Résolution du paradoxe de l’interrogation surprise
Démonstration de l'invalidité du raisonnement par récurrence remontant le temps
Norbert Codréanu Ing. E.N.S.E.M.
Docteur-ès-Sciences (HDR) Retraité
Résumé
: L’erreur fondamentale faite dans « le raisonnement par récurrence remontant le temps » ne concerne pas la récurrence proprement dite ; mais le fait qu’elle soit utilisée pour « remonter le temps » : ce qui est contraire au principe de causalité.Ce principe, qui est un (voir LE) principe de base de tout raisonnement sérieux, qu’il soit physique,
philosophique, mathématique, biologique ou autre, s’énonce de la façon suivante : « La cause précède l’effet (la conséquence) ». Le verbe « précède » signifie que la cause doit obligatoirement être antérieure à l’effet.
Introduction
De nombreux articles, concernant le problème du paradoxe de l’interrogation surprise, et qui concluent tous à un paradoxe, sont basés sur un raisonnement par récurrence, et qui remonte le temps, explicité ci-dessous. L’énoncé suivant du paradoxe est extrait de la revue Accromath (Volume 9.1 - numéro Hiver-printemps 2014) accessible sur le site « accromath.uqam.ca ».
Le professeur Martin annonce à ses élèves : a) je ferai une interrogation la semaine prochaine;
b) vous ne pourrez pas savoir quel jour elle se déroulera; ce sera une surprise. Mathilde, la meilleure élève en mathématiques de la classe, raisonne alors ainsi :
Nous avons cours avec Monsieur Martin le lundi, le mardi, le mercredi, le jeudi, le vendredi et le samedi. Puisqu’il nous dit que nous ne pourrons pas connaître le jour de l’interrogation, celle-ci ne se déroulera pas le samedi, car samedi matin, sachant que l’interrogation se fera dans la semaine (affirmation a), elle ne pourrait avoir lieu que le samedi et donc nous saurions de manière certaine qu’elle va avoir lieu. Il est donc acquis que l’interrogation n’aura pas lieu le samedi. Mais alors, le vendredi, elle ne peut pas avoir lieu non plus, car sachant qu’elle ne peut pas avoir lieu le samedi, quand nous arriverons dans la classe le vendredi, nous saurons qu’elle va avoir lieu. Il est donc acquis aussi que l’interrogation n’aura pas lieu le vendredi.
En poursuivant de la même manière, Mathilde en déduit que l’interrogation ne peut avoir lieu ni le jeudi, ni le mercredi, ni le mardi, ni le lundi et donc qu’elle n’aura pas lieu.
Mais en classe, le mercredi à 14 h 30 le professeur distribue l’énoncé de l’interrogation et tous les élèves sont surpris !
OÙ EST LE PARADOXE ?
Première partie :
Définition de l’effet de surprisePour construire un raisonnement logiquement sérieux, il nous faut définir précisément tous les termes que nous employons. « une semaine, les jours de la semaine, une interrogation .. » tout cela semble clair et bien défini ; par contre « l’effet de surprise » est plus flou.
La surprise, d’une façon générale, est fonction de deux paramètres : l’objet de la surprise et l’instant où l’évènement survient.
Je suis surpris du cadeau que je reçois pour mon anniversaire, mais connaissant bien évidemment la date de mon anniversaire, la surprise concerne, dans ce cas, l’objet que je reçois.
Par contre, pour l’interrogation surprise : l’objet est connu (il y aura obligatoirement une et une seule interrogation dans la semaine), mais la date est inconnue : ce sera la surprise.
Dans ce cas, l’« effet de surprise » est temporel, donc le problème doit être analysé en fonction du temps. Je propose donc la définition suivante : « l’effet de surprise » se produit, lorsque, a priori (c’est-à-dire avant l’évènement), il est impossible aux élèves de prédire, avec certitude, la date de cet évènement.
Deuxième partie :
analyse de l’interrogation surpriseLe point crucial du raisonnement se situe l’avant-dernier jour, pour nous le vendredi. Nous pouvons donc limiter notre démonstration à une semaine de deux jours que nous désignerons par vendredi et samedi . Le vendredi matin les élèves se posent la question : « l’interrogation aura-t-elle lieu aujourd’hui ? » comme ils ne peuvent pas répondre avec certitude, deux possibilités se présentent :
1 - L’interrogation a lieu, ils sont surpris (et c’est terminé : l’interrogation a lieu avec surprise le vendredi) 2 - L’interrogation n’a pas lieu (ils sont aussi surpris) et l’on passe au samedi.
Alors, seulement le samedi matin, ils peuvent faire le raisonnement « classique » :
SI « l’interrogation n’a pas eu lieu le vendredi » ALORS « elle doit avoir lieu le samedi » (car une et une seule interrogation doit avoir obligatoirement lieu dans la semaine). En conséquence les élèves peuvent savoir, avant l’action, avec certitude, que l’interrogation aura lieu ; donc ce ne sera pas une surprise, donc l’interrogation ne peut pas avoir lieu le samedi. La conclusion du « SI.. ALORS.. » étant fausse signifie que l’hypothèse est fausse. Par conséquent l’assertion « l’interrogation n’a pas eu lieu le vendredi » est fausse, donc
« l’interrogation a eu lieu le vendredi ».
Ce raisonnement logique, qui est fait a posteriori (le samedi), est parfaitement exact, il nous indique, a posteriori, que l’interrogation, a bien eu lieu le vendredi ce qui est parfaitement exact. Mais cela n’a aucune influence sur l’effet de surprise qui s’est produit le vendredi lorsque l’interrogation a été décidée. À ce moment-là il était impossible de déclarer avec certitude que l’interrogation aurait lieu le jour même.
Troisième partie :
un autre exempleAfin de mettre en évidence le rôle fondamental du temps, dans « le paradoxe » nous allons modifier légèrement la façon dont le professeur choisit la date de l’interrogation. Au lieu de déterminer la date lui-même, il demande à un élève, d’une autre classe, de tirer à pile ou face. Le vendredi matin, l’élève jette la pièce et si elle tombe sur pile, l’interrogation a lieu ce jour, sinon elle n’a pas lieu ce jour.
Pour les élèves, qui doivent subir l’interrogation, cela ne change rien. Que le professeur décide tout seul ou avec l’aide d’une pièce de monnaie, cela n’influe en rien le fait qu’ils puissent connaître avec certitude, ou non, la date de l’interrogation.
Le vendredi matin, la pièce est jetée en l’air et retombe sur pile : l’interrogation a lieu ce vendredi avec surprise (car elle n’avait qu’une chance sur deux d’avoir lieu).
Un jour ultérieur, qui peut être, par exemple, un an ou un mois ou le jour suivant (le samedi) cela n’a pas d’importance, un des élèves s’aperçoit, par hasard, que la pièce, qui a servi était truquée (elle possède deux côtés « pile ») !
Par conséquent, il est évident que l’interrogation devait, avec certitude, avoir lieu le vendredi. Mais cet
évènement, a posteriori, ne change en rien ce qui a déjà eu lieu, c’est-à-dire que le vendredi l’interrogation a été une surprise (car inattendue à ce moment-là) même si un certain temps après (un an, un mois, un jour) , un autre évènement démontre, en toute logique que l’interrogation a certainement eu lieu ce vendredi.
C’est un peu comme une série policière, nous savons pratiquement, avec certitude, que le meurtrier sera découvert dans le dernier épisode, mais cela ne nous empêche pas d’être surpris du premier meurtre au quatrième épisode. Et lorsque l’on arrive au dernier épisode et que Maigret nous déclare : « mais c’est bien
sûr !, monsieur Dupont est le meurtrier » cela ne nous permet pas de revenir en arrière au quatrième épisode pour arrêter l’assassin et ressusciter la victime !! L’action a déjà eu lieu, exprimé autrement, un célèbre adage énonce : « on ne réécrit pas l’histoire ».
Conclusion
Le raisonnement logique, qui est fait a posteriori (le samedi dans nos deux exemples), est parfaitement exact, il nous indique, a posteriori, que l’interrogation, a bien eu lieu le vendredi ce qui est parfaitement exact. Mais cela n’a aucune influence sur l’effet de surprise qui s’est produit le vendredi lorsque l’interrogation a été décidée. À ce moment-là (le vendredi) il était impossible de déclarer, a priori, avec certitude que l’interrogation aurait lieu le jour même.
Donc l’effet de surprise, lié au temps qui s’écoule, est défini à un moment donné (en un lieu donné, dans un environnement donné) et ne peut pas être influencé par un ou des évènements ultérieurs. L’action, avec surprise, ayant eu lieu, en tant que telle, il est impossible, quoiqu’il se passe ultérieurement, de remonter le temps pour la modifier : « on ne réécrit pas l’histoire ».
La conclusion du raisonnement logique que nous avons cité dans le première partie de ce texte :
« l’interrogation a eu lieu le vendredi » est parfaitement exact lorsque ce raisonnement est tenu le samedi matin. Par contre, il n’est pas valide de l’appliquer à une date antérieure (le vendredi par exemple) car les évènements qui ont déjà eu lieu (avec effet de surprise, entre autres) ne peuvent plus être modifiés.
Le raisonnement par récurrence n’est donc pas valide.
Comme nous venons de le voir, « l’effet de surprise », qui dépend du temps, conduit à analyser les problèmes en fonction du temps. Les exemples décrits ci-dessus nous montrent que « l’effet de surprise » est, alors, totalement indépendant de tous les évènements ultérieurs à son apparition, sinon le principe de causalité serait violé. Gilles Cohen-Tannoudji, physicien théoricien, frère de Claude [prix Nobel de physique 1997] a écrit « le
principe de causalité sera sans doute un des derniers auxquels les sciences renonceront un jour »
Gilles Cohen-Tannoudji, Le temps des processus élémentaires I, dans Le temps et sa flèche, sous la direction d’Étienne Klein et de Michel Spiro,
