THÉORIE DE LA RELAXATION MAGNÉTIQUE CRITIQUE

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THÉORIE DE LA RELAXATION MAGNÉTIQUE CRITIQUE

J. Villain

To cite this version:

J. Villain. THÉORIE DE LA RELAXATION MAGNÉTIQUE CRITIQUE. Journal de Physique Colloques, 1971, 32 (C1), pp.C1-310-C1-317. �10.1051/jphyscol:19711103�. �jpa-00213918�

JOURNAL D E PHYSIQUE Colloque C 1, supplément au no 2-3, Tome 32, Février-Mars 1971, page C 1 - 310

THÉORIE DE LA RELAXATION MAGNÉTIQUE CRITIQUE

J. VILLAIN

Institut Laue Langevin, Grenoble

Résumé. - Au voisinage d'une transition du second ordre, la relaxation de la quantité critique (paramètre d'ordre) est ralentie ; la compréhension quantitative de ce phénomène dépasse les possibilités de la thermodynamique' classique des phénomènes irréversibles.

Le temps de relaxation est donné par la formule de Kubo, dont on donne une formulation et une démonstration simples (5 II). A l'aide des équations du mouvement, on fait apparaître dans la formule de Kubo une fonction de corré- lation d'ordre supérieure, qu'une factorisation (5 III) ramène à un produit de fonctions de corrélation de paires. Les erreurs liées à la factorisation peuvent de être corrigées en remplaçant les équations microscopiques du mouvement par des équations phénoménologiques (5 V. 2).

La thermodynamique classique des phénomènes irréversibles est correcte pour les ferro- et anti-ferromagnétiques quand on est assez près des conditions critiques ( T = Tc, q N O, H N O pour un ferromagnétique) pour que l'anisotropie cris- talline soit importante (@ IV, VII, XI). La relaxation est alors exponentielle, au moins à Tc. 11 n'en est pas ainsi pour les systèmes isotropes et planaires ($8 V, VI, VIII, IX, X, XII).

Abstract. - Near a second order transition, the relaxation of the critical quantity (order parameter) is slowed down.

Quantitative understanding of this phenomenon is beyond the possibilities of conventional thermodynamics of irrever- sible processes.

The relaxation time is given by a Kubo formula, of which simple formulation and derivation are given (3 II). If the equations of motion are used, a higher order correlation function appears in the Kubo formula, and can be expressed as a product of pair correlation functions (5 III) by means of a decoupling. Errors due to the decoupling can be corrected if phenomenological equations of motion are used (5 V. 2) instead of the microscopie ones.

Conventional thermodynamic of irreversible processes is correct for ferro- and antiferromagnets if the critical conditions ( T N TC, q = O, H = O in ferromagnets) are nearly satisfied, so that the lattice ~ i s o t r o p y is important ($5 IV, VII, XI).

The relaxation is exponential, at least at Tc. Conventional theory is wrong in isotropic and planar magnetic systems ($5 v, VI, VIII, IX, x, ^XII).

1. Phénomènes de relaxation. - Notre but est l'étude de fonctions de corrélation dépendant du temps :

Tr , - p z x;, ^{itX/fixq, ,-itxlfi}

< xq ^xq.ct> > ⁼ (1 1)

Tr e-Ox

où les X, sont des opérateurs. Dans les cas simples que nous considérerons, où notamment le système physique considéré est invariant par un groupe de translation 3-dimensionnel (cristal), la matrice < ^{X: Xq,(t)} > ^sera

diagonale si les Xq sont les transformées de Fourier d'une quantité X(r) définie dans l'espace direct :

Xq =

S

Comme X est conservative, oq et l/zj tendent vers O avec q. On peut alors démontrer la très importante formule [2] :

qui est un cas particulier de la formule [2] :

Le premier nombre de (1.4) est la dérivée de (1.3) pour t = O et le second membre est imaginaire pur : on voit donc que (1.4) ne peut pas être vérifiée pour t

très petit ; en général pourtant (1.4) est vérifié pour t > 8, où 8 < T [3].

Nous sommes intéressés par le cas où X est une variable critique : aimantation dans un ferromagné- tique près de Tc, ou aimantation inhomogène dans un antiferromagnétique près de TN. Les fluctuations de X, (pour q petit) engendrent alors un faible excès d'énergie libre, donc une faible force de rappel, donc le temps de relaxation de Xq est grand : une variable critique a àpeu près les propriétés d'une variable conservative [4]. On s'attend en particulier à ce qu'elle relaxe exponentielle- ment, ce qui en fait n'est pas toujours vrai (cf. cha- pitres V et XIII). Mais ce qui est toujours vrai, c'est que le temps de relation zq tend vers co quand q tend vers O au point de transition [3], [4].

Nous allons au chapitre suivant établir une formule qui donne l'ordre de grandeur de oq et zq, et établir un critère qui permet de savoir dans quels cas la relaxation est exponentielle.

II. Formule de Kubo. - 1 . FORMULE ^DE KUEO

POUR U N E RELAXATION EXPONENTIELLE. - Soit une fonction de corrélation q(t) = < X" X(t) > ^vérifiant

les hypothèses suivantes :

(a) q(t) = cp(8) exp

( b ) q(t) E cp(0) exp i o t

(CI e < ⁷

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphyscol:19711103

THÉORIE DE LA RELAXATION MAGNÉTIQUE CRITIQUE C 1 - ³¹¹

o et z sont alors données par la formule suivante dessus de la transition ou à la transition) une des

(formule de Kubo) formes indiquées par la figure 2. La formule de Kubo

Démonstration. - Pour 8 < t < z, on a : 1

= e - '"' ^{G(t) - G(0)} + ^io

(intégration par parties)

= (iw -

:)

(Idem, et d'après II. 1 a, b, c) \

l'application de (II. 1 d ) donne (II. 2). !

= ( i w - f) < p ( ~ ) - I, (0)- o2tq(0)

On déduit que (II. 2) et du fait que ;(O) est imagi-

naire d'après (1.4) : ^{FIG. 1. -} Formes de relaxation possibles à TC, q +O. a) La relaxation devient exponentielle pour t > z, temps de relaxa-

1 tion. b) Relaxation oscillante avec une pseudo-période de

- = - Re

' ^Se

Z d o ) O

I -

Dans la pratique, il est souvent possible de négliger la partie imaginaire de l'intégrale, d'où :

d'après (II. 1 a, b, d ) ^t

(II. 4) (« approximation du premier moment ») [3].

Le cas qui nous intéressera principalement dans cette étude est celui où ~ ( t ) est donné par (1.1 et 21, X(r) étant l'aimantation en r, ou l'aimantation inhomogène (« staggered ») dans un antiferromagnétique. Or, en champ nul et au-dessus de la transition, on a alors o = O par symétrie [3]. L'équation (TI. 3) s'écrit alors :

1 1 O . .

- - -

--1

Z 40(0) O

2. CRITÈRE DE RELAXATION EXPONENTIELLE. - Si la relaxation est ex~onentielle, o et z doivent être bien définis par (11.2j, donc indépendants de 8, dans la mesure où 0 est très inférieur au temps de relaxation z et supérieur à un temps microscopique 0 avant lequel la relaxation n'est pas exponentielle.

Ainsi, pour que la relaxation soit exponentielle, il faut et il suffit qu'il existe un temps 8 û z, tel que l'intégrale

5'

soit indépendante de t pour 8 < t 6 z. La raie de diffusion inélastique des neutrons sera alors lorent- zienne pour les fréquences inférieures à 118 [4] [ 5 ] . 3. FORMULE APPROCHÉE POUR U N E RELAXATION N O N EXPONENTIELLE. - Si le critère précédent est en défaut, la relaxation prend ordinairement (en champ nul au-

est alors applicable en ordre de grandeur. Par exemple, (II. 5) sera remplacé par :

- N 1 - -

z _{d o )} l

1'

où « ^N » signifie « de l'ordre de grandeur de ». En effet (II. 6) s'écrit :

relation correcte dans les 2 cas de la figure 2.

Remarque. - Nous nous sommes efforcés de don- ner de cette question classique un exposé simplifié et dépouillé de tout formalisme. Pour une présentation plus générale et plus précise, cf. références [2] et [ 5 ] . III. Utilisation de la formule de Kubo. - ^Les

équations du chapitre II ne peuvent conduire à un résultat que si on est capable d'exprimer la dérivée seconde, ce qui nécessite des hypothèses et des approxi- mations.

1. LES ÉQUATIONS DU MOUVEMENT. - Une première hypothèse (théorie mode-mode [6] [7] 181) est que la dérivée par rapport au temps Xg d'un opérateur X:

est une fonction algébrique des autres opé~ateurs ; q est un vecteur de l'espace réciproque. Nous écrirons : (III. 1) en négligeant les termes supérieurs et en supposant que les termes linéaires (qui ne provoquent aucun amortis-

C 1 - 312 J. VILLAIN sement) sont nuls, ce qui sera le cas dans les exemples que nous aurons à traiter.

Les équations (III. 1) peuvent être les équations microscopiques du mouvement [9] [IO]. Il est préférable dans certains cas de les considérer comme des équations phénoménologiques, les coefficients étant alors déter- minés comme on l'expliquera au chapitre V sur un exemple (voir aussi références [8] [6] [7]).

2. L'ÉQUATION ^INTÉGRALE SELF-CONSISTENTE. - On se limitera pour simplifier au cas où (11.5) ou (II. 6) s'applique. Utilisant (III. 1) et supposant que 6 dépend de q et a, on écrit (II. 5) sous la forme :

On a supposé pour simplifier que la matrice

< ^{Xq X;(t)} > est diagonale, sa diagonalisation étant toujours élémentaire dans les cas que nous aurons à traiter.

Maintenant la fonction de corrélation à 4 corps dans (III. 2) sera exprimée au moyen d'un découplage :

x < x;?,X$-,(t) > ^dt . ^{(III. 3)}

Ce découplage est très dangereux si (III. 1) sont les équations microscopiques du mouvement ; par contre si ce sont des équations phénoménologiques, les A:;?

peuvent être déterminés de façon que le découplage soit correct [8].

L'ordre de grandeur de l'intégrale sur t est le produit de l'ordonnée à l'origine < xi" X : > < x:-~ >

par le plus court des 3 temps 8, ek et z:-,, ce qui permet de mettre (III. 3) sous la forme suivante due essentielle- ment à Kadanoff et Swift [6] :

3. RÉSOLUTION DE L'ÉQUATION INTÉGRALE SELF- CONSISTENTE (III. 4j. - 2 cas sont possibles (pour des applications concrètes, voir chapitres suivants) :

a) Si la contribution dominante à l'intégrale sur k provient des k non infiniment petits, e, (et e,-,) reste fini alors que e, devient grand pour q petit si Xq est une variable critique (ou conservative). Il est donc possible de choisir 09 tel que : el < 0; 4 eq et comme l'intégrale (111.4) est alors indépendante de O;, le critère de relaxation exponentielle du 11.2 est vérifié.

Remarque. - (111.4) donne un résultat correct même si on fait 0; = m. On peut donc écrire, au lieu de (11.5) :

1 Irn$qc,(s)ds

- = - (III. 5)

eq O qq(0)

où @*ec est l'expression de par le découplage (III. 3).

Par contre,

p(s) ds = &(CO) - $(O) = - b(0) = O .

1,"

Ceci s'explique par le fait que Gd"(t) s'annule au bout d'un temps 8 très court alors que i$(t), d'abord négative et à peu près égale à ipdéc(t), a ensuite (pour t > 8) une queue positive qui r,e s'annule que pour t = ^z.

b) Un autre cas est celui où la contribution domi- nante à l'intégrale (III. 4) provient des k infiniment petits pour q infiniment petit. Dans les cas que nous aurons à considérer (chapitre V et X), ce sont les k de I'ordre de grandeur de q qui donnent la contribution dominante. Dans ce cas la relaxation n'est pas expc- nentielle, sauf peut-être pour t > 7,.

Principe d'échelle. - Lorsqu'on se trouve dans le cas (b) à T, la contribution dominante à l'intégrale (III. 4) est donnée par les valeurs de k :

de I'ordre de q, si q > K,

de I'ordre de K, si q < K.

K = 115 est l'inverse de la longueur de corréla- tion [14].

Ce principe admet des exceptions et doit se vérifier dans chaque cas particulier, mais il constitue un guide précieux pour la résolution (en ordre de grandeur) de l'équation intégrale (III. 4) comme nous le verrons au chapitre V.

IV. Ferromagnétique à axe de facile aimantation. - Prenons l'exemple (qui n'est qu'apparemment limi- tatif) d'un système de spins Si localisés aux nœuds d'un réseau de Bravais, avec un hamiltonien :

X = - 1 J:j Sq Sg (IV. 1)

i,j o=x,y,z,

avec

J;j > O, J f j > Jrj 2- J C . Posons :

M q = N-?h C ^Si e i q . r ~ (IV. 2)

i

Ji ⁼ 1 ^J:j eik.('j-ri) , _J;,k* = 3; - 5kr . (IV. 3)

j

La variable critique est Ma et son équation du mou- vement est, dans le cas le plus simple où J f j = J : :

La formule (1.5) donne en l'absence de champ trans- versal

< Mi* M,Z > ^{= ih-'<} LM:*, MQ] > ^{= O}

et la fréquence o, de MQ(t) est donc nulle d'après (II. 3).

Le temps de relaxation est donné par (II. 2) ou (II. 4) :

x J < MI*. MXt) M i - , M;-,(t) > d t .

THÉORIE DE LA RELAXATION MAGNÉTIQUE CRITIQUE

Dépendance des temps caractéristiques en fonction du vecteur d'onde q et de rc, inverse de la longueur de corrélation, dans les principaux cas limites (T ^-+ Tc, H = O, q ⁺ O) ; pour les cas intermédiaires, cJ Réf. [23]

Isotrope

Planaire

Uniaxe avec aimantation lon.

gitudinale conservative

Ferro- ou antiferromagnétique -

anisotrope ou cubique

117,

Isotrope ou planaire

Variable critique

q 2 - q ) / 2

* ( 5 - q ) / 2

q4 K - ( 3 +11)/2

Log2 ( q i 4

r c 3 / 2

q 3 / 2

Pour T Tc en l'absence de champ, un découplage (qu'on suppose correct en ordre de grandeur) donne l'approximation suivante :

Autres quantités

Mq q 2 / &

M i q3I2

toujours au point de Curie pour q -+ O . Il est respon- sable du «freinage thermodynamique » [4]. Même pour JG # J:j, la relaxation de M i est exponentielle près de T, pour q petit. Ailleurs, elle est du typeindiqué par la figure 1.

q 2 , p - v

q 4 - "

x < M ; T ~ M l P k ( t ) > .dt . (IV. 5) L'intégrale est évidemment indépendante de û si 0 > ^71, où ^{7 1} est le temps de relaxation de Mqet M;, qui pourrait être calculé aussi par la même méthode, ce que nous ne ferons pas ^(l). On trouve :

- = C t e . q 2 < ~ q * ~ q > - ' 1 (IV.6)

T;

où la constante dépend des couplages et de l'aniso- tropie.

zQ tend vers co avec l / q . C'est le freinage cinématique de la relaxation [4] ; il disparaît quand JG # J:j.

D'autre part on voit aisément qu'on est dans le cas (a) du 5 111.3 : la relaxation est exponentielle à toute température.

Le facteur < M Q MY* > -' dans (IV. 6 ) s'annule

FIG. 2. - Transformée de Fourier de la fonction de corrélation longitudinale < MGMG(t) > dans un ferromagnétique pour T < Tc (< ^P$ P;(t) > dans un antiferromagnétique). Limite q = O (pointillé) et construction approximative pour q fin

(trait plein).

(1) Dans la réf. [13], Kawasaki montre que T varie comme V. Ferromagnétique isotrope (T 2 Tc, H = 0). -

~ 3 / 2 ; cela n'est vrai qu'assez loin de Tc pour une anisotropie 1. ~ ~ P R O X ~ M A T I O N D'ORNSTEIN ET ZERNIKE. - o n faible, alors que nos formules ne sont correctes que très près peut reprendre le calcul du § N en faisant

de Tc. Il est évident du reste qu'un temps de relaxation peut

devenir infini, mais jamais nul ! J?. ' J = J?. LJ = J ? . rJ = J . . CJ

C l -314 J. VILLAIN (modèle de Heisenberg). Pour T > Tc et H = O, les calculs sont strictement les mêmes jusqu'à la for- mule (IV.5). Les 3 composantes M z ayant le même temps Ce relation zq (IV. 5) s'écrit :

qui est d'ailleurs un cas particulier de la formule (III. 4).

Près de Tc et pour q + O, les fonctions de corréla- tion au second membre de (V.l) deviennent très grandes et les temps de relaxation aussi, si bien qu'on s'attend à ce que la contribution dominante à I'inté- gration sur K provienne des petites valeurs de K. Dans ce cas, on déduit aisément de (IV. 3) que :

alors que, dans l'approximation du champ moiéculaire, on a

où s est le spin par maille à saturation et J une énergie constante.

La solution de (V . l), avec les données (V. 2 et 3) est :

On peut vérifier en remarquant que la contribution dominante à l'intégrale dans (V. 1) provient des valeurs de K de l'ordre de q, si q > ^IC, et de l'ordre de IC, si q < K (principe d'échelle : 9 III. 3).

La relaxation est exponentielle si q < IC, mais non si q > K, car on est alors dans le cas (6) du 9 ^{III. 2.}

2. GÉNÉRALISATION. - AU lieu de l'approximation d'orstein et Zernike (V. 3), il serait préférable d'utiliser la loi d'échelle [14] :

L'utilisation de la méthode précédente conduit à des résultats en contradiction avec les «lois d'échelle dynamiques » [15] et qui sont probablement faux [16]

à cause du découplage. Pour trouver des résultats corrects, il faut remplacer l'équation microscopique (IV.4) par une équation phénoménologique qui a la même forme, mais où au lieu d'être donné par XIV .3), est déterminé en multipliant les 2 membres de (IV.4) par MYk-, Mi: et en prenant la valeur moyenne, ce qui donne en faisant le découplage habi- tuel :

L

T < M k k Mi: > < M;-, M;-q > ^X

,Q J N

Utilisant (V. 1, 6 et 7), le calcul s'effectue comme précédemment et on trouve [6] [14] [15] :

Ces équations se confondent avec (V. 4 et 5) si y = 0.

Remarque. - 1) En utilisant (V.2) au lieu de (V. 7), on obtiendrait + ^y au lieu de - y dans (V. 9).

2) Le freinage thermodynamique est beaucoup moins sensible dans les formules (V. 4 et 9) que dans la formule (IV.6). Il semblerait que dans certains cas le freinage thermodynamique puisse au contraire être exhalté [29].

VI. Ferromagnétique isotrope pour T < Tc et q < IC. - Le fait essentiel est l'existence d'ondes de spin peu amorties pour q Q ~c 1151 [17].

1. SUSCEPTIBILIT~ LONGITUDINALE. - NOUS parti- rons de l'identité :

= - < (MG, M: + Mq-+, M l ) M i > ^{(VI. 1)}

dont nous transformerons le premier membre à l'aide de (1.5) et le second en utilisant l'équation du mou- vement pour des magnons libres :

. + iS +

M , = 1.M , .

Posant : ^fzxq

(VI. 2)

(VI. 3) on trouve :

2 i

-- - (xq+k - xi) ⁼

s2 JJN

= - --- 1

(2) La présente méthode, où seuls les ordres de grancieur - < h , f , , k M , + , k > < ~ , + M k >

sont pris en considération, permet seulement de dire que 2 s jni

f ( x ) x 1. Resibois et Piette 1271 ont proposé pour f une expres- - ¹

son quantitative qui semble en excellent accord avec certaines ^- -- - < Mq-tkMkfMqi+k~k- >

expériences [28 1. ~ S J N

THÉORIE DE LA RELAXATION MAGNÉTIQUE CRITIQUE c 1 - 315

si on accepte le découplage :

< ^MG, ~ , f ML,, ^{M ;} > ~ ( K B T ) ~ x ~ + ~ x : 8kkT. (V1.4) On en déduit :

avec <

pz

Après de nouveaux découplages et en utilisant (VI.2 et 3) :

X j = P < M Z _ , M g > =

m (VI. 6)

G!(W)

- ^/

Cette formule généralise celle de la réf, [17] pour q # O.

Gq(w) a 2 singularités logarithmiques qui en fait disparaissent si on tient compte de l'amortissement (Fig. 2).

2. TEMPS DE VIE DES (( MAGNONS P. - NOUS POS~U- lerons une équation du mouvement de la forme :

Par analogie avec les équations microscopiques (IV.3), on admettra l'équation suivante (cf. réf. [20]

pour démonstration)

A;,. = /l(k2 - kr2) . (VI. 9) Multipliant (VI. 8) par M i et prenant la valeur moyenne, on obtient ,u et :

Le temps de vie zq des magnons est alors donné par une formule de Kubo (11.4) qui en utilisant un découplage, (VI. 3) et (VI. 7) donne :

Il aurait fallu, en fait, tenir compte de I'amortisse- ment ; mais le calcul montre que cela n'introduit qu'un facteur correctif.

VII. Ferromagnétique cubique [13], [18]. - 1. EFFET

DES INTERACTIONS DIPOLAIRES. - Pour une direction donnée de q, en présence d'interactions dipolaires, seules les fluctuations de la composante M: de Mq perpendiculaire à q deviennent grandes à Tc pour petit q ('), alors que la composante parallèle M! fluctue peu, relativement. Donc très près de Tc, en champ nul et pour q très petit, on a :

P < M ! * M ~ > w X L . L'équation du mouvement (III. 1) s'écrit (3) :

Par exemple, pkk, est déterminé en multipliant cette équation par M-, Mk-,, en prenant la valeur moyenne et en évaluant le premier membre par (1.5) et le second par un découplage :

Si on ne tient compte, provisoirement, que du terme en ,uk,q-k, l'équation (III. 4) s'écrit :

où C est une constante et zq et ^{T "} sont respectivement les temps de relaxation de M: et Mi.

L'équation @II. 3) montre que le freinage cinéma- tique a disparu. On est dans le cas (a) du $ 111.3, de sorte que la relaxation est exponentielle.

Ces résultats ne sont pas modifiés si on tient compte des termes en /ZGkr et v k , dans (VII. 1). Pour vkk., le raisonnement précédent n'est presque pas modifié ; pour A,,,, cela vient du fait que :

comme on le voit par une démonstration analogue à (VI1 .2).

2. EFFET DES TERMES DU 4e ORDRE DANS L'ÉNERGIE. -

L'équation microscopique du mouvement est de la forme :

+ termes analogues

X ^{O k}

1 uk - 1 uq - coq-k 1 ^{( 2 )} Remarquer que la signification de M i n'est pas la même qu'au chapitre précédent !

(3) Elle est en réalité un peu plus compliquée. à cause du caractère vectoriel de M i , mais la complicâtion est purement formelle.

C 1 - ^{316 J.} VILLAIN et son traitement suivant les recettes du chapitre III donnerait zq

-

de sorte que A

-

$ V.2. En fait, le résultat (VII. 3) ne semble pas devoir être modifié.

Cet exemple montre que le succès de la méthode du 5 V. 1 dans le cas où v] = O est un peu un hasard.

VIII. Ferromagnétique planaire. - Très semblable (pour T 2 Tc) à l'antiferromagnétique isotrope [15b].

PX. Antiferromagnétique isotrope (T 2 T,, H ₌ 0).

- Nous ne nous étendrons pas sur ce cas étudié en détail par ailleurs [15] [16] [19] et où les recettes habi- tuelles s'appliquent sans difficulté malgré la présence de 2 personnages au lieu d'un seul (M,) : l'aimantation M(r) et le paramètre d'ordre ou aimantation inhomo- gène P(r) (staggered magnetization), dont les transfor- mées de Fourier sont Mq et Pq ; les équations du mou- vement, obtenues par la méthode du § V, 30, sont de la forme :

(IX. l b )

Les temps de relaxation 2: et 7: de Mq et Pq donnés par la recette II (g II) sont en ordre de grandeur donné par le système :

La résolution de ce système intégral self-consistent eii

z r

On remarquera la simplicité de ces formules ^(v] n'in- tervient pas). Une particularité remarquable est que la relaxation de Mq est accélérée près de TN. Analogie avec la divergence de la viscosité volumique dans un fluide critique [6]. Cela peut se voir intuitivement sur (IX. la) : P, devient grand à TN et M, devient grand aussi ; en outre M, fluctue moins parce que le temps de relaxation de Pk devient grand.

X. Antiferromagnétique isotrope (T < ^{T,). -}

1. SUSCEPTIBILITÉ LONGITUDINALE INHOMOGÈNE. -

Les formules (VI. 3 à 7) subsistent, avec des démons- trations analogues, [20] à condition de remplacer partout M par P. Dans (VI. 7) il faut faire :

wq x A-' Ja3I2 sq Jc.

2. TEMPS DE VIE DES MAGNONS. - On l'obtient comme dans le cas ferromagnétique. On trouve [21]

1151 [20] :

A JG

Zq N - --

JS q2 a 2 ^'

Il y a naturellement un facteur q2 de moins que dans (VI. 10) à cause de la disparition du freinage cinématique [4]. De plus la divergence logarithmique de (VI. 10) a disparu à cause de l'effet de l'amortisse- ment sur G:.

3. TEMPS DE RELAXATION DE L'AIMANTATION UNI- FORME LONGITUDINALE. - L'emploi des méthodes des

$5 II et 111 permet de prédire que le temps de relaxation

T? de M: est indépendant de T dans la région hydro- dynamique inférieure près de T, [20], [22] :

La vérification expérimentale de cette formule semble évidemment bien difficile.

XI. Antiferromagnétique anisotrope. - L'influence de n'importe quelle anisotropie, même cubique, est simple : l'aimantation n'est plus conservative. L'appli- cation de (III. 4) et (X. lb) montre alors que le temps de relaxation 7; de P; est inversement proportionnel à < ^pi* Pa > (supposé diagonal) au voisinage immé- diat de TN et de q = 0.

XII. Forme de raie. - Par analogie avec l'équation (III. 4) en zQ, on peut obtenir une équation en cpQ(t) en partant d'une identité telle que

$i(t) = $i(s) ds (XII. 1)

O

THÉORIE DE LA RELAXATION MAGNÉTIQUE CRITIQUE C 1 - ³¹⁷

et en exprimant (; par un découplage comme au chapitre III. On peut ainsi obtenir une équation très analogue à (III. 4) :

- + - + - _t

7; 7

( X I I . 2) qui décrit bien la relaxation pour t < 7:.

a. Ferromagnétique isotrope à Tc. - On fait Xq = M, dans (XII. 21, h ~ t 2 ' = cUyS%kkS, et on utilise (V .6 et 7).

On trouve : [12], [24], [26]

La transformée de Fourier @,(o) de cpq(t) est donnée par :

@q(o) h(24-8)/(5-11) ( 4 - ~ ) / ( 5 - ~ )

(JIPI ( u ~ ) ~ - " X

o - ( 1 3 - q ) / ( 5 - ~ ) (W > l/zq) .

(XII. 3) Elle décroît en gros comme o-13/5 pour o grand (117, < o < Jslh) (au lieu de coW2 pour une relaxation exponentielle) [26] [24]. Naturellement, la courbe est tronquée pour o > oc N Jslh.

b. Antflerromagnétique isotrope à [19] [25]. Tc. -

Remplaçant par t dans (X.4) et utilisant (XIII. 3) on trouve de même :

(XII. 4)

et la transformée de Fourier @(o) s'annule comme

0-(7 - 2 ~ ) / 3 .

2. RELAXATION POUR t > Tq ; ÉQUATION DE RÉSIBOIS

ET DE LEENER. .. - L'identité (XII. 1) devient fausse pour t > zq si 9, est exprimé par un découplage, car l'identité bq(co) = O se trouve alors violée (cf. § III. 3, remarque). Pour obtenir une équation self-consistente en cpq(t), il convient de partir de l'identité :

ÿ)q(~) Gq(t - S) ds . ^{(XII. 5)}

11 semblerait [8, 11, 24, 251 qu'on a souvent une bonne approximation en négligeant le dernier terme et en remplaçant $, par son expression obtenue par découplage, soit 6:" (voir 3 111. 3). On vérifiera que les 2 approximations sont correctes pour t petit pour la fonction d'autocorrélation d'une variable conserva- tive ou critique. D'autre part, pour une relaxation exponentielle, t > 8, les 2 approximations se compo- sent et mènent à la formule (III. 5).

Un point intéressant de cette approximation est qu'elle semble pouvoir conduire [ I l , 251 à une relaxa- tion oscillante, ce qui est en accord avec l'expérience.

Donnons par exemple l'équation obtenue par cette méthode pour cp,(t) = < M: Mq(t) > dans un ferro- magnétique de Heisenberg ( T 2 Tc, H = 0)

a P 1 1

- ( t ) = - -

(

)

at h 2 N ~ q xk x ~ - ~

r t

D'une façon générale, les courbes de relaxation critique pourront avoir l'une des 2 formes de la figure 2.

Cet exposé doit beaucoup à des discussions avec le Dr F. Wegner, à qui j'adresse tous mes remercie- ments.

Bibliographie Cf. par exemple MUNSTER (A.), ⁽⁽ Thermodynamique

des processus irréversibles », P. U. F., Paris (1966).

Voir surtout chapitre 1, dernier fi : ((second postulat ... 1). Noter que ce ⁽⁽ second postulat ⁾⁾ est fréquemment violé par la relaxation critique : Cf. par exemple le chapitre V du présent article.

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