Annulateurs de Stickelberger des groupes de classes logarithmiques
Jean-François Jaulent
Résumé. Étant donnés un nombre premier impair ` et un corps de nombres abélien F contenant les racines`-ièmes de l’unité, nous montrons que l’idéal de Stickelberger annule la composante imaginaire du`-goupe des classes logarithmiques et que son reflet en annule la composante réelle. Nous en tirons en particulier un théorème d’annulation pour les`-noyaux étales sauvages.
Abstract.For any odd prime number`and any abelian number fieldFcontaining the`-th roots of unity, we show that the Stickelberger ideal annihilates the imaginary component of the `-group of logarithmic classes and that its reflection annihilates the real component. As a consequence we obtain annihilation results for the so-called wildétale`-kernels ofF.
Table des matières
Introduction 1
1 Bref rappel sur les classes et unités logarithmiques 3
2 Éléments de Stickelberger normalisés 4
3 Dualité du miroir dans la Z`-tour cyclotomique 5
4 Théorèmes d’annulation logarithmiques 6
5 Annulation des `-noyaux étales sauvages 7
Bibliographie 8
Introduction
Sous sa forme générale, le classique théorème de Stickelberger (cf. e.g. [16]) affirme que pour tout corps abélienF de groupe de GaloisGF, l’idéal de l’algèbreZ[GF]engendré par les éléments de Stickelberger tordus annule le groupe des classes d’idéaux deF. Lorsque F est imaginaire, il est bien connu que ces éléments le sont aussi, en ce sens qu’ils se factorisent par1−τ, où¯ ¯τdésigne la conjugaison complexe. Il suit de là que le théorème d’annulation de Stickelberger n’apporte aucune information directe sur le groupe des classes du sous-corps réelF+, puisque ce dernier est banalement tué par l’élément1−¯τ.
Pour aller plus loin, il est utile de fixer un nombre premier ` (que nous prendrons ici impair pour éviter les complications techniques liée au cas ` = 2) et de se concentrer sur les `-parties des groupes considérés. Et, dans cette perspective, il est naturel de raisonner en présence des
racines`-ièmes de l’unité, i.e. de remplacer le corps abélien de départ, disonsF0, par le sur-corps F =F0[ζ`]; auquel cas les (pro)-`-invariants attachés àF0 se déduisent de ceux attachés àF, par simple descente via l’idempotent eF /F0 = [F:F1
0]
P
σ∈Gal(F /F0)σ. Ce n’est donc pas restreindre la généralité que de travailler directement surF.
Partons donc d’un corps abélienFcontenant les racines`-ièmes de l’unité ; notonse± =12(1±¯τ) les idempotents associés à la conjugaison complexe τ¯ ∈ GF = Gal(F/Q); et convenons de dire qu’unZ`[GF]-module est réel lorsqu’il est fixé pare+, imaginaire lorsqu’il l’est pare−. Cela étant : – D’un côté, le théorème de Stickelberger affirme que l’idéal imaginaireSF de l’algèbreZ[GF] annule la composante imaginaire du`-groupe des classes d’idéaux C`F deF; autrement dit, que pour toutmassez grand, sa réduction modulo`m annule la composante imaginaire de C`F.
– D’un autre côté, Gras et Oriat (cf. [2,12, 4]) ont montré que le reflet modulo`m de l’idéal SF est un idéal réel de l’algèbre quotient Z/`mZ[GF] qui annule pour tout m assez grand la composante réelle du sous-groupe de torsion TF∞du pro-`-groupe des classes infinitésimales deF.
On voit par là que le `-groupe de classes C`F d’une part et`-groupe TF∞ d’autre part appa- raissent dans des positions symétriques, alors même que leurs définitions respectives ne le sont pas : par la théorie `-adique du corps de classes, C`F s’identifie au groupe de Galois Gal(Fnr/F) attaché à la`-extension abélienne non-ramifiée maximaleFnr deF; tandis que TF∞ s’identifie au sous-groupe de torsion du groupe de Galois Gal(F`r/F) attaché à la pro-`-extension abélienne
`-ramifiée maximale deF (cf. e.g. [3,7]).
Le but de la présente note est de présenter une formulation parfaitement symétrique de ces théorèmes d’annulations, mais portant sur un troisième`-groupe, essentiellement distinct des deux précédents, quoique présentant avec eux une certaine ressemblance : le`-groupe des classes loga- rithmiques Ce`F introduit dans[6], dont nous rappelons plus loin les principales propriétés.
Partant d’un corps de nombres abélien F contenant les racines `-ièmes de l’unité, donc de conducteur f multiple de `, nous reprenons la définition standard des éléments de Stickelberger tordusSc
F, telle que donnée par exemple dans [4] pour toutcimpair étranger àf, puis, par montée et descente dans la Z`-tour cyclotomique nous définissons leurs reflets Sc∗
F dans l’involution du miroir. Procédant ensuite par induction à partir du résultat classique pour la partie imaginaire, puis par dualité de Kummer pour la partie réelle, nous obtenons alors le Théorème 4, qu’il est facile (par un argument immédiat de densité) de reformuler comme suit :
Théorème Principal. Soient `un nombre premier impair etF un corps de nombres contenant les racines`-ièmes de l’unité de groupe de GaloisGF.
Définissons le symétrisé`-adiqueSˆ`F de l’idéal de Stickelberger comme étant l’idéal de l’algèbre Z`[GF]engendré par les éléments de Stickelberger tordusSc
F et leurs refletSc∗
F pourc∈Z`×. Alors :
— La composante imaginaire de l’idéalS`ˆ F est l’idéal deZ`[GF]engendré par les éléments de Stickelberger tordus et sa composante réelle l’idéal engendré par leurs reflets respectifs.
— Le symétriséS`ˆ F annule le`-groupe C`eF des classes logarithmiques deF. En particulier sa composante réelle annule la composante réelle ; sa composante imaginaire celle imaginaire.
Du fait des relations étroites entre `-groupes de classes logarithmiques et `-noyaux étales su- périeurs dans la Z`-tour cyclotomique exposées dans [10], nous en déduisons alors un théorème d’annulation pour ces mêmes noyaux. Le Corollaire8infra donne ainsi :
Corollaire. Pour chaque i ∈ Z, définissons le (−i)-ième tordu à la Tate S`ˆ(i)F du symétrisé `- adique Sˆ`F de l’idéal de Stickelberger comme étant l’idéal de l’algèbre Z`[GF] engendré par les tordus à la Tate des éléments de StickelbergerSc
F et de leurs refletSc∗
F pourc∈Z`×.
L’idéal obtenu S`ˆ(i)F annule lei-ième `-noyau étale sauvageWK2i(F)attaché au corpsF.
1 Bref rappel sur les classes et unités logarithmiques
Soient `un nombre premier donné etF un corps de nombres. À chaque place finiep deF, il est attaché dans [6] une application à valeurs dans Z`, définie sur le groupe multiplicatif Fp× du complété deF enppar la formule :
˜
νp(xp) = νp(xp), pourp-`; et ˜νp(xp) =−deg1p Log`(NFp/Qp(xp)), pourp|`;
oùLog`désigne le logarithme d’Iwasawa etdegpest un facteur de normalisation, dont l’expression exacte est sans importance ici, destiné à assurer que l’image de Fp× soit dense dans Z`. Cette application induit un morphisme surjectif ducompactifié `-adiquedu groupe multiplicatifFp×
RFp = lim
←−Fp×/Fp×`n
surZ` dont le noyau, ditsous-groupe des unités logarithmiquesdeRFp, UeFp = {xp∈ RFp|ν˜p(xp) = 0}
s’identifie par la Théorie`-adique locale du corps de classes (cf. [7]) au sous groupe normique de RFp associé à laZ`-extension cyclotomiqueFpc deFp. C’est donc l’analogue du groupe
UFp = {xp∈ RFp|νp(xp) = 0}
des unités de deRFp, qui correspond, lui, à laZ`-extension non-ramifiée deFp.
Soit maintenant JF le `-adifié du groupe des idèles de F, i.e. le produit JF =Qres
p RFp des compactifés RFp des groupes multiplicatifs des complétés Fp, restreint aux familles (xp)p dont presque tous les éléments tombent dans le sous-groupe unité UF =Q
p UFp. La Théorie `-adique globale du corps de classes établit un isomorphisme de groupes topologiques compacts entre le
`-groupe des classes d’idèles CF défini comme quotient CF =JF/RF
deJF par son sous-groupe principalRF =Z`⊗ZF× et le groupe de GaloisGF = Gal(Fab/F)de la pro-`-extension abélienne maximale deF. Dans la correspondance ainsi établie (cf. [6,7]) :
(i) Le groupe de normes associé à la Z`-extension cyclotomique Fc = F∞ de F est le sous- groupe des idèles de degré nul :JeF ={x= (xp)p ∈ JF|deg(x) =P
peνp(xp) degp= 0}.
(ii) Le groupe de normes associé à la plus grande sous-extensionFlcdeFab qui est localement cyclotomique (i.e. complètement décomposée surFcen chacune de ses places) est le produit UeFRF du sous-groupe UeF =Q
p UeFp des unités logarithmiques locales et deRF.
(iii) En particulier, le groupe de Galois Gal(Flc/Fc)s’identifie au quotient Ce`F =JeF/UeFRF, lequel peut être regardé comme quotient du groupeDf`F =JeF/eUF des diviseurs logarith- miques de degré nul par son sous-groupe principal P`F =RFUeF/UeF, le numérateur fD`F
s’identifiant au sous-groupe⊕epZ`pdes diviseurs de degré nul de la somme formelle⊕pZ`p.
(iv) Et le noyau EeF =RF ∩ UeF du morphisme div :f x7→P
peνp(x)p deRF dansDf`F est le sous-groupe des normes cyclotomiques (locales comme globales) deRF.
Définition. Nous disons que Ce`F est le`-groupe des classes logarithmiques du corpsF et que EeF
est le pro-`-groupe des unités logarithmiques globales.
Du point de vue de la théorie d’Iwasawa, le groupe Ce`F s’interprète comme le quotient des genresΓTF, relativement au groupe procycliqueΓ = Gal(F∞/F), dumodule de Kuz’min-Tate
TF = lim
←−C`0F
n
limite projective des`-groupes de`-classes d’idéaux attachés aux étages finisKnde la tourK∞/K.
Enfin, comme expliqué dans [6, 9], la conjecture de Gross-Kuz’min (pour le corps F et le premier `) revient à postuler la finitude du (pro)-`-groupe Ce`F ou, de façon équivalente, que le Z`-rang du pro-`-groupe des unités logarithmiques Eek est le sommerF+cF des nombres de places réelles et complexes deF. Elle est toujours vérifiée dès lors queF est abélien.
2 Éléments de Stickelberger normalisés
Soient F un corps abélien de conducteurfF =f et GF = Gal(F/Q)son groupe de Galois.
L’élément de Stickelberger normalisé attaché àFest défini dans l’algèbreQ[GF]par la formule :
SF = P× 0<a<f
1
2−af F a
−1 , où la somme porte sur les entiersaétrangers àf et Fa
désigne le symbole d’Artin. En particulier
SF n’est autre que la restriction àF de l’élémentSf =SQ[ζf] attaché au corps cyclotomiqueQ[ζf].
Le symbole d’Artin σa = Q[ζaf]
est caractérisé par l’identité :ζfσa =ζfa. Et σ−1= Q−1[ζf] est ainsi la conjugaison complexe, disonsτ.
— Si doncF est réel, on a −1F
= 1, puis f−aF
= −aF
= Fa
; et finalementSF = 0.
— Et, siF est imaginaire, le calcul donneSF = (1−τ)S0
F avecS0
F = P× 0<a<f /2
1 2−af
. Fa−1 . Il en résulte que l’élément de Stickelberger SF est imaginaire, en ce sens qu’il se factorise par l’idempotent e− = 12(1−τ) de l’algèbre Q[GF], l’idempotent complémentaire e+ = 12(1 +τ) correspondant, lui, à la composanteréellede l’algèbre de Galois.
Considérons maintenant un sous-corps K de F, autre que Q, de conducteur fK et de groupe de GaloisGK. Il est naturel de comparerSK avec la restrictionNF /K(SF) =SF|K deSF à K. Le résultat est le suivant (cf. e.g. [4], §4.2) :
NF /K(SF) = Y
p|fF p-fK
1− K p
−1
SK (1)
où le produit porte sur les premierspqui divisentfF mais nonfK; autrement dit qui se ramifient dansF/Qmais non dansK/Q. En particulier, on a toujours :
NF /K(SF) =SK,
dès quefF etfK ont les mêmes facteurs premiers. En revanche, il vient : NF /K(SF) = 0,
dès qu’il existe un premierpramifié dansF/Qqui est complètement décomposé dansK/Q. C’est en particulier le cas lorsqueKest le sous-corps de décomposition d’un premierpdivisantf. Ainsi : Proposition 1. L’élément de StickelbergerSF annule lesQ[GF]-modules multiplicatifs engendrés par les idéaux premierspF deF ramifiés dansF/Q. En d’autres termes : pSFF = 1 pourpF|f. Preuve.On a, en effet : pK =peFp(F /K); puis :peFp(F /K)SF =pNKF /K(SF)= 1; d’où le résultat.
Maintenant, pour obtenir des éléments entiers il est judicieux de tordre les éléments de Stickel- berger par des multiplicateurs convenables ; par exemple par les facteurs
δFc = 1−c Fc−1
,
oùcdésigne un entier impair et étranger àf. Les éléments de Stickelberger tordus ainsi obtenus
Sc
F =δFcSF = 1−c Fc−1
SF
sont alors dansZ[GF]. Un calcul immédiat donne, en effet :
Sc
F = 12(c−1) P× 0<p<f
F a
−1
− f1 P× 0<p<f
a Fa−1
−ac acF−1
; avec à gauche un multiple de la normeνF =P
σ∈GFσet où la somme à droite est dansfZ[GF].
Enfin, comme on a banalement δFc|K = 1−c Kc−1
=δKc, ces éléments de Stickelberger tordus satisfont les mêmes identités de restriction que les éléments normalisés plus haut :
NF /K(Sc
F) = Q
p|fF p-fK
1− Kp−1
Sc K,
oùpparcourt les nombres premiers ramifiés dansF/Qmais non dansK/Q.
3 Dualité du miroir dans la Z
`-tour cyclotomique
Supposons maintenant fixé un nombre premier impair`; partons d’un corps abélienF conte- nant le groupe µ` des racines `-ièmes de l’unité (ce qui implique en particulier que ` divise le conducteurf deF) ; introduisons laZ`-extension cyclotomiqueF∞=FQ∞deF; et notons enfin
∆ = Gal(F∞/Q∞'Gal(F/(F∩Q∞))le sous-groupe deGF = Gal(F∞/Q)qui fixeQ∞.
Écrivons Fn le n-ième étage de la tourF∞ (c’est un corps abélien imaginaire de conducteur fn =f `n) ; puisGn le groupe de Galois deFn/QetGF∞ = lim
←−Gncelui deF∞/Q. Par projectivité, le groupe quotientGal(Q∞/Q), qui est isomorphe àZ`, se relève dansGF∞, ce qui permet d’écrire GF∞ comme produit direct du sous-groupe fini∆ = Gal(F∞/Q∞)et du relèvementΓ =γZ` 'Z`. L’algèbre de groupe complèteZ`[[GF∞]]s’identifie alors à l’algèbre d’IwasawaZ`[∆][[γ−1]]en l’indéterminéeγ−1à coefficients dans l’algèbre de groupe Z`[∆].
Proposition 2. Lorsque`ne divise pas|∆|, l’algèbreZ`[∆]est un anneau semi-local, produit fini d’extensions non-ramifiéesZϕ deZ` indexées par les caractères`-adiques irréductiblesϕde∆ :
Zϕ=Z`[∆]eϕ, avec eϕ=[∆|1 P
σ∈∆ϕ(σ)σ−1, Dans ce cas, l’algèbre complète Z`[[GF∞]] admet la décomposition directe :
Z`[[GF∞]] =L
ϕΛϕ,
oùΛϕ=Zϕ[[γ−1]]est l’algèbre d’Iwasawa attachée à l’extension non-ramifiéeZϕ deZ`. Dans ce même contexte, le sous-corps F0 deFc fixé par Γ, linéairement disjoint deQc sur Q et de groupe de GaloisGal(F0/Q)'∆, peut être pris dans F, qui est alors l’un des étagesFmde la Z`-extension cyclotomiqueF0c=Fc deF0. Et on a la relation entre conducteurs : f =f0`m.
Nous référons à cette situation particulière comme étant le cas semi-simple.
Preuve. La première partie de la Proposition est bien connue, la décomposition irréductible de l’algèbre Z`[∆] s’obtenant par relèvement de celle de l’algèbre semi-simple F`[∆], les facteurs simples (resp. locaux) deF`[∆](resp. deZ`[∆]) correspondant aux caractères des représentations irréductibles de∆surF` (resp. surZ`). L’exposantede∆étant étranger à`, ces facteurs locaux sont des sous-extensions deZ`[ζe]donc des extensions abéliennes non-ramifiées deZ`.
Enfin, pour voir queF provient par composition avec un étage finiQmde laZ`-tourQcdeQ, d’une extension abélienneF0 de groupe ∆, écrivonsGF∞ = Γ×∆ et prenons un générateurγ`mδ du groupe procyclique Gal(Fc/F); notons `∗ ∈ Nun inverse de` modulo |∆|; et remplaçons γ parγ0 =γδ`∗m. Le sous-corpsF0fixé parΓ0=γ0Z` convient,F étant, par hypothèse, fixé parΓ`0m.
Revenons maintenant au cas général :
Définition 3. Soitκ:GF∞ →Z×` le caractère`-adique donné par l’action deGF∞ = Gal(F∞/Q) sur le groupeµ`∞ des racines de l’unité d’ordre `-primaire :ζσ=ζκ(σ) ∀ζ∈µ`∞.
L’involution du miroir est définie sur l’algèbre de groupeZ`[[GF∞]] =Z`[∆][[γ−1]]par l’identité : Φ =P
k∈Nak(γ−1)k 7→Φ∗=P
k∈Na∗k(κ(γ)γ−1−1)k, où le refleta∗ d’un élémenta=P
σ∈∆ασσ∈Z`[∆]est l’élément :a∗=P
σ∈∆ασκ(σ)σ−1. L’involution du miroir trouve son origine dans la dualité entre la description kummérienne des pro-`-extensions abéliennes d’un corps surcirculaireF∞ et leur description galoisienne.
Le miroir envoie un élément ρ de GF∞ sur l’élément ρ∗ = κ(ρ)ρ−1 (et inversement) ; d’où, par linéarité la formule annoncée sur Z`[GF∞] et, finalement, sur Z`[[GF∞]] = Z`[∆][[γ−1]], la congruenceκ(γ)≡1[mod`] assurant la convergence de la série.
Nota. La conjugaison complexe τ opérant par passage à l’inverse sur les éléments de µ`∞, on a immédiatementκ(τ) =−1; donce∗±=12(1±τ)∗= 12(1∓τ) =e∓ : le miroir échange composantes réelles et imaginaires. Plus précisément, dans le cas semi-simple, il envoie l’idempotent eϕ sur l’idempotenteχϕ¯, oùχest la restriction de κà ∆et ϕ¯le contragrédient deϕ:σ7→ϕ(σ−1).
4 Théorèmes d’annulation logarithmiques
Supposons toujours `premier impair etF abélien contenantµ` de conducteur, disons,fF. Rappelons qu’il est attaché à F un`-groupe de classes logarithmiques Ce`F (cf [6]), lequel se décompose ici comme somme directe de ses composantes réelle C`e+Fet imaginaire Ce`−Fpar action des deux idempotentse±= 12(1±τ)associés à la conjugaison complexeτ; que Ce`F s’interprète comme groupe de Galois Gal(Flc/F∞) attaché à la pro-`-extension abélienne localement cyclotomique maximaleFlcdeF relativement à laZ`-extension cyclotomiqueF∞; et que c’est aussi le quotient des genresΓFCF0
∞=CF0
∞/C0F
∞
(γF−1)du groupe de Galois C0F
∞ = Gal(F∞cd/F∞)de la pro-`-extension abélienne complètement décomposée (en toutes les places) maximale deF∞relativement au groupe procycliqueΓF =γFZ` = Gal(F∞/F).
Cela étant, l’analogue logarithmique du résultat de Stickelberger se présente comme suit : Théorème 4. Soient` un premier impair,F un corps abélien contenant les racines `-ièmes de l’unité, GF = Gal(F/Q) et ΓF = γFZ` = Gal(F∞/F). Soit enfin c un entier impair arbitraire, étranger au conducteurfF deF. Alors :
(i) Les éléments de Stickelberger tordus Sc F =Sc
F∞ mod (γF−1) deZ`[GF]annulent la com- posante imaginaire C`e−F =Ce`Fe− du`-groupe des classes logarithmiques deF.
(ii) Et leurs refletsSc∗
F =Sc∗
F∞ mod (γF−1) en annulent la composante réelle Ce`+F =Ce`Fe+. Remarque.L’involution du miroir est définie dans l’algèbre complèteZ`[[GF∞]]. AinsiSc∗
F désigne ici l’image dansZ`[GF] =Z`[[GF∞]]/(γF−1)du refletSc∗
F∞ de l’élémentSc
F∞. Ce n’est passtricto sensule reflet de l’image Sc
F deSc
F∞ : pour obtenir une involution dans (un quotient de) Z`[GF], il convient de raisonner modulo l’ordre`mde|µF|, i.e. dans(Z/`mZ)[GF].
Preuve.Le théorème classique de Stickelberger (cf. e.g. [16], §15.1), appliqué aux divers étagesFn de la Z`-tour cyclotomique F∞/F affirme que les éléments de Stickelberger tordus Sc
Fn annulent respectivement les`-groupes de classesC`Fn. Et comme les conducteursfF
n desFnont les mêmes facteurs premiers quefF, ces éléments vérifient les conditions de cohérence NFm/Fn(Sc
Fm) =Sc Fn
pourm≥n, comme indiqué dans la section2. Ainsi : (i) L’élémentSc
F∞ = lim
←−SFcn de l’algèbre complèteZ`[[GF∞]] annule le groupeCF∞= lim
←−C`Fn, donc, en particulier, son quotient TF∞= lim
←−C`0Fn qui s’obtient comme limite projective des sous- groupes de`-classes attachés auxFn. Il suit de là que la classe deSc
F∞ modulo(γF −1)annule le quotientΓFTF∞ =TF∞/TF∞
(γF−1); autrement dit queSc
F annule Ce`F donc Ce`−F, comme annoncé.
(ii)La composante réelle Ce`+F du`-groupe Ce`Fs’identifie au`-groupe des classes logarithmiques Ce`F+du sous-corps réelF+deF. Introduisons laZ`-extension cyclotomiqueF∞+deF+; puis notons M∞+ la pro-`-extension abélienne`-ramifiée deF∞+ et M∞ celle de F∞. Le radicalRad(M∞+/F∞+) s’identifie à la composante imaginaire du radicalRad(M∞/F∞), lequel est donné par :
MF∞ ={`−k⊗x∞∈(Q`/Z`)⊗ZF∞×|(x∞)∈IF`k
∞},
oùIF∞ désigne le groupe des idéaux de F∞(cf. e.g. [5]). Écrivant donc (x∞) =a`∞k et appliquant l’annulateur de Stickelberger Sc
∞, nous obtenons : (x∞)Sc∞ = aSc∞`k = (y∞)`k, pour un y∞ deF∞. Par restriction aux composantes imaginaires, cela donne :xS∞c∞ =ζy`∞k, pour une racine de l’unité ζ, i.e. (`−k ⊗x∞)Sc∞ = 1 dans MF∞. L’élément Sc
∞ annulant ainsi Rad(M∞+/F∞+), son reflet Sc∗
F∞
annule le groupe de GaloisTF`r+
∞
= Gal(M∞+/F∞+); et la classe deSc∗
F∞ modulo(γF−1)annule bien le quotient des genres ΓFTF`r+
∞
=TF`r+
∞
/TF`r+
∞
(γF−1), lequel est, tout simplement, le groupe de Galois TF`r+ = Gal(M+/F∞+)attaché à la pro-`-extension abélienne`-ramifiée maximaleM+deF+.
En résumé Sc∗
F annule le groupe de torsion TF`r+ et, par conséquent, son quotient Ce`F+, la pro-`-extension abélienne localement cyclotomique deF+ étant évidemment`-ramifiée.
Nota.Au passage, nous retrouvons ainsi, sous une forme un peu différente, le résultat d’annulation deTF+ obtenu par Oriat et précisé par Gras (cf. [12,4]).
5 Annulation des `-noyaux étales sauvages
Conservons les notations précédente :`désigne toujours un premier impair,F un corps abélien contenantµ`; puisF∞=S
FnsaZ`-extension cyclotomique etGF∞ le groupe profiniGal(F∞/Q).
Pour chaque entier impaircétranger au conducteurfdeF, les éléments de Stickelberger tordus sFc
nattachés aux étages finisFn de la tourF∞forment une suite cohérente qui définit un élément sFc
∞ de l’algèbreZ`[[GF∞]], contenu par construction dans la composante imaginaireZ`[[GF∞]]−. Définition 5. La sommesˆFc
∞=sFc
∞+sFc∗
∞desFc
∞ et de son reflet est le symétrisé de sFc
∞. De ce faitsFc
∞= 12(1−τ)ˆsFc
∞ est la partie imaginaire de ˆsFc
∞ etsFc∗
∞ =12(1 +τ)ˆsFc
∞ sa partie réelle.
La réduction sˆFc
n desˆFc
∞ modγF
n−1 est , par convention, le symétrisé de sFc
n. Cela étant, le Théorème principal de cette section se présente comme suit :
Théorème 6. Étant donnés un premier impair`et un corps abélienF contenantµ`, le symétrisé ˆ
sFc
∞ annule le module de Kuz’min-Tate, limite projective des`-groupes de classes logarithmiques : TF
∞ = lim
←−Ce`F
n= lim
←−C`0F
n. Preuve. Écrivons TF
∞ comme somme directe de ses composantes réelle TF+
∞ et imaginaire TF−
∞. D’un côté, comme expliqué dans la démonstration de Théorème4, l’élément imaginairesFc
∞ annule TF−
∞et l’élément réelsFc∗
∞ l’annule banalement. Symétriquement, de l’autre côté, l’élément réelsFc∗
∞
annule TF+
∞tandis que l’élément imaginairesFc
∞ l’annule banalement. D’où le résultat annoncé.
Corollaire 7. Pour chaquen∈N, la réductionsˆFc
n desˆFc
∞ modγF
n−1 annule le`-groupe C`eFn
des classes logarithmique attaché aun-ième étage Fn de la tour cyclotomiqueF∞/F.
Preuve. Le groupe Ce`Fn n’est autre, en effet, que le quotient des genres ΓFnTF∞ =TF∞/TF(γFn−1)
∞
de TF∞ relatif au groupe procycliqueΓF
n= Gal(F∞/Fn) =γFZ`
n.
Un résultat analogue vaut pour les noyaux étales sauvages. Fixons quelques notations : notons T` = lim
←−µ`n le module de Tate construit sur les racines `-primaires de l’unité, T` = lim
←−µ∗`n le module contagrédient, i.e. le dual de Pontrjagin de la réunionµ`∞ des groupesµ`n.
Il est bien connu (cf. e.g. [10]) que les`-noyaux étales sauvages attachés auxFn sont donnés, comme quotients des genres tordus, par les isomorphismes de modules galoisiens :
WK2i(Fn) ' ΓFn(T⊗i` ⊗Z`TF∞) = (T⊗i` ⊗Z`TF∞)/(T⊗i` ⊗Z`TF∞)(γFn−1), oùT⊗i` est la|i|-ième puissance tensorielle deT` pouri≥0 et deT` pouri≤0.
Introduisons les tordusà la Tatedes symétriséssˆFc
∞. Pour chaque élémentΦ =P
k∈Nak(γ−1)k de l’algèbre de groupeZ`[[GF∞]] =Z`[∆][[γ−1]](aveca=P
σ∈∆ασσ∈Z`[∆],∆ = Gal(F∞/Q∞) etΓ =γZ` relevantGal(Q∞/Q)), définissons lei-ième torduà la TatedeΦen posant :
Φ(i)=P
k∈Na(i)k (κ(γi)γ−1)k, aveca(i)=P
σ∈∆ασκ(σi)σ.
Avec ces conventions, il vient :
Corollaire 8. Pour chaquen∈Neti∈Z, la réductionsˆFc(−i)
n mod(γF
n−1)du(−i)-ième tordu à la Tate sˆFc(−i)
∞ du symétrisé sˆFc
∞ annule le i-ième `-noyau étale sauvageWK2i(Fn) attaché au n-ième étage Fn de la tour cyclotomiqueF∞/F.
Remarque.Le Théorème principal ci-dessus et ses corollaires supposent que le corps abélien étudié contienne les racines `-ièmes de l’unité. Il est néanmoins facile de se libérer de cette hypothèse : siF est un corps abélien arbitraire, il est toujours possible d’appliquer le Théorème au sur-corps F0=F[ζ`], qui en satisfait les hypothèses puisque encore abélien, puis de redescendre les résultats surF au moyen de l’idempotent normiquee= [F10:F]NF0/F regardé dans l’algèbreZ`[Gal(F0/F)].
Il convient toutefois de prendre garde au décalage des caractères du groupe (cyclique d’ordre étranger à`)Gal(F0/F)généré par le miroir ou la torsion à la Tate(cf. e.g. [10]).
Références
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