Cinématique I : Liaisons
Correction du CI-3
L
YCÉEC
ARNOT(D
IJON), 2013 - 2014
Sciences de l’Ingénieur (MPSI) CI-3-CIN-1 Année 2013 - 2014 1 / 63
Sommaire
1 Diravi
2 Desileuse Kuhn
3 barrière automatique
4 Ouvre portail
5 Pilote automatique
6 Ferme portail
7 Scie Egoïne
Sciences de l’Ingénieur (MPSI) CI-3-CIN-1 Année 2013 - 2014 3 / 63
Sciences de l’Ingénieur (MPSI) CI-3-CIN-1 Année 2013 - 2014 5 / 63
Système de durcissement
15 −15
30 −30
45 −
45
60 −60
75 −7
5
90 −90
105 −105
21
0 21−
0
5 13 5 13 −
0 15 150 −
5 16 0 18 5 16 −
0
15 −15
30 −30
45 −
45
60 −60
75 −7
5
90 −90
105 −105
21
0 21−
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5 13 5 13 −
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15 −15
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45 −
45
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75 −7
5
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105 −105
21
0 21−
0
5 13 5 13 −
0 15 150 −
5 16 0 18 5 16 −
0
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Sciences de l’Ingénieur (MPSI) CI-3-CIN-1 Année 2013 - 2014 8 / 63
Sommaire
1 Diravi
2 Desileuse Kuhn Présentation Notations
Caractéristiques des engrenages Questions
3 barrière automatique
4 Ouvre portail
5 Pilote automatique
6 Ferme portail
7 Scie Egoïne
Sciences de l’Ingénieur (MPSI) CI-3-CIN-1 Année 2013 - 2014 10 / 63
Présentation
Présentation
Sciences de l’Ingénieur (MPSI) CI-3-CIN-1 Année 2013 - 2014 12 / 63
Notations
• repère R (A, #» x c , y #» c , #» z c ) lié au châssis c. #» z est vertical
descendant, #» y c est orienté de l’avant vers l’arrière du tracteur
• repère R (A, #» x p , #» y p , #» z p ) associé au porte-satellites p
• repère R (B, #» x b , #» y b , #» z b ) associé au bras de découpe b
• # »
AB = r #» x p , θ = ( #» x c , #» x p ) , #»
Ω p/c = d otθ #» z , θ > 0 , α = ( #» x c , #» x b )
• vitesse de translation de la tige du vérin : v (grandeur constante).
Caractéristiques des engrenages
• nombre de dents du planétaire lié au châssis : Z c = 16
• nombre de dents du satellite lié au bras : Z b = 12
• nombre de dents du satellite intermédiaire : Z s = 15
• module des dentures : m = 8
• rayon primitif de la roue liée au porte-satellites : R p = 80 mm R APPEL diamètre primitif d’un pignon : d = m.Z
Sciences de l’Ingénieur (MPSI) CI-3-CIN-1 Année 2013 - 2014 14 / 63
−
→ x c
−
→ y c
−
→ z p − → z c
−
→ x p
−
→ y p
θ − → x c
−
→ y c
−
→ z b − → z c
−
→ x b
−
→ y b
θ
Sciences de l’Ingénieur (MPSI) CI-3-CIN-1 Année 2013 - 2014 16 / 63
Questions
Q - 1 : Faire tourner le porte-satellites pour que le bras fasse un
tour par rapport au châssis. Combien de tours a fait le porte-
satellites par rapport au châssis et dans quel sens ?
Questions
Q - 1 : Faire tourner le porte-satellites pour que le bras fasse un tour par rapport au châssis. Combien de tours a fait le porte- satellites par rapport au châssis et dans quel sens ?
Le porte-satellites a fait trois tours dans le sens inverse de celui du bras.
θ = − 3.α
Sciences de l’Ingénieur (MPSI) CI-3-CIN-1 Année 2013 - 2014 17 / 63
Questions
Q - 1 : Faire tourner le porte-satellites pour que le bras fasse un tour par rapport au châssis. Combien de tours a fait le porte- satellites par rapport au châssis et dans quel sens ?
Le porte-satellites a fait trois tours dans le sens inverse de celui du bras.
θ = − 3.α or #»
Ω b/c = ˙ α #» z
Questions
Q - 1 : Faire tourner le porte-satellites pour que le bras fasse un tour par rapport au châssis. Combien de tours a fait le porte- satellites par rapport au châssis et dans quel sens ?
Le porte-satellites a fait trois tours dans le sens inverse de celui du bras.
θ = − 3.α or #»
Ω b/c = ˙ α #» z donc #»
Ω (b/c) = − θ ˙ 3 . #» z
Sciences de l’Ingénieur (MPSI) CI-3-CIN-1 Année 2013 - 2014 17 / 63
Q - 2 : Retrouver ce résultat par un calcul cinématique (on se pla- cera sur le porte-satellites et on écrira les relations d’engrè- nement).
ω b/p
ω s/p = − Z s
Z p et ω s/p
ω c/p = − Z c
Z s ⇒ ω b/p
ω c/p = Z c
Z b et en appliquant la composition des vitesses de rotation :
ω b/p
ω c/p = ω b/c − ω p/c
− ω p/c = Z c Z s
d’où
ω b/c = − Z c
Z b .ω p/c + ω p/c = − Z c Z b − 1
!
. θ ˙ = 16 − 12 12 . θ ˙ = −
θ ˙
3
On appelle M le point d’intersection de la droite (B, #» x b ) avec le plan de la lame et on note d la distance de M à B (la variation de d est négligeable).
Sciences de l’Ingénieur (MPSI) CI-3-CIN-1 Année 2013 - 2014 19 / 63
On appelle M le point d’intersection de la droite (B, #» x b ) avec le plan de la lame et on note d la distance de M à B (la variation de d est négligeable).
Q - 3 : Donner les coordonnées de M dans le repère
R (A, #» x c , #» y c , #» z c ) en fonction de r , d et θ.
On appelle M le point d’intersection de la droite (B, #» x b ) avec le plan de la lame et on note d la distance de M à B (la variation de d est négligeable).
Q - 3 : Donner les coordonnées de M dans le repère R (A, #» x c , #» y c , #» z c ) en fonction de r , d et θ.
# »
AM =
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On appelle M le point d’intersection de la droite (B, #» x b ) avec le plan de la lame et on note d la distance de M à B (la variation de d est négligeable).
Q - 3 : Donner les coordonnées de M dans le repère R (A, #» x c , #» y c , #» z c ) en fonction de r , d et θ.
# »
AM = # » AB + # »
BM
On appelle M le point d’intersection de la droite (B, #» x b ) avec le plan de la lame et on note d la distance de M à B (la variation de d est négligeable).
Q - 3 : Donner les coordonnées de M dans le repère R (A, #» x c , #» y c , #» z c ) en fonction de r , d et θ.
# »
AM = # » AB + # »
BM = r . #» x p − d . #» x b
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On appelle M le point d’intersection de la droite (B, #» x b ) avec le plan de la lame et on note d la distance de M à B (la variation de d est négligeable).
Q - 3 : Donner les coordonnées de M dans le repère R (A, #» x c , #» y c , #» z c ) en fonction de r , d et θ.
# »
AM = # » AB + # »
BM = r . #» x p − d . #» x b
=
r . cos(θ) − d. cos θ
3
. #» x c +
r . sin(θ) + d. sin θ
3
. #» y c
Q - 4 : Déterminer, dans le repère R (A, #» x p , #» y p , #» z p ), les coordon- nées du point I centre instantané de rotation du mouvement du bras par rapport au châssis.
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Q - 4 : Déterminer, dans le repère R (A, #» x p , #» y p , #» z p ), les coordon- nées du point I centre instantané de rotation du mouvement du bras par rapport au châssis.
Soient (x, y , z), les coordonnées de I dans R (A, #» x p , #» y p , #» z p ).
Q - 4 : Déterminer, dans le repère R (A, #» x p , #» y p , #» z p ), les coordon- nées du point I centre instantané de rotation du mouvement du bras par rapport au châssis.
Soient (x, y , z), les coordonnées de I dans R (A, #» x p , #» y p , #» z p ).
#» 0 = #»
V (I ∈ b/c)
Sciences de l’Ingénieur (MPSI) CI-3-CIN-1 Année 2013 - 2014 20 / 63
Q - 4 : Déterminer, dans le repère R (A, #» x p , #» y p , #» z p ), les coordon- nées du point I centre instantané de rotation du mouvement du bras par rapport au châssis.
Soient (x, y , z), les coordonnées de I dans R (A, #» x p , #» y p , #» z p ).
#» 0 = #»
V (I ∈ b/c) = #»
V (I ∈ b/p) + #»
V (I ∈ p/c)
Q - 4 : Déterminer, dans le repère R (A, #» x p , #» y p , #» z p ), les coordon- nées du point I centre instantané de rotation du mouvement du bras par rapport au châssis.
Soient (x, y , z), les coordonnées de I dans R (A, #» x p , #» y p , #» z p ).
#» 0 = #»
V (I ∈ b/c) = #»
V (I ∈ b/p) + #»
V (I ∈ p/c)
= ✘✘ #» ✘✘
V (B ∈ b/p) + #»
IB ∧ #»
Ω (b/p) +
✟ #» ✟ ✟ ✟ V (A ∈ p/c) + #»
IA ∧ #»
Ω (p/c)
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Q - 4 : Déterminer, dans le repère R (A, #» x p , #» y p , #» z p ), les coordon- nées du point I centre instantané de rotation du mouvement du bras par rapport au châssis.
Soient (x, y , z), les coordonnées de I dans R (A, #» x p , #» y p , #» z p ).
#» 0 = #»
V (I ∈ b/c) = #»
V (I ∈ b/p) + #»
V (I ∈ p/c)
= ✘✘ #» ✘✘
V (B ∈ b/p) + #»
IB ∧ #»
Ω (b/p) +
✟ #» ✟ ✟ ✟ V (A ∈ p/c) + #»
IA ∧ #»
Ω (p/c)
= #»
IA + # » AB
∧ ( ˙ α − θ). ˙ #» z b + #»
IA ∧ θ. ˙ #» z b
Q - 4 : Déterminer, dans le repère R (A, #» x p , #» y p , #» z p ), les coordon- nées du point I centre instantané de rotation du mouvement du bras par rapport au châssis.
Soient (x, y , z), les coordonnées de I dans R (A, #» x p , #» y p , #» z p ).
#» 0 = #»
V (I ∈ b/c) = #»
V (I ∈ b/p) + #»
V (I ∈ p/c)
= ✘✘ #» ✘✘
V (B ∈ b/p) + #»
IB ∧ #»
Ω (b/p) +
✟ #» ✟ ✟ ✟ V (A ∈ p/c) + #»
IA ∧ #»
Ω (p/c)
= #»
IA + # » AB
∧ ( ˙ α − θ). ˙ #» z b + #»
IA ∧ θ. ˙ #» z b
= #»
IA ∧ α. ˙ #» z b + # »
AB ∧ ( ˙ α − θ). ˙ #» z b
Sciences de l’Ingénieur (MPSI) CI-3-CIN-1 Année 2013 - 2014 20 / 63
Q - 4 : Déterminer, dans le repère R (A, #» x p , #» y p , #» z p ), les coordon- nées du point I centre instantané de rotation du mouvement du bras par rapport au châssis.
Soient (x, y , z), les coordonnées de I dans R (A, #» x p , #» y p , #» z p ).
#» 0 = #»
V (I ∈ b/c) = #»
V (I ∈ b/p) + #»
V (I ∈ p/c)
= ✘✘ #» ✘✘
V (B ∈ b/p) + #»
IB ∧ #»
Ω (b/p) +
✟ #» ✟ ✟ ✟ V (A ∈ p/c) + #»
IA ∧ #»
Ω (p/c)
= #»
IA + # » AB
∧ ( ˙ α − θ). ˙ #» z b + #»
IA ∧ θ. ˙ #» z b
= #»
IA ∧ α. ˙ #» z b + # »
AB ∧ ( ˙ α − θ). ˙ #» z b
=
− x . #» x p − y . #» y p − z . #» z p
∧ − 1 3 . θ ˙
!
. #» z b + r . #» x p ∧ − 1 3 θ ˙ − θ ˙
!
. #» z b
Q - 4 : Déterminer, dans le repère R (A, #» x p , #» y p , #» z p ), les coordon- nées du point I centre instantané de rotation du mouvement du bras par rapport au châssis.
Soient (x, y , z), les coordonnées de I dans R (A, #» x p , #» y p , #» z p ).
#» 0 = #»
V (I ∈ b/c) = #»
V (I ∈ b/p) + #»
V (I ∈ p/c)
= ✘✘ #» ✘✘
V (B ∈ b/p) + #»
IB ∧ #»
Ω (b/p) +
✟ #» ✟ ✟ ✟ V (A ∈ p/c) + #»
IA ∧ #»
Ω (p/c)
= #»
IA + # » AB
∧ ( ˙ α − θ). ˙ #» z b + #»
IA ∧ θ. ˙ #» z b
= #»
IA ∧ α. ˙ #» z b + # »
AB ∧ ( ˙ α − θ). ˙ #» z b
=
− x . #» x p − y . #» y p − z . #» z p
∧ − 1 3 . θ ˙
!
. #» z b + r . #» x p ∧ − 1 3 θ ˙ − θ ˙
! . #» z b
= 1 3 . θ. ˙ h
− x . #» y p + y . #» x p + 4.r . #» y p
i
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Q - 4 : Déterminer, dans le repère R (A, #» x p , #» y p , #» z p ), les coordon- nées du point I centre instantané de rotation du mouvement du bras par rapport au châssis.
Soient (x, y , z), les coordonnées de I dans R (A, #» x p , #» y p , #» z p ).
#» 0 = #»
V (I ∈ b/c) = #»
V (I ∈ b/p) + #»
V (I ∈ p/c)
= ✘✘ #» ✘✘
V (B ∈ b/p) + #»
IB ∧ #»
Ω (b/p) +
✟ #» ✟ ✟ ✟ V (A ∈ p/c) + #»
IA ∧ #»
Ω (p/c)
= #»
IA + # » AB
∧ ( ˙ α − θ). ˙ #» z b + #»
IA ∧ θ. ˙ #» z b
= #»
IA ∧ α. ˙ #» z b + # »
AB ∧ ( ˙ α − θ). ˙ #» z b
=
− x . #» x p − y . #» y p − z . #» z p
∧ − 1 3 . θ ˙
!
. #» z b + r . #» x p ∧ − 1 3 θ ˙ − θ ˙
! . #» z b
= 1 3 . θ. ˙ h
− x . #» y p + y . #» x p + 4.r . #» y p
i
# »
Q - 5 : Définir le lieu des points I dans le repère lié au châssis R (A, #» x c , #» y c , #» z c ). Quel nom donne-t-on habituellement à cette courbe ?
Sciences de l’Ingénieur (MPSI) CI-3-CIN-1 Année 2013 - 2014 21 / 63
Q - 5 : Définir le lieu des points I dans le repère lié au châssis R (A, #» x c , #» y c , #» z c ). Quel nom donne-t-on habituellement à cette courbe ?
AI # » = 4.r . #» x p = 4.r . cos(θ). #» x c + 4.r . sin(θ). #» y c
Q - 5 : Définir le lieu des points I dans le repère lié au châssis R (A, #» x c , #» y c , #» z c ). Quel nom donne-t-on habituellement à cette courbe ?
AI # » = 4.r . #» x p = 4.r . cos(θ). #» x c + 4.r . sin(θ). #» y c
Il s’agit alors d’un cercle de centre A et de rayon 4.r .
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Q - 5 : Définir le lieu des points I dans le repère lié au châssis R (A, #» x c , #» y c , #» z c ). Quel nom donne-t-on habituellement à cette courbe ?
AI # » = 4.r . #» x p = 4.r . cos(θ). #» x c + 4.r . sin(θ). #» y c
Il s’agit alors d’un cercle de centre A et de rayon 4.r .
Cette courbe est appelée base du mouvement.
Q - 6 : Définir le lieu des points I dans le repère lié au bras R (B, #» x b , #» y b , #» z b ). Quel nom donne-t-on habituellement à cette courbe ?
Sciences de l’Ingénieur (MPSI) CI-3-CIN-1 Année 2013 - 2014 22 / 63
Q - 6 : Définir le lieu des points I dans le repère lié au bras R (B, #» x b , #» y b , #» z b ). Quel nom donne-t-on habituellement à cette courbe ?
BI # » = # » BA + # »
AI = ( − 1 + 4).r . #» x p
Q - 6 : Définir le lieu des points I dans le repère lié au bras R (B, #» x b , #» y b , #» z b ). Quel nom donne-t-on habituellement à cette courbe ?
BI # » = # » BA + # »
AI = ( − 1 + 4).r . #» x p
= 3.r . cos (α − θ) . #» x b − 3.r . sin (α − θ) #» y b
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Q - 6 : Définir le lieu des points I dans le repère lié au bras R (B, #» x b , #» y b , #» z b ). Quel nom donne-t-on habituellement à cette courbe ?
BI # » = # » BA + # »
AI = ( − 1 + 4).r . #» x p
= 3.r . cos (α − θ) . #» x b − 3.r . sin (α − θ) #» y b
= 3.r . cos 4.θ 3
!
. #» x b + 3.r . sin 4.θ 3
!
#» y b
Q - 6 : Définir le lieu des points I dans le repère lié au bras R (B, #» x b , #» y b , #» z b ). Quel nom donne-t-on habituellement à cette courbe ?
BI # » = # » BA + # »
AI = ( − 1 + 4).r . #» x p
= 3.r . cos (α − θ) . #» x b − 3.r . sin (α − θ) #» y b
= 3.r . cos 4.θ 3
!
. #» x b + 3.r . sin 4.θ 3
!
#» y b
Il s’agit alors d’un cercle de centre B et de rayon 3.r .
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Q - 6 : Définir le lieu des points I dans le repère lié au bras R (B, #» x b , #» y b , #» z b ). Quel nom donne-t-on habituellement à cette courbe ?
BI # » = # » BA + # »
AI = ( − 1 + 4).r . #» x p
= 3.r . cos (α − θ) . #» x b − 3.r . sin (α − θ) #» y b
= 3.r . cos 4.θ 3
!
. #» x b + 3.r . sin 4.θ 3
!
#» y b
Il s’agit alors d’un cercle de centre B et de rayon 3.r . Cette courbe est
appelée roulante du mouvement.
Q - 7 : Quel est le mouvement relatif de ces deux courbes ?
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Q - 7 : Quel est le mouvement relatif de ces deux courbes ?
La roulante roule sans glisser sur la base.
Sciences de l’Ingénieur (MPSI) CI-3-CIN-1 Année 2013 - 2014 24 / 63 x
Ibc
Sommaire
1 Diravi
2 Desileuse Kuhn
3 barrière automatique Présentation Loi d’entrée-sortie
4 Ouvre portail
5 Pilote automatique
6 Ferme portail
Barrière automatique
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Loi d’entrée-sortie
Fermeture géométrique ABC
#» 0 = # » AB + # »
BC + # »
CA = H. #» z
1+ R. y #»
2− Y
23. #» y
3⇒
R. cos(θ
21) − Y
23. cos(θ
31) = 0 H + R. sin( θ
21) − Y
23. sin( θ
31) = 0
⇔
R. cos(θ
21) = Y
23. cos H + R. sin( θ
21) = Y
23. sin
tan(θ
31) = H + R. sin(θ
21)
R. cos(θ
21)
Etudes des vitesses de rotations
θ
31= arctan H + R. sin(θ
21) R. cos(θ
21)
!
R
APPEL[arctan(u)]
′= u
′1 + u
2θ
31˙ = θ
21˙ .
(R. cos(θ
21)) . (R. cos(θ
21)) − (H + R. sin(θ
21)) . (− R. sin(θ
21)) R
2. cos(θ
21)
21 + H + R. sin(θ
21) R. cos(θ
21)
!
2= θ
21˙ . R
2+ H.R. sin(θ
21) H
2+ 2.H.R. sin(θ
21)
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Sommaire
1 Diravi
2 Desileuse Kuhn
3 barrière automatique
4 Ouvre portail
5 Pilote automatique
6 Ferme portail
7 Scie Egoïne
Ouvre Portail
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Sommaire
1 Diravi
2 Desileuse Kuhn
3 barrière automatique
4 Ouvre portail
5 Pilote automatique
6 Ferme portail
7 Scie Egoïne
Pilote automatique
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Nom N◦ Fonction
Corps 1 Contenir les différentes pièces.
Accouplement rotor-barillet 6 Lier le rotor du moteur et le barillet.
Barillet 2
Aspirer et refouler l’huile.
Piston 7
Roulement à billes 5 Encaisser les efforts axiaux.
Joint à lèvre (symbolisé) 4 Éviter les fuites d’huile vers le moteur.
Circlips d’intérieur 3 Immobiliser axialement le joint 4.
Butée à billes 9 Éviter le frottement des pistons sur le basculeur.
Support de butée ou basculeur 10 Imposer le déplacement des pistons.
Axe d’articulation du basculeur 12 Assurer la liaison pivot du basculeur avec le chapeau 17.
Vis CHc d’assemblage 19 Immobiliser le chapeau 17 sur le corps 1.
Ressort de piston 8 Assurer le retour du piston (aspiration).
Vis de réglage de débit 13 Basculer plus ou moins le support de butée 10.
Contre-écrou 15 Immobiliser la vis de réglage de débit.
Joint d’étanchéité torique 14 Éviter les fuites d’huile.
Chapeau 17 Obturer la chambre d’admission.
Bille de clapet d’aspiration 29 Permettre à l’huile de circuler dans la pompe lorsque Bille de clapet de surpression 31 le vérin est en fin de course et lorsque le moteur tourne encore.
Tiroir 21 Ouvrir les clapets de mise à l’échappement des chambres du vérin.
Siège de clapet anti-retour 26 Assurer l’équilibre du vérin à l’arrêt de la pompe. Éviter que l’huile passe d’une chambre à l’autre en circulant à travers la pompe.
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Sommaire
1 Diravi
2 Desileuse Kuhn
3 barrière automatique
4 Ouvre portail
5 Pilote automatique
6 Ferme portail
7 Scie Egoïne
8 Maxpid
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Ferme Portail
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FAST
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FAST
Schéma Cinématique
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Sommaire
1 Diravi
2 Desileuse Kuhn
3 barrière automatique
4 Ouvre portail
5 Pilote automatique
6 Ferme portail
7 Scie Egoïne
Scie Egoïne
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Les liaisons 4-5, 6-7, 15-10, 22-23 et 41-1 sont des encastrements obtenus par emmanchement cylindrique serré.
La pièce 7 est un insert en acier qui a été noyé dans l’alliage d’alumi- nium lors du moulage ; sa fonction est d’éviter le déchaussage de l’axe 6.
Le support de lame 28 est brasé sur le coulisseau 24.
Pour la suite, les pièces en liaison encastrement seront repérées par le numéro de la pièce principale (ex : 10 pour 10+15).
Les éléments 11 et 14 sont des " cages à aiguilles " assurant un guidage
en rotation par roulement
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Scie Egoïne
Graphe des liaisons
9 10 13
40 1 18
26
22
24
21
Graphe des liaisons
9 10 13
40 1 18
26
22
24
21
Graphe des liaisons
9 10 13
40 1 18
26
22 24 21
P o n c tu e lle P iv o t
Pivot Pivot
P iv o t
Pivot glissant Rotule
Pi vo t
Ponctuelle Translation X, Rotation Y
P iv o t g lis s a n t Pivot
P iv o t
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Liaison équivalent
On cherche les liaisons équivalentes 24-26-1 et 24-22-40
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Sommaire
1 Diravi
2 Desileuse Kuhn
3 barrière automatique
4 Ouvre portail
5 Pilote automatique
6 Ferme portail
7 Scie Egoïne
Schéma cinématique
Le schéma ci-dessous représente le mécanisme, il ne comporte que les solides : bâti 1, palier de vis 2, vis 3, écrou 4, bras 5.
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Schéma cinématique
Le schéma ci-dessous représente le mécanisme, il ne comporte que
les solides : bâti 1, palier de vis 2, vis 3, écrou 4, bras 5.
Paramétrage
On appelle :
# »
AC = a. #» x
5, # »
AB = b. #» y
1, # » BC = x . #» x
3θ
31= ( #» x
1, #» x
3) , θ
51= ( #» x
1, #» x
5) , θ = ( #» x
1′, #» x
1) = cste = 40
◦Sciences de l’Ingénieur (MPSI) CI-3-CIN-1 Année 2013 - 2014 60 / 63
Paramétrage
On appelle :
# »
AC = a. #» x
5, # »
AB = b. #» y
1, # » BC = x . #» x
3θ
31= ( #» x
1, #» x
3) , θ
51= ( #» x
1, #» x
5) , θ = ( #» x
1′, #» x
1) = cste = 40
◦#» x
1est une direction liée au bâti 1
Paramétrage
On appelle :
# »
AC = a. #» x
5, # »
AB = b. #» y
1, # » BC = x . #» x
3θ
31= ( #» x
1, #» x
3) , θ
51= ( #» x
1, #» x
5) , θ = ( #» x
1′, #» x
1) = cste = 40
◦#» x
1est une direction liée au bâti 1
Q - 8 : Écrire l’équation vectorielle traduisant la fermeture géométrique de la chaîne de solides.
Sciences de l’Ingénieur (MPSI) CI-3-CIN-1 Année 2013 - 2014 60 / 63
Paramétrage
On appelle :
# »
AC = a. #» x
5, # »
AB = b. #» y
1, # » BC = x . #» x
3θ
31= ( #» x
1, #» x
3) , θ
51= ( #» x
1, #» x
5) , θ = ( #» x
1′, #» x
1) = cste = 40
◦#» x
1est une direction liée au bâti 1
Q - 8 : Écrire l’équation vectorielle traduisant la fermeture géométrique de la chaîne de solides.
# » AB + # »
BC + # »
CA = b. #» y
1+ x . #» x
3− a. #» x
5= #»
0
Paramétrage
On appelle :
# »
AC = a. #» x
5, # »
AB = b. #» y
1, # » BC = x . #» x
3θ
31= ( #» x
1, #» x
3) , θ
51= ( #» x
1, #» x
5) , θ = ( #» x
1′, #» x
1) = cste = 40
◦#» x
1est une direction liée au bâti 1
Q - 8 : Écrire l’équation vectorielle traduisant la fermeture géométrique de la chaîne de solides.
# » AB + # »
BC + # »
CA = b. #» y
1+ x . #» x
3− a. #» x
5= #»
0
Q - 1 : Écrire les deux équations scalaires obtenues en projetant l’équa- tion précédente sur la base ( #» x
1, #» y
1).
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Paramétrage
On appelle :
# »
AC = a. #» x
5, # »
AB = b. #» y
1, # » BC = x . #» x
3θ
31= ( #» x
1, #» x
3) , θ
51= ( #» x
1, #» x
5) , θ = ( #» x
1′, #» x
1) = cste = 40
◦#» x
1est une direction liée au bâti 1
Q - 8 : Écrire l’équation vectorielle traduisant la fermeture géométrique de la chaîne de solides.
# » AB + # »
BC + # »
CA = b. #» y
1+ x . #» x
3− a. #» x
5= #»
0
Q - 1 : Écrire les deux équations scalaires obtenues en projetant l’équa- tion précédente sur la base ( #» x
1, #» y
1).
b. #» y
1+ x . x #»
3− a. #» x
5= #»
0 ⇒
x . cos(θ
31) − a. cos(θ
51) = 0
b + x . sin(θ
31) − a. sin(θ
51) = 0
Paramétrage
On appelle :
# »
AC = a. #» x
5, # »
AB = b. #» y
1, # » BC = x . #» x
3θ
31= ( #» x
1, #» x
3) , θ
51= ( #» x
1, #» x
5) , θ = ( #» x
1′, #» x
1) = cste = 40
◦#» x
1est une direction liée au bâti 1
Q - 8 : Écrire l’équation vectorielle traduisant la fermeture géométrique de la chaîne de solides.
# » AB + # »
BC + # »
CA = b. #» y
1+ x . #» x
3− a. #» x
5= #»
0
Q - 1 : Écrire les deux équations scalaires obtenues en projetant l’équa- tion précédente sur la base ( #» x
1, #» y
1).
b. #» y
1+ x . x #»
3− a. #» x
5= #»
0 ⇒
x . cos(θ
31) − a. cos(θ
51) = 0 b + x . sin(θ
31) − a. sin(θ
51) = 0
⇔
x . cos(θ
31) = a. cos(θ
51) x . sin(θ
31) = a. sin(θ
51) − b
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Figures planes de calcul
−−→ x 1p
−−→ y 1p
−
→ z 1 −−→ z 1p
−
→ x 1
−
→ y 1
θ → − x 1
−
→ y 1
−
→ z 3 → − z 1
−
→ x 3
−
→ y 3
θ 31
−
→ x 1
−
→ y 1
−
→ z 5 − → z 1
−
→ x 5
−
→ y 5
θ 51 −−→ x 1p
−−→ y 1p
−
→ z 5 −−→ z 1p
−
→ x 5
−
→ y 5
θ 51 ′
Q - 2 : En déduire l’expression de x en fonction de θ 51 puis en fonc- tion de θ ′ 51 .
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Q - 2 : En déduire l’expression de x en fonction de θ 51 puis en fonc- tion de θ ′ 51 .
En élevant au carré chacune des équations : x 2 . cos(θ 31 ) 2 = a 2 cos(θ 51 ) 2
x 2 . sin(θ 31 ) 2 = a 2 sin(θ 51 ) 2 − 2.b.a. sin(θ 51 ) + b 2 puis en en faisant la somme :
x 2 = a 2 + b 2 − 2.b.a. sin(θ 51 ) = a 2 + b 2 − 2.b.a. sin(θ ′ 51 − θ)
On note :
• θ 34 l’angle de rotation de la vis par rapport à l’écrou ( #» z 4 = #» z 1 ).
• n 34 le nombre de tours de vis correspondant à θ 34 .
• p le pas de la vis (lorsque la vis fait un tour l’écrou se déplace de la valeur du pas). Pour θ ′ 51 on prend θ 34 , x vaut alors x 0 .
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On note :
• θ 34 l’angle de rotation de la vis par rapport à l’écrou ( #» z 4 = #» z 1 ).
• n 34 le nombre de tours de vis correspondant à θ 34 .
• p le pas de la vis (lorsque la vis fait un tour l’écrou se déplace de la valeur du pas). Pour θ ′ 51 on prend θ 34 , x vaut alors x 0 .
Q - 3 : Exprimer n 34 puis θ 34 en fonction de x
On note :
• θ 34 l’angle de rotation de la vis par rapport à l’écrou ( #» z 4 = #» z 1 ).
• n 34 le nombre de tours de vis correspondant à θ 34 .
• p le pas de la vis (lorsque la vis fait un tour l’écrou se déplace de la valeur du pas). Pour θ ′ 51 on prend θ 34 , x vaut alors x 0 .
Q - 3 : Exprimer n 34 puis θ 34 en fonction de x
n 34 = x 0 − x p
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