

^m

annule le ℓ-groupe C e ℓ

F

des classes logarithmiques ; prenons un élément α dans ρ(e E

F^◦

) ; et partons d’une classe [c] de C e ℓ

F

regardée dans

^ℓ^m

C e ℓ

^∗_F

.

Notons ρ ¯ la réduction de ρ modulo ℓ

^m

, à valeurs dans Z/ℓ

^m

Z[G

F

], et faisons choix d’un premier impair p 6 = ℓ satisfaisant les conditions de la Proposition 6. Par construction p ≡ 1[ mod ℓ

^m

] est complètement décomposé dans F et l’on a [c] = [p] dans

^ℓ^m

C e ℓ

^∗_F

pour l’un des premiers p de F au-dessus de p.

Tout revient donc à montrer que l’on a : α[p] = 0 ¯ dans

^ℓ^m

C e ℓ

^∗_F

, où α ¯ ∈ Im ¯ ρ est la réduction de α modulo ℓ

^m

. Or, par le Lemme 7, ρ ¯ se factorise via l’application de semi-localisation s ¯

p

. Et : Lemme 10. Pour toute unité logarithmique circulaire η ∈ E e

F^◦

, il existe une unité logarithmique circulaire relative η

^′

∈ E e

F^′/F

telle qu’on ait : s

p

(η) = s

p

(η

^′

).

Ainsi α, qui est l’image par ¯ ρ ¯ d’une unité logarithmique circulaire η, provient d’une unité logarithmique circulaire relative η

^′

∈ E e

F^′/F

; et il résulte alors du Lemme 8 qu’il annule la classe de p dans

^ℓ^m

C e ℓ

^∗_F

. D’où le résultat annoncé.

Preuve du Lemme. Il s’agit de vériﬁer que les unités logarithmiques circulaires sont mutatis mutan- dis ce que Rubin appelle des unités spéciales dans [25]. Reprenons pour cela dans le cadre logarith- mique les calculs de All (cf. [1], §3) : partons d’une unité logarithmique circulaire ε = Q

K⊂F

η

_K^α^K

avec α

K

∈ Z

ℓ

[G

F

] ; notons Q

^′

l’unique sous-corps de degré ℓ

^m

de Q[ζ

p

] et K

^′

= KQ

^′

, pour K ⊂ F ; identiﬁons G

F

= Gal(F/Q) à G

^′_F

= Gal(F[ζ

p

]/Q[ζ

p

]) ; et raisonnons modulo m

^′

= Q

p^′|p

p

^′

. De ζ

p

≡ 1, nous tirons : η

Q[ζf]

= 1 − ζ

f

≡ 1 − ζ

f

ζ

p

= (1 − ζ

f p

)

^ρ

= η

Q[ζ^ρf p]

pour un ρ de G

^′_F

; et, plus généralement : η

_K

≡ η

^ρ_K^K′

, pour un ρ

K

de G

^′_F

.

Posant alors ε

^′

= Q

K⊂F

η

K^α^′^K^ρ^K

, nous obtenons bien ε ≡ ε

^′

, i.e. s

p

(ε) = s

p

(ε

^′

), puisque ε est une unité aux places au-dessus de p, et N

F^′/F

(ε

^′

) = 1, puisque p est ramiﬁé dans chaque K

^′

mais complètement décomposé dans chacun des sous-corps K.

Le résultat obtenu ci-dessus pour les classes logarithmiques peut naturellement être mis en parallèle avec celui de Rubin [25] sur les classes d’idéaux tel que présenté par All (cf. [1], §3).

Désignons pour cela par C ℓ

_F⁰

le sous-groupe du ℓ-groupe des classes d’idéaux C ℓ

_F

engendré par les idéaux de degré nul, de sorte que l’on a C ℓ

_F⁰

≃ Gal(F

∞

F

^nr

/F

∞

), où F

^nr

désigne le ℓ-corps de classes de Hilbert de F . Il vient alors :

Corollaire 11. Soient ℓ un premier impair, F abélien réel de groupe G

F

et ρ un morphisme galoisien du ℓ-adifié E

F^′

= Z

ℓ

⊗

^Z

E

_F^′

du groupe des ℓ-unités de F dans l’algèbre Z

ℓ

[G

F

]. Alors :

(i) L’image ρ( E

F^◦

) du pro-ℓ-groupe construit sur les unités circulaires annule C ℓ

_F⁰

. (ii) L’image ρ(e E

F^◦

) du pro-ℓ-groupe des unités logarithmiques circulaires annule C e ℓ

_F

.

L’assertion (i) n’est autre qu’une réécriture ℓ-adique du résultat initial de Rubin ; l’assertion (ii) provient directement du Théorème 9. Les classes logarithmiques sont conventionnellement de degré nul (sauf mention explicite du contraire), mais non les classes au sens ordinaire ; de ce fait l’introduction du sous-groupe C ℓ

_F⁰

renforce le parallélisme des résultats.

Remarque. Lorsque le corps F possède plusieurs places au-dessus de ℓ, i.e. lorsque le sous-corps

de décomposition F

^◦

de ℓ n’est pas le corps des rationnels Q, le Théorème 4 aﬃrme en particulier

que E e

F^◦

est contenu dans le noyau de la norme N

F/F^◦

. Le Théorème 9 ne donne donc de ce fait

aucune information directe sur le groupe C e ℓ

_F◦

.

(9)

Appendice : lien avec la conjecture de Solomon

Supposons toujours F abélien réel et ℓ impair, mais ﬁxons maintenant l’une l des places au- dessus de ℓ. Solomon a conjecturé dans [27] que si ℓ ne se ramiﬁe pas dans F l’élément

ϑ

_F^Sol

=

¹_ℓ

P

σ∈GF

Log

_l

(η

_F^σ

)σ

⁻¹

annule le tensorisé Z

l

⊗

^Zℓ

C ℓ

F

du ℓ-groupe des classes d’idéaux de F.

Conséquence du Théorème principal de Mazur-Wiles [22] dans le cas semi-simple ℓ ∤ [F : Q], ce résultat a été prouvé par Belliard et Nguyen Quang Do dans [5] pour ℓ décomposé, et sans restriction par All (cf. [1], Th. 1.1) sous une forme plus générale qu’on peut réécrire comme suit : Théorème (All). Soient F un corps abélien réel, G

F

son groupe de Galois, ℓ un nombre premier impair, l une place de F au-dessus de ℓ et Z

l

l’anneau des entiers du complété l-adique F

l

; puis ϑ le Z

ℓ

[G

F

]-morphisme du ℓ-adifié E e

^F

= Z

ℓ

⊗

^Z

E

F

du groupe des unités dans F

l

[G

F

] défini par :

ϑ(ε) = P

σ∈GF

Log

_l

(ε

^σ

)σ

⁻¹

.

Alors, pour tout a de F

l

[G

F

] tel qu’on ait aϑ( E

^F

) ⊂ Z

l

[G

F

], l’image aϑ( E

F^◦

)du pro-ℓ-groupe des unités circulaires annule le tensorisé Z

l

⊗

^Zℓ

C ℓ

_F⁰

du ℓ-groupe des classes d’idéaux de degré nul.

Nota. Dans l’isomorphisme du corps de classes C ℓ

F

≃ Gal(F

^nr

/F ), où F

^nr

désigne la ℓ-extension abélienne non ramiﬁée de F (i.e. son ℓ-corps de classes de Hilbert), le sous-groupe C ℓ

_F⁰

des classes de degré nul correspond à Gal(F

^nr

/(F

^nr

∩ F

∞

)), où F

∞

est la Z

ℓ

-extension cyclotomique de F .

En parfaite analogie avec ce résultat, nous pouvons énoncer en termes logarithmiques : Théorème 12. Soient F un corps abélien réel, G

F

son groupe de Galois, ℓ un nombre premier impair, l une place de F au-dessus de ℓ et Z

l

l’anneau des entiers du complété l-adique F

l

; puis ϑ le Z

ℓ

[G

F

]-morphisme du pro-ℓ-groupe E e

^F

des unités logarithmiques de F dans F

l

[G

F

] défini par :

ϑ(ε) = P

σ∈GF

Log

_l

(ε

^σ

)σ

⁻¹

.

Alors, pour tout élément a de l’algèbre F

l

[G

F

] tel qu’on ait aϑ( E e

^F

) ⊂ Z

l

[G

F

], l’image aϑ( E e

F^◦

)du pro-ℓ-groupe des unités logarithmiques circulaires annule Z

l

⊗

^Zℓ

C e ℓ

F

.

Preuve. Elle est strictement identique à celle donnée dans [1], §3. Rappelons-en brièvement l’argu- mentation : donnons-nous une Z

ℓ

-base (v

1

, · · · , v

d

) de Z

l

et notons (v

^∗₁

, · · · , v

^∗_d

) la base duale de la codiﬀérente. Partons d’un élément a = P

a

σ

⁻¹

de F

l

[G

F

] et posons L

a

(ε) = P

σ∈GF

a

σ⁻¹

Log

_l

(ε

^σ

).

Nous obtenons aϑ(ε) = P

L

a

(ε

^σ

)σ

⁻¹

, avec L

a

(ε

^σ

) ∈ Z

l

par hypothèse.

Écrivons maintenant L

a

(ε

^σ

) = P

d

i=1

Tr(v

^∗_i

L

a

(ε

^σ

))v

i

la décomposition de L

a

(ε

^σ

) dans Z

l

. Nous obtenons : aϑ(ε) = P

σ∈GF

P

d

i=1

Tr(v

^∗_i

L

a

(ε

^σ

))v

i

σ

⁻¹

= P

d i=1

P

σ∈GF

Tr(v

^∗_i

L

a

(ε

^σ

))σ

⁻¹

v

_i

, i.e.

aϑ(ε) = P

d

i=1

ϑ

v^∗_i

(ε)v

i

avec ϑ

v^∗_i

(ε) = P

σ∈GF

Tr(v

^∗_i

L

a

(ε

^σ

))σ

⁻¹

; et l’application ϑ

v^∗_i

: ε 7→ P

σ∈GF

Tr(v

^∗_i

L

a

(ε

^σ

))σ

⁻¹

est un Z

ℓ

[G

F

]-morphisme de E e

^F

dans Z

ℓ

[G

F

].

En ﬁn de compte, si x est un élément de Z

l

et [c] une classe de C e ℓ

F

, il vient : aϑ(ε).(x ⊗ [c]) = P

d

i=1

xv

_i

⊗ ϑ

v^∗_i

(ε)[c].

Or, on a ϑ

v^∗_i

(ε)[c] = 0, si ε est une unité logarithmique circulaire, en vertu du Théorème 9 ; d’où le résultat annoncé.

Remarque. Prenant ε = η

F

et a =

¹_ℓ

, on obtient l’élément de Solomon

¹_ℓ

P

σ∈GF

Log

_l

(η

_F^σ

)σ

⁻¹

, lequel annule donc Z

l

⊗

^Zℓ

C ℓ

_F⁰

, comme établi dans [1], puisque η

F

est bien une unité circulaire.

Si la place ℓ se ramiﬁe dans F , on a N

F/F^◦

(η

F

) = 1 en vertu de l’identité 1 et N

Fn/F

(η

Fn

) = η

F

,

de sorte que η

F

est à la fois une unité logarithmique circulaire et une norme universelle. L’élément

de Solomon annule alors aussi le groupe logarithmique Z

l

⊗

^Zℓ

C e ℓ

F

. C’est en particulier le cas, dès

que F contient le sous-corps réel Q[ζ

ℓ

+ ¯ ζ

ℓ

] du corps cyclotomique Q[ζ

ℓ

].

(10)

Références

[1] T. All,Onp-adic annihilators of real ideal classes, J. Number Theory133(2013), 2324–2338.

[2] K. Belabas, J.-F. Jaulent,The logarithmic class group package in PARI/GP, Pub. Math. Besançon (2016).

[3] J.-R. Belliard,Sur la structure galoisienne des unités circulaires dans lesZp-extensions, J. Number Th.69 (1998), 16–49.

[4] J.-R. Belliard, A. Martin,Annihilation of real classes, Prépublication (2014).

[5] J.-R. Belliard, T. Nguyen Quang Do,Formules de classes pour les corps abéliens réels, Ann. Inst. Fourier 51(2001), 903–937.

[6] J.-R. Belliard, T. Nguyen Quang Do,On modified circular units and annihilation of real classes, Nagoya Math. J.177(2005), 77–115.

[7] G. Gras,Théorèmes de réflexion, J. Théor. Nombres Bordeaux10(1998), 399-499.

[8] G. Gras,Approche p-adique de la conjecture de Greenberg pour les corps totalement réels, Annales Mathé- matiques Blaise Pascal (2017).

[9] G. Gras,Annihilation oftorZp(G^ab_K,S)for real abelian extensionsK/Q, Com. Adv. Math. Sci.1(2018), 5–34.

[10] G. Gras,Thep-adic Kummer–Leopoldt constant : Normalizedp-adic regulator, Int. J. Number Th.14(2018), 329–337.

[11] C. Greither,Sur les normes universelles dans les Zp-extensions, J. Théor. Nombres Bordeaux 6 (1994), 205–220.

[12] J.-F. Jaulent,Classes logarithmiques des corps de nombres, J. Théor. Nombres Bordeaux6(1994), 301–325.

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Bordeaux

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