Modélisation cinématique des liaisons

(1)

MPSI-PCSI Sciences Industrielles pour l’Ingénieur S. Génouël 28/02/2012

Modélisation cinématique des liaisons

1) MODÉLISATION DES PIÈCES PAR DES « SOLIDES PARFAITS ». ... 4

2) MODÉLISATION DES LIAISONS. ... 4

21) M

ODÉLISATION DES LIAISONS PAR DES

«

LIAISONS PARFAITES

». ... 4

22) N

OTION DE REPÈRE LOCAL

. ... 4

23) N

OTION DE DEGRÉ DE LIBERTÉ D

’

UNE LIAISON

. ... 4

24) L

IAISONS NORMALISÉES ENTRE SOLIDES

. ... 5

Complète ou encastrement ... 5

Glissière de direction x ... 5

Appui plan de normale z ... 5

Cylindre-plan (ou linéaire rectiligne) de ligne de contact



^{O x}^,



et de normale z ... 5

Sphère-plan (ou ponctuelle) de point de contact O et de normale z ... 5

Pivot glissant d’axe



^{O x}^,



... 6

Pivot d’axe



^{O x}^,



... 6

Hélicoïdale d’axe



^{O x}^,



et de pas p... 6

Sphérique (ou rotule) de centre O ... 6

Sphérique (ou rotule) à doigt de centre O et de rotation interdite



^{O y}^,



... 6

Sphère-cylindre (ou linéaire annulaire) de centre O et de direction x ... 6

3) MODÉLISATION CINÉMATIQUE DES MÉCANISMES : GRAPHE DE LIAISON ET SCHÉMA CINÉMATIQUE MINIMAL. ... 7

31) R

ÔLE DU SCHÉMA CINÉMATIQUE

. ... 7

32) M

ÉTHODE DE TRACÉ

(UTILISER DE LA COULEUR). ... 7

Étape 1 : Préciser la phase d’étude. ... 7

Étape 2 : Identifier les Classes d’Équivalence Cinématique (CEC). ... 7

Étape 3 : Réaliser le graphe de liaison (minimum de liaisons donc sans liaison en parallèle). . 7

Étape 4 : Tracer le schéma cinématique minimal. ... 7

33) E

XEMPLES DE SCHÉMAS CINÉMATIQUES

. ... 8

4) LES LIAISONS PAR ÉLÉMENTS INTERPOSÉS GLISSANTS OU ROULANTS. ... 9

41) L

ES COUSSINETS

. ... 9

42) L

ES ROULEMENTS À BILLES

,

À ROULEAUX OU À AIGUILLES

. ... 9

43) L

ES BUTÉES À BILLES OU À ROULEAUX

. ... 11

44) L

ES DOUILLES À BILLES OU À ROULEAUX

... 11

45) L

ES VIS À BILLES OU À ROULEAUX

. ... 11

46) L

ES GUIDAGES À BILLES OU À ROULEAUX SUR RAILS

... 11

47) L

ES ROTULES LISSES

. ... 11

(2)

5) GRAPHE DE STRUCTURE ET SCHÉMA D’ARCHITECTURE. ... 12

51) D

IFFÉRENCE ENTRE SCHÉMA CINÉMATIQUE ET SCHÉMA D

’

ARCHITECTURE

. ... 12

52) E

XEMPLE

: L

IAISON ENTRE UN ARBRE

1

ET UN BÂTI

0

RÉALISÉE PAR L

’

ASSOCIATION DE DEUX ROULEMENTS

. ... 12

6) LIAISONS CINÉMATIQUEMENT ÉQUIVALENTES. ... 13

61) D

ÉFINITION D

’

UNE LIAISON ÉQUIVALENTE

. ... 13

62) L

IAISONS EN SÉRIE

. ... 13

 ^V

^Leq

        

^

^V

^3/0 ^

^V

^3/2 ^

^V

^2/1 ^

^V

^1/0 ... 13

Exemple : Patin à rotule ... 13

63) L

IAISONS EN PARALLÈLE

. ... 14

 ^V

^Leq

        

^

^V

^1/0 ^

^V

^1/0^LA ^

^V

^1/0^LB ^

^V

^1/0^LC ... 14

Exemple : Liaison entre un arbre 1 et un bâti 0 réalisée par l’association de deux roulements.14

7) LOI ENTRÉE-SORTIE D’UN MÉCANISME. ... 15

71) D

ÉFINITION D

’

UNE LOI ENTRÉE

-

SORTIE

. ... 15

72) C

HAÎNES DE SOLIDES OUVERTE

,

FERMÉE ET COMPLEXE

. ... 15

Chaîne ouverte. ... 15

Chaîne fermée. ... 15

Chaîne complexe. ... 15

73) C

ARACTÉRISTIQUES GÉOMÉTRIQUES OU PARAMÈTRES

. ... 15

74) D

ÉTERMINATION D

’

UNE LOI ENTRÉE

-

SORTIE

. ... 16

Chaîne ouverte ... 16

Cours 03 – Cinématique du solide. ... 16

Chaîne fermée ... 16

Fermeture géométrique liant les paramètres de position. ... 16

Fermeture angulaire liant les paramètres d’orientation. ... 16

Produit scalaire constant de deux vecteurs d’orientation. ... 16

Fermeture cinématique ... 16

8) LES TRANSFORMATIONS DE MOUVEMENTS CLASSIQUES... 17

81) B

IELLE

-

MANIVELLE

. ... 17

82) P

IGNON

-

CRÉMAILLÈRE

... 17

83) V

IS

-

ÉCROU

. ... 17

84) C

ROIX DE

M

ALTE

. ... 18

85) E

XCENTRIQUE

. ... 18

86) C

AME RADIALE

. ... 18

87) C

AME AXIALE

... 18

(3)

9) LES RÉDUCTEURS ET MULTIPLICATEURS DE VITESSE. ... 19

91) R

APPORT DE TRANSMISSION

,

DE RÉDUCTION ET DE MULTIPLICATION

. ... 19

92) T

RANSMISSION PAR ADHÉRENCE

:

ROUES À FRICTION

. ... 19

93) T

RANSMISSION PAR OBSTACLES

:

ENGRENAGES

. ... 20

Terminologie. ... 20

Engrenage, pignon, roue et couronne. ... 20

Diamètres primitifs. ... 20

Pas primitifs. ... 20

Module. ... 20

Rapport de transmission. ... 20

Différents types d’engrenages. ... 21

Engrenage cylindrique extérieur ou intérieur (à denture droite ou hélicoïdale). ... 21

Engrenage conique (à denture droite ou hélicoïdale). ... 21

Engrenage à roue et vis sans fin (appelé aussi engrenage à vis). ... 21

Schémas normalisés. ... 22

Réducteurs ou multiplicateurs de vitesse à train simple. ... 22

Réducteurs ou multiplicateurs de vitesse à train épicycloïdal. ... 23

Inconvénients des trains simples. ... 23

Inconvénients des engrenages à roue et vis sans fin. ... 23

Avantages des trains épicycloïdaux. ... 23

Définition d’un train épicycloïdal. ... 23

Planétaires, satellites et porte satellites. ... 23

Condition géométrique entraînant une relation sur le nombre de dents des différents éléments. ... 24

Loi entrée-sortie : Relation de Willis. ... 24

Exemple du réducteur ATV. ... 24

94) T

RANSMISSIONS PAR LIEN FLEXIBLE

(

PIGNONS

-

CHAÎNE

,

POULIES

-

COURROIE

). ... 25

(4)

Objectif : Donner une image simplifiée et symbolique d’un mécanisme pour faciliter les études du fonctionnement, des efforts, des vitesses… afin d’en déterminer les lois entrées/sorties.

1) Modélisation des pièces par des « solides parfaits ».

Nous supposerons dans nos études mécaniques (sauf indication contraire) que les pièces mécaniques sont des solides parfaits :

NB : Les pièces déformables telles que les ressorts seront exclues de nos calculs lorsque nous utiliserons l’hypothèse de solide parfait.

2) Modélisation des liaisons.

On peut parler de liaison entre 2 pièces lorsque celles-ci sont en contact .

Une liaison est un modèle du comportement cinématique d’un solide par rapport à un autre.

21) Modélisation des liaisons par des « liaisons parfaites ».

Nous supposerons dans nos études mécaniques (sauf indication contraire) que les liaisons entre 2 pièces sont des liaisons parfaites :

Une liaison parfaite est donc une liaison théorique, tant du point de vue géométrique que du point de vue de la nature physique du contact.

22) Notion de repère local.

En général, le repère local associé à une liaison entre deux solides n'appartient à aucun des deux solides . De plus, l'origine sera plutôt placée en un point caractéristique de la liaison et les vecteurs directeurs de sa base correspondent dans la mesure du possible à des axes de symétrie, de révolution, ...

Enfin, il sera choisi de sorte que les mouvements élémentaires soient indépendants.

23) Notion de degré de liberté d’une liaison.

Soit ^R ^



^{0, , ,}^{x y z}



le repère local associé à la liaison entre deux solides 1 et 2.

On peut définir des mouvements relatifs : Tx = liberté de mouvement de translation de direction x, Rx = liberté de mouvement de rotation d’axe ( , )O x ,

…

Un degré de liberté d’une liaison est UN MOUVEMENT RELATIF INDÉPENDANT que la liaison autorise entre les 2 solides considérés. (Attention à la liaison hélicoïdale…)

Il existe donc 6 degrés de liberté possibles : - 3 translations Tx, Ty et Tz de 1 par rapport à 0, - 3 rotations Rx, Ry et Rz de 1 par rapport à 0.

Par conséquent, le nombre de degrés de liberté entre deux solides est le nombre de paramètres cinématiques indépendants à DÉFINIR pour caractériser le mouvement relatif entre ces deux solides.

- indéformables

- géométriquement parfaits

- homogènes (corps dont les constituants sont de même nature ; ce qui n’est pas vrai pour le béton par exemple)

- isotropes (corps dont les propriétés mécaniques sont identiques dans toutes les directions ; ce qui n’est pas vrai pour les matières fibreuses par exemple)

corps qui ont une masse

constante

- surfaces de contact géométriquement parfaites

- jeu de fonctionnement nul entre les surfaces de contact - contact supposé sans adhérence

(5)

24) Liaisons normalisées entre solides.

Parmi toutes les liaisons envisageables, la norme NF EN ISO 3952-1 (mai 95) a retenu les plus courantes.

Nom et description géométrique

Représentation

3D Représentation 2D

Degré de liberté

Il est indispensable de connaître :

- la forme générale du torseur cinématique de chacune des liaisons usuelles ;

- leur « zone de validité », c’est à dire l’ensemble des points de l’espace ou cette forme est la même !

Validité Forme du torseur cinématique Écriture en COLONNE

Forme du torseur cinématique Écriture en LIGNE

Relations particulières

Complète ou

encastrement 0

Tout point A

de l’espace

 

^2/1

( , , )

0 0 0 0

A 0 0 x y z

 

 

  

 

 

V  

^2/1 ⁰₀

A

  

  

  

V

^^2/1^⁰

2/1 0 VA_ 

Glissière de direction

x

1

de l’espace

 

^2/1 ^, ^2/1

( , , )

0

0 0

x A

A x y z

v _

 

 

  

 

 

V  

^2/1

, 2/1

0

A vx A_ x

 

 

  

  

 

V

^2/1

 0 2/1 2/1

0 0

A A

V y

V z



 

Appui plan

de normale

z ³

de l’espace

 

^2/1 ^,^, ^2/1^2/1

,2/1 ( , , )

0 0

0

x A y A

A z x y z

v v



 

 

  

 

 

V  

^2/1 ^,2/1

, 2/1 , 2/1

z

x A y A

A

z

v _ x v _ y

   

 

  

  

 

 

V

V_A__2/1 z 0

Cylindre-plan

(ou linéaire rectiligne)

de ligne de contact 

^{O x}^,

 ^et

de normale

z

4

Tout point A du plan ( , , )O x z

 

^2/1 ^,2/1 ^,^, ^2/1^2/1

,2/1 ( , , )

0

x x A

y A

A z x y z

v v



 

 

  

 

 

V  

^2/1 ^,2/1 ^,2/1

, 2/1 , 2/1

x z

x A y A

A

x z

v _ x v _ y

      

 

  

  

 

 

V

V_A__2/1 z 0

Sphère-plan

(ou ponctuelle)

de point de contact O et de normale

z

5

de la normale

( , )O z

 

^2/1 ^,2/1^,2/1 ^,^, ^2/1^2/1

,2/1 0 ( , , )

x x A

y y A

A z x y z

v v



 

 

  

 

 

 

V  

^2/1 ^,2/1 ^,2/1 ^,2/1

, 2/1 , 2/1

x y z

x A y A

A

x y z

v _ x v _ y

        

 

  

  

 

 

V

V_A__2/1 z 0

x

y z

y

O

x z

O

z

O

y

x

(6)

Pivot glissant

d’axe 

^{O x}^,



²

Tout point A de l’axe ( , )O x

 

^2/1 ^,2/1 ^, ^2/1

( , , )

0 0

x x A

A x y z

v _

 

 

  

 

 

V  

^2/1 ^,2/1

, 2/1 x A x A

x

v _ x

   

 

  

  

 

V

^2/1

2/1

0 0

A A

V y

V z



 

Pivot

d’axe 

^{O x}^,



¹

 

^2/1 ^,2/1

( , , )

0

0 0

x

A x y z

 

 

  

 

 

V  

^2/1 ^x^,2/1₀

A

 x

 

  

 

 

V

^V_A_2/1⁰

Hélicoïdale d’axe 

^{O x}^,

 ^et

de pas p

1

 

^2/1 ^,2/1 ^,2/1

( , , )

.2

0 0

x x

A x y z

  p

 

 

  

 

 

V  

^2/1 ^,2/1

,2/1. 2

x x A

x p x

   

 

  

 

  

 

V

2/1 2/1

0 0

A A

V y

V z



 

Le pas p est la distance linéaire parcourue par le solide 1 par rapport au solide 2 lorsque le solide 1 tourne d’un tour par rapport au solide 2 :

2 ( ) ( )

. .

2 2

( ) ( ) ^x ^x

rad p mm p p

x v

rad x mm

          Pas à droite + et Pas à gauche -

Sphérique

(ou rotule)

de centre O

3 ^Seulemen_{t en O}

 

^2/1 ^,2/1^,2/1

,2/1 ( , , )

0 0 0

x y

O z x y z

 

 

  

 

 

 

V  

^2/1 ^,2/1 ^,2/1 ^,2/1

0

x y z

O

x y z

        

 

  

 

 

V

V_O_2/10

Sphérique

(ou rotule)

à doigt de centre O et

de rotation interdite 

^{O y}^,



 

^2/1 ^,2/1

,2/1 ( , , )

0

0 0

0

x

O z x y z

 

 

  

 

 

V  

^2/1 ^,2/1 ^,2/1

0

x z

O

x z

     

 

  

 

 

V

V_O__2/10

Sphère-cylindre

(ou linéaire annulaire)

de centre O et de direction

x

 

^2/1 ^,2/1^,2/1 ^, ^2/1

,2/1 ( , , )

0 0

x x O

y

O z x y z

v _

 

 

  

 

 

 

V  

^2/1 ^,2/1 ^,2/1 ^,2/1

, 2/1

x y z

O x O

x y z

v _ x

        

 

  

  

 

V

^2/1

2/1

0 0

O O

V y

V z



 

On utilise les torseurs écrits en colonne pour déterminer la forme du torseur cinématique d’une liaison équivalente à n liaisons en série ou en parallèle (voir partie 6).

On utilise les torseurs écrits en ligne pour déterminer une loi entrée-sortie en vitesse (voir partie 7).

(7)

3) Modélisation cinématique des mécanismes : graphe de liaison et schéma cinématique minimal.

31) Rôle du schéma cinématique.

Le schéma cinématique est un outil de description simplifiée d’un sytème réel. Il ne tient compte ni des formes ni des dimensions.

Il permet de faire apparaître clairement les mouvements possibles entre les solides qui constituent le système.

32) Méthode de tracé (UTILISER DE LA COULEUR).

Étape 1 : Préciser la phase d’étude.

Indiquer dans quelle phase vous étudiez le mécanisme. En effet, certaines pièces (ex : vis…) n’ont pas le même mouvement pendant leur fonctionnement que pendant leur montage ou pendant leur réglage…

Étape 2 : Identifier les Classes d’Équivalence Cinématique (CEC).

CEC : groupes de pièces en liaison encastrement entre elles (n'ayant aucun mouvement relatif entre elles).

Cette étape se divise en 2 sous-étapes :

1) Rechercher et colorier différemment chaque CEC sur la représentation technique 2D ou 3D.

2) Nommer chacune des CEC (S1, S2…) et lister, dans

l’ordre croissant les pièces qui les constituent.de chaque CEC :

{S1} = {1, 2} {S2} = {3} {S3}={4,5,7} {S4}={6} … Remarques :

Toutes les pièces déformables sont à exclure des CEC (ressorts, joints…).

Les éléments roulants (billes, rouleaux…) des roulements ne sont pas pris en compte.

Étape 3 : Réaliser le graphe de liaison (minimum de liaisons donc sans liaison en parallèle).

1) Représenter les CEC par des bulles et les placer en respectant si possible leurs positions relatives observées sur le système réel.

2) Préciser la CEC considérée comme fixe.

3) Déterminer les liaisons entre ces CEC en identifiant la géométrie du contact.

Exemple : graphe de liaison du serre-joint

Étape 4 : Tracer le schéma cinématique minimal.

1) Positionner les centres et les axes des liaisons en respectant si possible leurs positions relatives observées sur le système réel.

2) Mettre en place les représentations symboliques des liaisons élémentaires et du bâti en utilisant le code de couleur retenu et en respectant leur orientation.

3) Relier tous les éléments de même couleur en respectant si possible l’architecture du système réel et en évitant que des traits se croisent.

4) Compléter « éventuellement » par quelques traits le schéma pour faciliter la compréhension.

5) vérifier la cohérence entre les mouvements possibles entre les CEC sur le schéma cinématique et les mouvements observés sur le système réel.

NB : On ne verra JAMAIS apparaître de liaison encastrement sur un graphe de liaison.

C

Schéma cinématique

minimal 3D Schéma cinématique

minimal 2D

(8)

33) Exemples de schémas cinématiques.

Chargeur Bobcat

Nacelle élévatrice

Robot 3 axes

(9)

4) Les liaisons par éléments interposés glissants ou roulants.

Certaines liaisons dans les mécanismes n’utilisent pas le principe de contact direct entre les deux solides.

Grâce à l’interposition d’éléments glissants ou roulants entre les solides, il est possible d’obtenir des mouvements relatifs plus performants d’un point de vue énergétique.

41) Les coussinets.

Ils permettent d’obtenir un mouvement relatif entre deux solides modélisable par une liaison pivot ou pivot glissant

42) Les roulements à billes, à rouleaux ou à aiguilles.

Constitution :

Exemples d’éléments roulants :

(10)

Différents types de roulements :

Roulement à une rangée de billes

Le plus souvent le rotulage > 5’

Roulement à deux rangées de billes

Le plus souvent le rotulage < 5’

Roulement à aiguilles ou à rouleaux

Le plus souvent le rotulage < 5’

Roulement à rotule (billes ou rouleaux)

Rotulage entre 2°et 4

Modélisation :

Il existe toujours un jeu, aussi minime soit-il, entre les billes et les bagues.

Ce jeu a pour conséquence de permettre une rotation relative des bagues, autour des axes perpendiculaires à l'axe principal du roulement.

Ces rotations sont appelées

« rotulage ».

Si l’angle maximal de rotulage (fourni par le constructeur) est >5’, alors les mouvements de rotation autour des axes secondaires sont considérés possibles.

De plus, si les bagues du roulement ne sont pas arrêtées transversalement, alors le mouvement de translation suivant la direction de l’axe principal est possible.

Exemple 1 :

Angle de rotulage du roulement <5’

Les deux bagues sont arrêtées en translation

 modélisable par une liaison pivot

Exemple 2 :

Angle de rotulage du roulement <5’

Une de deux bagues n’est pas arrêtée en translation

 modélisable par une liaison pivot glissant Exemple 3 :

Angle de rotulage du roulement >5’

Les deux bagues sont arrêtées en translation

 modélisable par une liaison sphérique

Exemple 4 :

Angle de rotulage du roulement >5’

Une de deux bagues n’est pas arrêtée en translation

 modélisable par une liaison sphère-cylindre

(11)

43) Les butées à billes ou à rouleaux.

Elles permettent d’obtenir un mouvement relatif entre deux solides modélisable par une liaison pivot.

44) Les douilles à billes ou à rouleaux.

Elles permettent d’obtenir un mouvement relatif entre deux solides modélisable

par une liaison pivot glissant.

45) Les vis à billes ou à rouleaux.

Elles permettent d’obtenir un mouvement relatif entre deux solides modélisable par une liaison hélicoïdale.

46) Les guidages à billes ou à rouleaux sur rails.

Ils permettent d’obtenir un mouvement relatif entre deux solides modélisable par une liaison glissière.

47) Les rotules lisses.

Elles permettent d’obtenir un mouvement relatif entre deux solides modélisable par une liaison sphérique.

(12)

5) Graphe de structure et schéma d’architecture.

51) Différence entre schéma cinématique et schéma d’architecture.

Schéma cinématique minimal Schéma d’architecture

Permet de visualiser

la cinématique du mécanisme (c’est à dire les mouvements relatifs

des différentes classes d’équivalence)

l’architecture du mécanisme (c'est-à-dire la disposition des liaisons)

 il colle à la réalité technologique puisqu’il tient compte du choix des constituants adoptés Est construit

à partir du graphe de liaison graphe de structure

52) Exemple : Liaison entre un arbre 1 et un bâti 0 réalisée par l’association de deux roulements.

Utilisation de deux roulements à billes situés à chaque extrémité de l’arbre 1, modélisables, l’un par une liaison sphérique et l’autre par une liaison sphère-cylindre.

Graphe de liaison : Graphe de structure :

0

Pivot d’axe (AB)

1

0

Sphérique de centre

A 1

Sphère- cylindre de centre B et de direction x

Schéma cinématique minimal : Schéma d’architecture

Sur le graphe de structure et le schéma d’architecture, figurent toutes les liaisons élémentaires (ou locales) (se situant dans les zones de guidage).

0 Rlt2

Rlt1 1

B A

x x

Circlips

Joint

(13)

6) Liaisons cinématiquement équivalentes.

61) Définition d’une liaison équivalente.

Lors d'une approche globale, afin de simplifier la modélisation d’un mécanisme, on peut être amené à chercher des liaisons fictives équivalentes à un ensemble de liaisons élémentaires.

Cette recherche peut se faire analytiquement par les torseurs cinématiques ou intuitivement dans les cas simples.

NB : La liaison fictive équivalente est une liaison qui a le même comportement que l’association des liaisons élémentaires, c'est à dire qu’elle transmet la même action mécanique et qu’elle autorise le même mouvement.

Deux types de configuration peuvent se rencontrer : en série ou en parallèle.

62) Liaisons en série.

0 ¹^/⁰ L

1

2 3

1 /

L2 L³^/²

1 L 2

L 1

1 L é q .

L 3 2

⁰

2

Leq

3

à condition que la Leq soit normalisée La liaison Leq est identifiée à partir de la forme de son torseur cinématique associé.

 ^V

^Leq

        

^

^V

^3/0 ^

^V

^3/2 ^

^V

^2/1 ^

^V

^1/0

Exemple : Patin à rotule

Dessin : Graphe de structure : Schéma d’architecture :

0

Liaison appui plan de normale z 1

2

Liaison sphérique de centre O

 

^2/1 ^,2/1^,2/1

,2/1 ( , , )

0 0 0

x y

O z x y z

 

 

  

 

 

 

V

et

 

^1/0 ^,^, ^1/0^1/0

,1/0 ( , , )

0 0

0

x O y O

O z x y z

v v



 

 

  

 

 

V



 

^2/0 ^,2/1^,2/1 ^,^, ^1/0^1/0

,2/1 ,1/0 0 ( , , )

x x O

y y O

z z

O x y z

v v



  

 

   

   

 

 

V

^

équivalent à une liaison sphère-plan de normale z



NB : Technologiquement parlant, il est donc préférable de réaliser une liaison ponctuelle par mise en série d'une liaison appui plan et d'une liaison rotule pour limiter la pression de contact. En effet, on passe d’un contact ponctuel, où la pression est infinie (F=p.S), à un contact surfacique, où la pression devient admissible pour les matériaux.

par la relation de composition des mouvements

(14)

63) Liaisons en parallèle.

0 0 /

L1 en A 1 0

/

L1 en B 0 /

L1 en C

1 L 2

L 1

1 L é q .

L 3 2

⁰

2

Leq

1

à condition que la Leq soit normalisée La liaison Leq est identifiée à partir de forme de son torseur cinématique associé.

 ^V

^Leq

        

^

^V

^1/0 ^

^V

^1/0^LA ^

^V

^1/0^LB ^

^V

^1/0^LC

La compatibilité cinématique des n liaisons en parallèle avec la liaison équivalente, s'exprime par une identité des composantes de tous ces torseurs réduits au même point.

Exemple : Liaison entre un arbre 1 et un bâti 0 réalisée par l’association de deux roulements.

Dessin : Graphe de structure : Schéma d’architecture :

0

Sphérique de centre

A 1

Sphère- cylindre de centre B et de

direction x

On pose ABa x.

 

^1/0 ^,1/0^,1/0 ^, ^1/0

,1/0 ( , , )

0 0

LB LB

x x B

LB LB

y LB

B z x y z

v _

 

 

  

 

 

 

V

et

 

^1/0 ^,1/0^,1/0 ^,1/0^,1/0 ^,1/0

,1/0 ( , , ) ,1/0 ,1/0 ( , , )

0 0

0 .

LA LA

x x

LA LA LA A

y y z

LA LA LA

z z y

A x y z B x y z

a a

   

   

      

   

   

   

   

V

Car le changement de point (transfert au point B) pour la liaison en A donne :

1/0 1/0 1/0 0 . ( ,1/0. ,1/0. ,1/0. ) . ,1/0. . ,1/0.

LA LA LA LA LA LA LA LA

B A x y z y z

V _ V _ BA    a x  x  y  z   a z a  y

Or, comme les liaisons sont en parallèle :

 ^V

^Leq

      

^

^V

^1/0 ^

^V

^1/0^LB ^

^V

^1/0^LA

donc :

   

^1/0 ^,1/0^,1/0 ^, ^1/0 ^,1/0^,1/0 ^,1/0

,1/0 ( , , ) ,1/0 ,1/0 ( , , )

0

0 .

LBx LBx B LAx

LB LA LA

Leq y y z

LB LA LA

z z y

B x y z B x y z

v

a a

    

   

       

   

   

   

   

V V

 

,1/0 ,1/0

,1/0 ,1/0 ,1/0 ,1/0

,1/0 ,1/0 ,1/0 ,1/0 ,1/0

, 1/0 ,1/0 ,1/0

,1/0 , 1/0

,1/0

0 0

0 0 0 0

0 . 0

0 .

LB LA

x x

LB LA LB LA

y y x x

LB LA x

LB LA

y y

z z

LB LB LA Leq

x B z z

LA LB B

z x B

LA y

v

a v

a



  

 

     

  

      

     

  

    

 

  

  

 

   



V

( , , )x y z

 

 



0 Rlt2

Rlt1 1

B A

x x

équivalent à une liaison pivot d’axe ( , )B x

(15)

7) Loi entrée-sortie d’un mécanisme.

71) Définition d’une loi entrée-sortie.

On appelle loi d’entrée sortie d’un système mécanique, l’ensemble des relations entre les paramètres de position et d’orientation (ou de leurs dérivées) du « solide d’entrée » et ceux du « solide de sortie ».

NB : le solide d’entrée est celui qui est mis en mouvement par l’actionneur de la chaine d’énergie.

Dans l'exemple de la pompe, le solide d'entrée est l'arbre, et le solide de sortie le piston.

La loi entrée-sortie est donc la relation entre la vitesse de rotation de l’arbre et la vitesse de translation du piston.

La manière dont on obtient cette loi entrée-sortie dépend de la configuration de la chaine cinématique.

72) Chaînes de solides ouverte, fermée et complexe.

Chaîne ouverte. Chaîne fermée. Chaîne complexe.

Une chaîne de solides 0, 1, 2… est ouverte si les solides des extrêmes sont différents.

Une chaîne de solides 0, 1, 2… est fermée si le solide initial est le même que le solide final.

Une chaîne de solides 0, 1, 2… est complexe si elle comporte plusieurs chaînes ouvertes ou fermées.

L’exemple type est le robot :

Le premier solide étant le bâti et le dernier, la pince.

Exemple : bras de robot.

NB : Dans ces systèmes, chaque liaison, pilotée par son propre actionneur, est appelée un axe. On parle alors de robots ou de machine trois axes, quatre axes, etc.…

Exemple : lève-barrière Exemple : plate forme élévatrice

73) Caractéristiques géométriques ou paramètres.

Certaines caractéristiques géométriques (longueur de bielles…) du système sont invariantes et sont supposées connues.

D’autres paramètres (angle de rotation d’un arbre…) permettent de caractériser les mouvements des solides les uns par rapport aux autres.

La loi entrée-sortie est une loi exprimant le(s) paramètre(s) de sortie du système uniquement en fonction du(des) paramètre(s) d’entrée et des caractéristiques géométriques invariantes du système, sans faire intervenir les paramètres de mouvement intermédiaires.

(16)

74) Détermination d’une loi entrée-sortie.

Quelque soit la méthode utilisée, il faut commencer par identifier le paramètre d’entrée et le paramètre de sortie du système afin de correctement cibler la loi entrée-sortie recherchée.

Typologie Démarche Résultat

Chaîne o uvert e

Cours 03 – Cinématique du

solide.

Utiliser le cours sur la cinématique du solide analytique ou graphique.

Exemples : Bras de robot, vérin, manège, presse, lève-glace, hayon de véhicule…

Une loi entrée-sortie entre les coordonnées articulaires (c'est-à-dire les paramètres pilotant les actionneurs : moteurs,

vérins…) et les

coordonnées

opérationnelles (c'est-à- dire les coordonnées d’un point de l’effecteur en bout de chaine : pince, outil…).

Chaîne f ermé e

Fermeture géométrique

liant les paramètres de

position.

Écrire la relation vectorielle de fermeture de la chaîne de solide.

En général, cela consiste à écrire une relation de Chasles en passant par les points caractéristiques des différents solides tout en parcourant la chaîne fermée :

... 0

AB BC CD   PA .

En projetant cette équation sur les vecteurs unitaires d’une base unique judicieusement choisie de manière à faire apparaître tous les paramètres, on obtient :

- 3 équations scalaires pour un système en mouvement spatial, - 2 équations scalaires pour un système en mouvement plan.

On élimine enfin les paramètres intermédiaires en combinant les équations obtenues⁾ afin d’obtenir la relation d’entrée sortie recherchée.

Une loi entrée-sortie en position,

ou

une loi entrée-sortie en vitesse en dérivant cette

relation.

Fermeture angulaire liant les paramètres d’orientation.

Écrire la relation angulaire de fermeture de la chaîne de solide :

0 1 1 2 0

(x x, ) ( , x x ) ... (  x x_n, )0. On obtient ainsi 1 équation scalaire.

Produit scalaire constant de deux vecteurs

d’orientation.

Écrire l’équation qui traduit la particularité angulaire du système. Il s’agit en général de la conservation, imposée par certaines liaisons, d’une valeur angulaire lors du mouvement des solides du système.

i. j

x x constante (0 si ce sont 2 vecteurs orthogonaux).

On obtient ainsi 1 équation scalaire.

Exemple type : le joint de cardan.

Fermeture cinématique

En utilisant une écriture en ligne des torseurs cinématique, écrire la relation de composition des mouvements :

   ^V

ⁿ^/0 ^

^V

^{n n}^/ ^¹

    

^{ }^...

^V

^2/1 ^

^V

^1/0

A condition d’avoir exprimé tous les torseurs au même point, cette équation torsorielle permet d’obtenir 2 équations vectorielles :

- composition des vecteurs rotation ; - composition des vecteurs vitesse.

Ce qui conduit à :

- 6 équations scalaires pour un système en mouvement spatial ; - 3 équations scalaires pour un système en mouvement plan.

Pour obtenir la loi entrée-sortie recherchée, on peut résoudre ce système d’équations, ou alors écrire uniquement la relation qui lie le paramètre d’entrée au paramètre de sortie sans faire apparaître les paramètres « indésirables ».

Une loi entrée-sortie en vitesse,

ou

une loi entrée-sortie en position en intégrant cette

relation.

(En n'oubliant pas la constante d'intégration qui

se détermine pour une position particulière).

(17)

8) Les transformations de mouvements classiques.

NB : - Pour tous ces systèmes, le mouvement d'entrée est généralement continu, alors que le mouvement de sortie peut être, continu, alterné ou intermittent.

- Lorsque l’entrée et la sortie peuvent être permutées, on dit que le système est réversible.

81) Bielle -man ivelle .

Pièce 1 : manivelle (ou maneton ou vilebrequin) Pièce 2 : bielle

Pièce 3 : piston (ou coulisseau)

Transformation :

Rotation continue en translation alternative (et réciproquement parfois).

Réversibilité : parfois.

Utilisation :

Moteurs thermiques, compresseurs, certaines pompes et moteurs hydrauliques, marteau perforateur…

NB : Dans un moteur thermique ou une pompe, le bâti au niveau du piston s’appelle chemise ou cylindre.

Caractéristiques géométriques : OB e BC L

Très souvent : L>>e (L>5.e suffit en général pour pouvoir faire cette hypothèse).

Paramètres :

0 1

(x x, )  (x x₀, ₂)  OCX x. ₀

82) Pigno n -cré maill ère

Rotation continue en translation continue (et réciproquement).

Réversibilité : toujours.

Utilisation :

Porte de TGV, porte de garage, direction de voiture, bras manipulateur…

Caractéristiques géométriques : Diamètre du pignon.

Paramètres :

Angle de rotation du pignon, et position de la crémaillère.

83) Vis -écro u.

Pièce 1 : vis

Pièce 2 : coulisseau (ou écrou)

Rotation continue en translation continue.

Réversibilité : parfois. Elle dépend des matériaux en contact et de l’angle de l’hélice.

Ce système est toujours réversible lorsque l’on a interposition d’éléments roulants limitant le frottement.

Utilisation :

Vérins électriques, chariots de machine outil, pilote automatique, élévateur...

Caractéristiques géométriques : Pas de la vis : p (mm) à droite

Paramètres : (x x₀, ₁)  AB .z₀

(18)

84) Croix d e Malte.

Rotation continue en rotation intermittente.

Réversibilité : jamais.

Utilisation :

Plateau tournant de machine de transfert, indexage…

Caractéristiques géométriques :

Angle entre les différentes rainures, et rayon de l’ergot.

Paramètres :

Angle de rotation de l’ergot, et angle de rotation de la croix.

85) Exce nt ri qu e.

Pièce 1 : excentrique Pièce 2 : piston (ou coulisseau)

Rotation continue en translation alternative.

Utilisation :

Pompes hydrauliques, taille haie, certains mécanismes d’ablocage (blocage d’une pièce sur une table).

Caractéristiques géométriques : BC R OB e

Paramètres :

0 1

(x x, )  ODX x. ₀ CD .y₀

NB : L’excentrique est une came radiale circulaire

86) C a m e r a d ia le .

Même principe que l’excentrique :

L’excentrique qui était un disque est remplacée par une pièce de forme aléatoire (la came).

Le schéma est identique au précédent mais avec R variable (mais connu).

Utilisation :

Pompes hydrauliques, certains mécanismes d’ablocage, arbre à cames de moteur, ferme-porte…

87) Came a xiale.

Pièce 1 : came (ici un plateau incliné)

La came peut être un cylindre sur lequel est usinée une rainure de forme quelconque.

Rotation continue en translation alternative.

Utilisation : Pompes hydrauliques.

Caractéristiques géométriques :

1 1

( , )x x (y y, )  constant OD R Le plan ( , , )O x y définit le plateau.

Paramètres :

0 1

(y ,y )  CDX x. ₀

(19)

9) Les réducteurs et multiplicateurs de vitesse.

Dans un système, l’énergie mécanique de rotation en sortie de l’actionneur est rarement directement utilisable par l’effecteur.

Lorsque l’on souhaite adapter les caractéristiques cinématiques de cette énergie, on utilise un transmetteur permettant de réduire ou de multiplier la vitesse angulaire.

On peut classer ces transmetteurs en deux grandes familles vis à vis de la technologie employée pour transmettre le mouvement :

 ceux utilisant la transmission par adhérence : roue à friction (exemple : dynamo de vélo), dispositif poulie- courroie lisse (exemple : alternateur de voiture) ;

 ceux utilisant la transmission par obstacle : dispositif poulie-courroie crantée (exemple : courroie de distribution d’une voiture), dispositif pignon-chaîne (exemple : vélo, moto), engrenages (exemple : boîte de vitesse).

91) Rapport de transmission, de réduction et de multiplication.

Le rapport de transmission d’un système est : ^/0 /0 e s

i 

 (avec 0 le bâti).

Un rapport de réduction ou de multiplication est toujours supérieur à 1. Ainsi, pour un réducteur, le rapport de réduction est i et pour un multiplicateur, le rapport de multiplication est 1/i.

92) Transmission par adhérence : roues à friction.

Schémas normalisés :

x

0

A

Roue menante 1 O

1

x

0

A y

0

A

x

1

x

2



1

O

2



2

O

1

O

2

y

0

A

z

0

A

z

0

A

I R

1

R

2

Roue menée 2

I

ressort presseur

Principe :

Deux roues cylindriques ou coniques sont en contact linéique. L’adhérence au contact des deux roues permet de transmettre le mouvement d’entrée (roue menante 1) à la roue de sortie (roue menée 2).

Pour un bon fonctionnement, il faut assurer un roulement sans glissement en utilisant :

- un couple de matériaux avec un fort coefficient d’adhérence ;

- un effort presseur entre les deux roues.

Utilisation :

Transmissions de faible puissance (petits appareils portables comme des baladeurs), ou dans des variateurs de vitesse.

Caractéristiques géométriques : Les rayons des roues : R₁ et R₂. Paramètres :

Les angles définissant les positions angulaires des roues : (x x₀, ₁) ₁ e t (x x₀, ₂) ₂. Rapport de transmission :

La condition de roulement sans glissement en I (CIR de 2/1) s’exprime par : V_I__2/10 soit V_I__2/0 V_I__1/0

Donc _2/0.R₂ _1/0.R₁ (Le signe négatif indique que le sens de rotation est inversé par ce type de transmetteur).

Nb : si R₂R₁ alors _2/0  _1/0

On en déduit le rapport de transmission ^1/0 ¹ ² ²

2/0 2 1 1

R D

i R D

 

     

 

Cette solution reste limitée car elle nécessite des pressions de contact importantes pour assurer le roulement sans glissement en I.

Pour pallier cette difficulté, on réalise des transmissions par obstacle (voir paragraphe suivant).

(20)

93) Transmission par obstacles : engrenages.

x0

A

O₂ A ^x⁰ y0

A

x2 x1

2

θ₂

1 O1 θ₁

O2

O₁ y0

A

z0

A

z0

A 2

1

I I

D2

D1

Utilisation :

Transmissions de faible et forte puissances. Applications : de la montre à la boite de vitesse automobile.

Caractéristiques géométriques : Les rayons des roues dentées : R₁ et R₂. Paramètres :

Les angles définissant les positions angulaires du pignon et de la roue : (x x₀, ₁) ₁ e t (x x₀, ₂) ₂.

Terminologie.

Engrenage, pignon, roue et couronne.

Un engrenage est constitué de deux roues dentées. On appelle la petite le pignon et la grande la roue (ou couronne si c’est un engrenage intérieur).

Diamètres primitifs.

La forme des dents assure le roulement sans glissement au point de contact I des cercles fictifs de diamètres D₁ et D₂.

Ces cercles sont appelés cercles primitifs. Ils correspondent aux profils des roues de friction qui assureraient le même rapport de transmission.

Pas primitifs.

Le pas primitif correspond à la longueur de l’arc de cercle primitif compris entre deux dents successives.

Pour garantir l’engrènement, les pas primitifs des deux roues dentées doivent être égaux.

1 2

2 .R 2 .R

pas z z

 

  (où z₁ et z₂ sont les nombres de dents des roues de diamètre primitif D₁ et D₂).

On en déduit que : ¹ ²

1 2

R R

z  z et donc aussi que ¹ ²

1 2

D D

z  z .

Module.

Ce dernier rapport caractérise la forme de la dent. Il est appelé module (symbolisé m).

Pour une roue donnée : D

m z (unité en mm) et pas .m

Donc deux roues qui n’ont pas le même module ne peuvent pas engrener car leur pas est différent.

Rapport de transmission.

La condition de roulement sans glissement au point de contact I entre les deux cercles primitifs permet d’obtenir :

le rapport de transmission ^1/0 ¹ ² ² ²

2/0 2 1 1 1

R D z

i R D z

 

       

  ^.

Pignon 1 z1 dents

Roue 2

z2 dents

I

^D1

D2

m=4mm z=15dents

m=0,5mm z=120dents

(21)

Différents types d’engrenages.

Engrenage cylindrique extérieur ou intérieur (à denture droite ou hélicoïdale).

Contact extérieur (avec son dessin normalisé) Contact intérieur (avec son dessin normalisé)

Denture droite Denture hélicoïdale Jumelé avec dentures hélicoïdales inversées Denture à chevrons

 Ils transmettent un mouvement de rotation entre des arbres à axes parallèles.

Cas particulier pour denture droite :

 Ce sont les plus simples et les plus économiques. Comme leurs dents sont parallèles aux axes de rotation, ils peuvent admettre des déplacements axiaux.

 Ils sont bruyants.

Cas particulier pour denture hélicoïdale :

NB : Les deux roues à denture hélicoïdale doivent avoir leurs hélices de sens opposés pour engrener ensembles.

 Le nombre de couple de dents en prise étant plus important, l’engrènement est donc plus progressif et plus continu : ils sont donc plus silencieux et peuvent transmettre un effort plus important.

 Employé seul, cet engrenage génère des efforts axiaux (pour compenser cet effort, on utilise un jumelage de 2 engrenages à dentures hélicoïdales inversées ou alors des roues à chevrons).

Engrenage conique (à denture droite ou hélicoïdale).

Denture droite Denture hélicoïdale Dessin normalisé

 Ils transmettent un mouvement de rotation entre des arbres à axes concourants perpendiculaires ou non.

 Les arbres sont en porte à faux. Ils génèrent des efforts axiaux. Les sommets des cônes doivent coïncider.

NB : Pour déterminer le rapport de transmission, on prendra le nombre de filets pour la vis.

Engrenage à roue et vis sans fin (appelé aussi engrenage à vis).

Vis sans fin avec roue cylindrique

Vis sans fin avec roue creuse

Vis globique avec roue creuse

Dessin normalisé

Vue de coté Vue de face

Avec roue cylindrique

avec roue creuse

 Transmission entre arbres à axes non concourants. Irréversibilité possible  sécurité anti-retour (utile quand le récepteur peut devenir moteur : exemple : appareils de levage). Grand rapport de réduction (entre 5 et 150).

 L’engrènement se fait avec beaucoup de glissement entre les dentures, donc usure, et rendement faible (60%). La vis supporte un effort axial important.

Afin d’augmenter la surface de contact des dentures, on utilise très souvent des systèmes à roue creuse. (ou mieux encore une vis globique, mais le coût de la vis est important).

Modélisation cinématique des liaisons