E439. Croisements interdits sur autoroute enneigée

E439. Croisements interdits sur autoroute enneigée

Considérons la figure obtenue à l’issue d’une partie. Par construction, c’est un graphe planaire droit maximal :

– droit car toute arête est rectiligne – planaire car aucune arête ne se croise

– maximal pour la propriété précédente (l’ajout d’une arête rectiligne sup- plémentaire lui ferait perdre sa propriété de planarité)

Toutes les faces d’un tel graphe sont nécessairement triangulaires (3 points distincts quelconques n’étant jamais alignés, aucun triangle n’est donc dégé- néré) car sinon il serait possible par triangulation d’un polygone d’ajouter une arête rectiligne supplémentaire sans croisement, contredisant alors l’hypothèse de maximalité. De même, un tel graphe est nécessairement connexe car sinon il serait possible d’ajouter une arête rectiligne supplémentaire sans croisement re- liant deux sommets de deux composantes connexes (une autre manière d’obtenir la connexité serait d’exhiber un arbre couvrant en déconnectant les cycles). Les conditions sont réunies pour appliquer la formule d’Eulers+f−a= 2 oùs, f et a désignent respectivement le nombre de sommets, faces (y compris la face extérieure infinie) et arêtes du graphe. Chaque arête appartenant à 2 faces et chaque face étant formée de 3 arêtes, nous en déduisons alors 2a= 3f,de sorte quea= 3 (s−2) etf = 2 (s−2),relations valables pours>3. Quel que soit le déroulement de la partie,a est donc un invariant fonction des. Le contour du triangle ABC (3 arêtes) étant déjà tracé, celui qui commence gagne ssia−3 est impair, ou ce qui est équivalent, ssisest pair. Dans le cas oùs= 2010,c’est donc Zig qui gagne.

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