CLASSES PRÉPARATOIRES
CLASSE : ECS1
DISCIPLINE : Mathématiques NOM DU PROFESSEUR : E. Bouchet
Vous serez confrontés en classe préparatoire à de nouvelles méthodes de travail : l'apprentissage par c÷ur de recettes ne sura plus pour résoudre les exercices, et il sera nécessaire de passer beaucoup plus de temps à travailler son cours pour réussir. Ce cours, il faudra l'apprendre, mais surtout le comprendre et l'assimiler, pour pouvoir identier facilement les résultats adaptés à la résolution d'un exercice donné.
Pour aborder sereinement l'année prochaine, je vous conseille donc de reprendre les chapitres de terminale suivants :
étude des suites (variations et limites),
étude des fonctions (continuité, dérivabilité, limites, . . . ), intégration et primitives,
nombres complexes,
probabilités (conditionnement, indépendance, exemples de lois classiques).
Vous devez vous sentir à l'aise avec les résultats de ces chapitres et avec toutes leurs hypothèses.
Bibliographie : aucun ouvrage n'est nécessaire. Les polycopiés de cours seront distribués en classe pendant l'année et gurent également sur mon site web (https://ebouchet.frama.site/).
Travail à eectuer : rédiger au propre les exercices qui suivent.
L'objectif des exercices est de travailler la précision de la rédaction et du raisonnement, soyez donc attentifs aux points suivants :
Introduisez toutes les variables utilisées. Vous pouvez par exemple commencer vos raisonnements par des phrases du type Soitnun entier etxun réel, on a. . . .
Attention aux mots de liaison. Si, alors, donc, or,⇒, ⇔ne sont pas interchangeables ! Inutile par contre de chercher à éviter les répétitions.
Justiez chaque ligne de calcul, avec un rappel des hypothèses et résultats utilisés.
Pensez à conclure chaque question par une phrase mise en valeur (encadrée, soulignée ou autre).
Les quelques exemples présentés sont là pour vous aider à comprendre ces exigences.
Attention : en classe préparatoire ECS, les calculatrices sont interdites, aussi bien pendant l'année que pour les épreuves de concours. Habituez vous dès maintenant à ne plus les utiliser.
Quelques calculs pour s'entraîner (sans calculatrice)
Les calculs des exercices qui suivent doivent être eectués sans calculatrice, en détaillant soigneusement les étapes intermédiaires. Il faut soigner la rédaction et simplier au maximum tous les résultats obtenus.
Exercice 1. Calculer les expressions suivantes : 1. 79× −75 +−97
2. 3 + −15 ×45 3.
−4 3 + 7
5
4+ 6 4.
−1 4 + 6
10 7 −8 5. q
(√
2−3)2+ q
(2 +√
2)2 6. p
2√
5−1−p 2√
5 + 12
Exercice 2. Résoudre dansR3 le système d'inconnues(x, y, z)suivant :
x+ 2y−z= 1
−2x−3y+ 3z=−2 x+y−2z= 1
. Exercice 3. Résoudre dansRles équations et inéquations d'inconnue xsuivantes :
1. |−3x+ 6|= 7 2. eix=i
3. e3x(e−2x−5)60 4. ln(x−5) + ln(3−x) = 0
Exercice 4. On considère la fonctionfdénie pour toutxde]0,1[parf(x) = −x
(1−x) ln(1−x). Déterminer l'ensemble sur lequelf est dérivable, puis la valeur de sa dérivée.
Exercice 5. Calculer les intégrales suivantes : 1. I1=R1
−1u4du 2. I2=R4 1
1
(1+2x)2dx 3. I3=R1 0
t t2+1dt
Introduction aux diérents types de raisonnements
Le raisonnement par récurrence
Principe de récurrence : soitnun entier etP(n)une propriété dépendant den. SiP(n0)est vraie (initialisa- tion) et si∀n>n0,P(n)⇒P(n+ 1) (hérédité) alorsP(n)est vraie pour tout entiern>n0.
Exemple. On considère la suite dénie paru0= 1et ∀n∈N,un+1= 2un+ 3. Montrer que∀n∈N, un>0. Solution :
Soitn∈N. On poseP(n) :un>0.
Initialisation :u0= 1>0, doncP(0)est vraie.
Soit n ∈ N un entier naturel xé. On suppose que P(n) est vraie : un > 0. Comme 2 > 0, on a par produit 2un>0. On en déduit que2un+ 3>3>0. Doncun+1>0et P(n+ 1) est vraie.
On conclut que :∀n∈N,un>0.
Exercice 6. Montrer que pour tout entiern∈N, on a
n
X
k=0
k= n(n+ 1) 2 . Pour ceux qui ne connaîtraient pas la notation,Pn
k=0k= 0 + 1 +· · ·+ (n−1) +nreprésente la somme des valeurs deklorsquekvarie entre0 etn. Elle est utilisée pour éviter les points de suspension et gagner en rigueur.
Exercice 7. Montrer que pour tout entiern∈N, on a
n
X
k=0
k2=n(n+ 1)(2n+ 1)
6 .
Exercice 8. Montrer que pour tout entiern>4, on a2n >n2.
Raisonnement par séparation des cas
Exercice 9. Si x et y sont deux réels, on note max(x, y) le plus grand des deux. Soit x et y deux réels xés. En séparant les cas pour comparerxet y, montrer quemax(x, y) = x+y+|x−y|
2 .
Exercice 10. Soitn∈N∗, on poseSn=
n
X
i=1
(−1)i. CalculerSn en fonction de la parité den.
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Raisonnement par contraposition
Principe du raisonnement par contraposition : Au lieu de montrer une implication(P ⇒Q), on montre sa contraposée(nonQ⇒nonP).
Exercice 11. Montrer que pour tout entiern, (n2est pair)⇒(nest pair).
Raisonnement par analyse-synthèse
Principe de l'analyse synthèse : C'est une méthode qui permet de déterminer toutes les solutions d'un problème ou d'une équation. On l'utilise lorsqu'un raisonnement par équivalences est impossible (ou compliqué).
Analyse : correspond au sens direct d'un raisonnement par équivalences. On étudie une solution, en supposant son existence. Le but est d'obtenir un maximum d'informations à son sujet, pour se ramener à un nombre limité de candidats (s'il y a une solution, c'est donc nécessairement l'un d'entre eux).
Synthèse : correspond à la réciproque d'un raisonnement par équivalences. On étudie séparément chacun des candidats de l'analyse pour vérier s'ils sont solution ou non du problème.
Conclusion : les solutions du problème sont exactement les candidats de l'analyse dont on a vérié qu'ils conviennent dans la synthèse.
Exemple. Déterminer tous les réelsaetbtels que : ∀n∈N∗, 1
n(n+ 1) = a n+ b
n+ 1. Solution :
Analyse : On suppose qu'il existe des réels aet btels que ∀n∈N∗, 1
n(n+ 1) = a n+ b
n+ 1. En multipliant les deux membres de l'égalité parn(n+ 1), on obtient : pour toutn∈N∗, 1 =an+a+bn. En particulier, pour n= 1, on trouve2a+b= 1, et pourn= 2, on trouve3a+ 2b= 1. En résolvant ce système de deux équations à deux inconnues, on trouve queb= 1−2aet 3a+ 2−4a= 1. Donca= 1et b=−1.
Synthèse : Soita= 1 etb=−1. Alors : a n+ b
n+ 1 = 1 n − 1
n+ 1 =n+ 1−n
n(n+ 1) = 1 n(n+ 1). Donca= 1 etb=−1 est bien solution du problème.
Conclusion : Les seuls réelsaet bvériant∀n∈N∗, 1
n(n+ 1) = a n+ b
n+ 1 sonta= 1etb=−1.
Dans cet exemple, l'analyse permet de montrer que si il y a une solution au problème, alors c'esta= 1etb=−1. La synthèse permet de montrer quea= 1et b=−1est eectivement solution. On a donc montré qu'une solution existe (synthèse) et qu'elle est unique (analyse).
Exercice 12. Déterminer les solutions réellesxde l'équation (E):√
6 +x=x. Exercice 13. Déterminer l'ensemble des fonctions deRdansRtelles que :
∀(x, y)∈R2, f(x+y)−f(x−y) = 4xy.
Raisonnement par l'absurde
Principe du raisonnement par l'absurde : Pour prouver un résultatP, on fait l'hypothèse queP est faux. À partir de cette hypothèse, on déduit une absurdité (un résultat clairement faux). L'hypothèse queP est faux ne tient pas, puisqu'elle entraîne une absurdité. On peut alors en déduire queP est vraie.
Exercice 14. On considère la suite(un)n∈N dénie paru0= 1 et pour toutn>0,un+1=un+ 1 un. 1. Montrer que pour toutn∈N,un>0. En déduire que cette suite est croissante.
2. En raisonnant par l'absurde, montrer que la suite(un)ne converge pas. En déduire sa limite.
Utilisation d'un exemple ou d'un contre-exemple
Les questions du type montrer qu'il existe un élément tel que . . . ne nécessitent pas de trouver tous les éléments qui conviennent. On peut se contenter de fournir un exemple qui satisfait les conditions.
Exercice 15. Montrer qu'il existe un réelxtel que x2>3et 1 x60,1.
Pour montrer qu'une propriété n'est pas toujours vériée, on peut se contenter de donner un contre-exemple.
Exercice 16. On considère la fonction f dénie deR dansRpar : pour tout réel x, f(x) =x2−9x+ 20. Montrer que cette fonction n'est pas une fonction positive.
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