A325. Un triplet amical
On rappelle que deux nombres entiers m et n sont dits « amicaux » si la somme des diviseurs de m, y compris le nombre m lui-même, et celle des diviseurs de n, y compris le nombre n lui-même, sont égales l’une et l’autre à m+n. Par extension, on dit que trois nombres entiers p, q et r constituent un « triplet amical » si les sommes respectives des diviseurs de chacun d’eux, le nombre lui-même étant inclus, sont toutes trois égales à la somme p + q + r. Trouver un triplet amical dont deux des termes sont multiples de deux entiers amicaux.
Soient ݉ et ݊ deux nombres amicaux. On a :
ߪሺ݉ሻ = ߪሺ݊ሻ = ݉ + ݊ Soit ܽ, ܾ, ܿ un triplet amical tel que ܽ = ݉ et ܾ = ݍ݊. On a :
ߪሺ݉ሻ = ߪሺݍ݊ሻ = ߪሺܿሻ = ݉ + ݍ݊ + ܿ Si de plus est premier avec ݉ et ݍ premier avec ݊, on a :
ߪሺሻߪሺ݉ሻ = ߪሺݍሻߪሺ݊ሻ = ߪሺܿሻ = ݉ + ݍ݊ + ܿ ߪሺሻ = ߪሺݍሻ = ߪሺܿሻ
ߪሺ݉ሻ =݉ + ݍ݊ + ܿ ߪሺ݉ሻ ߪሺሻ = ߪሺݍሻ = ߪሺܿሻ
݉ + ݊ =݉ + ݍ݊ + ܿ
݉ + ݊ On va prendre maintenant des options drastiquement simplificatrices et réductrices
൜ = ݍ avec premier avec ݉ et ݊ ܿ = ݇ሺ݉ + ݊ሻ
݉ + ݍ݊ + ܿ = ሺ݉ + ݊ሻ + ݇ሺ݉ + ݊ሻ = ሺ + ݇ሻሺ݉ + ݊ሻ ߪሺሻ =ሺ + ݇ሻሺ݉ + ݊ሻ
݉ + ݊ = + ݇
On essaie avec des petites valeurs de premières avec ݉ = 220 = 2ଶ. 5.11 et ݊ = 284 = 2ଶ. 71
ߪሺሻ ݇ = ߪሺሻ −
3 4 1
7 8 1
9 13 4
Comme on a de la chance, on est récompensé dès le troisième essai :
݉ ݊ ݍ ݇ ܽ = ݉ ܾ = ݍ݊ ܿ = ݇ሺ݉ + ݊ሻ ߪሺܽሻ ߪሺܾሻ ߪሺܿሻ ܽ + ܾ + ܿ 220 284 9 9 4 1 980 2 556 2 016 6 552 6 552 6 552 6 552
Une curiosité : les nombres de ce triplet sont la somme des cubes de certains de leurs diviseurs : Cf: série A066216 de l'OEIS : Non-cube numbers which are sums of cubes of some subset of divisors.
Il en est de même pout le triplet : 16 482 420, 17 552 772, 17 856 648
La calculatrice va plus loin, avec :
• = ݍ et premier avec ݉ et ݊, et ܿ = ݇ሺ݉ + ݊ሻ
݉ ݊ ݍ ݇ ܽ = ݉ ܾ = ݍ݊ ܿ = ݇ሺ݉ + ݊ሻ ߪሺܽሻ ߪሺܾሻ ߪሺܿሻ ܽ + ܾ + ܿ
220 284 9 9 4 1 980 2 556 2 016 6 552 6 552 6 552 6 552
220 284 4 491 4 491 2009 988 020 1 275 444 1 012 536 3 276 000 3 276 000 3 276 000 3 276 000 220 284 5 133 5 133 2067 1 129 260 1 457 772 1 041 768 3 628 800 3 628 800 3 628 800 3 628 800 10 744 10 856 1 299 1 299 437 13 956 456 14 101 944 9 439 200 37 497 600 37 497 600 37 497 600 37 497 600
• Sans contrainte
݉ ݊ ݍ ܽ = ݉ ܾ = ݍ݊ ܿ ߪሺܽሻ ߪሺܾሻ ߪሺܿሻ ܽ + ܾ + ܿ
220 284 9 9 1 980 2 556 2 016 6 552 6 552 6 552 6 552
220 284 459 456 100 980 129 504 132 396 362 880 362 880 362 880 362 880 220 284 801 738 176 220 209 592 203 868 589 680 589 680 589 680 589 680 220 284 2 514 2 214 553 080 628 776 632 544 1 814 400 1 814 400 1 814 400 1 814 400 220 284 3 213 4 089 706 860 1 161 276 1 034 904 2 903 040 2 903 040 2 903 040 2 903 040 220 284 3 453 3 243 759 660 921 012 641 760 2 322 432 2 322 432 2 322 432 2 322 432 220 284 4 491 4 491 988 020 1 275 444 1 012 536 3 276 000 3 276 000 3 276 000 3 276 000 220 284 4 533 4 008 997 260 1 138 272 912 660 3 048 192 3 048 192 3 048 192 3 048 192 220 284 5 133 5 133 1 129 260 1 457 772 1 041 768 3 628 800 3 628 800 3 628 800 3 628 800 220 284 6 471 6 471 1 423 620 1 837 764 1 456 056 4 717 440 4 717 440 4 717 440 4 717 440
…
1 184 1 210 8 365 5 964 9 904 160 7 216 440 10 458 280 27 578 880 27 578 880 27 578 880 27 578 880
…
2 620 2 924 2 596 1 740 6 801 520 5 087 760 5 788 160 17 677 440 17 677 440 17 677 440 17 677 440 2 620 2 924 2 937 2 376 7 694 940 6 947 424 9 307 716 23 950 080 23 950 080 23 950 080 23 950 080 2 620 2 924 6 291 6 003 16 482 420 17 552 772 17 856 648 51 891 840 51 891 840 51 891 840 51 891 840 2 620 2 924 8 922 8 922 23 375 640 26 087 928 21 246 192 70 709 760 70 709 760 70 709 760 70 709 760
..
5 020 5 564 8 262 9 063 41 475 240 50 426 532 56 697 588 148 599 360 148 599 360 148 599 360 148 599 360
…
6 232 6 368 4 125 5 665 25 707 000 36 074 720 32 567 080 94 348 800 94 348 800 94 348 800 94 348 800 6 232 6 368 9 321 9 591 58 088 472 61 075 488 50 180 040 169 344 000 169 344 000 169 344 000 169 344 000
…
10 744 10 856 1 299 1 299 13 956 456 14 101 944 9 439 200 37 497 600 37 497 600 37 497 600 37 497 600
…
17 296 18 416 4 650 5 511 80 426 400 101 490 576 106 064 592 287 981 568 287 981 568 287 981 568 287 981 568
…
