MATHS : PRÉRENTRÉE Exercices d’analyse

Polytech Paris-Sud Année 2017/2018

MATHS : PRÉRENTRÉE Exercices d’analyse

EXERCICE 1

Étudier la convergence des séries de termes gé- néraux suivants (n>0 ) :

1 un= 1 n(n+1) ; 2 un= 1

n+ln(n) ; 3 u_n= 1

2ⁿ−1 ; 4 u_n=ln(n)

n ;

5 un= 1 n!; 6 un= n

3ⁿ ; 7 un=tan( 1

2ⁿ) ; 8 un= 1

ln(n).

EXERCICE 2

Démontrer que la série dont le terme général suit est absolument convergente :

1 un=cosn n² ; 2 v_n=cosn

n! ;

3 wn=(−1)ⁿ n³ ; 4 Calculer

X∞ n=1

cosn 2ⁿ .

EXERCICE 3

Donner les développements limitées à l’ordre n en 0 de :

1 f(x)=exp(x) , 2 f(x)=cosx, 3 f(x)=sinx,

4 f(x)=ln(1+x) , 5 f(x)=_1+x¹ , 6 f(x)=(1+x)^α.

EXERCICE 4

Calculer les développements limités en 0 de : 1 x7→tanx à l’ordre 8 ,

2 x7→ln¡_sinx

x

¢à l’ordre 4 , 3 x7→(1+2x)^1+1x à l’ordre 4 , 4* x7→_sin¹2x−_sinh¹2x à l’ordre 4 , 5* x7→e^sinhx−ln¯

¯tan¡_x

2+^π₄¢¯

¯à l’ordre 4 . EXERCICE 5

Calculer les limites de 1 f(x)=ln(1+x²)

xarctanx en 0 ,

2 f(x)=e^sinx−e^x x³ en 0 ,

3 f(x)=(1+x) lnx

x −x x(x^x−1) en 0 , 4 f(x)=(cosx)^cotanx2 en 0 , 5 f(x)=

µµln(x+1) lnx

¶x

−1

¶

lnx en+∞,

6 f(x)= µ

e− µ

1+1 x

¶x¶ 1

x en+∞.

EXERCICE 6

Quelle est la dérivée de la fonction définie sur ]0,+∞[ par f(x)=

Z x² x

lnt t d t ? EXERCICE 7

Pour x ∈[0, 1] , on pose fn(x) =n²xⁿ(1−x) . Montrer que pour tout x ∈ [0, 1] , fn(x) tend vers 0 quandn tend vers l’infini, mais que l’in- tégraleR1

0 fn(x)d x ne tend pas vers 0.

EXERCICE 8

Calculer les intégrales suivantes où x∈]−1, 1[

pour les deux premières, x > 1 pour la troi- sième etx∈R pour les autres :

1 Z x

0

p1−t²d t ; 2

Z x 0

tp

1−t²d t; 3

Z x 2

1

t³−td t pourx>1 ; 4*

Z x 0

1

2+costd t ; 5*

Z x 0

1 (1+t²)²d t. EXERCICE 9

Étudier la convergence des intégrales suivantes et calculer leur valeur s’il y a lieu.

1

Z _→+∞

0

1 1+t²d t; 2

Z _→+∞

0

e^−td t;

1

3

Z _→+∞

0

p t

1+t²d t ; 4

Z 1

→0

p1 td t ; 5*

Z _→^π

2

0

tan(t)d t;

EXERCICE 10

Étudier, sans les calculer, la convergence des intégrales suivantes.

1

Z _→+∞

→0

e^t t²d t; 2

Z _→+∞

→0

1

pt(1+t)³d t ; 3

Z _→+∞

0

1

1+ |sint|d t; 4

Z 1

→0

ptsin(1/t²) ln(1+t) d t; 5

Z _→+∞

→−∞

t 1+t²d t. EXERCICE 11

1 Étudier la convergence des intégrales Z _→+∞

1

sin(x) x² d x et

Z _→+∞

1

cos(x) x² d x.

2 En déduire la convergence de l’intégrale géné- ralisée

Z _→+∞

0

f(t)d t où f est la fonction dé- finie sur [0,+∞[ par f(t)=sint

t pour t6=0 et f(0)=1 .

EXERCICE 12

Déterminer la solution générale des équations suivantes.

1 y⁰−5y=0 2 y⁰=e^xy 3 y⁰+tan(x)y=0 4 y⁰+_e^xxy=0 5 y⁰+y=e^x

6 y⁰+y=xe^x−2 7 y⁰−y=sin(x) 8 y⁰+²_xy=x² 9* (x²−4)y⁰+x y=1

EXERCICE 13

1 Déterminer la solution de l’équation différen- tielle y⁰⁰−4y⁰+3y =0 de conditions initiales y(0)=2 et y⁰(0)=0 .

2 Trouver une solution particulière de l’équation y⁰⁰−4y⁰+3y=e^2x.

3* Trouver une solution particulière de l’équation y⁰⁰−4y⁰+3y=e^x.

EXERCICE 14 Soit A=

à 0 1

−3 4

! .

1 Déterminer les valeurs propres de A. Détermi- ner une base formée de vecteurs propres de A. 2 Écrire la solution générale du système différen-

tiel

( x⁰(t) = y(t)

y⁰(t) = −3x(t)+4y(t).

3 Déterminer la solution t 7→X(t)= Ãx(t)

y(t)

! telle

que X(0)= Ã2

0

! .

4 En déduire la solution de l’équation différen- tielle x⁰⁰−4x⁰+3x =0 de conditions initiales x(0)=2 etx⁰(0)=0 .

EXERCICE 15

Résoudre les systèmes différentiels suivants.

1

( x⁰ = 4x−2y y⁰ = x+y

2

( x⁰ = −x+3y+e^t y⁰ = −2x+4y 3

( x⁰ = x+8y+e^t y⁰ = 2x+y+e^−3t

4







x⁰ = y+z y⁰ = x z⁰ = x+y+z

EXERCICE 16

Soit f une fonction continue par morceaux sur R, périodique de période T. Pour a ∈R, on pose fa(t)=f(t−a) . Relier les coefficients de Fourier de fa à ceux de f.

2

EXERCICE 17

Soit f une fonction dérivable sur R, pério- dique de périodeT. On suppose que sa dérivée f⁰ est continue. Relier les coefficients de Fou- rier de f⁰ à ceux de f.

EXERCICE 18

1 Développer en série de Fourier le créneau cen- tré en 0 d’amplitude A, de durée d et de pé- riodeT.

T d

A

2 Construire le spectre du créneau dans le cas où A=1 , d=πetT=2π.

3 En déduire la valeur de la somme X∞ p=0

1 (2p+1)².

EXERCICE 19

Soit f la fonction de période π telle que f(t)=t(π−t) pourt∈[0,π] .

1 Développer f en série de Fourier.

2 En déduire la formule X∞ n=1

1 n²=π²

6 .

EXERCICE 20

Soit f la fonction périodique de période 1 telle que f(t)=t pourt∈[−1/2, 1/2[ .

1 Développer f en série de Fourier réelle, puis en série de Fourier complexe. Préciser le fon- damental et les harmoniques de rang 2 et 3.

2 Représenter graphiquement le spectre de f pour les fréquences comprises dans l’intervalle [−4, 4] .

EXERCICE 21

1* Développer en série de Fourier la fonction paire de période 2πégale àπ−t pour 06^t6π et construire son spectre.

2* En déduire la valeur de la somme X∞ p=0

1 (2p+1)⁴ et retrouver celle de

X∞ p=0

1 (2p+1)². EXERCICE 22

1* Développer en série de Fourier la fonction f définie par f(t)= |sint|.

2* En déduire la série de Fourier de la fonction g périodique de période 2πtelle que

( g(t) = sint pourt∈[0,π], g(t) = 0 pourt∈]−π, 0[. . 3* En déduire la série de Fourier de la fonction h

définie parh(t)= |cost|.

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