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Submitted on 1 Jan 1963
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Relaxation magnétique d’atomes de rubidium sur des parois paraffinées
Marie-Anne Bouchiat
To cite this version:
Marie-Anne Bouchiat. Relaxation magnétique d’atomes de rubidium sur des parois paraffinées. Jour-
nal de Physique, 1963, 24 (8), pp.611-621. �10.1051/jphys:01963002408061100�. �jpa-00205538�
611.
RELAXATION MAGNÉTIQUE D’ATOMES DE RUBIDIUM SUR DES PAROIS PARAFFINÉES (1)
Par MARIE-ANNE BOUCHIAT,
Laboratoire de Physique de l’École Normale Supérieure, Paris.
Résumé.
2014Les résultats expérimentaux montrent que la relaxation d’atomes de rubidium orientés (à la pression de 10-7 mm de mercure et en l’absence de gaz tampon) se fait sur la paroi.
Il y a, en outre, des raisons de penser que si la paroi est enduite de paraffine, l’interaction prépon-
dérante qui détermine le phénomène de relaxation se produit entre les moments magnétiques de
l’électron de valence du rubidium (spin S) et ceux des protons (ou deutons) de la paraffine (spins K).
Nous donnons ci-après l’étude théorique de ce mécanisme de relaxation. Le calcul peut se faire
dans le cadre du modèle dit avec « moyennage par le mouvement ». Les spins S sont soumis, par ailleurs, à deux interactions statiques : l’une est le couplage aS. I de S avec le spin nucléaire I
de l’alcalin, l’autre est l’interaction Zeeman avec le champ magnétique statique.
Dans la première partie (publiée dans un article antérieur), nous avons envisagé le cas d’un champ faible (interaction hyperfine grande devant l’effet Zeeman). Nous envisageons maintenant
le cas d’un champ très fort pour une valeur quelconque du spin nucléaire I de l’alcalin (2e partie)
et le cas d’un champ quelconque pour la valeur 3/2 de I (3e partie). Nous calculons l’équation
d’évolution de l’aimantation longitudinale et transversale électronique. Dans la 4e partie, nous généralisons nos résultats au cas où l’interaction responsable de la relaxation n’agit sur l’atome
de Rb que par l’intérmédiaire de son spin électronique S. Cette étude est nécessaire pour l’inter-
prétation des mesures expérimentales relatives à la détermination du temps de corrélation d’une interaction de ce type.
Abstract.
2014Experiments on polarized rubidium atoms (without buffer gas and at a pressure of 10-7 mm Hg) show that relaxation takes place on the walls ; furthermore, they suggest that the
relaxation mechanism is mostly to be found in the dipolar coupling between the valence electron of rubidium (spin S) and protons (or deuterons) of the walls (spin K). This relaxation process is here
analysed theoretically. The " motion narrowing
"model can be used. Two different static interactions act on spins S : first, the hyperfine coupling aS.I (I, nuclear spin of the alkali), and second, the Zeeman interaction with the d. c. magnetic field.
In the first part of this work (already published) we have considered the case of a small magnetic
field (hyperfine splitting large compared to Zeeman splitting of the levels). In the present article
we consider the case of a strong magnetic field, for any value of the alkali nuclear spin I (second part) and the case of any value of the field for I
=3/2 (third part). In the fourth part we show
that our results are still valid for all interactions acting only on S. This study is necessary to get
an interpretation of experiments relative to the determination of the correlation time for such interactions.
PHYSIQUE 24, 1963,
DEUXIÈME PARTIE
Nous envisageons maintenant le cas où le terme
hyperfin al . S du hamiltonien statique Jco(S) (éq. (1)) est petit devant Ws Sz, mais grand devant
wr Iz. Nous employons la méthode de perturbation
et prenons pour hamiltonien statique principal des
atomes : Ro = cos Sz, considérant
-cor Iz + aS. 1
comme une perturbation statique de JCO. Au
1er ordre, le hamiltonien de perturbation s’écrit : Jc’o
= -wl Ix + asz Iz.
En remplaçant Jeo(S) par Jeo + Jco, on commet
sur la position des niveaux d’énergie une erreur
relative de l’ordre de (al wS)2
=1 jx2 (X » 1) et
sur le carré des coefficients des fonctions d’onde une erreur relative également de l’ordre de 1 /x2 (on prend pour états propres les états ms
=+ 1/2
et ms = - 1/2 alors que les états propres de Jeo(S)
(1) Cette étude fait suite à un premier article paru dans le Journal de Physique, 1963, 24, 379:
sont un mélange dans la proportion 1 /x de
ms = =p 1/2 et de ms = ± 1/2).
Nous écrivons, ici encore, le hamiltonien Jc1(t)
sous la forme :
Le calcul de la relaxation du spin S devient alors très voisin du calcul de la référence [3]. Nous
donnerons seulement le résultat afin de pouvoir le
comparer aux précédents
et avec
S2,
dans l’hypothèse où
Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphys:01963002408061100
FI G. 3.
Ces équations sont identiques aux équations (37 bis) et (63) qui décrivent la relaxation d’un
spin S isolé. Nous obtenons donc que les temps de
relaxation longitudinal et transversal de S en
champ fort (calculés avec une erreur relative de l’ordre de 1 /x2) sont les mêmes que pour un spin S
isolé.
Le même calcul pour la relaxation du spin 1 con-
duirait à un temps de relaxation nucléaire infini : dans la théorie des perturbations du 1 er ordre ms
est en efiet un bon nombre quantique et Je1(t) qui n’agit que sur S n’induit que des transitions du
type JAMSI
=1 AmI
=0. Si l’on tient compte des
termes du 2e ordre du hamiltonien, entre deux ni-
veaux tels que a et c (fig. 3) (transition Ams
=0
|AaI = 1 ; distance : AWI(2I + 1)
=a f 2) les
éléments de matrice de JC1(t) sont de l’ordre de 1 /x.
Ils sont aussi de l’ordre de 1 lx entre deux niveaux distants de Cùs tels que c et d (làmsi =1 AmI =1).
Par suite les probabilités pour que, sous l’effet de
JC1(t), des transitions du type a --> c ou du type
c > d soient induites sont respectivement
Comparons ces probabilités à celle d’une transition
permise au 1er ordre telle que a > d qui est pro-
portionnelle à J( ws).
A) Si J(ws)
=J(A W /21 + 1)
=J(O), les tran-
sitions a > c et c > d sont x2 fois moins probables que a > d ; a >> c et c > d font varier 1z >
d’une quantité finie tandis que a Z d fait varier Iz > d’une quantité de l’ordre de 1 Jx2 et Sz >
d’une quantité finie. On en déduit que les temps de
relaxation associés à 1 sont de l’ordre de x2 fois
plus longs que Ts1. On trouve en effet au second
ordre :
avec
c’est-à-dire que 1z > relaxe exponentiellement
avec une constante de temps 2x2 fois plus longue
que celle de Sx >.
B) Si J(eùs) y J(AW/2I + 1) « J(O), c’est-à-
dire si J ’A’W ) (2I - 1) 1 Jws> ~ 4X2 les probabilités
des transitions a zt d et a > c sont du même ordre ; on doit donc s’attendre à des temps de relaxation électronique et nucléaire du même ordre.
On trouve en effet au second ordre :
avec
·
c’est-à-dire que les temps de relaxation de 7% >
et Sx > sont égaux.
Comme nous l’avons signalé dans la première partie, nous pensons que la valeur de Te est telle que c’est, en pratique, le cas B qui se trouve être
réalisé pour la relaxation sur des enduits hydro-
gérés.
,TROISIÈME PARTIE
Introduction.
-Nous avons envisagé dans le premier article le cas des « champs faibles ». Pour
ce qui est de l’aimantation longitudinale, l’hypo-
thèse correspond à cos « a. En ce qui concerne
l’aimantation transversale, la condition est beau-
coup plus restrictive encore, Ho Ho (pour 87Rb,
Ho est de l’ordre de 50 milligauss). Nous présentons
ci-dessous le calcul dans le cas où aucune hypo-
thèse n’est faite sur les valeurs de Ho ou du temps
de corrélation Te. Il est nécessaire de faire la théorie dans ce cas pour les raisons suivantes :
A) DÉTERMINATION EXPÉRIMENTALE DE Tc.
-Nous avons donné précédemment le principe de
cette détermination. Elle est basée sur la variation des temps de relaxation en fonction de Ho : sous
l’effet de la relaxation, la probabilité de transition entre deux sous-niveaux distants de Ci) est propor- tionnelle à la transformée de Fourier de la fonction de corrélation à la fréquence Ci) 12rco
Il existe cependant une autre cause de variation
des temps de relaxation en fonction du champ que les résultats auxquels nous sommes déjà parvenus
nous permettent de décrire et de comprendre.
Envisageons le cas de Sx >. Nous avons vu
qu’en champ faible (ws « a) existent deux temps
de relaxation longitudinaux Te et Tn (formules 57
et 58). Par contre, en champ fort ( ws » a), le temps de relaxation (unique) de Sz > est Ts, (formule 37 bis) qui est le même que celui que l’on obtiendrait pour un spin S isolé. Il peut se faire
que le temps de corrélation Te soit assez court pour que la valeur de la transformée de Fourier ne
change pratiquement pas dans la gamme de fré- quences correspondant au cas où ws et a sont du
même ordre de grandeur. Sous le seul effet du dé-
couplage de S et 1 sous l’effet de Ho, les temps de
relaxation passeront des valeurs (Te, Tn) à la
valeur Tsl (qui est plus courte). On s’attend donc
à ce que le « temps de relaxation » varie qualita- tivement, en fonction de Ci) comme l’indique la figure 4. Notons que pour les champs beaucoup plus grands, l’effet de J(ws) se manifestera pour les valeurs de ws~ 1 /Tc (partie de la courbe en
pointillé).
.1
FIG. 4.
Les premiers résultats expérimentaux obtenus
sur 8’Rb dans une cellule deutérée sont compa- tibles avec une valeur de Te de l’ordre de 10-1° s,
(A W’t’c) 2 ~ 20. On se trouve donc en pratique dans
le cas où la variation du temps de relaxation en
fonction de Ho provient simultanément des deux
causes rappelées ci-dessus. Il est clair que pour
interpréter les résultats expérimentaux et en dé-
duire la valeur de Te, il est nécessaire de calculer
l’équation d’évolution de Sz > pour» une valeur de Ho quelconque. La même étude permet de déter- miner, en outre, s’il existe ou non plusieurs inter-
actions simultanées ayant des temps de corrélation différents. Il
B) LARGEURS DES RÉSONANCES.
-Nous avons
donné précédemment l’équation d’évolution des
« cohérences Zeeman » afmp Pour Ho Fm’p H.. Les équations se simplifient pour Ho > Ho, c’est-à-dire.
lorsque les résonances Zeeman (AF
-0,
AmF == :1: 1) sont résolues (ont des différences de
fréquence supérieures à la largeur de raie imposée
par la relaxation). Pour Ho Ho, il peut y avoir,
sous l’effet de la relaxation, transfert de cohérence Zeeman à l’intérieur d’un niveau hyperfin. Pour Ho > Ho, ce transfert n’est plus possible ; les équa-
tions d’évolution sont découplées, on en déduit simplement la largeur des différentes résonances AMF
==:1: 1.
C) MÉTHODE DE CALCUL.
-La technique de cal-
cul utilisée ci-après est différente de celle exposée plus haut. Cela nous a permis d’utiles vérifica- tions. L’équation d’évolution de la matrice densité
prend la forme
dcr*/dt
==R6*. (65)
d6*/dt
=Ra*. (65)
L’élément de la matrice R, Ra""’ est le coefficient de couplage de daâ’ idt à 6b’ (lorsque nous envi-
sageons les populations (a
=a’, b
=b’), nous
écrivons .Rab au lieu de Râbab).
On trouvera ci-après :
1) Le calcul de l’évolution de l’aimantation lon-
gitudinale Sx >. Il comporte plusieurs étapes : a) calcul des éléments Rab de la matrice R pour un
spin nucléaire I quelconque ; b) pour I
=3/2, la diagonalisation de Rab a été effectuée numéri-
quement à la machine IBM 1620 pour différentes valeurs de Tc et de Ho. Nous résumons les résultats obtenus.
2) Cas de l’aimantation transversale. Nous don-
nons l’équation d’évolution d’une cohérence pour
une valeur quelconque de I et de Ho. Les équations
sont explicitées dans le cas de 8’Rb (I
=3/2). Les largeurs des différentes résonances AMF = + 1 s’en déduisent pour Ho > Ho.
I. Calcul de l’évolution de l’aimantation longi-
tudinale ,Sz >. - A) CALCUL DE LA MATRICE DE
RELAXATION R.
-Comme nous l’avons déjà vu,
dans l’approximation séculaire, l’étude de l’évo..
lution de Sz > peut se faire en supposant qu’à
l’instant initial, la matrice densité est diagonale.
(Notons d’ailleurs que la méthode expérimentale
d’étude de Sz > n’utilise pas de radiofréquence).
Nous écrivons d’abord l’équation d’évolution des
populations
(il y a 2(21 + 1) telles équations). Nous déter- minons les valeurs propres et les vecteurs propres de la matrice Rab, ce qui nous permet d’obtenir
l’évolution de chaque population (ou d’une combi- naison linéaire, telle que ô’z > ) sous l’influence de la relaxation à partir de conditions initiales données. Nous posons x
=ws /a. Nous avons toujours Jc0
=JC0(s)
-mK Kz
Nous négligeons les termes en wI/ws et wk /ws qui sont de l’ordre de 10-3. Fz
=Sz + Iz commute
avec JCO. Nous dénotons par mp ms un sous niveau
d’énergie wmF,mS tel que : la valeur moyenne de Fz
sur cet état est mF ; par continuité pour les très fortes valeurs du champ il tend vers le sous-niveau dans lequel la valeur moyenne de Sx est ms.
Le hamiltonien de perturbation est, avec les
mêmes notations que précédemment :
Il est démontré dans la référence [3] que l’évo- lution de la population a ’FI’ est décrite par l’équa-
tion différentielle :
avec
On a:
d’après la première partie :
Nnns nosnns
puisque û)K« ms.
En outre :
Étant donnée l’hypothèse faite au sujet des spins K (équation 3) :
Nous posons par définition S’r) =ES(;’), l’opé-
p
rateur Sp(r) n’ayant d’éléments de matrice non nuls
qu’entre les états m:/J’ ms et mF -f- r et ms + p.
(Cette définition n’est pas absolument identique à
celle de la première partie où Spr’ agissant sur un
état FmF augmentait F de p unités).
D’après la définition de R (équation 65), nous
avons donc :
La matrice RmFms, mFmS est symétrique; la somme
des éléments d’une ligne ou d’une colonne est nulle
Le calcul de R pour une valeur quelconque du champ nécessite la connaissance, pour toutes les valeurs de x, des énergies Ü)mFms (pour calculer J(wmfms
-Ü)mF-r ms-p)) et des fonctions d’onde
(pour calculer les éléments de matrice de Sp(r) entre
les états nIF ms et mF - r ms - p). Les énergies
sont données par la formule de Breit-Rabi [5].
Nous écrivons la fonction d’onde d’un état
mF MS :
03C8mFms = ÀmFmS a03A6mF-1/2 + ’MFMS B 03A6mF + 1/2 (70)
a03A6MF-1/2 décrit l’état propre du système en champ fort pour lequel Sz > == 1/2 et
Iz >
=m-F - 1/2.
B03A6>mF+1/2 décrit le second état propre en champ
fort qui a même nombre quantique mF et pour
lequel : Sz > = 2013 1/2 et I z >
=mF + 1/2.
ÀmFms et fLmFms se calculent facilement en f onc-
tion de x,
Les éléments de matrice des opérateurs Sp(r) sont
alors :
B). ApPLICATION AU CAS DU SPIN I
=---3/2. VA-
RIATION DE Tl EN FONCTION DU CHAMP.
-1) Mé-
thode de calcul.
-Nous avons écrit explicitement
la matrice RmFms, mFmS dans le cas du spin I
=3/2.
Chaque élément de matrice est une fonction de x et de Te. Nous avons pu vérifier les résultats déjà
trouvés pour x « 1 et x » .1.
Pour les valeurs de x qui ne sont ni très petites
ni très grandes devant l’unité, nous avons fait faire la diagonalisation complète de la matrice Rmpms, mFmS pour différentes valeurs numériques
de x et de Tc machine IBM 1620 permet d’obte-
nir les 8 valeurs propres Ai et les vecteurs propres associés orthonormés dont nous désignons par
Ili
...Isi les composantes. Au ième vecteur
propre, nous pouvons associer la matrice diagonale Un calcul classique permet de
montrer que l’équation d’évolution de Sz >
sous l’effet de la relaxation à partir d’un état initial
décrit par la matrice densité 6’0 est :
avec
Aj et Uj ont été définis par l’équation 70 ; j tient
lieu ici des deux indices mF, ms.
A moins de conditions initiales tout à fait parti- culières, l’évolution de Sz > se fait en général
avec autant de constantes,de temps qu’il y a d’états propres P i de polarisation électronique différente
de 0. L’évolution de Sz > dépend donc en général des conditions initiales.
2) Choix des conditions initiales.
-Expérimen- talement, on commence par orienter les atomes par pompage optique et l’état stationnaire d’orien- tation atteint définit l’état initial à partir duquel
on étudie le phénomène de relaxation (méthode
d’étude de la relaxation dans le noir [10]).
Sous l’effet du pompage optique en l’absence de
gaz étranger, on accumule les atomes dans l’état de IMF maximum ; si la polarisation de la lumière orientatrice est 100 o/o a+ (ou 6 -‘) et si le temps T, qui sépare les absorptions. successives de deux
photons par le même atome est court devant le ou
les temps de relaxation Tl, tous les atomes sont, à l’équilibre, rassemblés dans le niveau a {mF
=+ 2) [ou b(mF
= --2)] (fig. 3). Comme on peut s’en
assurer par un calcul direct, ce résultat est valable
même en champ fort, chaque état faisant alors intervenir les états ms
=+ 1/2 et - 1/2 dans des proportions de l’ordre de 1 et 1 /x : bien que
l’absorption et la réémission de lumière ne pro- duisent que des transitions Ams| = 0 ou 1,
AmI
=0, le pompage optique finit toujours par créer des différences de populations entre les ni-
veaux d’énergie acge qui ne sont pas des niveaux ms purs (ou entre les niveaux bfhd). Le temps de pom- page permettant d’atteindre l’état d’équilibre est simplement plus long. En supposant que l’inten- sité lumineuse pompante est telle que la condition
T, « T1 est satisfaite, on voit que l’état initial Sx >o ne dépend pas de x : Sz >0 == :t 1/2.
Nous faisons l’hypothèse qu’il en est ainsi pour achever notre calcul.
3) Résultats.
-Le calcul montre que 7 cons- tantes de temps interviennent effectivement dans la relaxation de Sx mais avec des coefficients qui
diffèrent selon que l’état initial est + 1/2 ou
-
1/2. En fait, 3 ou 4 d’entre elles prédominent
par la grandeur de leur coefficient. Quand on trace
en pratique cette combinaison linéaire d’expo-
nentielles on trouve dans un très grand nombre de
cas que la courbe obtenue ne peut être distinguée
d’une exponentielle unique de constante de temps T 1 mais les valeurs obtenues pour T 1 sont différentes suivant que la condition initiale est
Sz >0
=1/2 ou
-1/2. Lorsqu’il n’en est plus
ainsi (la courbe théorique de relaxation ne peut plus être confondue avec une exponentielle), on
obtient une courbe (en portant en ordonnées
log | Sz > | en fonction du temps) au lieu d’une
droite de pente 1 /Tl. Nous avons construit la tan-
gente à cette courbe au point où la précision des
mesures expérimentales est la meilleure (point
d’ordonnée 1 /5 de l’ordonnée à l’instant initial) et
nous avons appelé « temps de relaxation » T1 dans
ce cas, l’inverse de la pente de cette tangente.
(Nous admettons donc que les mesures expéri-
mentales aboutissent, en fait, à la détermination du paramètre T1 ainsi défini).
Nous avons pu ainsi représenter, dans tous les
cas, les variations de 1 JTI en fonction du champ magnétique pour différentes valeurs de Te. Nous
appelons courbes g+ et a- les courbes donnant
respectivement 1 /T1 pour une condition initiale Sz, > = + 1/2 et Sz >
= -1/2.
En champ très faible et en champ très fort, les
616
courbes 6+ et (J- sont confondues comme le pré-
voient les résultats des deux premières parties ;
pour les valeurs intermédiaires du champ, les deux
courbes diffèrent très fortement l’une de l’autre.
Pour les valeurs de Te de l’ordre de 10-10 s ou
plus longues, les courbes a+ et a- sont des courbes décroissantes (fig. 5), la courbe a+ décroît beau- coup plus vite que la courbe (6- ; le rapport des
ordonnées peut être facilement de 2 ou 3 pour une valeur donnée du champ. Nous pouvons dire que
l’allure de ces courbes reflète essentiellement la variation liée à J(w) mais le fait que les deux courbes soient distinctes est dû à la présence du spin nucléaire.
Fic.5.
FrG. 6.
Pour une valeur de -tc, très courte, 10-12 s, les courbes a+ et 6- sont représentées figure 6 ; elles
ont même allure que la courbe qualitative donnée figure 4 : elles reflètent uniquement la variation de 1 JTI liée à l’existence du couplage aS. 1 lorsque
le terme Zeeman du hamiltonien statique devient
du même ordre de grandeur que le terme hyperfin.
1 /T1 augmente par un facteur de l’ordre de 8 entre les valeurs 0 et 10 000 gauss et ce n’est que pour les valeurs encore plus élevées du champ que
l’on retrouve la décroissance de 1 /Ts due à J( ws).
FIG, Î,
Comme nous le montrerons dans la 4ê partie le
calcul que nous venons de faire est valable pour toute interaction n’agissant que sur S. Nous pou-
vons donc maintenant envisager le cas où 2 inter-
actions différentes, agissant toutes les deux sur S
mais sans corrélation entre elles et ayant des temps
de corrélation différents, produisent simultanément la relaxation des atomes de Rb sur la paroi. Un
élément de la matrice RmFms, mFms est alors une
combinaison linéaire des éléments de matrice cor-
respondants de chaque interaction lorsqu’elle agit seule ; les coefficients de cette combinaison linéaire
dépendent de l’importance relative des deux inter- actions. La méthode que nous venons d’exposer permet à partir de la diagonalisation de la nouvelle matrice RmFms, mFmS de déduire l’allure de la varia- tion de 1 /T1 en fonction du champ.
Nous avons fait le calcul dans un cas où la force des 2 interactions en présence est la même, mais
où l’une a un Te de 3 X 10-1° s et l’autre un Te de 10-12 s. La variation de 1/T1, en fonction du champ
est représentée figure 7, nous voyons que l’allure de cette courbe est tout à fait différente de celles des
figures 5 et 6 : pour les faibles valeurs du champ l’allongement de Ti dû â l’interaction de Tc long l’emporte, tandis que pour des valeurs plus fortes
du champ, la relaxation est dominée par l’inter- action de Te court.
Nous avons entrepris l’étude expérimentale [11]
de la variation de TIen fonction du champ. En con-
frontant les résultats précédents et l’expérience,
nous pensons pouvoir évaluer le temps de corré-
lation de l’interaction (indépendante des spins
nucléaires K) qui (outre l’interaction dipole-dipole)
participe à la relaxation des atomes de Rb sur des enduits de paraffines deutérées.
Les résultats expérimentaux actuels semblent
indiquer que pour ces enduits les deux interactions
agissent avec une probabilité égale. Ils sont compa- tibles avec l’hypothèse que la deuxième inter- action n’agit que par l’intermédiaire du spin S seul.
C’est peut-être l’interaction étudiée par Bern- heim [4] et dont on a des raisons de penser qu’elle
est responsable de la désorientation d’un atome alcalin lors de la collision contre un gaz rare.
4) Influence des conditions initiales sur les résul-
tats.
-Nous avons essayé, à ce stade, d’estimer
l’influence des conditions initiales sur la déter- mination du paramètre Tl et sur la courbe donnant
11 Tl en fonction du champ : nous avons tracé les courbes de relaxation pour une condition initiale totalement différente de celle envisagée jusqu’ici.
Nous avons choisi une orientation faible et une
répartition des populations à l’instant initial telle que
a-c=c-g=g-e=e-b=d-h=h-f
et g
-h
=0 (en désignant par ab ‘... les popu- lations des niveaux ab
...représentés figure 3).
Il n’y a aucune raison de supposer qu’une telle hypothèse est réaliste : il y a, en effet, très peu de chance pour que le pompage optique aboutisse à
une telle répartition de populations quel que soit le champ.
La conclusion de cette étude est que pour com- parer quantitativement la théorie et l’expérience,
les conditions initiales ne sont pas critiques si tc est
de l’ordre de 10-10 s, ou plus long. Si Te est très
court (10-12 s), il est nécessaire de connaître les conditions initiales de façon précise.
II. Calcul de l’évolution de l’aimentation trans- versale. -- A) ÉQUATIONS D’ÉVOLUTIÔN DES COHÉ-
mF mS RENCES.
-L’évolution des cohérences a*mFmS F S
s’obtient à partir de l’équation (20) :
qui pour chaque élément de la matrice densité con-
duit à l’éauation d’évolot,inn : :
Cette équation se simplifie à l’aide de l’approxi-
mation séculaire : nous éliminons dans la suite les termes pour lesquels la condition
n’est pas réalisée.
Pour Ho > Ho, tous les écarts d’énergie (CÜMFMS
-(i)mlFmlS) diffèrent les uns des autres d’une
quantité supérieure à la largeur intrinsèque d’un
niveau. Dans cette hypothèse, donc
1 - exprime, en cycles, la largeur (due 7t( T2)mFmS+s,m,pni,s
à la relaxation) de la résonance résolue
Si, au contraire, Ho Ho, les équations d’évo-
lution des cohérences sont couplées entre elles.
(F est toujours, dans ce cas, un bon nombre quan-
tique ; nous dénotons un sous-niveau par FmF et la fonction d’onde correspondante par :
L
Le résultat du calcul des éléments de la matrice R est donné ci-après.
1) Cas Ho > Ho.
-On trouve :
Le premier terme représente la disparition de la
cohérence a* mFmS pour les atomes qui n’ont pas
m’Fm’ S
effectué de transitions c’est le terme adiabatique.
En tenant compte de (71), on trouve :
Le deuxième et le troisième termes représentent
la disparition de la cohérence pour les atomes des niveaux mF ms et mF ms qui subissent une tran-
sition vers un niveau différent : nous avons défini
RmFmS,mFmS (équations (69)), ces termes sont
négatifs et ont pour valeur l’inverse de la durée de vie du sous-niveau mF ms sous l’effet de la relaxation.
’
Cette équation s’interprète physiquement de la
même manière que (74). Le coefficient qui couple
entre elles deux cohérences du même niveau F s’écrit :
avec r # 0.
B) APPLICATION AU CAS I
=3/2.
-1) Cas Ho > Ho.
-Nous avons calculé explicitement les
valeurs des coefficients R et des largeurs 1/nT 2 des
résonances en fonction de x et de Te.
Dans le tableau 1 nous donnons les valeurs de 1 IT2 pour les différentes cohérences dans le cas où les deux conditions Ho > Ho et x « 1 sont
réalisées à la fois ; cela correspond à la majorité des expériences de pompage optique. (Il est justifié de remplacer J(ÜJK) par J(o)).
Dans le tableau 1 la valeur de A est :
2) Cas Ho Ho.
-Nous avons écrit explici-
tement dans ce cas les équations couplées entre
cohérences. On en déduit l’équation d’évolution de
Pe, S(+ 1) > * et PF S(+ 1) > * ; on retrouve ainsi, dans le cas d’un spin I
=3/2, le résultat général obtenu dans la 1re partie, équations (60).
Comme dans la 1re partie, nous sommes amenés à définir deux temps de relaxation transversaux dis- tincts dans les niveaux F+ et F_. Afin de les com-
parer aux T2 obtenus dans le cas précédent, nous portons les résultats dans le tableau 2 avec la même définition de A que dans le tableau 1.
En comparant les deux tableaux, on voit par
exemple que pour Te long (Tc > 5 X 10-11 s) (T 2)F+ est 4 fois plus long que (T2)22,21 ; par suite,
la résonance du niveau F+ (en présence d’un champ
de radiofréquence tournant à la fréquence CJ)F) en
TABLEAIJ 1
TABLEAU 2
TABLEAU 3
champ très faible (Ho HO) doit être 4 fois plus
fine que la résonance résolue 22 -> 21 (dans un champ Ho > Ho).
La raison de l’affinement des résonances Zeeman
lorsqu’elles se confondent (à la largeur près) en champ faible est que la relaxation peut transférer
la cohérence d’un couple de niveaux à un autre.
On peut enfin comparer les valeurs de T2 que
nous venons d’obtenir aux valeurs de Te et T.
(tableau 3 : (I
=3/2)) :
Comme Te et Tn participent simultanément à la relaxation de Sx > nous voyons que dans tous les cas on doit s’attendre expérimentalement à
observer des « temps » de relaxation longitudinaux
et transversaux qui sont du même ordre de gran- deur. Comme nous avons mesuré des Tl de 1 se-
conde pour 87Rb dans des cellules (de 6 cm de dia- mètre) enduites de paraffines deutérées, on peut prévoir que la finesse ultime des raies de résonance
magnétique est, dans ces conditions, de l’ordre de
0,3 cycles.
QUATRIÈME PARTIE
Nous montrons maintenant que l’ensemble des résultats précédents reste valable pour une inter- action de relaxation plus générale que celle décrite dans les chapitres ci-dessus : il suffit pour cela que l’interaction n’agisse que par l’intermédiaire du
spin électronique S. Le spin S valant 1/2, toute
.
interaction n’agissant que sur S est nécessairement linéaire par rapport aux composantes sr>, et peut
s’écrire :
On peut l’interpréter comme l’interaction de S avec un champ magnétique, fonction aléatoire du
temps. Dans le cas que nous avons envisagé, ce champ magnétique était créé par les noyaux de l’enduit sur la paroi et vu par l’atome de Rb à
chaque collision. Nous connaissions de façon pré-
cise l’interaction entre le réseau et le système des spins S et nous avons pu décrire quantiquement les degrés de liberté de spin du réseau. Maintenant
nous ne faisons plus une hypothèse aussi précise et
nous nous bornons à décrire classiquement le réseau
La seule hypothèse que nous faisons est que d’un
point à un autre de la paroi l’orientation du champ magnétique H(t), qu’un atome de Rb est susceptible
de voir en ce point à l’instant t, varie de façon
absolument aléatoire. Autrement dit, si on prend la
moyenne sur tous les atomes qui, à un instant t,
sont sur la paroi
Nous prendrons ici encore comme fonction de corrélation du champ H(t) :
1 I
Rappelons que le trait droit continu au-dessus
du produit H(r)(t) H(r)(t
--r) signifie que la moyenne est prise sur l’ensemble de tous les atomes;
le trait ondulé signifie qu’elle est prise sur la frac-
tion des atomes qui, à l’instant t, se trouvent sur la paroi.
Ces hypothèses une fois admises, la généralisation
au cas d’un champ H(t) d’origine quelconque se
fait simplement :
Cette équation ne diffère de l’équation (23) que par l’absence du facteur ei(In-r)’K’ dans son second membre. La suite du calcul peut donc se poursuivre
exactement comme dans la 1re partie ; il existe
seulement une très légère modification dans les résultats : où figurait J(w.K) doit maintenant figu-
rer J(O). (La raison est que nous représentons
maintenant classiquement le réseau alors que dans la 1re partie, nous avions choisi une représentation quantique pour les degrés de liberté de spin : le
réseau possédait une suite discrète de niveaux
d’énergie distants de IWK.)
Ainsi dans l’hypothèse où les interactions déso- rientatrices prédominantes lors de la collision d’un
atome de Rb sur la paroi se font par le seul inter- médiaire du spin électronique, nous pouvons, en
écrivant J(’wK)
=J(O), utiliser l’ensemble des ré- sultats obtenus plus haut, à l’exception seulement
du paragraphe III D de la 1re partie qui ne con-
cerne que l’interaction produite par les spins
nucléaires K de la paroi.
Si plusieurs interactions agissent simultanément
sur S seul, mais sont sans corrélation entre elles, les
résultats obtenus permettent encore de décrire la
relaxation ; il suffit de se souvenir que chaque
interaction possède son temps de corrélation propre. Rappelons que lors de l’étude de 1 /T1 en
fonction du champ magnétique (§ I, B, 3 de la
620
3e partie), nous avons montré sur un exemple
concret comment se faisait la généralisation au.cas
de plusieurs interactions.
Conclusion.
-Nous avons étudié dans ce travail lfeffet d’une interaction qui n’agit directement que
sur S ; on pourrait aussi envisager une interaction
n’agissant que sur 1 quai produise la relaxation de Sx > par l’intermédiaire du couplage hyper-
fin : aS.l : il en serait ainsi pour l’interaction qua-
drupolaire. Une comparaison avec les résultats obtenus pour l’étude de la relaxation quadrupolaire
de 2olHg [12] laisse prévoir que cette cause de rela- xation peut contribuer au plus comme un effet
correctif aux temps de relaxation que nous mesu- rons. Nous pouvons envisager aussi une interaction,
n’entrant pas dans l’une de ces 2 catégories, qui
aurait pour effet de déformer la fonction d’onde de l’électron de valence pendant le temps de séjour
sur la paroi, de changer sa probabilité de présence
au niveau du noyau, donc de modifier le couplage hyperfin (une force de Van der Waals peut agir ainsi) ; une interaction de ce type peut s’écrire : a(t) S. 1 ; elle produit un shift de la fréquence hyper-
fine mais en champ faible (quand F est un bon
nombre quantique), elle n’est pas susceptible de produire des transitions entre niveaux FmF F’m;
et elle ne peut donc pas contribuer aux temps de
relaxation que nous mesurons.
Il est possible mathématiquement d’envisager
d’autres interactions agissant sur S et 1 à la fois,
mais nous pensons que parmi les interactions sus-
ceptibles de rendre compte de la relaxation des atomes alcalins sur des parois parafflnées, celles
que nous avons envisagées dans ce travail prédo-
minent par leur ordre de grandeur.
Nous remercions MM. J. Brossel et C. Cohen-
Tannoudji de l’intérêt qu’ils ont montré et des
remarques qu’ils ont faites au sujet de ce travail.
Nous exprimons à M. et Mme François notre recon-
naissance pour les calculs qu’ils ont effectués sur
machine IBM 1620.
Appendice.
-Nous groupons dans cet appendice
des remarques et des intermédiaires de calcul qui permettent de rétablir les résultats énoncés dans le
paragraphe III de la première partie.
1) Les coefficients arm satisfont à l’égalité : M arlm/ 2 = al 2 ai étant indépendant de r. (77)
m
En effet 4"’ = M almr’S(r)p K(m-1) est un tenseur
p
d’ordre 1 construit à partir des vecteurs Sp(r) et
K(m-r) par suite (réf. [9]), 1,Xlm|2 est proportionnel
au carré du coefficient de Clebsch-Gordan
(lmllrlm
-r), le coefficient de proportionnalité
étant indépendant de r. On a d’autre part :
et d’après les propriétés d’orthogonalité des coef-
ficients de Clebsch-Gordan
ce qui entraîne bien l’équation (77).
2) Nous rappelons que lorsque l’opérateur S(j) agit entre deux états de même F, ses éléments de
matrice sont proportionnels à ceux de l’opéra-
teur FCj) agissant entre les mêmes états :
... 1 Il 1 - - Ot!
gF a été défini équation (12). On a également :
et
3) Soient Q l’opérateur représentant l’obser-
vable Q et Qn l’opérateur projeté :
Comme la matrice densité est initialement dia-
gonale en F et comme elle le reste dans l’approxi-
mation séculaire
Le calcul de l’évolution d’une observable peut se
faire en substituant Qri à Q*.
En particulier pour Q
=S(i)o.
4) La trace d’un produit d’opérateurs est inva-
riante par rapport à une permutation circulaire de
ces opérateurs. A partir des définitions des opéra-
teurs S(r)p et Qo on vérifie facilement que :
5) Les règles de commutation des composantes
d’un moment angulaire / :
Y v
permettent de calculer
D’où l’on déduit facilement :
et
621
6) On calcule a avec l’intermédiaire suivant :
Manuscrit reçu le 15 février 1963.
-1
