Problème G267 – Solution de Jean Drabbe
Le théorème suivant joue un rôle central dans la résolution du problème.
Des démonstrations sont publiées dans [1] et [2].
THEOREME – Si a , b sont deux entiers naturels copremiers tels que 1 < a , b , a • b – a – b est le plus grand naturel c pour lequel l'équation diophantienne a • x + b • y = c n'admet pas de solution dans les entiers non négatifs.
Remarque – Si b > a > 10 , a • b – a – b est supérieur à 99 .
Un programme informatique montre que le problème admet la solution unique :
lorsque N[i] prend les valeurs impaires consécutives de 65 à 79 , les paires {a[i] , b[i]}
présentées dans l'ordre des N[i] sont
{7 , 12} , {5 , 18} , {8 , 11} , {9, 10} , {3 , 38} , {2 , 77} , {4 , 27} , {6 , 17}
[1] JONES, G. and JONES, J., Elementary Number Theory, Springer (1998)
[2] Un corrigé d'exercices destiné à des étudiants du Caltech Institute of Technology : http://www.its.caltech.edu/~momar/math6aF12Assignment1Solutions.pdf
