Soient neuf points du plan dont les distances entre deux quelconques d’entre eux sont mesurées par des nombres entiers. Démontrer que six d’entre elles au moins sont divisibles par 3.
Généralisation avec n > 3 points du plan : au moins un sixième des distances toutes entières entre deux points quelconques sont divisibles par 3.
Commençons par le cas de 4 points : soit un triangle ABC, dont les cotés sont a, b, c et un point M, dont les distances à A, B, C sont x, y, z ( coordonnées tripolaires) ; en écrivant que le volume du tétraèdre MABC est nul, on obtient la formule d’Euler :
(y2+z2-a2)2x2+(z2+x2-b2)2y2+(x2+y2-c2)2z2 -(y2+z2-a2)(z2+x2-b2)(x2+y2-c2)-4x2y2z2=0. Si aucun des nombres a, b, c, x, y, z n’était divisible par 3, chacun de leurs carrés serait congru à 1, modulo 3, et le premier membre de la formule ci-dessus serait congru à 1 : donc l’un au moins des nombres a, b, c, x, y, z est divisible par 3.
Montrons par récurrence que pour k≥4, au moins k-3 des segments formés par k points ont des longueurs divisibles par 3. En effet, c’est le cas pour k=4 ; si plus de k-3
longueurs sont divisibles par 3, la propriété est vérifiée au rang k+1 ; sinon, les k points déterminent k(k-1)(k-2)/6 triangles ; il y a au plus (k-2)(k-3) triangles contenant l’un de ces k-3 cotés, et (k-2)(k-3)<k(k-1)(k-2)/6, soit 6(k-3)<k(k-1) ou k2-7k+18>0, car 72-4*18<0 : il existe au moins un triangle dont aucun coté n’est divisible par 3. En
ajoutant un k+1-ième point, on formera donc un quadrilatère, dont la longueur d’un des nouveaux segments sera divisible par 3.
Or pour k≤9, k(k-1)/12≤k-3 : il y a donc au moins un sixième des cotés dont la longueur est divisible par 3, soit au moins 6 pour k=9.
