Relaxation magnétique d'atomes de rubidium sur des parois paraffinées

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Relaxation magnétique d’atomes de rubidium sur des

parois paraffinées

Marie-Anne Bouchiat

To cite this version:

Marie-Anne Bouchiat. Relaxation magnétique d’atomes de rubidium sur des parois paraffinées.

Jour-nal de Physique, 1963, 24 (6), pp.379-390. �10.1051/jphys:01963002406037900�. �jpa-00205490�

RELAXATION

_MAGNÉTIQUE

D’ATOMES DE RUBIDIUM SUR DES PAROIS PARAFFINÉES

Par MARIE-ANNE

_BOUCHIAT,

Laboratoire de _Physique de l’École Normale _Supérieure, Paris.

Résumé _(1). 2014 Les résultats

expérimentaux montrent que la relaxation d’atomes de Rubidium

orientés _(à la _pression de 10-7 mm de mercure et en l’absence _{de gaz tampon)} se fait sur la _paroi. Il y a, en outre, des raisons _{de penser que si la paroi} est enduite de _paraffine, l’interaction

prépon-dérante _qui détermine le _phénomène de relaxation se _produit entre les moments _magnétiques de l’électron de valence du Rubidium _{(spin S)} et ceux des _{protons (ou deutons)} de la _{paraffine (spins K).} Nous donnons _ci-après l’étude _théorique de ce mécanisme de relaxation. Le calcul _peut se faire dans

le cadre du modèle dit avec « _{moyennage par le mouvement} ». Les _spins S sont soumis, par ailleurs,

à deux interactions _{statiques :} l’une est le _couplage aS.I de S avec le _spin nucléaire I de l’alcalin, l’autre est l’interaction Zeeman avec le _{champ magnétique statique.}

Dans la _{première partie (qui figure} seule dans le _{présent article),} nous _envisageons le cas d’un

champ faible _{(interaction hyperfine} grande devant l’effet _{Zeeman) ;} nous calculons l’équation d’évolution de la matrice densité et de _plusieurs observables : _population d’un niveau _hyperfin, aimantations _{longitudinales} et transversales _{électroniques} et nucléaires. Dans la 2e _puis la 3e _partie

(qui feront _l’objet d’un second _article), nous _envisageons le cas d’un champ très fort _puis d’un

champ

quelconque. Dans la 4e _partie, nous _{généralisons nos résultats} au cas où _{l’interaction}

respon-sable de la relaxation _n’agit sur l’atome de Rb que par l’intermédiaire de son _{spin électronique} S.

Cette étude est nécessaire pour l’interprétation des mesures _{expérimentales} relatives à la détermi-nation du _temps de corrélation d’une interaction de ce _type.

Abstract. 2014

Experiments on _polarized Rubidium atoms _(without buffer gas and at a _{pressure of}

10-7 _mmHg) show that relaxation takes _place on the _{walls ; furthermore, they} suggest that the

relaxation mechanism is _mostly to be found in the _{dipolar coupling} beetween the valence electron of Rubidium _{(spin S)} and _{protons (or deutons)} of the walls (spin K). We _analyze here _{theoretically} this relaxation _process. The « motion _narrowing » model can be used. Two different static

interactions act on _spins S : first, the _{hyperfine coupling} a S.I _(I, nuclear spin of the _alkali), and second, the Zeeman interaction with the d. c. _magnetic field.

In the first _part of this work _{(the only} one included in the _{present paper)} we consider the case of

a small magnetic field _{(hyperfine splitting large compared} to Zeeman _{splitting) ;} we derive

diffe-rential _{equations describing} the rate of _change for the Rb atoms _density matrix and for several

observables as _population of a _hyperfine level, longitudinal, _transversal, electronic and nuclear

polarizations. In the second and the third _parts of our work _(which will be _published in a second

article), we consider the case of a _strong field and then of a field of any value. In the fourth _part,

we show that our results are still valid for all interactions acting only on S. This _{study is necessary}

to get an _{interpretation} of _experiments relative to the determination of the correlation time for such interactions.

PHYSIQUE 24, 1963,

Introduction. - Nous

avons effectué une 6tude

exp6rimentale

de la relaxation

_{longitudinale}

d’atomes de Rubidium orient6s

_optiquement

lors des collisions sur des

_parois

recouvertes d’enduits de

_paraffines

satur6es. Les conditions

exp6rimen-tales et les résultats

_{correspondants}

ont ete decrits

en detail

_[1

et

_2].

Nous

_rappelons

seulement ici les faits suivants :

1)

Les cellules ne contiennent _pas de _gaz

tam-pon. La

pression

de vapeur de Rubidium est assez

faible _{pour que} 1’effet des collisions Rb-Rb soit

n6gligeable.

2)

Les mesures ont

_port6

sur la relaxation de Sz >, S etant le

_{spin 6lectronique}

de 1’atome de Rb.

(1) Un second article faisant suite a celui-ci sera _publi6

dans un _prochain num6ro du Journal de Physique.

(2) II en est _{ainsi pour la relaxation} de 87 Rb sur des

enduits _{hydrogénés.} Par _contre, nous avons observe une

deviation par rapport a une _{exponentielle} unique pour la relaxation de 87 Rb sur des enduits deut6r6s,

3)

Sz > relaxe

_{exponentiellement}

avec une

constante de

_temps

_T1(2),

et

_T1

est

_{proportionnel}

au

diamètre de la cellule. L’interaction désorientatrice

se

_produit

donc durant le _temps de

_séjour

’t’s de

1’atome de Rb sur la

_paroi,

et Ts

(temps

d’inter-action)

est court devant le _temps de vol ’t’v,

(temps

moyen

qui s6pare

deux collisions successives du meme atome de Rb sur les

_parois

de la

cellule).

Le temps de corrélation de l’interaction désorientatrice

To est

lui-meme,

au

_{plus 6gal}

a Ts.

4)

Les valeurs mesur6es pour

T1

(et

T 2)

sont tres

_longues

_par

_rapport

a ’t’y : des milliers de

colli-sions se

_produisent

sans _{que 1’orientation du}

Rubi-dium soit affectée. Nous avons donc affaire a des

collisions faibles satisfaisant a la condition de ritricissement par le mouvement : 1’etude

_th6orique

de la relaxation

_peut

se faire dans le cadre du

modele dit « avec _{moyennage par le} mouvement »

comme _{pour les}

_liquides

et _{les gaz}

_[3].

Comme il est

bien _connu, les résultats

_{s’expriment}

en fonction

de m

(distances

des niveaux

d’énergie

de l’atome

de

_{Rubidium) (1),}

de Tc et des carr6s des elements

de matrice de l’interaction désorientatrice.

La

_perturbation

_ayant

un

_spectre

de Fourier de

« largeur

)),

1/Tc,

elle n’est

susceptible

d’induire des

transitions entre les sous-niveaux de l’état

fonda-mental de 1’atome de Rubidium

_{(c’est-à-dire}

de le

d6sorienter)

que si m est

petit

_par

_rapport

a

1/Tc,

c’est-a-dire

_lorsque

ú)’1"c « 1. Dans le cas contraire

la

_frequence

to est

pratiquement

absente du

_spectre

de l’interaction désorientatrice

_qui

est alors tr6s

inefficace _pour relaxer les

_spins.

On

_peut

faire varier w en

_changeant

le

_champ

magn6tique statique Ho.

L’étude de la variation de

T1

en fonction de

_Ho

_permet

la determination du

temps

de correlation Tc et _{par suite} d’une limite

inférieure de ’1"s.

5)

On observe _que

_T1

est

_pratiquement

le meme

quelle

que soit la

longueur

de la chaine de la

paraf-fine

_hydrog6n6e

constituant 1’enduit et _que

_T1

est 4 a 6 fois

_plus

_long

_pour une

_{paraffine deuteree ; (Ie}

moment

_magn6tique

nuel6aire de 2H est 3 fois

_plus

petit

que celui de

1H ;

celui du carbone est

nul).

Ceci nous a conduit a _penser

_{qu’une partie}

au

moins de la relaxation sur la

_paroi

se fait entre le

moment

_magn6tique

_6lectronique

_yx du Rb et les

moments

_magnetiques

nuel6aires _ILK des atomes

(d’hydrogène

ou de

deuterium)

de 1’enduit

(leur

paramagnétisme

6lectronique

etant

_bloqu6

dans

une liaison

chimique).

C’est ce

_type

d’interaction dont nous

_pr6sentons

ici 1’6tude

_th6orique.

Un calcul d6taiII6 de ce

_type

est donne dans Ie livre

_{d’A.bragam [3]}

au

_chapitre

de la relaxation

_thermique

dans les

_liquides

et les

gaz ; il concerne le cas de 2 ensembles de

_spins

S et K

_{qui interagissent}

d’une

_{f aqon}

_{al6atoire par} l’inter-m6diaire de leurs moments

_magnetiques.

Dans le

cas trait6

ici,

le

_spin

_que nous observons S

(S == 1/2)

appartient

a un atome

_(Rb)

_ayant

une structure

hyperfine :

Outre l’interaction avec le

champ

magni-tique Ho,

les

_spins

S sont donc soumis au

couplage

statique

avec un autre

_spin

_I,

_{couplage représenté}

_par

le Hamiltonien aS. I

_(par

_suite,

en

_champ

magne-tique

nul,

le niveau fondamental de l’atome se

compose de 2 niveaux

hyperfins F± = I + 1/2

dont l’écart

_{d’6nergie est AW).}

Ce caractere modifie sensiblement les résultats de la reference 3 : d’une

part

les

_temps

de relaxation

_peuvent

_changer

d’ordre de

_grandeur

suivant la

_{multiplicité}

du

spin I ;

d’autre

_part

les variations de

_{T 1}

et

_T2

en

fonction du

_{champ Ho}

sont tres aff ectees _par

l’exis-tence de

_1,

car la

_grandeur

relative des deux termes

du hamiltonien

_{statique depend}

de

_Ho.

L’interpré-tation des variations de

_{T1, T2...}

en fonction du

champ

est donc

_{complexe :}

_Or,

elle est

_importante

puisqu’elle

permet

d’6valuer l’ordre de

_grandeur

du

temps

de correlation Te ou d’etablir 1’existence de

plusieurs

interactions de

_temps

de corr6lation

(1) Nous _{exprimons toujours par la suite les energies} en

unites de

_pulsation.

diff 6rents : _{Tc, Tc...} et _par suite une limite inferieure

de Ts. Ces faits

justifient

les calculs

présentés

ci-apr6s.

HYPOTHESES DU CALCUL. - Les

hypotheses

du calcul sont les suivantes :

1)

Entre deux collisions le

_spin

S est soumis

uni-quement

au hamiltonien

statique

_{Jeo (S)}

2)

Dans les

_experiences

r6alis6es

_jusqu’ici

et que nous avons

_rappel6es,

nous mesurons la

pola-risation

_6lectronique

Sz > des atomes de

rubi-dium ;

une m6thode tout a fait

analogue

doit

per-mettre d’obtenir un

signal

mesurant la difference

de

_population

entre les 2 sous-niveaux

_hyperfins

F± ;

de meme nous

projetons

1’etude de l’évolution

de S+ > sous 1’effet de la relaxation. Mais en aucun _cas, nous n’introduisons

_(par

un

champ

de

radiofréquence)

de « coh6rence ))

[13]

entre deux

sous-niveaux

_hyperfins

diff6rents.

_Aussi,

tout au

long

du

_calcul,

nous nous bornons a

_envisager

le cas où la matrice densité de 1’ensemble des atomes de rubidium est

_diagonale

en

_F,

_(mais

_pas

nécessaire-ment en

_mr).

_Soit un element de matrice :

aFmF, AF’M’F

repr6sentent

les coefficients du

developpement

de la fonction d’onde d’un atome

de Rb suivant les 6tats _propres

_FMF

_>,

_IFIMF

_{> ;}

la _moyenne

_porte

sur tous les atomes.

_{L’hypoth6se}

pr6e6dente signifie

que

GF"-’F

n’est different de zero que si F = F’. Cette

hypothèse

a bien un sens car si un 6tat ne

_poss6de

_{pas initialement de} ((

co-h6rence )) entre des niveaux

_hyperfins

_différents,

il

ne

_peut

en

_aequ6rir

sous 1’effet de la

_relaxation,

phenomene

al6atoire d’un atome a 1’autre et sans

oorrélation. Nous aurons l’occasion de v6rifier ce

point

sur nos

equations.

11 est clair _que 1’etude de 1’evolution de la

cohe-rence

hyperfine

sous 1’effet de la relaxation

_peut

se

faire dans le cadre du f ormalisme

_{expose ci-dessous,}

mais nous ne _{1’abordons pas ici.}

3)

Nous admettons _que lors d’une

_collision,

le

temps de

_séjour

sur la

_paroi

est déterminé _par une

force (type

Van der _{Walls par}

_exemple)

ne

dipen-dant pas du

spin électronique

et

_qui

ne

produit

_pas

de desorientation.

4)

L’interaction

_responsable

de la relaxation se

fait

entre les moments

_magnétiques

_(.Ls de l’ilectron

de’(,alence d’un atome Rb et _uK du _noyau d’un atome

de l’ enduit. Nous montrerons dans la dernière

_partie

de ce travail _que les résultats obtenus se

généra-lisent au cas ou l’interaction

_{possède uniquement}

la

propriete

suivante : elle

_n’agit

sur la

_fonction

d’onde

de l’atome de Rb _{que par} l’intermédiaire du

_spin

électronique,

S.

_(C’est

_{le cas,} en

particulier,

_pour

et les courants resultant de la collision sur la

paroi

[4].)

5)

Soit

_H1(t)

Ie hamiltonien

_{perturbateur.}

La

fraction

_Ts

des atomes se trouve a l’instant t TS+TV

sur la

_paroi.

Pour cette

_{fraction d’atomes,}

nous

admettons que la fonction de correlation _{de la} per-turbation est :

Pour l’ensemble de tous les atomes de

_rubidium,

nous avons

(le

trait ondul6 au-dessus du

_{produit H1}

_(t)

H1(t

-

r)

signifie

que la moyenne est

prise

sur la fraction des atomes

_qui,

a

_{l’instant t,}

se trouvent

sur la

_paroi

et le trait

_droit,

_qu’elle

est

_prise

sur

1’ensemble de tous les atomes.

H1(t) H1(t)

est un

_op6rateur

_independant

du

temps.

Comme nous l’avons

deja signalé,

1’exp6-rience

_{justifie I’hypothese H1(t)}

_H1(t)

_"t’«

1 nécessaire a la theorie du moyennage par le

mou-vement.

6)

Nous admettons _que l’orientation des

_spins

K

de la

_paroi

varie d’un

_point

à un autre de la surface

de

_faqon

aléatoire. Ceci revient à dire _que si l’on

prend

la _moyenne sur un

_grand

nombre de

_spins

K a un instant t

_donne,

les

_composantes

K(r)

satisfont a la relation :

On

_peut

_justifier

cette

_hypothèse

en faisant les

remarques suivantes : Le nombre des

spins

S est tres

_petit

devant celui des

_{spins K : 1’experience}

montre en effet que -cs est de l’ordre de 10-10 sec., si bien _que la

_proportion

de

_spins

S

_qui

se trouvent

sur la

_paroi

est :

Tous les

_spins

S sont donc

_pratiquement

en

_phase

vapeur. Si l’on

opere

avec une

_pression

de Rb de

10-7 _mm, et _{si 1’on suppose que} les

_spins

K consti-tuent une couche

_monoatomique

sur la

_paroi,

on

trouve _{que le}

_rapport

du nombre de

_spins

S au

nombre N de

_spins

K est de 10-6. Par suite le nombre de

_spins

S

_qui,

a un instant

_donne,

inter-agissent

avec un

_spin

K est de 10-12 lV. Le

_temps

nécessaire pour que tout

_spin

K

_interagisse

avec un

spin

S est donc Ts X 10+12 ~ 100 sec : c’est une

limite inférieure du

_temps

_qui

serait _{nécessaire pour}

polariser

totalement les

_spins

K en 1’absence de

Taxation de ces derniers. Nous avons toutes les

raisons _{de penser que le}

_temps

de relaxation des

protons

est tres court devant 100 sec. et _{par suite}

qu’il

n’existe pas d’orientation

_appreciable

des

protons

sur la

_paroi.

Notons

_qu’en

ce

point,

notre

_probleme

diff6re de celui

_qui

est trait6

_{explicitement}

dans la

r6f6-rence 3 : dans le cas

_present

les

_spins

K constituent

le

_{réseau ;}

nous faisons

_{l’hypothèse}

_que sa

_capacite

calorifique

est

_grande

en sorte _{que l’interaction}

avec les

_spins

S ne modifie _pas son 6tat

_{d’équilibre ;}

dans la reference

_3,

le nombre de

_spins

S et de

spins

K est

_comparable,

_{il y} a transfert de

polari-sation d’un

_systeme

de

_spins

a 1’autre.

PLAN DU CALCUL. - Nous 6crivons

l’équation

d’évolution de la matrice densite des atomes de

rubidium sous l’effet de

_Jeo

_(S)

et de

_{H1 (t) ;}

nous en d6duisons

_1’equation

d’évolution des obser-vables suivantes :

- la

population

d’un niveau

_hyperfin

donne. Elle se deduit de la valeur _{moyenne de}

l’op6rateur

F2 ou encore de

_{l’op6rateur}

S. I

_(etant

donn6e la relation F2

= 3/4

₊

_I(I

₊

₁₎

₎

+ 2 S. 1.

- l’aimantation

_6lectronique

_{longitudinale}

Sz > et transversale S+ > ;

- l’aimantation nucléaire

longitudinale

1, >

et transversale I+ >.

Dans la

_{première partie,}

nous

_envisageons

le cas

d’un

_{champ H,}

faible et _{tel que le} hamiltonien

Zeeman Jez == _os Sz -

w1 Iz soit

petit

devant le

hamiltonien

_hyperfin

al. S. F reste un bon nombre

quantique.

Nous d6crivons 1’evolution de la matrice

densite sous forme

_{op6ratorielle}

et nous en d6dui-sons 1’evolution de

_chaque

observable.

Dans la deuxième

_partie,

nous donnons les

r6sul-tats du calcul _{pour le} cas inverse aS. _{I «} Hz.

Dans la troisième

_partie,

nous calculons pour un

champ Ho quelconque

l’évolution de

_chaque

616ment de la matrice densite individuellement. Nous en

d6duisons

_1’equation

d’evolution de Sz > et S+ >.

Dans la

_{quatrième partie,}

nous donnons la

géné-ralisation de ces résultats au cas ou l’interaction

responsable

de la relaxation

_n’agit

sur la fonction

d’onde de l’atome de Rb _{que par} l’intermédiaire du

spin

6lectronique.

PREMIERE

PARTIE 1. Introduction. -

A)

HAMILTONIEN

D’INTER-ACTION. - Nous

prendrons

pour hamiltonien

d’interaction

_H1(t)

entre les moments

_magnetiques

us et yK

1’expression

[5] :

H1

est fonction al6atoire du

_temps

_par

l’inter-mediaire des coordonn6es

_{de position}

relative de us et uK : rsK,

8,

9

(fig.

1).

Les deux termes de

_H1

_{correspondent}

respective-ment à l’interaction de contact

_(partie

_scalaire)

et à

1’interaction

_{dipole-dipole (partie}

_{tensorielle).}

FIG. 1.

Suivant la m6thode

_habituelle,

nous

décom-posons

X,

en

_op6rateurs

A lm dont la

caractéristique

est d’induire des transitions a m

_quanta

entre 2 6tats _{propres de}

_Jeo.

Nous 6crirons :

avec les valeurs 1 = 0 et 1 = 2 pour les

parties

scalaires et tensorielles de l’interaction. Les nota-tions sont les suivantes :

Les

_grandeurs

Flm

_(t)

_sont,

_par l’interm6diaire de _r,

_0,

_y, des fonctions al6atoires du

_temps

de la forme :

Ylm

_(0,

_p)

sont les

_{harmoniques sph6riques}

.d’ordre l et _{de rang m}

Nous avons choisi la

_phase

des

harmoniques

sph6riques

de telle sorte _{que :}

Le _{moyennage par}

_{rapport a}

1’ensemble des

spins

revient a faire une _{moyenne par}

_rapport

a

_0,

cp et r. Comme toutes les valeurs de 0 et cp sont

egalement

probables,

nous _pourrons utiliser les

relations

_{d’orthogonalité}

des

_harmoniques

sph6-riques :

Les Alm sont des

_op6rateurs

_{qui agissent}

sur les

composantes

des

_spins

S et K

_(S(o)

= Sz

et les

_{quantités analogues}

_pour

_K).

Leur

_{expression g6n6rale}

est

On a les relations

B)

HAMILTONIEN STATIQUE. - Nous

prendrons

pour hamiltonien

statique agissant

sur les atomes et les

_spins

K :

_{Jeo (S)}

-

wK Kz =

Xo ; Jeo

(S)

est

le _{hamiltonien d6fini par}

_1’equation

1.

En

_champ

_{magnetique faible, chaque}

niveau

hyperfin

F se

_decompose

en 2F ₊ 1 sous-niveaux

dont la distance est COF =

g;

ws, cos etant la

pul-sation de Larmor du

_spin

S isol6 et

_{g’ F la quantite}

Notons

que

Les facteurs de Lande _gF =

2g’F

des 2 niveaux

F + et F - sont

_opposes.

Nous _{supposons dans} cette

partie

que

coF/AW

« 1 et _que F est un bon

nom-bre

_quantique.

Introduisons les

_op6rateurs

de

_projection

sur les

6tats

F+

et F-

_{respectivement :}

A 1’aide de ces

_operateurs,

le hamiltonien

lxo

s’6crit :

wK ~

( 6js

10-3 «

1

)

II.

_Equation

d’evolution de la matrice densite.

- Nous

l’ensemble des atomes

_(de

_{spin 6lectronique}

_S)

et des

_spins

K de la

_paroi.

En

_{representation}

d’interaction :

Les

_op6rateurs

S(") ne commutent _pas avec le

terme aIS. Nous 6crivons :

Par d6finition

_{l’op6rateur Sp(r)}

_agissant

sur un

etat

_F,

mF >

_augmente

F de

ppunit6s :

il n’a donc d’élément de matrice

_qu’entre

1’etat

_IF,

mF > et

1’etat

_F

+ p, mF + r >.

La difference

_d’6nergie

au cours de la transition

est :

et

Nous en d6duisons

L’équation

d’evolution de 6*

_{(S, K)}

en

repr6senta-tion d’interacrepr6senta-tion est donn6e dans la reference

_{(3) :}

soit,

dans le cas

_present

A

_partir

de cette

_equation,

le calcul s’effectue

dans l’ordre suivant : Nous eff ectuons la _moyenne

par

rapport

aux coordonn6es de

position

relative des

_spins

S et K

_{(§ 1),}

_puis

_{la moyenne par}

_rapport

aux orientation des

_spins

K

_{(§ 2),}

enfin nous

simpli-fions

_1’6quation

d’evolution _par

_{l’approximation}

s6culaire

_(§

_3).

Le r6sultat du calcul est

_exprime

par les

équations

31,

32 et

33 ;

elles

permettent

de calculer 1’evolution d’une observable comme nous

l’indiquons

dans III.

1° Comme il r6sulte des

_equations

₍₇₎

et

₍₂₎

nous avons :

fi

(rSK)

etant

_homog6ne

a l’inverse du cube d’une

longueur,

nous _{poserons :}

la _{moyenne 6tant}

_prise

sur l’ensemble des atomes

qui,

à un instant t

_donne,

sont sur la

paroi.

Utilisant les relations

_{d’orthogonalité}

des

_Ylm,

il vient alors :

2° Les observables

_{Q qui}

nous int6ressent ne

concernant _{que les} atomes : :

avec

Nous chercherons donc directement a determiner 1’evolution de

a*(t) :

dans

_{1’6quation (21),}

nous

prendrons

la trace de

_chaque

membre relativement

aux

spins

K. Nous voyons

_apparaitre

des

expres-sions de la forme :

Comme nous 1’avons

precise

dans

l’introduction,

nous _{supposons que les}

spins

K demeurent a

l’équi-libre

_{thermique malgr6}

leur

interactiQn

avec les

spins

S ;

la matrice densite des

_spins

K reste

propor-tionnelle a la matrice unite et la valeur de

384

En _{eff ectuant les moyennes}

_indiqu6es

dans les

paragraphes

1 et

_2,

_{1’6quatioiri}

₍₂₁₎

devient :

Nous poserons

, 3° Nous 6tudions maintenant le double

commu-tateur

_{qui figure}

dans

_1’6quation

₍₂₃₎

dans le but de

_simplifier

cette

_equation

_par «

l’approximation

séculaire ».

Dans cette somme certains termes dits séculaires

sont

_independants

_{de t,}

d’autres oscillent en

fonc-tion du

_temps.

Si 1’on ne tient

_compte

_{que des}

termes s6culaires

_1’6quation

d’6volution de

_a*(t)

repr6sente

un

_syst6me

différentiel lin6alre a

coef-ficients constants _par

_rapport

aux variables

Fm F’

Nous pouvons trouver sa solution : comme nous le verrons _par la suite un element de matrice

a*;’

6volue avec

_plusieurs

constantes de

_temps

dont les

valeurs restent

_toujours

assez voisines de celles

(T 1’.’) qui

interviennent dans 1’evolution de

Sz >. On d6montre

_[7]

_{que 1’existence} des

termes non s6culaires oscillant a la

_frequence

AW/2TU

ou

I g’ FI

_{(,js 12n apporte}

_{respectivement}

une

correction d’ordre

_1/LlWT1

ou

1/1g’FI

cos

T1

à la

solution

_pr6e6dente

de

_a*(t).

_{Pour que} cette

cor-rection soit

_n6gligeable,

il _{suffit donc que} la

condi-tion

g’F

cos

T1

» 1 soit r6alis6e.

ExpérimentaIe-ment,

nous avons mesure des

_temps

de

relaxa-tion

_{T1 > 0,1}

s. 11 suffit donc que le

_champ

sta-tique

soit

_grand

devant _{10-6 gauss.} Cette

condi-tion est

_toujours

tres

_largement

satisfaite dans nos

expériences.

Par

_suite,

nous ne

_garderons

dans le second

mem-bre de

_1’6quation

₍₂₃₎

_{que les} termes s6culaires.

Nous cherchons a éliminer d’abord les termes oscil-Iant à la

_friquence

AW. Pour

_cela,

on doit limiter

la somme sur les indices _p et

_p’

aux termes _pour

lesquels p’ = -

p : les

op6rateurs

SI")

et

_S(;;7’)

produisent

en effet des transitions entre niveaux

dont la difference

_d’énergie

_(a

(,jF

_pr6s,

wF

AW)

est

_PAW

et

_pAW..

Une

_consequence

de

_{l’équation}

p +

p’

= 0 est _que les termes

diagonaux

_en F de la

matrice densite sont

_uniquement

_couples

aux

autres termes

_diagonaux

sous I’effet de la

relaxa-tion et _que les coh6rences

_hyperfines

sont

unique-ment

_coupl6es

aux autres coh6rences

_hyperfines.

A l’instant initial la matrice

_a*(t)

est

_diagonale

en

F et nous _voyons done _que cette

_propriété

subsiste

sous 1’effet de la relaxation. Nous _pouvons

decom-poser la matrice a* en 2 sous-matrices

correspon-dant chacune hun niveau

_{hyperfin :}

Nous 6tudierons

_{s6par6ment 1’6quation}

d’évo-lution de

chacune

de ces sous-matrices. Posons

Nous d6duisons de

_{1’6quation (23).}

A ce

_stade,

il nous reste a éliminer les termes non

séculaires à la

_friquence

cos. Il est nécessaire pour cela de

_d6velopper

les doubles commutateurs de

1’6quation (25)

et d’examiner

_s6par6ment

1’6vo-lution dans le

_temps

des différents termes obtenus.

L’alg6bre correspondante

est assez lourde et nous ne la

_reproduisons

_{pas. Nous donnerons le r6sultat}

alg6brique

et son

interpretation physique :

Nous définissons la matrice

_cT*±(t)

comme etant

la matrice

_qui

a les memes elements

_diagonaux

_que

cr;:t:(t)

mais

_qui

a tous ses elements non

_diagonaux

nuls :

Nous

_n6gligeons

_wK/dW

et

_COFIAW

devant l’unit6. On trouve alors

_1’6quation

d’evolution suivante :

(l’équation

d’evolution de

_(1;(t)

s’obtient en

échangeant

F +

et

_{F_).}

Dans Ie référentiel du laboratoire

cette coherence 6volue a la

_frequence

_(ùFrnF

Frn’ p

(distance

des niveaux

_FmF,

_Fm’F).

Le r6sultat de

l’approximation

s6culaire est _que les

_equations

de la relaxation ne

_couplent

entre eux _que les elements

de la matrice densite

_qui

ont meme

_frequence

pro-pre : par suite

a*Flm’ F

_{Elm F} n’est

couple

a a*

Flm’ F-r

F2m F-r que dans l’un ou 1’autre des 2 cas suivants :

1 er cas :

Ceci

_impose

mF =

m’F

(F1

et

F2 pouvant

etre

quelconques).

Ce cas concerne les

_{populations :}

les

populations

_CF’NF

sont

_CoUpl6eS

entre elles mais

elles ne sont _pas

_coupl6es

aux coh6rences.

L’6tude

_th6orique

et

_{exp6rimentale}

de 1’6volu-tion des

_populations

_(calcul

et mesure de

T 1)

_peut

donc se faire sans _que l’on ait a se

pr6occuper

de

1’existence d’une coherence Zeeman dans 1’etat initial.

2e cas :

11 est clair _que si les facteurs de Lande de

_Fl

et de

F 2

sont

_{différents, 1’egalite pr6e6dente}

n’est

pos-sible _que si

_F1

=

F2.

C’est en

particulier

ce

_qui

se

passe pour les sous-niveaux

F+

et F de 1’etat fondamental des alcalins : il ne

_peut

_y avoir de

transfert de coherence d’un niveau

_hyperfin

à

l’autre parce que les

frequences

de Larmor de

F+

et F_ sont de

_{signes opposes (fig.}

_2b).

On

_peut

montrer _que la condition r6elle de

_couplage

de deux coh6rences est en fait moins restrictive _que

1’egalite pr6c6dente.

11

_suffit,

en

_fait,

_que

Deux cohérences Zeeman

_{(a§§§§’§}

et

_U"F’-r)

sont

couplées

à l’intirieur d’un niveau F si les r6sonances

correspondantes

sont

_confondues

à la

_largeur

de

relaxation

_près.

Nous avons conduit le calcul et 6crit

_{l’équation}

de relaxation

₍₂₉₎

dans le cas ou cette derniere

condition est

_remplie,

c’est-h-dire

_puisque

r = ₊

1,

dans le cas ou la distance de 2

_composantes

Zee-man cons6cutives est

_petite

_par

_rapport

a la

lar-geur de relaxation de l’une d’elle. Ceci entraine pour

la

_{valeur du}

_champ

_magn6tique

la condition :

Ho

H 0’

Ho

etant la valeur _pour

_{laquelle :}

limitons done dans la

_partie

actuelle de notre

tra-vail-1’etude de l’ aimantation transversale à ce cas

particulier

d’un

_cliamp

tres faible

_(1’6tude

_pour un

champ H 0 quelconque

etant faite dans la

troi-si6me

_partie).

11 est a noter _{que cette} restriction

ne

joue

_pas en ce

qui

concerne les

populations

a--F

dont nous avons vu

_qu’elles

ne sont _pas

_coupl6es

aux coh6rences. Comme 6z > et 7z >, aimantations

_{longitudinales,}

sont des

combinai-sons lin6aires des

_populations,

on voit _{que la}

condi-tion de validité de notre etude relative a Sz > et 7z > n’est _pas, dans ce

_{chapitre, Ho}

_Ho,

mais

_simplement

_que

_Ho

soit assez faible pour _que

F soit un bon nombre

_quantique.

Pour achever la transformation de

_1’6quation

_29,

notons _que dans son second membre

_figurent

3

int6-grales

du meme

_{type :}

J(Q)

est _{la transf ormee de Fourier pour la f}

re-quence

Qj2n

de la fonction de correlation de la

perturbation :

(On peut

montrer _{que le} terme

_{imaginaire ik}

₍₀₎

produit

un

_{deplacement d’énergie}

inférieur a la

largeur

des niveaux du

_systeme

_provoqu6e

_par la

relaxation. Nous ne cherchons _{pas a} tenir

_compte

de cet

_{eff et).}

Les valeurs de Q

_qui

interviennent sont

finale-ment AW et

_rg’F

cos + ulwx.

L’équation

(29) peut

donc etre écrite :

L’équation

d’evolution de

c7*-(t)

s’en deduit en

6changeant F;

et F_.

d6F /dt depend

lineairement des fonctions

J(rgF

ms +

inwx)

et J

_{(AW) ;}

nous ferons un

en fonction de

(J(rg2

_{cos +}

m(DK) -

J(LlW))

et

J(AW).

Dans ces conditions

_{l’interpr6tation}

phy-sique

de

_chaque

terme devient

_{simple :}

ils sont nuls

respectivement

dans l’un ou 1’autre des deux cas

extremes suivants :

cas du rétrécissement extreme To «

I JAW,

et

cas ou Tc

>> I /AW.

Nous 6crirons donc : _{dcr* J dt =} (ds* I dt) 1 + (da* /dt) 2’

avec _p ==

0,

1 1.

III.

_equation

devolution des observables.

-Nous devons calculer

_{C Q}

> * =

Tr

{

a*

Q },

Q

etant

_{l’op6rateur repr6sentant}

1’observable

_Q.

Nous donnons les résultats du calcul successivement dans le cas ou

J(AW)

= 0 et dans le _cas du

rétré-cissement extreme.

_L’equation

d’evolution dans le cas

_general

_(,r,,

_quelconque)

se deduit

imm6diate-ment de 1’etude de ces 2 cas

_particuliers

_(notes

_par

les indices 1 et

_2),

comme nous 1’avons vu a la fin

du

_{paragraphe precedent}

avec

q

repr6sentant

l’un des indices 1 ou 2.

Nous avons

_groupe

en

_appendice

des _remarques

générales qui

permettent

de

_{simplifier l’algèbre}

et des

_equations

_qui

_repr6sentent

les diverses

6tapes

de ce calcul pour les differents cas. On

abou-tit aux résultats suivants :

On

_peut

montrer _que,

_{plus généralement,}

les

résultats de ce

paragraphe

sont valables dans le cas

où

_{(2I +}

₁₎₂

_J(AW)

_«

_J(COF).

1° Evolution de la

_{population globale}

d’un niveau

hyperfin

donni :

_Q

= St.

On trouve :

Comme on

_pouvait

_s’y

attendre le

_temps

de

relaxation de la

_population

d’un niveau

_hyperfin

est infiniment

_long

si le

_spectre

de Fourier de la

perturbation

ne contient pas la

_frequence

de tran-sition

_hyperfine.

2°

Evolution

des aimantations

_{électronique}

_(et

nucléaire)

longitudinales : Q

= Sz

(et

Q

=

Iz).

On trouve :

ad 2

est defini dans

_{l’ appendice :}

[azl2

= E

_laml2

_{(indépendant}

de

_r).

m

L’équation

d’evolution _que 1’on _{obtient pour} Iz > se deduit de

(36)

en substituant dans les

2 membres Iz à Sz. Dans

_{l’hypothèse}

(21

+

1)2 J(LlW)

«

_J(ûJF),

Sz >,

(et

Iz

»

(relaxent

avec une seule constante de

_temps

T

et

_T’n)

Nous verrons _{par la} suite _que ce cas est le seul

ou Sz > relaxe

_{exponentiellement.}

Experimen-talement,

nous n’avons pas observe de deviations

par

rapport

a une

_{exponentielle unique}

_{pour la}

relaxation de 87Rb sur des enduits

_{hydrogénés.}

Ce-pendant,

comme nous

_{1’expliquerons plus loin,}

ceci

n’implique

pas que nous nous trouvions en

pra-tique rigoureusement

dans le cas

analyse

ici.

Un calcul

_identique

_peut

se faire dans le cas d’un

spin

S

_{isolé ;}

on trouve _que Sz > relaxe expo-nentiellement avec la constante de

_temps

_{T s1.}

En

_comparant

les

_expressions

de

_fie

et

_Tsl,

nous

remarquons l’influence du

spin

nucleaire I : en

champ

faible,

il donne une valeur du

_temps

de

relaxation de Sz >

_qui

est

₍₂₁

₊

₁₎₂

fois

_plus

longue

que celle du meme

spin

S isol6. On

com-prend qualitativement

ce fait en

_remarquant

_qu’en

presence

du

_couplage

aS. I la relaxation de Sz >

se fait « en cascade » _par une suite de transitions

d’un sous-niveau Zeeman a un

_autre,

tandis

_qu’en

I’absence de

_spin

I une seule transition suffit à

retourner l’orientation du

_{spin 6lectronique.}

En

_champ

_faible,

_pour un enduit

donne,

on

trouve,

dans

_{l’hypothèse}

_{J(AW) == 0,}

_que les

cons-tantes de

_temps

T’1 _{pour les deux}

_isotopes

du rubi-dium85Rb

_(spin

I =

_5/2)

et 87 Rb

_(spin

I =

3/2)

sont

th6oriquement

dans le

_{rapport 2,25 :}

exp6rimen-talement,

nous mesurons un

_rapport

2.

Remar-quons que cette

propriete

de l’interaction

dipole-dipole

et de l’interaction de contact existe aussi

pour toutes les interactions que l’on

peut

repre-senter _par un hamiltonien

_X,

n’agissant

_que sur S

et

_ayant

un Tc tel que

₍₂₁

+

1)2

J(AW)

«

_J(mF).

Ce

_point

sera d6montr6 dans la 4e

_partie.

Par

suite,

la connaissance de la valeur du

_rapport

des

TIdes

2

_isotopes

du Rubidium ne

_permet

_{pas de}

decider de la nature de

_{l’interaetion ;}

mais elle est

compatible

avec l’interaction d6crite dans le

pro-sent travail. Si 1’on admet le r6sultat

_experimental

que dans les cellules enduites de

paraffines

hydro-génées,

l’interaction

_predominante

est celle de S

avec les

_protons

de la

_{paroi, la}

valeur

exp6rimen-tale de ce

_rapport

_permet

alors de comparer vc à

I/AW.

La variation de

_1/T’e

en fonction du

_champ

magnetique

(dans

la zone OA wF «

_AW)

est en

J(COF)

=

2rc/(1 + co I T).

Elle

peut

etre differente

pour les deux interactions scalaires et tensorielle si

leurs

_temps

de correlation sont diff6rents.

3° Aimantation

_{électronique}

_{(et nucléaire)}

trans-versale :

_{Q =}

S(+1)

_{(et Q == I(+1)).}

On trouve :

Les

_equations

_{que 1’on} obtient _pour l’évolution

de Pp- S+1

>*,

de

_PF+

I(+1) >* et de

PF- I(+1) >* sont

_identiques

a

_(38),

c’ est-a-dire

du

_{type :}

Remarquons

que dans le référentiel du labora-toire les valeurs _{moyennes de S(+1)} et I(+1) à

l’ii,it6rieur des niveaux

_F+

et F-

_pr6eessent

respec-tivement autour de

_Ho

a la vitesse

_angulaire

ws/(2I

+

1)

et -

ws/(2I

+

1).

Notre résultat

signifie

que l’amortissement de chacune de ces

pre-cessions se fait avec une seule constante de

_temps

(T;)F+

et

_(T;)F-

et _{que de}

_plus

Dans la zone de

_champ

_magnétique

ou

J(WE)

=

J(0)

(toujours

dans le cas

nous _{obtenons le r6sultat}

_{remarquable :}

les

_temps

de relaxation

_longitudinal

et transversal

sont

_uniques

et

_égaux.

Nous reviendrons

_plus

loin

sur

_{l’interprétation physique}

de ce resultat.

La variation de

_1/T2

en fonction du

champ

magn6tique

(Ho

Ho)

est _{diff6rente pour les}

interactions scalaire

₍₃₉₎

et tensorielle

_(40).

En

_pratique

la valeur de Tc est

_trop

courte _pour

qu’il

soit

_possible

d’observer cette difference :

dans tous les

_{champs magnétiques}

où nous

ope-rons

_J(wK)

=

J( 0) .

On trouve

Les transitions entre niveaux

_hyperfins

etant

possibles

dans le cas du rétrécissement

_extreme,

les

populations

de F+ et F- 6voluent

exponentielle-ment au cours du

_temps

avec un

_temps

de

relaxa-tion

_T"H.

Ainsi Iz > 6volue

_{exponentiellement}

au cours

du

_temps,

mais

_1’6quation

d’evolution de Sz > est

_coupl6e

a celle de Iz >. On en deduit les

equations

de relaxation a

_partir

d’un 6tat initial d’aimantations

_6lectronique

et nuel6aire connues

( Sz

> 0, Iz

> 0),

dans le cas du rétrécissement

Dans ce _cas, il existe donc un seul _temps de

relaxation nuel6aire

_{longitudinal T"n}

et 2

_temps

de

relaxation

_{6lectroniques}

_{longitudinaux T"e}

et

_{T"n ;}

T"e

ne

_depend

_pas de

_l’isotope

et

_T"n

est

propor-tionnel a

₍₂₁

+

1)2 ; T"e

est

_plus

court _que

_T"n

dans le

_{rapport (21}

+

1)2 /2.

On deduit de

₍₄₆₎

_que

_1’6quation

de relaxation de

Sz > a

_partir

d’un 6tat initial totalement

orient6 _par de la lumiere 6+ ou cy- est :

pour 87Rb Sz > == + .286 e-t/T"e ± .214 _e-t/8T"e, pour 85Rb Sz > = + .353 e-t/T"e ± .147

_e-t/18’T,

le

_signe

_correspond

a la condition initiale

S, > o -

.5.

11 est difficile de confondre les courbes

repr6sen-tatives

_{correspondantes}

avec une

exponentielle

unique.

Si l’on etait conduit a le

_faire,

la constante

de

_temps

obtenue

_d6pendralt

de la condition

ini-tiale;h

_partir

de

_laquelle

se fait la relaxation. Nous

n’avons pas observe ceci

_{experimentalement}

pour la relaxation de 87 Rb sur des enduits

deu-t6r6s.

_Aussi,

_pour l’int6raction due a la

_presence

des

_spins

_K,

nous _{pensons que}

_{l’hypothese}

7

n’est _pas satisf aite et _{que par} suite vl > 5. 10-11 sec.

les

_equations

relatives a Faimantation nuel6aire transversale se d6dulsent des

_pr6c6dentes

en

subs-tituant dans les 2 membres I +1) _{à S’ +1).}

PF+ S(+1) >*

et

_{PF+ 1}

_+1>*

relaxent

avec la meme constante de

_temps

_(T2)"F+.

PF- 8[+1) >* et Pxp- I+I >* relaxent

avec la meme constante de

_temps

_{(T 2)-.}

Mais contrairement a ce

qui

se _passe

_lorsque

_J(I1W)

=

0,

dans le cas du rétrécissement

_extrême,

ces 2

cons-tantes de

_temps

sont differentes :

On

trouve que dans le cas de

_87Rb(I

=

3/2)

(T2)"F-

63 et dans le cas de

(T 2)+

.63 et dans le cas de

Alors _{que pour}

_J(AW)

= 0 on avait

maintenant on trouve :

et

La valeur de ce

_{rapport peut}

donc en

_principe

permettre

de determiner si nous sommes dans le

cas

_J(OW)

= 0 _ou le cas du rétrécissement

extreme.

C)

RESULTATS DANS LE CAS GENERAL : :

J(£W)/J(0)

QUELCONQUE. - En combinant les

résultats des

_{paragraphes (A)}

et

_(B)

_precedents,

on

arrive aux conclusions suivantes :

1° Q =

S. I

De

_faqon

_g6n6rale,

il n’existe

_qu’un

seul

_temps

de relaxation

_hyperfin

TH.

TH ne varie d’un

_isotope

a I’autre que par

l’inter-m6diaire de l’écart

_hyperfin.

11 est

_independant

du

spin

nucl6aire.

20 Q = S, et Q = I,,.

Les

_equations

de relaxation a

_partir

d’un 6tat initial d’aimantation

_electronique

et nuel6aire

avec

(Si

on fait dans ces

_equations

AW =

0,

_et I =

0,

on retrouve _pour Sz > la meme

_equation

d’evo-lution que pour un

spin

S isol6

_(6q.

37

bis).

Dans tous les cas Iz > relaxe avec une seule

constante de

_temps

Tn

_{(6q. 58),}

Tn varie d’un

iso-tope

a 1’autre par l’intermédiaire de 1’ecart

hyper-fin

_(J(OW))

et surtout _{par l’interm6diaire} de la

multiplicite

du

_spin

I :

Tn

est

_{proportionnel}

a

(21

+ 1)2 . Remarquons

que la determination

exp6rimentale

du

_rapport

_Tn/TH

en

_champ

faible

serait un tres _{bon critere pour} la

_comparaison

de

i(AW)

a

_{J(0) :}

C’est meme une m6thode de mesure de Tc

qui

pour-rait etre

_precise

dans le cas ou 6. W Tc > 1.

Sz > relaxe en

general

avec 2 constantes de

temps

Te

et Tn.

(6q.

57 et

_58).

Nous avons

_deja

vu

que :

ce)

Si

_J(6.W)

=

J(wF) =

J(O)

la courbe de

relaxation diffère nettement d’une

_{exponentielle.}

P)

Au

_contraire,

si

₍₂₁

₊

_{1)2 J(6.W)}

«

J(mF)

les 2 constantes de

_temps

sont

_{pratiquement 6gales}

et la courbe de relaxation est une

exponentielle.

Dans le cas

_{intermédiaire,}

c’est-a-dire _{pour des}

valeurs de Tc de l’ordre de

quelques

10-10 _sec., Te et Tn sont dans un

_rapport

_compris

entre 1 et

(21

+

1)2 /2 ;

on trouve _que la combinaison lin6aire de ces 2

_{exponentielles}

_peut

etre facilement conf on-due avec une

_{exponentielle unique.}

On

_peut

aussi

montrer _{que le}

_rapport

des

_{« temps}

de relaxation »

pour les 2

isotopes

85Rb et 8’Rb est inf6rieur a

2.25. Il n’est _pas exclu _que se trouve en

pra-tique

dans ce cas.

et _pour I (+1) les

_{equations analogues}

obtenues en

substituant dans les 2 membres I(+1) a S(+1). Avec

_{1’approximation}

_J(mx)

=

J(0), (T2)F+

et

(T 2)F-

sont _{donrees par les}

_{expressions :}

Si on fait dans ces

6quations AW

=

0,

1 = 0

(et

par

consequent j?F+ == 1

et PF- =

0),

on retrouve

pour S +I > * la meme

_equation

d’evolution que

pour un

_spin

S isolé :

avec

Rappelons

_que

la condition de validité du calcul

de

_{T2 :}

_{H 0}

_H0

restreint cette etude a un domaine

de

_champ

tres faible.

_{Expérimentalement,}

nous avons

_opere

_jusqu’ici

dans un

champ Ho

>

H0,

cas

que nous

_envisageons

dans la 3e

_partie.

En

_comparant

les

_equations

_{(57), (58),}

₍₆₁₎

et

(62),

on constate _que l’on a en

general

en

champ

faible

_(J(WF)

=

J(0))

Tn _>

(T 2F +

_>

(T2)F"

> Te

c’est-à-dire _que

_malgr6

le caractere

_isotrope

du hamiltonien

_H1(t),

la relaxation du

_spin

S ne se fait

pas en

general

de

_{facon isotrope :}

les aimantations

longitudinale

et transversale relaxent de

facon

différente. On

_pouvait

s’attendre a ce r6sultat car une transition d’un niveau F a 1’autre sous 1’effet

de la relaxation

peut

conserver

_{partiellement}

le

moment

_angulaire

suivant

_{Ho ;}

_par contre elle

d6trult

_compl6tement

le moment

_angulaire

trans-versal parce que le mouvement propre de ce

moment est different dans les 2 niveaux F.

(Fac-teurs de Lande

_opposes.)

Nous verrons _que le seul cas ou la relaxation de

S se fait de

_façon

_isotrope

est celui ou

(les

equations (57)

et

_{(58) permettent}

de montrer que dans cette

hypothèse Te ~

Tn

et les

6qua-tions

₍₆₁₎

et

₍₆₂₎

_que

_{(T2)F+ ~}

_{(T,).F- L--}

_Tn).

Le

temps

de relaxation

_hyperfin

TH est alors tres

long

devant tous les autres

_(6q.

_51).

Nous _pouvons

s6parer

les atomes en 2 classes : ceux

_qui

sont dans

F+

et ceux

_qui

sont dans

_{F_ ;}

la relaxation n’est

pas

susceptible

de faire passer les atomes d’une

classe a I’autre. Le

_probleme

devient celui de la

relaxation de 2

_categories

de

_spins

F soumis aux

hamiltoniens Zeeman et de

_{perturbation.}

On

_peut

montrer, par un raisonnement

_analogue

a celui fait dans la reference 3

_{(p. 292),}

_{que pour chacune de}

ces 2

_classes,

la relaxation est

_isotrope,

c’est-à-dire

(T 1)F+ - (T§)F+

et

_{(Ti)F- - (T2)F_}

Notre

cal-cul montre _{que, de}

_{plus, (T*,*)F,}

=

(T[)F-

=

TI.

Ce r6sultat est une

_consequence

du fait que les

fac-teurs de Land6 des niveaux

_F+

et F- ont meme valeur absolue.