Principalisation abélienne des groupes de classes logarithmiques

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Principalisation abélienne des groupes de classes logarithmiques

Jean-François Jaulent

To cite this version:

Jean-François Jaulent. Principalisation abélienne des groupes de classes logarithmiques. Functiones et

Approximatio Commentarii Mathematici, Poznań : Wydawnictwo Naukowe Uniwersytet im. Adama

Mickiewicza, 2019, Functiones rt Approximatio, 61, pp.257-275. �hal-01687906v2�

Principalisation abélienne des groupes de classes logarithmiques

Jean-François Jaulent

Résumé.Nous transposons auxℓ-groupes de classes logarithmiques attachées à un corps de nombres les résultats sur la principalisation abélienne des groupes de classes de rayons modérées. En particulier nous montrons que pour toute extensionK/kde corps de nombres complètement décomposée en au moins une place à l’infini, il existe sous la conjecture de Gross-Kuz’min dansKune infinité deℓ-extensions abéliennesF/kpour lesquelles le sous-groupe relatif Ceℓ_K/k= Ker(eCℓK→Ceℓk)duℓ-groupe des classes logarithmiques deKcapitule dans le compositumKF.

Abstract.We extend to logarithmic class groups the results on abelian principalization of tame ray class groups of a number field obtained in a previous article. As a consequence, for any extensionK/kof number fields which satisfies the Gross-Kuz’min conjecture for the primeℓand where at least one of the infinite places completely splits, we prove that there exists infinitely many abelianℓ-extensionsF/ksuch that the relative subgroup Ceℓ_K/k= Ker(eCℓ_K→Ceℓk) of theℓ-group of logarithmic classes ofKcapitulates in the compositumF K.

Table des matières

Introduction 1

1 Complément sur les classes logarithmiques de rayons 3 2 Énoncé du résultat principal et stratégie de preuve 4

3 La formule des classes logarithmiques d’ambiges 5

4 Classes relatives d’ambiges et modules équivalents 6

5 Minoration de l’indice normique des unités 7

6 Construction de l’extension principalisante 8

7 Preuve conditionnelle du résultat principal 9

8 Retour sur la conjecture de Gross-Kuz’min 10

9 Conséquences arithmétiques 11

Appendice 12

Bibliographie 12

Introduction

Le ℓ-groupe des classes logarithmiques (de degré nul) CeℓK d’un corps de nombres K a été introduit dans [9] et se présente comme un analogue formel duℓ-sous-groupe de Sylow du groupe ClK des classes d’idéaux de ce corps pour un premierℓdonné. Son calcul effectif a été récemment implanté par Belabas dans le systèmepari(cf. [1]).

Par la Théorie ℓ-adique du corps de classes (cf. e.g. [10]), le groupe CeℓK s’interprète comme groupe de GaloisGal(K^lc/K^c)de la pro-ℓ-extension abélienne localement cyclotomique maximale K^lc de K relativement à la Zℓ-extension cyclotomique K^c. En d’autres termes, le groupe CeℓK

mesure l’écart pour uneℓ-extension abélienne entre être localement ou globalement cyclotomique.

Cela explique le rôle souvent implicite que jouent ces groupes logarithmiques dans l’étude des pro-ℓ-extensions cyclotomiques, notamment dans l’interprétation de la conjecture de Greenberg évoquée en appendice du présent travail.

Du point de vue local, le passage de la valuation classique à la valuation logarithmique revient à remplacer laZℓ-extension non-ramifiée par laZℓ-extension cyclotomique, ce qui permet de définir les notions de degré d’inertie et d’indice de ramification au sens logarithmique en analogie avec les mêmes objets traditionnels. Les extension logarithmiquement non-ramifiées sont ainsi les exten- sions localement cyclotomiques. De plus, les unités du corps local au sens logarithmique sont tout simplement les normes cyclotomiques locales. De ce fait, les unités logarithmiques globales sont exactement les normes cyclotomiques. Leur rang est donné par la conjecture de Gross-Kuz’min (initialement énoncée dans [20]), qui revient à postuler qu’il est égal à celui des unités ordinaires augmenté de 1 (cf. [9,10,12]) ou, de façon équivalente, que le pro-ℓ-groupe CeℓK est fini. C’est, en particulier le cas lorsque le corpsKest abélien. Il en est de même pour certaines familles de corps non abéliens, ditsℓ-rationnels, pour lesquelles on peut montrer qu’il est trivial (cf. [8,17,21]).

En résumé, les ℓ-groupes de classes logarithmiques se comportent comme les ℓ-sous-groupes de Sylow des groupes de classes habituels (ce qui permet par exemple de construire des ℓ-tours localement cyclotomiques analogues aux ℓ-tours de corps de classes de Hilbert (cf. [15, 16, 18]), avec cependant des différences essentielles : en particulier le théorème 94 de Hilbert, qui joue un rôle clé dans les questions de capitulation, ne s’applique pas dans le cadre logarithmique (cf. [11]).

L’objet du présent article est ainsi de reprendre dans le cadre logarithmique les travaux de [14]

qui généralisent aux classes de rayons les résultats antérieurs de Gras [5,7], Kurihara [19] et Bosca [2,3] sur la principalisation abélienne des groupes de classes d’idéaux. Nous avons fait le choix de suivre aussi fidèlement que possible la démarche de [14], pour faciliter la comparaison et mettre en relief similitudes et dissemblances d’avec le cas classique, la principale étant la nécessité de se restreindre aux classes relatives du fait de la formule du produit (ou du degré) qui n’intervient pas dans le cas des idéaux, mais vient ici compliquer la démonstration.

Cette restriction n’intervient pas, en revanche, pour les extensions absolues (i.e. pourk=Q), car le corps des rationnels est logarithmiquement principal. Dans ce contexte, les résultats que nous obtenons valent ainsi dès que le corps K considéré vérifie la conjecture de Gross-Kuz’min (pour le premierℓ) et donc en particulier pour tous les corps abéliens.

Par exemple, dans le cas de l’extension abélienne réelle maximale de Q, le Corollaire16infra s’énonce ainsi :

Théorème. Le sous-corps réel maximalQ^ab₊=S

f >0Q[cos(2π/f)]du corps cyclotomique engendré par toutes les racines de l’unitéQ^ab=S

f >0Q[ζf]est logarithmiquement principal.

Plus généralement les extensions algébriques totalement réellesN deQ^ab₊qui vérifient la conjec- ture de Gross-Kuz’min enℓ sont logarithmiquement principales.

Et un résultat analogue vaut pour les classes logarithmiques de rayons dans le cas modéré.

Remerciements

Je remercie le rapporteur pour ses précieux commentaires destinés à améliorer ce travail.

1 Complément sur les classes logarithmiques de rayons

Classiquement, le groupe des classes d’idéaux d’un corps de nombres K est défini comme conoyauCl^ord_K du morphisme naturel partant du groupe multiplicatifK^× à valeurs dans le groupe des idéauxIK donné par la famille des valuationsν= (νp)p∈P l^◦_K attachées aux places finies deK.

1→EK →K^×−→^ν IK →Cl^ord_K →1.

Fixons maintenant un nombre premierℓ. Par produit tensoriel avecZℓ, leℓ-sous-groupe de Sylow Cℓ^ord_K deCl_K^ordapparaît alors comme conoyau du morphismeν étendu au tensoriséR^K =Zℓ⊗^ZK^× et à valeurs dans leZℓ-module libre construit sur ces mêmes places :DℓK =⊕^{p∈P l◦}KZℓp.

Le ℓ-groupe des classes logarithmiques est le groupe analogue CeℓK obtenu en remplaçant les valuations classiques νp par leurs homologues ℓ-adiques eνp définis à partir des logarithmes des valeurs absoluesℓ-adiques et en se restreignant aux diviseurs de degré nul (cf. [9, 10]) :

1→Ee^K → R^K −→^eν DfℓK →CeℓK →1.

Pour chaque place finie pdeK, notons comme plus hautR^Kp= lim

←−K_p^×/K_p^×ℓn le compactifié ℓ-adique du groupe multiplicatif Kp^× et J^K = Qres

p R^Kp le ℓ-adifié du groupe des idèles de K.

Introduisons enfin laZℓ-extension cyclotomiqueK^c deK.

Du point de vue global, la surjection canonique duℓ-adifiéJ^K du groupe des idèles deK dans le groupe procycliqueGal(K^c/K)≃Zℓ fournit un épimorphismedegré:

deg :J^K →Zℓ;

dont le noyauJe^Kest, par construction, le sous-groupe normique deJ^K attaché àK^c. Son quotient DfℓK =Je^K/Ue^K

par le sous-groupe Ue^K=Q

pUep est leℓ-groupe des diviseurs logarithmiques de degré nul. L’image PℓK≃ R^K/Ee^K

de R^K dans Dfℓk est lesous-groupe des diviseurs logarithmiques principaux. Et le quotient CeℓK =DfℓK/PℓK ≃Je^K/Q

pUe^pR^K

est, par construction, leℓ-groupe des classes logarithmiques du corps K. Laconjecture de Gross- Kuz’minpour le corps Ket le premierℓ en postule la finitude (cf. [9,10,12]).

Du point de vue local, le noyau U^p deνpdansR^p(autrement dit le sous-groupe des unités de Rp) est le groupe de normes associé à la Zℓ-extension non ramifiée de Kp; tandis que le noyau Uep deνep (i.e. le sous-groupe des unités logarithmiques) correspond, lui, à sa Zℓ-extension cyclo- tomique. Par analogie avec le cas classique, il est commode de dire qu’uneℓ-extension localement cyclotomique estlogarithmiquement non-ramifiée.

Par la Théorieℓ-adique du corps de classes (cf. [6,9,10]), leℓ-groupe des classes logarithmiques d’idéaux s’interprète comme groupe de GaloisGal(K^lc/K^c)de la pro-ℓ-extension abélienne loca- lement cyclotomique maximale K^lc de K relativement à la Zℓ-extension cyclotomique K^c. En particulierK^lc est la plus grande pro-ℓ-extension abélienne deK qui est complètement décompo- sée au-dessus deK^c, i.e. logarithmiquement non-ramifiée surK. Plus généralement :

Définition 1. Étant donné un ensemble finiTK d’idéaux premiers de K étrangers à ℓ etm_K le produit Q

q_K∈T_Kq_K, leℓ-groupe des classes logarithmiques de rayons modulom est le quotient Ceℓ_K^mK =Dfℓ_K^mK/Pℓ_K^mK

duZℓ-moduleDfℓ_K^mK construit sur les diviseurs logarithmiques étrangers àTK par l’imagePℓ_K^mK du sous-moduleTK-infinitésimalRK^mK =

x∈ R^K |sqK(x) = 1∀q_K ∈T_K de R^K =Zℓ⊗^ZK^×. Scolie 2. Le ℓ-groupe Ceℓ_K^m s’interprète comme le groupe de Galois Gal(He_K^T/K^c) attaché à l’ex- tension abélienneT-logarithmiquement ramifiée (i.e. non-ramifiée au sens logarithmique en dehors de T) maximaleHe_K^TK attachée àK relativement à la Zℓ-extension cyclotomiqueK^c.

Preuve.Par un calcul immédiat, on a, en effet : Ceℓ_K^mK =Dfℓ_K^mK/Pℓ_K^mK ≃Je^K/Q

q_K∈T/ _KUe^qKRK.

2 Énoncé du résultat principal et stratégie de preuve

La situation considérée est la suivante :ℓest un nombre premier fixé ;K/kdésigne une extension galoisienne de corps de nombres ; etT =Tk est un ensemble fini de places finies de kne divisant pasℓ. Pour chaque extension finieN dek, nous notonsTN l’ensemble des premiers deN au-dessus deT etm_N =Q

q_N∈T_Nq_N leur produit.

Nous nous proposons de faire capituler le ℓ-groupe des classes logarithmiques de rayons atta- chées à K par composition avec une ℓ-extension abélienne F dek; plus précisément de prouver que Ceℓ_K^mK a une image triviale dans Ceℓ_L^mL pourL=KF et une infinité de telles extensionsF.

Néanmoins, pour des raisons spécifiques aux classes logarithmiques, il est naturel pour cela de restreindre notre ambition aux classes relatives :

Définition 3. Par sous-groupe des classes relatives du ℓ-groupe des classes logarithmiques de rayons modulo m_K nous entendons le noyau Ceℓ_K/^mKk de l’application normeNK/k:Ceℓ_K^mK →Ceℓk^mk.

Rappelons enfin que la conjecture de Gross-Kuz’min pour le premier ℓet le corpsN revient à postuler la finitude duℓ-groupe des classes logarithmiques CeℓN attaché à ce corps.

Cela étant, le résultat principal de cette note peut s’énoncer comme suit :

Théorème 4. SoientK un corps de nombres qui satisfait la conjecture de Gross-Kuz’min pour un premier ℓ et k un sous-corps tel que K/k soit complètement décomposé en au moins une place à l’infini. Pour tout ensemble fini T de places de k ne divisant pas ℓ, il existe une infinité de ℓ-extensions abéliennes F/k complètement décomposées en toutes les places à l’infini, telles que le sous-groupe relatif Ceℓ_K/^mKk du ℓ-groupe Ceℓ_K^mK des classes logarithmiques de rayons modulo m_K=Q

q_K∈T_Kq_K capitule dans le compositum L=F K.

Corollaire 5. Sous les hypothèses du Théorème, dès lors que leℓ-groupe Ceℓk^mk des classes loga- rithmiques de rayons du corps de basek est trivial, leℓ-groupe Ceℓ_K^mK entier capitule dans F K.

Venons-en maintenant à la stratégie de la preuve. Elle est essentiellement analogue à celle utilisée par Bosca pour principaliser les classes d’idéaux (cf. [2, 3]) et récemment étendue aux classes de rayons classiques (cf. [14]) avec toutefois quelques complications, la première étant que le pro-ℓ-groupe des classes logarithmiques sans restriction de degré, disons Cℓ_K^log ≃Gal(K^lc/K), est infini : dans le cas des groupes classes d’idéaux ou de rayons, qui sont finis, il est toujours possible de représenter une classe donnée par un idéal premier (auquel on impose des conditions supplémentaires ad hoc). Mais c’est impossible dans le cas logarithmique, les diviseurs premiers n’étant jamais de degré nul. Il faut donc biaiser.

Étant donnée une classe (de degré nul) [ed_K] dans Ceℓ_K^mK, un entier n (arbitrairement grand) ayant été choisi, nous pouvons cependant écrire

[ed_K] = [ep_K] +ℓⁿ[eb_K],

avec p_K premier pour un diviseur logarithmique convenable eb_K. Notant alors p l’unique divi- seur premier de k au-dessous de p_K, puis imposant à laℓ-extension cyclique Fd/k d’être loga- rithmiquement non-ramifiée en dehors de p et d’avoir pour indice de ramification logarithmique e

ep(Fd/k) =ℓⁿ, nous obtenons dans le pro-ℓ-groupe des diviseurs logarithmiques du compositum Ld = FdK l’identité entre diviseurs : ep_K = ℓⁿ ea_Ld, pour un certain diviseur ambige ea_Ld, ainsi dénommé car invariant parGal(Fd/k). En fin de compte, il vient :

[ed_K] =ℓⁿ[ea_L

d] +ℓⁿ[eb_K] =ℓⁿ[ea_L

d+eb_K],

dans Ceℓ_L^m_d^Ld, pour un certain diviseur ambigeea_Ld+eb_K; de sorte queed_K se principalise dansLd, dès lors queℓⁿ annule le sous-groupe ambige qui en contient la classe.

Finalement, prenant le compositumF desFdpour un système de représentants de générateurs de Ceℓ_K^mK et posantL=F K, on obtient bien un corps principalisant pour Ceℓ_K^mK.

La première étape consiste donc à préciser le nombre de classes d’ambiges dans uneℓ-extension cyclique, pour pouvoir le majorer indépendamment densous certaines conditions.

3 La formule des classes logarithmiques d’ambiges

Nous reprenons ci-dessous, en les modifiant légèrement pour les adapter aux classes logarith- miques de rayons, les calculs de classes invariantes effectués dans [9].

Supposons donc fixés un nombre premier ℓ et uneℓ-extension cyclique de corps de nombres L/K; donnons-nous un ensemble finiT_K d’idéaux premiers deKne divisant pasℓnotonsT_Ll’en- semble des premiers deLau-dessus deT_K^(ℓ); posons enfinm_K =Q

q_K∈T_KqK et m_L =Q

q_L∈T_Lq_L. Le résultat logarithmique s’énonce alors, en analogie avec le résultat classique (cf. [14], Prop. 3) : Proposition 6. Dans uneℓ-extension cyclique L/K de corps de nombres, le nombre de classes logarithmiques de rayons dansCeℓ_L^mL qui sont représentées par des diviseurs logarithmiques ambiges (i.e. invariants parC= Gal(L/K)) est donné sous la conjecture de Gross-Kuz’min par la formule :

(fDℓ_L^mLC:Pℓ_L^mLC) = |Ceℓ_K^mK|

Q

p^∞dp∞(L/K)Q

p^◦∤m˜ep◦(L/K) deg_LDfℓ_L^mLC: deg_LDfℓ_K^mK

EeK^mK :N_L/K(eEL^mL)

Dans celle-ci dp^∞désigne le degré local et e˜p^◦ l’indice de ramification logarithmique ; p∞ parcourt les places à l’infini deK etp◦ les places étrangères àm_K logarithmiquement ramifiées dansL/K.

Preuve.Écrivons :(fDℓ_L^mLC:Pℓ_L^mLC) = (fDℓ_L^mLC:Dfℓ_K^mK) (fDℓ_K^mK :Pℓ_K^mK)/(Pℓ_L^mLC:Pℓ_K^mK).

— L’indice (fDℓ_L^mLC:Dfℓ_K^mK)se calcule comme suit : dans la suite exacte courte canonique 1→Dfℓ_L^mLC/Dfℓ_K^mK → Dℓ_L^mLC/Dℓ_K^mK → Dℓ_L^mLC/Dfℓ_L^mLCDℓ_K^mK →1,

le terme de droite s’identifie via l’applicationdegré au quotient deg_LDfℓ_L^mLC/deg_LDfℓ_K^mK . Et le groupeDℓ_L^mLC des diviseurs logarithmiques ambiges étrangers àm_L est engendré par les sommesP

p_L|p_Kp_L= ˜e⁻¹_p

K(L/K)p_K, lorsquep_K décrit l’ensemble des premiers deKqui ne divisent pasm_K, d’où :

(Dℓ_L^mLC:Dℓ_K^mK) =Q

p^◦∤m_K˜ep(L/K).

— Le quotient Dfℓ_K^mK/Pℓ_K^mK est tout simplement leℓ-groupe Ceℓ_K^mK des classes logarithmiques deK, lequel est fini sous la conjecture de Gross-Kuz’min dansK.

— Enfin, tout comme dans le cas classique (cf. [14]), le lemme du serpent, appliqué ici à la suite exacte de cohomologie associée à la suite courte qui définit le sous-groupe principal

1−→EeL^mL−→ RL^mL −→ Pℓ_L^mL−→1,

montre que le quotientPℓ_L^mLC/Pℓ_K^mKs’identifie au premier groupe de cohomologie des unités logarithmiquesT_L^(ℓ)-infinitésimalesH¹(C,EeL^mL):

Pℓ_L^mLC/Pℓ_K^mK ≃H¹(C,EeL^mL),

dont l’ordre est le produit de celui du groupeEeK^mK/NL/K(EeL^mL))≃H²(C,EeL^mL)par le quo- tient de Herbrandq(C,EeL^mL), lequel ne dépend que du caractère des unités logarithmiques.

Sous la conjecture de Gross-Kuz’min, ce dernier est donné par la formule (cf. [9], Th. 3.6) : χ_Ee^mL

L

=χ_Ee

L=P

p∞Ind^C_Dp

∞1Dp,

comme somme d’induits attachés aux sous-groupes de décomposition des places à l’infini deK. Il vient donc ici :

q(C,EeL^mL) =q(C,Ee^L) =Q

p∞dp∞(L/K).

D’où la formule annoncée.

Remarque. Dans l’expression obtenue, le facteur deg_LDfℓ_L^mLC : deg_LDfℓ_K^mK

vient remplacer le facteur [L : K] au dénominateur de la formule analogue pour les classes de rayons ordinaires.

Lorsque l’extensionL/Kest totalement ramifiée au sens logarithmique en un diviseurprimitif pK

(i.e. tel quedeg_Kp_K engendreGal(K^c/K)) qui ne divise pasmK, il y a même égalité : deg_LDfℓ_L^mLC: deg_LDfℓ_K^mK

= [L^c:K^c] = [L:K].

En général, cependant, on a simplement des relations de divisibilité.

4 Classes relatives d’ambiges et modules équivalents

Revenons au problème de la principalisation. En analogie avec le cas classique, nous cherchons L comme compositum F K pour une ℓ-extension cyclique F/k logarithmiquement ramifiée en une unique place p de k, complètement décomposée dans K/k, ayant par ailleurs un indice de ramification logarithmiqueeep(F/k) =ℓⁿ, avecnassez grand qui sera précisé ultérieurement.

Malheureusement la condition de décomposition requise, en tuant le facteur degré au dénomi- nateur, ruine toute possibilité de contrôler le quotient indépendamment denen toute généralité.

Pour pallier cette difficulté, nous allons nous restreindre au sous-groupe des classes relatives, i.e. au noyau de la norme arithmétiqueNK/k attachée à l’extensionK/k(cf. Définition3).

Notonsdl’ordre deG= Gal(K/k); puisν =P

σ∈Gσl’élément deGqui correspond à la norme NK/k; et ¯ν =P

σ∈G(1−σ) =d−ν. Le noyau de la norme arithmétique NK/k est évidemment compris entre le noyau de la normealgébrique ν et l’image de l’opérateur complémentaireν¯ :

Im ¯ν ⊂KerNK/k⊂Kerν.

— Lorsque l’ordreddeGest étranger àℓ, il est inversible dans l’anneau Zℓ, de sorte que les éléments eν = ^ν_d et e¯ν = ^¯ν_d sont deux idempotents centraux complémentaires de l’algèbre Zℓ[G]. Et il vient donc :Im ¯ν = Ime¯ν= Kereν= Kerν. Dans ce cas, il n’est pas nécessaire de distinguer entre noyau arithmétique et noyau algébrique de la norme. Mieux encore, toute suite exacte de Zℓ[G]-modules donne aussitôt deux suites exactes, l’une restreinte aux noyaux de la normeν, l’autre aux images, par action des deux idempotents précédents.

— Dans le cas contraire, il faut distinguer. Cependant, eu égard au problème qui nous préoc- cupe, il est possible de contourner cette difficulté supplémentaire de la façon suivante : Convention. Convenons de dire que deuxZℓ[G] modules finisM et N dépendant du paramètre n sont équivalents lorsque la ℓ-valuation du quotient de leurs ordres est bornée indépendamment de n; ce que nous écrivons :

M ∼N ⇐⇒ |M| ≈ |N| ⇐⇒ vℓ |M|

|N|

borné (indépendamment de n).

Lemme 7. Pour tout Zℓ[G]-module fini M de Zℓ-rang borné (indépendamment de n), le noyau

νM de ν et l’image M^ν¯de ν¯ sont équivalents ; de même le noyauν¯M de ν¯et l’imageM^ν de ν. Preuve.L’identitéν+ ¯ν=dmontre que les deux quotientsνM/M^ν¯et ¯νM/M^ν sont tués pard.

En conséquence, quitte à travailler à un borné près, il est toujours possible, dès lors qu’on ne considère que des modules de rang borné (indépendamment de n), de raisonner comme si la condition de semi-simplicitéℓ∤détait toujours remplie. En particulier, pour toute suite exacte

1→N →M →P→1

deZℓ[G]-modules finis deZℓ-rang borné (indépendamment den), on a les équivalences : M^ν¯∼^νM ∼^νN⊕^νP ∼N^¯ν⊕P^ν¯ & M^ν ∼^ν¯M ∼^¯νN⊕^ν¯P∼N^ν⊕P^ν. entre pseudo-composantesrelatives(i.e. tuées parν) à gauche etinduites (tuées parν¯) à droite.

Reprenons maintenant les calculs de classes d’ambiges effectués dans la section précédente.

Dans la situation galoisienne considérée ici, les diversℓ-groupes qui interviennent dans la preuve de la Proposition 6 sont desGal(L/k)-modules fixés par C = Gal(L/K), i.e. des Zℓ[G]-modules finis. En nous restreignant aux pseudo-composantes relatives (i.e. tuées par ν = P

σ∈Gσ) et en négligeant tout les modules d’ordre borné indépendamment den, nous obtenons immédiatement : Proposition 8. Sous les hypothèses énoncées en début de section, l’ordre de la pseudo-composante relativeν Dfℓ_L^mLC/Pℓ_L^mLC

du sous-groupe des classes logarithmiques de rayons dansCeℓ_L^mL qui sont représentées par des diviseurs logarithmiques ambiges (i.e. invariants par C = Gal(L/K)) est donné sous la conjecture de Gross-Kuz’min (pour le premierℓ et le corpsL) par la formule :

_ν Dfℓ_L^mLC/Pℓ_L^mLC ≈ℓ^n(d−1)/ νEeK^mK/(νEeK^mK∩NL/K(eEL^mL)) .

Preuve.De l’isomorphismeDℓ_L^mLC/Dℓ_K^mK ≃(Z/ℓⁿZ)[G], on tire :|^ν(Dℓ_L^mLC/Dℓ_K^mK)|=ℓ^n(d−1).

5 Minoration de l’indice normique des unités

Sous la conjecture de Gross-Kuz’min (pour le premier ℓ et le corps L) le théorème de re- présentation des unités logarithmiques rappelé plus haut (cf. [9], Th. 3.6) appliqué à l’extension galoisienneL/K nous assure que Ee^K et donc son sous-module d’indice fini EeK^mK contiennent un sous-module monogène EeK^ε = ε^Zℓ[G] de caractèreχ^aug_G .

Rappelons que Ee^K est contenu dans leℓ-adifié EK^′ =Zℓ⊗^ZE_K^′ du groupe des ℓ-unités de K (mais qu’il n’est pas en général, comme l’est E^K =Zℓ⊗^ZEK, leℓ-adifié d’un sous-groupe deE_K^′ ).

Soitn >0 un entier non nul ; choisissons dans le groupeE^′_K un système de représentantsR_K^ε du quotient EeK^ε/ EeK^ε∩ EK^′ℓⁿ

; notonsµℓⁿ leℓ-groupe des racinesℓⁿ-ièmes de l’unité ; et considérons l’extensionK_n^ε=K

µ_ℓn, ^ℓnp R_K^ε

engendrée surKn=K[µ_ℓn]par les racinesℓⁿ-ièmes des éléments de R_K^ε. Notons enfin EeK^◦_n la racine de EeK^ε dans EeK_n, puis ℓ^δ˜m l’indice (eEK^◦_n: EeK^εµ_Kn), qui est ultimement indépendant den. Par construction, le degré de l’extension kummérienneK_n^ε/Kn est alors donné, disons pour toutn≥nK, par la formule :

[K_n^ε:Kn] = |Rad(K_n^ε/Kn)|= EeK^ε :EeK^εℓⁿ

/ EeK^◦n:EeK^εµ_Kn

= ℓ^n(d−1)/ℓ^˜δm.

Tout comme dans [14] §4, introduisons la sous-extension élémentaireK_n^e/KndeK_n^ε/Kn; notons (η1K_n^×ℓ,· · · , ηtK_n^×ℓ)uneFℓ-base deRad(K_n^e/Kn)⊂K_n^×/K_n^×ℓreprésentée par des conjuguésηi= ε^σi deεdontη1=ε; et définissonsτ¯n∈Gal(K_n^e/Kn)par :√^ℓη1(¯τn−1)=ζℓ & √^ℓηi(¯τn−1)= 1, pour i = 2,· · ·, t. Faisons choix enfin d’un relèvement τn de τ¯n dans Gn. Il est clair que les conjugués deτ¯n engendrentGn/G^ℓ_n= Gal(K_n^e/Kn)donc que les conjugués deτn engendrentGn. Supposons choisi enfin un entier m=mK indépendant de net soit alors une placepK ∤2ℓmK

de K au-dessus d’un premierp, complètement décomposé dansKn/Q, telle que l’application de Frobenius associée à l’extension abélienneK_n^ε/Knenvoie l’une des placespKndeKnau-dessus depK

sur la puissance ℓ^m-ième de l’automorphismeτn. NotantsmK l’épimorphisme de semi-localisation deR^K surR^KmK =Q

qK|mKR^KqK, nous concluons à l’identité : η∈EeK^ε|smK(η)∈ Q

σ∈GUK^ℓnp^σ_K =

η∈EeK^ε|smK(η)∈ Q

σ∈GR^ℓKⁿp^σ_K =EeK^ε ∩ R^×ℓKn^n−m.

Si donc la ℓ-extension cycliqueF/kest logarithmiquement non-ramifiée en dehors de la place p =p^k au-dessous de pK avec un indice de ramification logarithmique ˜ep(F/k) = ℓⁿ, les unités logarithmiques de K qui sont normes dans l’extension cyclique L/K sont exactement celles qui sont des puissancesℓⁿ-ièmes locales aux places au-dessus dep; et il vient :

EeK^ε :EeK^ε ∩NL/K(R^L)

= EeK^ε :EeK^ε∩⁻¹smK

Q

σ∈GUK^ℓnp^σ_K

= EeK^ε :EeK^ε ∩ R^×ℓKn^n−m

=ℓ^{(n−m)(d−1)}/ℓ^δ˜m d’où la minoration (au sens de la divisibilité) :

_νEeK^m/ νEeK^m∩NL/K(eEL^m) ≻ EeK^ε :EeK^ε ∩NL/K(R^L)

≻ℓ(n−m)(d−1)−δ˜m. Il résulte alors de la Proposition 8 que l’ordre du ℓ-groupeν Dfℓ_L^mLC/Pℓ_L^mLC

est borné indé- pendamment den. En résumé, sous la conjecture de Gross-Kuz’min dansL, il vient :

Proposition 9. Soientℓun nombre premier,K/kune extension galoisiennne de corps de nombres dans laquelle une au moins des places à l’infini est complètement décomposée,T =T^kun ensemble fini de premiers dek qui ne divisent pasℓ etTK l’ensemble des premiers de K au-dessus deT; puis m^k=Q

qk∈Tkq^k etmK =Q

qK∈TKqK. Soit enfin m=mK un entier arbitraire.

Il existe alors un entier effectif nK tel que pour tout n≥ nK, si p =pk ∤ 2ℓm^k est un idéal premier dek au-dessus d’un premier pde Qcomplètement décomposé dans l’extension K[ζ_ℓn]/Q et F/k une ℓ-extension cyclique p-logarithmiquement ramifiée avec pour indice de ramification logarithmique eep(F/k) = ℓⁿ et tel que l’application de Frobenius envoie l’une des places pK au- dessus dep sur une puissance donnéeτ_n^ℓm de l’automorphisme τn, l’ordre du sous-groupe relatif de Ceℓ_L^mL attaché au compositumL=kF qui est engendré par les classes logarithmiques des diviseurs invariants par C= Gal(L/K)soit majoré indépendamment de n:

(fDℓ_L^mLC :Pℓ_L^mLC)≺ℓ^˜cK,m.

6 Construction de l’extension principalisante

Résumons : étant donnée une extension galoisienneK/k de corps de nombres complètement décomposée en au moins une place à l’infini, un nombre premier ℓet un diviseur m_K de K sans facteur carré, étranger àℓet stable parG= Gal(K/k), ayant fait choix d’un sous-moduleE_K^ε de E_K^mK de caractèreχ^aug_G et d’un entierm=m_K indépendant den, nous avons défini une constante e

cK,mK; puis, pour une classe[dK]d’ordreℓ-primaire dansCeℓ_K^mK et n≥ecK,mK, nous cherchons :

— une placepdeket une placep_KdeKau-dessus qui satisfasse les trois conditions suivantes : (i) p_Kest au-dessus d’un premierp6=ℓdeQcomplètement décomposé dansKn=K[ζℓⁿ]; (ii) p_K a même image quedK dans le quotient d’exposant ℓⁿ de Ceℓ_K^mK, i.e. a même image dans le groupe de GaloisGal(Hen/K)de la sous-extension d’exposantℓⁿdeHe_K^mK/K; (iii) l’une des places au-dessuspn dansKn est d’imageτ_n^ℓh dansGal Kn

_ℓpn

E_K^ε /Kn

;

— et uneℓ-extensionF/kcyclique∞-décomposée, logarithmiquement non-ramifiée en dehors depet p-logarithmiquement ramifiée avec pour indice de ramificationeep(F/k) =ℓⁿ. Examinons d’abord cette dernière condition. Par la théorie ℓ-adique du corps de classes (cf.

[10]), le groupe de Galois Gal(He_k^p/He_k)de la ℓ-extension abélienne p-logarithmiquement ramifiée

∞-décomposée maximaleHe_k^pdu corpskrelativement à sa sous-extension logarithmiquement non- ramifiée∞-décomposée maximaleHe_k est donné par l’isomorphisme :

Gal(He_k^p/He_k)≃ R^kQ

q∤∞Ue^kq

Q

q|∞R^kq

/ R^kQ

q6=pUe^kq

Q

q|∞R^kq

≃µ^k_p/sp(eE^k), oùµ^kp= Ue^kp est leℓ-groupe des racines de l’unité dansk_petsp(Ee^k)l’image locale du groupe des unités globales. Or, le quotient obtenu est cyclique d’ordreℓ^mpour unm≥nsi et seulement si le compléték_pcontient les racinesℓⁿ-ièmes de l’unité et si les éléments deEe^k sont des puissancesℓⁿ- ièmes locales dansk_p; ce qui a lieu dès que la placepest complètement décomposée dans l’extension k

ζℓⁿ,Ee^kℓ−n

/k. Lorsque c’est le cas, l’extension He_k^p/k possède donc une sous-extension cyclique

∞-décomposée et p-logarithmiquement ramifiée avec pour indice de ramificationeep(F/k) = ℓⁿ. En fin de compte, l’existence deF est donc assurée dès lors que l’on remplace la condition (i) par :

(i^′) p_K est au-dessus d’un premierp6=ℓcomplètement décomposé dansKn

Ee^kℓ−n /Q.

Et tout le problème est alors de s’assurer de la compatibilité des trois conditions (i^′), (ii) et (iii).

D’un côté, Ee^k et EeK^ε étant en somme directe, les extensionsKn

Ee^kℓ−n

/Kn et Kn

EeK^εℓ⁻ⁿ /Kn

sont bien linéairement disjointes. D’un autre côté, ce n’est pas nécessairement le cas des deux extensions He_K^m/Kn etKn

(Ee^kEeK^ε)^ℓ−n

/Kn. Ce défaut demeure cependant borné.

Pour voir cela, notonsℓ^mKl’ordre deµ_K; puisK∞=K[ζℓ^∞]l’extension cyclotomique engendrée par toutes les racines d’ordre ℓ-primaire de l’unité. Observant que He_K^m/K est abélienne et que Kn

(eE^kEeK^ε)^ℓ−n

/K est logarithmiquement non-ramifiée en dehors deℓ, nous avons : He_K^m∩Kn

(Ee^kEeK^ε)^ℓ−n

=HeK∩Kn

(eE^kEeK^ε)^ℓ−mK

pour n≥mK. EtGal eHK∩Kn

(eE^kEeK^ε)^ℓ−mK /Kn

est un groupe abélien d’exposant divisantℓ^mK. Si donc nous définissons l’entier mintroduit dans la section précédente en prenantm =m_K, la compatibilité de (i^′) avec (iii) est automatique. Celle de (i^′) avec (ii) est alors immédiate sous la condition supplémentaire :

(iv) [dK]est une puissanceℓ^mK-ième dans Ceℓ_K^mK.

Lorsque cette dernière est remplie, le théorème de densité de Čebotarev (cf. [4] ou e.g. [23]) appliqué dans la clôture galoisienne de l’extension Hen

ζℓⁿ,(Ee^kEeK^ε)^ℓ−mK

/Qnous assure l’existence d’une infinité de premiersppossédant une placep_K au-dessus qui satisfait les conditions requises (i^′),(ii)et(iii); et donc l’existence d’une infinité deℓ-extensionsF/kconvenables. Ainsi : Proposition 10. La construction deF est possible dès lors que la classe [dK] est une puissance ℓ^mK-ième dans Ceℓ_K^mK, où ℓ^mK=|µ_K|est l’ordre duℓ-groupe des racines de l’unité dansK.

7 Preuve conditionnelle du résultat principal

Nous supposons dans cette section que les corps qui interviennent satisfont tous la conjecture de Gross-Kuz’min (pour le premierℓ). Nous verrons plus loin comment lever cette restriction.

Plaçons nous d’abord dans le cas galoisien. Sous la conjecture de Gross-Kuz’min, nous avons : Théorème 11. Étant donnés une extension galoisienne K/kde corps de nombres complètement décomposée en au moins une place à l’infini, un nombre premier ℓ et un diviseur mK de K sans facteur carré, étranger àℓet stable parG= Gal(K/k), pour chaque classe[edK]d’ordre ℓ-primaire dans Ceℓ_K^mK, il existe une infinité deℓ-extensions abéliennes∞-décomposéesF/ktelles que la classe [edK] se principalise dans le groupe de classes de rayons Ceℓ_L^mL du compositumL=F K.

La première étape consiste à se ramener au cas où[edK]est une puissanceℓ^mK-ième dans Ceℓ_K^mK : Proposition 12. Sous la conjecture de Gross-Kuz’min, quitte à grossir K par composition avec uneℓ-extension abélienne∞-décomposée de Q, on peut supposer[edK]∈(Ceℓ_K^mK)^ℓh avecharbitaire.

Preuve. NotonsK^c laZℓ-extension cyclotomique de K; puisK∞=K[ζℓ^∞] =K^c[ζ2ℓ] l’extension engendrée par les racines d’ordreℓ-primaire de l’unité ; et considérons la pro-ℓ-extension He_K^mK[ζ2ℓ].

— Si ℓ est impair et K vérifie la conjecture de Gross-Kuz’min pour ℓ, le groupe de Galois Gal(He_K^mK[ζ2ℓ]/Ks’identifie au produit direct du groupe cyclique∆ = Gal(He_K^mK[ζ2ℓ]/He_K^mK), duℓ-groupe fini Ceℓ_K^mK ≃Gal(He_K^mK/K^c)et du groupe procycliqueΓ = Gal(K^c/K)≃Zℓ.

— Siℓvaut2, toujours sous la conjecture de Gross-Kuz’min, il faut distinguer :

— Si He_K^mK ne contient pasi=ζ4, la même décomposition vaut encore avec∆≃Z/2Z.

— Si He_K^mK contient i, l’extension K[i]/K est localement cyclotomique ; et en remplaçant K parK[i] =KQ[i], qui vérifie les mêmes hypothèses, on est ramené au cas précédent.

Soit alors Keh/Kla sous-extension d’exposantℓ^hde He_K^mK[ζ2ℓ]/K. Dans tous les cas, le théorème de Čebotarev appliqué dans la clôture galoisienne de KehsurQnous assure l’existence d’un premier q_K ∤ℓm_K deKau-dessus d’un premierqdeNcomplètement décomposé dansK[ζ2ℓ^h]/Qde même image qued_K dansCeℓ_K^mK/Ceℓ_K^mKℓh (en notations multiplicatives).

Maintenant, le sous-corps réel du corps cyclotomiqueQ[ζ_2ℓ^h]contient un unique sous-corpsF◦

cyclique de degréℓ^het totalement ramifié enq. De plus, commeqest pris complètement décomposé dansK/Q, la placeq_K est totalement ramifiée dans l’extension composée KF◦/K; de sorte que l’étendue[edKF◦]de[ed_K]est bien une puissanceℓ^h-ième dans Ceℓ_KF^mKF◦_◦.

Preuve du Théorème. Revenons aux notations additives. D’après la Proposition12, nous pouvons supposer [edK] ∈ ℓ^mKCeℓ_K^mK sans restreindre la généralité, en notant ℓ^mK l’ordre du ℓ-groupe µ_K. La Proposition 10 nous assure alors pourn arbitrairement grand l’existence d’une infinité deℓ- extensions cycliques∞-décomposéesF deklogarithmiquement ramifiées en un unique premierp avec pour indiceeep(F/k) =ℓⁿ, qui satisfont les conditions(i),(ii)et(iii)de la section précédente.

En particulier la classe [ed_K] de dK dans Ceℓ_K^mK est représentée modulo ℓⁿCeℓ_K^mK par l’un des [K:k]idéauxp_K au-dessus dep, lequel se ramifie logarithmiquement dans l’extension composée L/K=KF/K avec pour indiceℓⁿ, de sorte qu’il vient :[ed_K] = [ep_K] +ℓⁿ[er_K]etep_K =ℓⁿeq_Lpour un diviseur logarithmique eq_L invariant par C = Gal(L/K). D’après la Proposition 9 l’étendue [ed_L] =ℓⁿ[eq_L+er_K]de[d_K]àLest ainsi la classe principale dès qu’on a :n≥ecK,m.

Scolie 13. La conclusion du Théorème vaut encore lorsqueK/kn’est pas supposée galoisienne.

Preuve. Partons d’une classe d’ordreℓ-primaire[ed_K]; introduisons la clôture galoisienne K/¯ k de K/ket notonsℓ^h laℓ-partie du degré deK/K. D’après la Proposition¯ 12, quitte à grossirK par composition avec uneℓ-extension abélienne dek(ce qui n’augmente pash), nous pouvons supposer que[ed_K]est une puissanceℓ^h-ième dans Ceℓ_K^mK, donc la norme dansK/K¯ d’une classe[ed_K¯]de Cℓ_K^m_¯^K¯. Donnons-nous maintenant un corps principalisantF pour [dK¯], i.e. uneℓ-extension abélienne∞- décomposéeF/ktelle que l’étendue[ed_FK¯]de[edK¯]soit la classe triviale. Alors l’étendue àF K de sa normeNK/( ¯¯ K∩F K)([edK¯])est la classe triviale de Ceℓ_{F K}^mFK. Or, on a :

[ed_K] =NK/K¯ ([ed_K¯]) =N_{( ¯K∩F K)/K} NK/( ¯¯ K∩F K)(([ed_K¯])

; de sorte que[ed_K] se principalise dans Ceℓ_{F K}^mFK.

8 Retour sur la conjecture de Gross-Kuz’min

L’objet de cette section est de mieux cerner le rôle exact de la conjecture de Gross-Kuz’min dans les diverses étapes de la preuve du résultat principal sur la principalisation. À l’analyse, dans celles-ci, la conjecture intervient essentiellement pour trois points-clés :

(i) Pour assurer la finitude desℓ-groupes de classes logarithmiques de degré nul

Bien entendu, la capitulation ne peut concerner que des classes d’ordre fini. Si donc l’on veut se dispenser de la conjecture de Gross-Kuz’min, il convient de remplacer le pro-ℓ-groupe des classes logarithmiques de rayons Ceℓ_K^mK par son sous-groupe de torsion, disons TeK^mK, qui est toujours fini.

Dans ce cas, la sous-extension de He_K^mK fixée par TeK^mK n’est plus, a priori, laZℓ-extension cyclo- tomiqueK^c deK, mais simplement le compositum desZℓ-extensions localement cyclotomiques.

Son groupe de Galois sur K^c est un Zℓ-module libre dont la dimension mesure précisément le défaut de la conjecture de Gross-Kuz’min dans le corpsK(pour le premierℓfixé).

(ii) Pour construire le sous-module EeK^ε

L’existence d’un sous-module monogène EeK^ε isomorphe à l’idéal d’augmentation sous l’hy- pothèse de décomposition d’une place à l’infini repose sur l’expression du caractère des unités logarithmiques sous la conjecture de Gross-Kuz’min dans K. Mais, ici encore, il n’est nullement nécessaire de s’appuyer sur la conjecture : il est bien connu, en effet, que le groupe EeK contient un sous-groupe canonique, noté EeK^ν dans [12] §7, dit groupe des normes universelles de Kuz’min, qui possède le rang et donc le caractère attendus. De ce fait, le sous-groupe d’indice fini EeK^ν ∩ EeK^mK

contient bien un sous-module de type EeK^ε indépendamment de la conjecture de Gross-Kuz’min.

(ii) Pour évaluer le quotient de Herbrandq(C,EeK^mK)

Ce point est le plus sensible : les identités des classes logarithmiques d’ambiges dans l’extension cycliqueL/Kde groupe de GaloisC font apparaître le quotientPℓ_L^mLC/Pℓ_K^mK ≃H¹(C,EeL^mL)dont l’ordre coïncide, sous la conjecture de Gross-Kuz’mindansL, avec celui du groupeH²(C,EeL^mL), le quotient de Herbrandq(C,EeL^mL) =q(C,Ee^L)du groupe d’unités logarithmiques EeL^mL valant alors 1.

Or, ce quotient ne dépend que du caractère du groupe Ee^L. Si le groupeCest cyclique d’ordre, disons,ℓ^h, la décomposition semi-simple de l’algèbre de groupe

Qℓ[C]≃Qℓ[X]/(X^ℓh−1)≃Qℓ⊕Qℓ[ζℓ]⊕ · · · ⊕Qℓ[ζ_ℓ^h] conduit à la décompositionℓ-adique irréductible du caractère régulier

χ^rég_C =χ₀+χ₁+· · ·+χ_h=χ₀+χ^aug_C ,

oùχ₀désigne le caractère unité etχ^aug_C le caractère d’augmentation. Maintenant, pour toutZℓ[C]- module projectifM de caractèreχ_M =P

niχi, un calcul élémentaire montre que l’ordreh²(M)du groupeH²(C, M)ne dépend que den0, tandis que l’ordreh¹(M)du groupeH¹(C, M)ne dépend que desnipouri >0. Écrivons donc EeL^′ = EeL/EeL^ν le quotient du groupe des unités logarithmiques par le sous-groupe des normes universelles de Kuz’min introduit plus haut.

Sous la conjecture de Gross-Kuz’min dansK, le groupe EeK^′ = EeK/EeK^ν est fini, de sorte que la composante unité du caractère de EeL^′ est alors triviale. En particulier, son quotient de Herbrand q(C,EeL^′) =h¹(EeL^′)/h²(EeL^′)est une puissance positive deℓ. Et il vient donc :

h¹(EeL^mL) =h²(EeL^mL)q(EeL^mL) =h²(EeL^mL)q(EeL) =h²(EeL^mL)q(EeL^′)≥h²(EeL^mL), en vertu de l’identitéq(C, EeL^ν) = 1valable inconditionnellement.

En fin de compte, dès lors que le seul corpsK vérifie la conjecture de Gross-Kuz’min pour ℓ, les calculs de la Proposition6fournissent la majorationdu nombre de classes d’ambiges :

(fDℓ_L^mLC:Pℓ_L^mLC) ≤ |Ceℓ_K^mK|

Q

p^∞dp∞(L/K)Q

p^◦∤m˜ep◦(L/K)

deg_LDfℓ_L^mLC: deg_LDfℓ_K^mK EeK^mK :NL/K(eEL^mL)

Et la conclusion de la Proposition9reste valable ; ce qui achève la démonstration du Théorème4.