Groupes de classes de corps de type CM

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Preprint submitted on 11 Apr 2005

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Groupes de classes de corps de type CM

Francesco Amoroso

To cite this version:

Francesco Amoroso. Groupes de classes de corps de type CM. 2005. �hal-00004664�

Groupes de classes de corps « de type CM »

Francesco Amoroso

Laboratoire de math´ ematiques Nicolas Oresme, CNRS UMR 6139 Universit´ e de Caen, Campus II, BP 5186

14032 Caen C´ edex, France

1 Introduction.

Soit K un corps CM de degr´ e d ; notons |∆| la valeur absolue de son discriminant et k le sous-corps de K fix´ e par la conjugation complexe J.

Soient aussi h

et h

les nombres de classes de K et k respectivement ; notons ´ egalement e

l’exposant relatif du groupe de classes de K par rapport ` a celui de k, i. e. le plus petit entier e tel que pour tout id´ eal I de K, il existe α ∈ K tel que (α)I

soit l’extension d’un id´ eal fractionnaire de k. Dans [Am-Dv] nous avons obtenu

les minorations suivants pour e

et h

/h

:

Th´ eor` eme 1.1 Soit K un corps CM et ε > 0 ; ils existent alors trois constantes C, C

> 0 et H

> 1 telles que, sous l’hypoth` ese de Riemann g´ en´ eralis´ ee pour la fonction zˆ eta du corps K,

e

≥ max

C log |∆|

d log log |∆| , C

d

et h

h

≥ max |∆|

, H

.

Nous nous proposons de g´ en´ eraliser ce th´ eor` eme dans deux directions diff´ erentes. D’abord, les techniques de [Am-Dv] s’appliquent ´ egalement ` a l’´ etude de l’annulateur du groupe de classes. Notons Γ le groupe de Q - automorphismes de K et

Z[Γ]

= {ψ ∈ Z[Γ] t.q. ψ(1 ∓ J) = 0}

1les r´esultats dans op.cit sont l´eg`erement moins pr´ecis : on trouvera une preuve du th´eor`eme 1.1 dans le paragraphe 5. Signalons ´egalement que la minoration pourhK/hk

est l´eg`erement plus faible de celle obtenue dans [Od].

Notons ´ egalement Cl

(K) le groupe de classe relatif de Cl(K)/jCl(k), o` u j est le morphisme d’extension, et

Ann(Cl

(K))

= Ann(Cl

(K)) ∩ Z [Γ]

l’ensemble des ψ ∈ Z [Γ]

tels que pour tout id´ eal I de K, il existe α ∈ K tel que (α)I

soit l’extension d’un id´ eal fractionnaire de k.

On montre alors :

Th´ eor` eme 1.2 Soit K un corps CM et ε > 0 ; ils existent alors deux constantes C > 0 et H

> 1 telle que, sous l’hypoth` ese de Riemann g´ en´ eralis´ ee pour la fonction zˆ eta du corps K,

[ Z [Γ]

: Ann(Cl

(K))

] ≥ max

C log |∆|

dd

log log |∆|

, H

1−ε

ε0

! ,

o` u d

= Card(Γ).

Ensuite, nous nous proposons d’´ elargir la famille des corps auxquels nos m´ ethodes s’appliquent. Par exemple, soit α un nombre de Salem ; notons K = Q (α) et k = Q (α + α

). Alors, en conservant les notations introduites pr´ ec´ edemment,

Th´ eor` eme 1.3 Soit ε > 0 ; ils existent trois constantes C, C

> 0 et H

> 1 telles que, sous l’hypoth` ese de Riemann g´ en´ eralis´ ee pour la fonction zˆ eta du corps K,

e

≥ max(C log |∆|, C

d

) log log |∆| + log(2 + log α) et :

h

h

≥ max |∆|

, H

2 + log α .

Signalons que la minoration pour h

/h

est l´ eg` erement plus faible de celle obtenue dans [Ch] avec des m´ ethodes diff´ erentes.

Notons comme auparavant Γ le groupe des Q-automorphismes de K et soit E

le groupe des unit´ es. Plus g´ en´ eralement, nous montrerons dans la proposition technique 3.1 que nos r´ esultats s’appliquent d` es qu’il existe φ ∈ Z[Γ] tel que

kφk

× rang(E

) = o(d) , o` u kφk

est la somme des modules des coefficients de φ.

Remerciements. Je tiens ` a remercier Bruno Angl` es et John Boxall pour

plusieurs discussions au sujet de cet article. C’est ´ egalement un plaisir de

remercier Corentin Pontreau qui a bien voulu me faire part de ses commen-

taires sur une version initiale de ce travail.

2 G´ eom´ etrie des nombres.

Soit K un corps de nombres ; pour toute place v ∈ M

de K on note d

= [K

: Q

] et | · |

la valeur absolue v-adique, normalis´ ee de telle sorte que la formule du produit :

Y

v

|α|

= 1, α ∈ K

soit satisfaite. Soit Γ le groupe des Q-automorphismes de K. Pour φ = P

τ∈Γ

φ

τ ∈ Z [Γ], on note

kφk

= X

τ∈Γ

|φ

| et, si α ∈ K,

α

= Y

τ∈Γ

(τ α)

.

On note ´ egalement r

le rang du sous-groupe E

de E

et δ

= min

v1,...,vr∈E^φ_K

h(v

) + · · · + h(v

)

o` u le minimum est pris sur les familles d’unit´ es de E

multiplicativement ind´ ependantes.

La proposition suivante g´ en´ eralise la proposition 2.3 de [Am] ; sa preuve est une g´ en´ eralisation de la preuve de cette derni` ere.

Proposition 2.1 Soient K, Γ comme auparavant. Soit φ ∈ Z [Γ], φ 6= 0 et notons r = r

et δ = δ

. Soient ensuite x ≥ 1 un r´ eel et t ≥ 2 un entier. Supposons qu’il existe des entiers alg´ ebriques non nuls γ

, . . . , γ

de K tels que |N

Q

γ

| ≤ x (j = 1, . . . , t). Soient ensuite m et N deux entiers strictement positifs et tels que :

mN

< t .

Alors il existe m + 1 indices j

, j

, . . . , j

∈ {1, . . . , t} deux ` a deux distincts et des unit´ es v

, . . . , v

∈ E

tels que :

h v

γ

γ

≤ kφk

log x [K : Q ] + δ

N pour s = 1, . . . , m.

D´ emonstration. Notons L : K

→ R

le plongement logarithmique :

L(α) = (d

log |α|

)

(o` u l’on a choisit un ordre sur l’ensemble des places archim´ ediennes de K).

Soit V = L (K

)

⊗ R et H = L E

⊗ R ; remarquons que H =

(

x ∈ V t.q. X

v|∞

x

= 0 )

et donc ou bien H = V ou bien H est un hyperplan de V (plus pr´ ecis´ ement, H = V si et seulement si P

φ

= 0). Posons e

= 0 dans le premier cas et choisissons dans le deuxi` eme un vecteur e

∈ V \H tel que ke

k

= 1.

Soient v

, . . . , v

des unit´ es multiplicativement ind´ ependantes de E

tels que :

h(v

) + · · · + h(v

) = δ et notons :

P = {λ

L(v

) + · · · + λ

L(v

) t.q. 0 ≤ λ

, . . . , λ

< 1} ⊆ H .

Quitte ` a remplacer les γ

, . . . , γ

par u

γ

, . . . , u

γ

avec u

, . . . u

∈ E

, on peut supposer que

(π ◦ L)(γ

), . . . , (π ◦ L)(γ

) ∈ P , o` u π : R

→ H est d´ efinie par :

π(a) = a − X

s=0

a

e

(a ∈ R

).

Par le principe des tiroirs, il existe m + 1 indices j

, j

, . . . , j

∈ {1, . . . , t}

deux ` a deux distincts et un vecteur a ∈ P , tels que : (π ◦ L)(γ

0

), (π ◦ L)(γ

1

), . . . , (π ◦ L)(γ

m

) ∈ a + N

P . Remarquons que si u ∈ E

, alors (voir par exemple [Am] lemme 2.1)

[K : Q ]h(u) = 1

2 kL(u)k

. Soit s ∈ {1, . . . , m} ; on a donc :

1

2 k(π ◦ L) γ

γ

0

k

≤ 1

2N kL(v

)k

+ · · · + kL(v

)k

= [K : Q]N

h(v

) + · · · + h(v

)

= [K : Q ]N

δ.

Pour x ∈ R notons x

= max(x, 0) et x

= max(−x, 0) ; notons aussi, pour φ = P

τ∈Γ

φ

τ ,

φ

= X

τ∈Γ

φ

τ, et φ

= X

τ∈Γ

φ

τ .

Posons θ

= γ

γ

et θ

= γ

γ

; donc θ

, θ

∈ O

et γ

γ

= θ

θ

. On a alors facilement (voir [Am] lemme 2.1 pour les d´ etails) :

[K : Q]h(θ

θ

) ≤ max{log |N

θ

|, log |N

θ

|} + 1

2 k(π ◦ L)(θ

θ

)k

. Par ailleurs,

log |N

Q

θ

| = X

τ∈Γ

φ

!

log |N

Q

γ

| + X

τ∈Γ

φ

!

log |N

Q

γ

| ≤ kφk

log x et, de mˆ eme, log |N

Q

θ

| ≤ kφk

log x. On d´ eduit des in´ egalit´ es pr´ ec´ edentes que :

h γ

s

γ

0

≤ kφk

log x [K : Q] + δ

N .

Si P

τ

φ

= 0, nous pouvons affaiblir l’hypoth` ese sur la norme des γ

dans la proposition 2.1. Pour ce faire, introduisons d’abord quelques notations.

Soit I un id´ eal fractionnaire de K et v - ∞ une place non-archim´ edienne de K, associ´ e ` a un id´ eal premier ℘ ⊂ O

. On pose :

|I|

= p

o` u (p) = ℘ ∩ Z et o` u λ ∈ Z est l’exposant de ℘ dans la d´ ecomposition de I en produit d’id´ eaux premiers de O

. On a donc

Y

v-∞

|I |

= (N I)

et, pour α ∈ K,

|α|

= |(α)|

.

Proposition 2.2 Soient K, Γ, φ, r, δ, x et t comme dans la proposition 2.1 et supposons P

τ

φ

= 0. Supposons aussi qu’il existe des entiers alg´ ebriques non nuls γ

, . . . , γ

∈ O

et des id´ eaux I

, . . . , I

⊆ O

de norme ≤ x tels que les (γ

)

I

soient des extensions d’id´ eaux fractionnaires de K

. Soient ensuite m et N deux entiers strictement positifs et tels que :

mN

< t .

Alors il existen m + 1 indices j

, j

, . . . , j

∈ {1, . . . , t} deux ` a deux distincts et des unit´ es v

, . . . , v

∈ E

tels que :

h v

γ

s

γ

0

≤ kφk

log x [K : Q] + δ

N

pour s = 1, . . . , m.

D´ emonstration. Remarquons d’abord que, pour v - ∞, |γ

|

= |I

|

car (γ

)

I

= (γ

)

I

= O

. Donc

log |γ

s

γ

0

|

= X

τ∈Γ

φ

log |I

s

|

− log |I

0

|

≤ X

τ∈Γ

φ

(− log |I

|

) + φ

(− log |I

|

) (2.1) car les I

sont des id´ eaux entiers. La preuve de la proposition 2.1 montre qu’il existe m + 1 indices j

, j

, . . . , j

∈ {1, . . . , t} deux ` a deux distincts et des unit´ es v

, . . . , v

∈ E

tels que :

1

2 kL v

γ

s

γ

0

k

≤ [K : Q ]N

δ pour s = 1, . . . , m.

Soit s ∈ {1, . . . , m} ; on a alors : X

v|∞

n

log

|v

γ

γ

|

≤ [K : Q]N

δ

(car |N

Q

v

γ

s

γ

0

| = 1) et, grˆ ace ` a (2.1), X

v-∞

n

log

|v

γ

γ

|

≤ X

τ∈Γ

φ

(− log |I

|

) + φ

(− log |I

|

)

≤ kφk

log x.

Nous terminons ce paragraphe avec un r´ esultat galoisien ´ el´ ementaire, qui g´ en´ eralise le lemme 3.2 de [Am-Dv] :

Lemme 2.3 Soit K un corps de nombres et Γ le groupe des Q -automor- phismes de K. Soit ensuite P un id´ eal premier de O

de degr´ e 1 sur Q et non ramifi´ e. Alors, les id´ eaux premiers P

(σ ∈ Γ) sont deux ` a deux distincts.

D´ emonstration. Soit K

le sous-corps de K fix´ e par Γ ; par le lemme

d’Artin K/K

est une extension de Galois de groupe de Galois Γ. Soit

P

= P ∩ O

; par hypoth` ese P

O

= P

. . . P

avec P

= P, r = |Γ| et les

P

deux-` a-deux distincts. Par ailleurs Γ agit transitivement sur {P

, . . . , P

},

et donc {P

t.q. σ ∈ Γ} = {P

, . . . , P

}.

3 Taille de certains groupes de classes.

Soit K un corps de nombres de degr´ e d et discriminant ∆, notons Γ le groupe des Q -automorphismes de K. Soit ensuite φ ∈ Z [Γ] et posons r = r

et δ = δ

. Nous nous proposons d’´ etudier la structure de Z [Γ]-module de

Cl(K)/jCl(K

),

o` u j : Cl(K

) → Cl(K) est le morphisme d’extension. Pour ce faire consid´ e- rons la fonction M

: N

→ N

suivante attach´ ee au Z [Γ]-module C. Pour l entier strictement positif notons M

(l) le plus petit entier A tel que pour tout g

, . . . , g

∈ C ils existent ρ

, . . . , ρ

∈ Z [Γ] tels que :

i) (ρ

, . . . , ρ

)φ 6= (0) ; ii) g

· · · g

= 1 ; iii) P

j

kρ

k

≤ A.

Cette d´ efinition g´ en´ eralise celle de la fonction M

(l) attach´ ee ` a un groupe fini G (cf [Am-Dv]).

Proposition 3.1 Soit ε > 0 ; ils existent alors deux constantes C et C

> 0 telles que, sous l’hypoth` ese de Riemann g´ en´ eralis´ ee pour la fonction zˆ eta du corps K,

M

(l) ≥ max(Cd

log |∆|, C

d

) kφk

(log l + log log |∆| + r log dδ/r + 2

) . De plus, si P

τ

φ

= 0, l’in´ egalit´ e pr´ ec´ edente reste vraie si l’on remplace Cl(K) par Cl(K)/jCl(K

).

D´ emonstration. On peut ´ evidemment supposer ε < 1/2. Remarquons

´ egalement qu’il suffit de montrer qu’il existe deux constantes C

et C

> 0 telles que,

M

(l) ≥ max(C

(d

log |∆| − log d), C(ε)d

) kφk

(log l + log log |∆| + r log dδ/r + 2

) et de mˆ eme pour M

(l) si P

τ

φ

= 0. En effet, si log |∆| >

2d log d, alors

C

(d

log |∆| − log d) > 1

2 C

d

log |∆|

tandis que, si log |∆| ≤ 2d log d,

d

log |∆| ≤ 2 log d ≤ 4

e d

.

I) La preuve de l’in´ egalit´ e :

M

(l) ≥ C(d

log |∆| − log d)

kφk

(log l + log log |∆| + r log dδ/r + 2 ) ,

g´ en´ eralise celle de la proposition 3.1 de [Am]. Une application standard de la version effective du th´ eor` eme des nombres premiers dans un corps de nombres (voir [Lag-Odl] avec L = K), montre que, sous GRH, il existe des constantes absolues et effectives c

, c

> 0 telles que pour tout K et tout r´ eel x avec

x ≥ c

(log |∆|)

(log log |∆|)

il existe au moins c

x(log x)

id´ eaux premiers de norme ≤ x, de degr´ e 1 sur Q et non ramifi´ es (voir [Am-Dv], lemme 2.1). Notons t = ([dδ/r] + 2)

et soit c

≥ 1 tel que

3+2

≥ c

. Chosissons

x = c

ltd log(ltd) + c

(log |∆|)

(log log |∆|)

;

on a en particulier x ≥ c

y log y ≥ e, o` u l’on a not´ e y = ltd ≥ 3, et donc : x(log x)

≥ c

y log y

log(c

y log y) ≥ c

y log y

log c

+ 2 log y ≥ c

y = c

ltd .

Remarquons qu’il y a au plus d premiers distincts dans O

au dessus d’un premier rationnel ; il existe donc lt premiers rationnels distincts p

≤ x et lt id´ eaux premiers P

⊆ O

(i = 1, . . . , l ; j = 1, . . . , t) tels que P

∩ Z = (p

) et e(P

|p

) = f(P

|p

) = 1 pour i = 1, . . . , l et j = 1, . . . , t. Soit g

la classe de P

dans G et supposons qu’il existe des relations

g

· · · g

= e (j = 1, . . . , t)

avec ρ

∈ Z [Γ] tels que (ρ

, . . . , ρ

)φ 6= (0) (j = 1, . . . , t). Soit A = max

P

i

kρ

k

; donc, pour j = 1, . . . , t, P

· · · P

= (γ

)

est un id´ eal principal de norme ≤ x

. Choisissons m = 1 et N = [dδ/r] + 1 dans la proposition 2.1 ; cette derni` ere nous assure l’existence d’une unit´ e v ∈ E

et de deux indices j

, j

∈ {1, . . . , t} avec j

6= j

tels que la hauteur de α = vγ

γ

satisfasse :

h(α) ≤ Akφk

log x + r

d .

Remarquons que :

log x ≤ c

(log(ltd) + log log |∆|)

d’o` u, en utilisant la minoration log |∆| ≥ c

d et en rempla¸ cant t par sa valeur,

log x ≤ c

(log(lt) + log log |∆|)

≤ c

(log l + log log |∆| + r log dδ/r + 2 ) . On a donc :

h(α) ≤ c

Akφk

log l + log log |∆| + r log dδ/r + 2 d

!

. (3.2)

Montrons maintenant que α est un g´ en´ erateur de K. Pour cela, il est suffisant de montrer que [Q(α) : Q] ≥ d. Quitte ` a renum´ eroter les indices, on peut supposer ρ

φ 6= 0. Soit L la clˆ oture galoisienne de K dans Q et notons Q

:= P

O

. Le lemme 3.1 de [Am-Dv] nous assure que Q

a au moins d conjugu´ es distincts Q

, . . . , Q

. Supposons que pour certains ι, κ ∈ {1, . . . , d} on ait α

= α

. Alors :

l

Y

i=1

Q

1

Q

0

=

l

Y

i=1

Q

1

Q

0

.

Les P

∩ Z sont distincts et donc la relation pr´ ec´ edente donne en particulier : Q

= O

.

Par le lemme 2.3, les premier P

1

(τ ∈ Γ) sont deux ` a deux distincts et donc les id´ eaux (σ

τ )Q

sont deux ` a deux premiers entre eux ; par ailleurs ρ

φ 6= 0. On en d´ eduit facilement que :

Q

1

= Q

1

,

d’o` u ι = κ. Donc α a au moins d conjugu´ es distincts et [Q(α) : Q] ≥ d.

Un r´ esultat de J. Silverman (voir [Si], Theorem 2, p. 397 avec F = Q , n = 1, α

= 1 et α

= α) donne alors :

h(α) ≥ d

log |∆| − log d

2(d − 1) . (3.3)

Le r´ esultat d´ esir´ e d´ ecoule de 3.2 et 3.3.

II) Montrons maintenant l’in´ egalit´ e :

M

(l) ≥ C(ε)d

kφk

(log l + log log |∆| + r log dδ/r + 2

) .

Pour ce faire, nous reprenons l’argument de la preuve de l’in´ egalit´ e correspondante de [Am-Dv] (in´ egalit´ e (6), p. 92). Rappelons d’abord le r´ esultat principal de [Am-Da] : si α

, . . . , α

∈ K sont multiplicativement ind´ ependants,

s=1,...,m

max h(α

) ≥ c

(m)

d

log(3d)

o` u k(m) > 0.

Posons maintenant m = [1/ε] + 1. Donc :

c

(m)d

log(3d)

≤ c

(ε)d

. Posons aussi N = [dδ/r] + 1, t = mN

+ 1 et

x = c

lmtd log(lm) + c

(log |∆|)

(log log |∆|)

.

Le r´ esultat de [Lag-Od] d´ ej` a utilis´ e dans la partie I de la preuve, montre qu’ils existent lmtd id´ eaux premiers P

⊆ O

(i = 1, . . . , l ; j = 1, . . . , mtd) de norme ≤ x, de degr´ e 1 sur Q et non ramifi´ es. Par l’in´ egalit´ e |Γ| ≤ d, nous pouvons supposer

∀τ ∈ Γ, P

6= P

(3.4)

pour (i, j) 6= (i, j

) avec 1 ≤ j, j

≤ lmt. Soit g

la classe de P

dans G et supposons qu’il existe des relations multiplicatives

g

· · · g

= e (j = 1, . . . , mt)

avec ρ

∈ Z [Γ] et (ρ

, . . . , ρ

)φ 6= (0) pour j = 1, . . . , mt. Soit A = max

P

i

kρ

k

; donc, pour j = 1, . . . , mt, P

· · · P

= (γ

)

est un id´ eal principal de norme ≤ x

. La proposition 2.1 nous assure l’exis- tence de m + 1 indices j

, j

, . . . , j

∈ {1, . . . , t} deux ` a deux distincts et de certaines unit´ es v

, . . . , v

∈ φE

tels que les hauteurs des α

= v

γ

s

γ

0

satisfassent :

h(α

) ≤ Akφk

log x + r d pour s = 1, . . . , m.

Comme dans la premi` ere partie de la preuve, log x ≤ c

(log(lmt) + log log |∆|)

≤ c

(ε)

log l + log log |∆| + r log dδ/r + 2

.

On a donc :

s=1,...,m

max h(α

)

≤ c

(ε)Akφk

log l + log log |∆| + r log dδ/r + 2 d

!

. (3.5) Montrons que α

, . . . , α

sont multiplicativement ind´ ependants. En effet supposons α

· · · α

= 1 avec e

, . . . , e

∈ Z . Donc :

m

Y

s=1

(v

γ

s

γ

0

)

= 1 .

En utilisant la d´ efinition des γ

, on en d´ eduit une relation multiplicative dans Spec(O

) :

m

Y

s=1

P

· · · P

s

= P

· · · P

0

.

La condition (3.4) et le lemme 2.3 nous assurent que e

= · · · = e

= 0. Le r´ esultat principal de [Am-Da] donne alors :

s=1,...,m

max h(α

) ≥ c

(ε)

d

. (3.6) Le r´ esultat d´ esir´ e d´ ecoule de (3.5) et (3.6).

III) Supposons enfin P

τ

φ

= 0. Soient P

, . . . , P

des id´ eaux premiers de O

, notons g

la classe de P

dans G et supposons qu’il existe une relation multiplicative non triviale

g

· · · g

= e avec les ρ

∈ Z[Γ]. Alors, il existe γ ∈ O

tel que

(γ

)P

· · · P

soit l’extension d’un id´ eal fractionnaire de K

. Pour montrer la derni` ere assertion de la proposition 3.1 il suffit alors d’utiliser la proposition 2.2 ` a la place de la proposition 2.1 dans les parties I) et II) de la preuve.

Remarque 3.2 On d´ eduit en particulier de la proposition 3.1 des rensei-

gnements sur le nombre de classes h

et sur l’exposant e

du groupe de

classes : en effet M

(1) ≤ e

et M

(h

) ≤ 2 (cf [Am-Dv], lemma 5.1).

4 Corps « de type CM » et nombres de Salem.

Nous ´ etudions dans ce paragraphe des corps auxquels nos r´ esultats prin- cipaux s’appliquent. Il s’agit de certaines g´ en´ eralisations des corps CM : des corps engendr´ es par un nombre r´ eciproque ayant « beaucoup » des conjugu´ es sur le cercle unit´ e. Le corps engendr´ es par un nombre de Salem en sont un exemple.

D´ efinition 4.1 Soit α ∈ Q ; on note l(α) le nombre de places archim´ ediennes v ∈ M

tels que |α|

= 1.

Remarquons que si α 6= ±1 et si l(α) > 1, alors α n’est pas totalement r´ eel. De plus, α est r´ eciproque : en effet, il existe un plongement imaginaire σ : Q(α) , → C tel que σ(α)σ(α) = 1 et donc σ(α

) = σ(α), ce qui implique que α

est un conjugu´ e de α. L’application α 7→ α

s’´ etend donc ` a une Q -involution τ de Q (α) (i. e. un Q -automorphisme τ de Q (α) d’ordre 2).

D´ efinition 4.2 Soit K un corps de nombres, τ une Q -involution de K et K

le sous corps d’indice 2 fix´ e par K. On note l

le nombre des places archim´ ediennes imaginaires de K au dessus d’une place r´ eel de K

.

Notons (r

, r

) et (r

, r

) les signatures de K et K

respectivement. On v´ erifie imm´ ediatement que

l

= r

− r

/2 .

Remarquons aussi que si K = Q (α) avec α

= α

, alors : K

= Q(α + α

) .

On a :

Lemme 4.3 Soit τ une Q -involution de K. Alors :

l

= max{l(α) t.q. K = Q (α), α

= α

} .

D´ emonstration. Soient σ

(j = 1, . . . , l) des plongements imaginaires du corps K, deux ` a deux non conjugu´ es, qui prolongent des plongements r´ eels de K

. Il existe un g´ en´ erateur α de K/ Q tel que |σ

(α)| = 1 (voir par exemple [Am-Nu], proposition 1). Soit

P (x) = x

− bx + c ,

le polynˆ ome minimal de α sur K

; P

est ` a coefficients r´ eels et admet une racine de module 1 : donc son terme constante vaut 1 et c = 1. Mais alors, si j ∈ {1, . . . , l},

σ

(b) ∈ R , σ

(α) 6∈ R = ⇒ |σ

(α)| = 1

et l

(α) ≥ l. Nous avons prouv´ e que :

max{l(α) t.q. K = Q(α), α

= α

} ≥ l

.

Soit maintenant α un g´ en´ erateur de K/ Q tel que α

= α

et soient σ

(j = 1, . . . , l) des plongements imaginaires du corps K, deux ` a deux non conjugu´ es et tels que |σ

(α)| = 1. Alors, α

−bα+1 = 0 avec b = α +α

. Par la remarque qui pr´ ec` ede ce lemme, K

= Q (b). Par ailleurs, si j ∈ {1, . . . , l}, on a σ

(α

) = σ

(α), d’o` u σ

(b) ∈ R et σ

(K

) = K

. Donc l ≥ l

(α). Nous avons prouv´ e que :

l

≥ max{l(α) t.q. K = Q (α), α

= α

} .

Les corps de nombres engendr´ es par un nombre alg´ ebrique ayant beau- coup des conjugu´ es sur le cercle unit´ e donnent des exemples d’applications du th´ eor` eme 3.1, comme la proposition suivante le montre.

Proposition 4.4 Soit K un corps de nombres de signature (r

, r

) munit d’une Q-involution τ . Alors

r

≤ r

+ r

− l

.

D´ emonstration. Soit α un g´ en´ erateur de K/ Q tel que α

= α

et tel qu’ils existent l = l

plongements imaginaires σ

: K → C deux ` a deux non conjugu´ es avec |σ

(α)| = 1. Soit P ∈ Q [x] et j ∈ {1, . . . , l}. Alors :

σ

P (α)

= P σ

(α)

= P σ

(α)

= P σ

(α

)

= σ

P(α)

et de mˆ eme

σ

P (α)

= σ

P (α) . Donc |σ

P (α)

|

= 1. On en d´ eduit que dim L (K

)

⊗ R ≤ r

+ r

− l

.

En particulier, cette proposition s’applique d` es que K est un corps CM : pour ces corps on a r

= 0, o` u J est la conjugation complexe. De mˆ eme, la proposition 4.4 montre que si K est engendr´ e par un nombre de Salem α et si τ est le Q-automorphisme de K qui envoi α dans α

, alors r

= 1.

Par ailleurs E

est engendr´ e par α

= α/α

et donc δ

≤ 2h(α) = 2(log α)/d, o` u d = [K : Q ].

Nous terminons ce paragraphe avec le lemme suivant qui permet de mi-

norer h

/h

en fonction de l’ordre de Cl(K)/jCl(K

).

Lemme 4.5 Soit τ une Q -involution d’un corps de nombres K et notons j : Cl(K

) → Cl(K) le morphisme d’extension d’id´ eaux. Alors,

| ker j| ≤ 2

.

D´ emonstration.

Nous suivons la preuve du th´ eor` eme 10.3 de [Wa]. Soit I un id´ eal de K

et supposons j(I ) principal dans K, disons j(I) = (α). On a I

= I/I

= O

, et donc α

∈ E

. De plus, α ne d´ epend pas du repr´ esentante de la classe de I dans Cl(K

). Notons

G = {u ∈ E

t.q. ∃α ∈ K, α

= u}

et supposons α

∈ G

. Il existe donc v ∈ E

et β ∈ K tel que v = β

et α

= v

. On en d´ eduit :

(αv

)

= α

β

= α

β

= α

v

= 1

et donc αv

∈ K

et I = (αv

) est principal dans K

. On a montr´ e que l’application ker j → G/G

qu’envoie la classe de I dans la classe de α

est injective et donc | ker j| ≤ [G : G

] ≤ 2

, car G est de rang r

+ 1.

5 Taille des groupes de classes de corps « de type CM » .

Soit K un corps de nombres de signature (r

, r

) munit d’une Q -involution τ et notons r = r

+r

−l

et δ = δ

. k = Q(α+α

). Le th´ eor` eme suivant r´ esume les renseignement principaux que l’on peut obtenir sur la structure du groupe de classes de K.

Corollaire 5.1 Soit ε > 0 ; il existe alors trois constantes C, C

> 0 et H

> 1 telles que, sous l’hypoth` ese de Riemann g´ en´ eralis´ ee pour la fonction zˆ eta du corps K ,

e

≥ max(Cd

log |∆|, C

d

) log log |∆| + r log dδ/r + 2 et :

h

h

≥ max |∆|

, H

2dδ/r + 4

.

D´ emonstration. On applique la proposition 3.1 en tenant compte de la majoration de r

≤ r fournit par la proposition 4.4 et de la remarque 3.2.

On obtient donc :

e

≥ max(Cd

log |∆|, C

d

) log log ∆ + r log dδ/r + 2 . et, en prenant l = |Cl(K)/jCl(k)|,

2 ≥ max(Cd

log |∆|, C

d

) 2(log l + log log |∆| + r log dδ/r + 2

) .

Le lemme 4.5 montre que log(h

/h

) ≥ log l − (r + 1) log 2 ; donc : log(h

/h

) ≥ 1

4 max(Cd

log |∆|, C

d

) − log log |∆|

− r log 2dδ/r + 4

− (r + 1) log 2

≥ c

max(Cd

log |∆|, C

d

) − r log 2dδ/r + 4 ,

d’o` u la minoration annonc´ ee pour h

/h

.

On peut ´ egalement d´ eduire de la proposition 3.1 des renseignements sur l’annulateur du groupe de classes de K , comme on l’a fait dans [Am2] pour le cas d’un corps cyclotomique. Notons Cl

(K) = Cl(K)/jCl(K

),

Z[Γ]

= {ψ ∈ Z[Γ] t.q. ψ(1 ∓ τ ) = 0}

et

Ann(Cl

(K))

= Ann(Cl

(K)) ∩ Z [Γ]

l’ensemble des ψ ∈ Z[Γ]

tel que pour tout id´ eal I de K, il existe α ∈ K tel que (α)I

soit l’extension d’un id´ eal fractionnaire de K

. On a alors : Corollaire 5.2 Soit ε > 0 ; il existe alors deux constantes C et C

> 0 telles que, sous l’hypoth` ese de Riemann g´ en´ eralis´ ee pour la fonction zˆ eta du corps K et pour tout ψ ∈ Ann(Cl

(K ))\ Z [Γ]

, on a kψk

≥ B , o` u

B := max(Cd

log |∆|, C

d

) log log |∆| + r log dδ/r + 2 . En particulier,

Z [Γ]

: Ann(Cl

(K))

≥

]B/4] + Card(Γ)/2 Card(Γ)/2

.

2pourx∈Ron note ]x] l’entiernd´efini par les in´egalit´es :n−1≤x < n.

D´ emonstration. La minoration pour la taille des ´ el´ ements de l’annulateur d´ ecoule imm´ ediatement de la proposition 3.1 (avec l = 1), en tenant compte de la majoration r

≤ r fournie par la proposition 4.4.

Montrons la minoration de l’indice. Pour ce faire on reprend l’argument de la preuve du th´ eor` eme 2 de [Am2]. Soit Γ

⊂ Γ tel que Γ

∩ Γ

τ = ∅ et Γ = Γ

∪ Γ

τ . L’ensemble

Λ = (

X

σ∈Γ⁰

ψ

σ(1 − τ ) t.q. ψ

≥ 0, et X

σ∈Γ⁰

|ψ

| < B/4 )

⊆ Z [Γ]

est de cardinalit´ e

Card(Λ) =

]B/4] + Card(Γ)/2 Card(Γ)/2

. (5.7)

Soient ψ, ψ

∈ Λ avec ψ 6= ψ

. Alors (ψ − ψ

)(1 − τ ) 6= 0 et kψ − ψ

k

< B .

La premi` ere partie du corollaire 5.2 nous assure que ψ − ψ

6∈ Ann(Cl(K)

), ce qui montre :

Z [Γ]

: Ann(Cl(K )

)

≥ Card(Λ) . (5.8)

Les relations (5.7) et (5.8) montrent la minoration annonc´ ee pour l’indice de l’annulateur.

Les r´ esultats annonc´ es dans l’introduction se d´ eduisent facilement ` a par- tir des corollaires 5.1 et 5.2.

D´ emonstration du th´ eor` eme 1.1. On applique le corollaire 5.1 avec r = 0 et on remarque que

max(Cd

log |∆|, C

d

)

log log |∆| ≥ max

C log |∆|

d log log |∆| , C

d

.

D´ emonstration du th´ eor` eme 1.2. Soit ε > 0 ; le corollaire 5.2 montre qu’ils existent deux constantes C et C

> 0 tels que

Z [Γ]

: Ann(Cl

(K))

≥

]B/4] + d

/2 d

/2

,

o` u

B = max(Cd

log |∆|, C

d

)

log log |∆| ≥ max

C log |∆|

d log log |∆| , C

d

.

L’in´ egalit´ e B ≥ (C log |∆|)/(d log log |∆|) montre que : Z [Γ]

: Ann(Cl

(K ))

≥

]B/4]

d

/2

≥

C

log |∆|

dd

log log |∆|

,

tandis que B ≥ C

d

≥ C

d

donne : Z [Γ]

: Ann(Cl

(K))

≥

d

/2 ]B/4]

≥ H

1−ε

ε0

.

D´ emonstration du th´ eor` eme 1.3. On applique le corollaire 5.1 avec r = 1.

R´ ef´ erences

[Am] F. Amoroso – « Une minoration pour l’exposant du groupe de classes d’id´ eaux. » Acta Arith. 115, No.1, 59–69 (2004).

[Am2] F. Amoroso – « A remark on the annulator of the class group of a cyclotomic field. » 2005. Soumis.

[Am-Da] F. Amoroso and S. David – « Le probl` eme de Lehmer en di- mension sup´ erieure. » J. reine angew. Math. 513 (1999), 145–

179.

[Am-Dv] F. Amoroso and R. Dvornicich – « Lower bounds for the height and size of the ideal class group in CM fields. » Mo- natsh. Math. 138, No.2, 85-94 (2003).

[Am-Nu] F. Amoroso and F. Nuccio – « Algebraic Numbers of Small Weil’s height in CM-fields : on a Theorem of Schinzel. » 2004.

Rapport de Recherche LMNO 2004-19. Soumis.

[Ch] T. Chinburg – « On the arithmetic of two constructions of Sa- lem numbers. » J. Reine Angew. Math. 348, 166-179 (1984).

[La-Od] J. C. Lagarias and A. M. Odlyzko – « Effective versions of the ˇ Cebotarev density theorem » , Algebraic Number Fields, Durham Symposium, Academic Press, 1977.

[Od] A. M. Odlyzko – « Some analytic estimates of class numbers and discriminants » , Invent. Math. 29 (1975), 275–286.

[Si] J. H. Silverman – « Lower bounds for height functions. » Duke Math. J. 51 (1984), 395-403.

[Wa] L.C. Washington. – « Introduction to Cyclotomic Fields. »

Springer–Verlag, New York (1982).