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Après 2008 mélanges, la position de la carte occupant initialement la position i est P1004 (i

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(1)

Problème G231 – Solution de Jean Drabbe

Notons D , F , P les permutations de {1,2,...,21} définies par :

D(i) est le numéro de la carte occupant la i-ème position dans l'ordre avant mélange

F(i) est le numéro de la carte occupant la i-ème position dans l'ordre après deux mélanges

P = F−1D P(i) est donc la position après deux mélanges de la carte occupant initialement la position i .

Après 2008 mélanges, la position de la carte occupant initialement la position i est

P1004 (i) .

Comme P est d'ordre 21 , P1004 = P17 .

L'ordre demandé est donc obtenu par le produit DP17 . Résultat du calcul (en notant que 17 ≡ -4 MOD 21 ) : 16,21,7,13,12,8,18,19,4,20,3,11,15,5,1,6,2,9,10,17,14

* * *

La permutation de {1,2,...,52} produit des cycles (1,2, ... ,4)

(5,6, ... ,9) (10,11, ... ,16) (17,18, ... ,25) (26,27, ... , 36) (37,38, ... , 49) (50)

(51) (52)

est d'ordre 180180.

(2)

Remarque : 180180 est la valeur g(52) de la fonction g de Landau.

Référence : La page

http://www.research.att.com/~njas/sequences/A000793

donne les premières valeurs de la fonction de Landau et offre une bibliographie intéressante.

Références

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