Problème B : théorème de Cayley-Hamilton

PSI* — 2019/2020 Pour le 04/10/2019.

D.M. 2

Problème A

Soit (x0, ..., x_n)∈Rⁿ⁺¹ ; on rappelle la valeur dudéterminant de Vandermonde : 1 x0 · · · xⁿ₀

1 x1 · · · xⁿ₁ ... ... . .. ...

1 x_n · · · xⁿ_n

=

0≤i<j≤n

(xj−x_i).

1) a)On désigne par P0, . . . , P_n n+ 1polynômes deR_n[X]définis par P_i(X) =

n

j=0

a_i,jX^j pour 0≤i≤n, et par A,V,W les matrices suivantes deMn+1(R) :

A= (a_i,j)_0≤i,j≤n ; V = xⁱ_j

0≤i,j≤n ; W = (P_i(x_j))_0≤i,j≤n (indexées par[[0, n]]²) Vérifier que W =AV.

b)En utilisant les polynômes P_i définis par P_i(X) = (X+i)ⁿ, pour0≤i≤n, donner une expression

“simple” du déterminant

D_n=

1ⁿ 2ⁿ · · · (n+ 1)ⁿ 2ⁿ 3ⁿ · · · (n+ 2)ⁿ

... ... . .. ... (n+ 1)ⁿ (n+ 2)ⁿ · · · (2n+ 1)ⁿ

.

c)Montrer que, pour tout entier naturel m, il existe un unique polynôme T_m dans R[X]tel que

∀x∈R cosmx=T_m(cosx). Préciser le degré et le coefficient dominant de T_m.

Calculer le déterminant

∆n=

1 1 · · · 1

cosx0 cosx1 · · · cosx_n cos 2x0 cos 2x1 · · · cos 2xn

... ... . .. ... cosnx0 cosnx1 · · · cosnx_n

.

2) Soient deux suites de nombres complexes, (a_i)_i∈N∗ et(b_j)_j∈N∗ telles que :

∀(i, j)∈N^∗2 a_i+b_j = 0.

Pour tout ndeN^∗, on définit ledéterminant de Cauchy :

∆n= det 1

a_i+b_{j 1≤i,j≤n} .

a)Expliquer pourquoi l’on peut se limiter au cas où lesa_i d’une part, lesb_j d’autre part, sont distincts deux à deux, ce que l’on supposera dorénavant.

b)Appliquer à ∆n les opérations suivantes sur les colonnes, C_j ←C_j −a_n+b_n

a_n+b_j ·C_n pour j = 1, . . . , n−1.

En déduire une relation de récurrence entre∆net∆n−1, puis l’expression de ∆n (on fera apparaître des déterminants de Vandermonde).

PSI* — 2019/2020 — D.M. 2 Page 2/2

Problème B : théorème de Cayley-Hamilton

Kdésigne Rou C. E est un K-espace vectoriel de dimensionn,n≥2.

C(u) désigne, pour u ∈ L(E), le commutant de u, c’est-à-dire l’ensemble des éléments v de L(E) vérifiant : v◦u=u◦v.

Pouru∈ L(E) etx∈E,F_u,x désigne le sous-espace vectoriel de E engendré par la famille u^p(x) _p∈N, c’est-à-dire l’ensemble des combinaisons linéaires d’un nombre fini des vecteursu^p(x),p∈N.

Un élément u de L(E) est ditcyclique si et seulement s’il existe un vecteurx deE tel queE =Fu,x. Le but du problème est de prouver lethéorème de C -H , qu’il conviendra donc de ne pas utiliser !

1) Soit x un vecteur non nul deE et uun endomorphisme de E.

a)Montrer que F_u,x est le plus petit sous-espace vectoriel deE contenantx et stable paru . b)Lorsque u(x) est colinéaire à x, quelle est la dimension de F_u,x ?

c)On suppose que dimF_u,x=m. Montrer que la famille u^j(x) _{0≤j≤m−1} est une base deF_u,x. 2) On suppose, dans cette question,u cyclique.

Soit x0 un vecteur deE tel queE=F_u,x0 ; u^j(x0) _{0≤j≤n−1} est donc une base deE.

a)Montrer que la famille d’endomorphismes u^j _{0≤j≤n−1} est libre dansL(E).

b)Soient v, w deux éléments deC(u). Démontrer l’équivalence entre les deux propriétés : (i) v=w; (ii) v(x0) =w(x0)

c)Montrer que B= u^j _{0≤j≤n−1} est une base deC(u).

d)On pose uⁿ(x0) =

n−1

j=0

a_j.u^j(x0).

Après avoir justifié l’existence de la famille (aj)_{0≤j≤n−1}, écrire, pour tout λdansK, χ_u(λ) = det (λ.IdE−u)

à l’aide de λet desdits coefficientsa_j,0≤j≤n−1.

(Le polynôme χ_u ainsi défini estle polynôme caractéristique de u.) En déduire que χ_u(u) = 0.

3) On revient au cas général : u est un endomorphisme quelconque deE.

a)Soit F un sous-espace vectoriel deE stable paru,F ={0}.

On note v l’endomorphisme deF induit paru.

Montrer que le polynôme caractéristiqueχ_v dev divise le polynôme caractéristique χ_u de u. b)Soit x un vecteur deE,x= 0. Montrer queu induit surF_u,x un endomorphisme cycliquev.

En déduire que

χ_u(u) (x) = 0.

c)Montrer enfin que

χ_u(u) = 0

(théorème de C -H !).