A325 : Un triplet amical
On rappelle que deux nombres entiers m et n sont dits « amicaux » si la somme des diviseurs de m, y compris le nombre m lui-même, et celle des diviseurs de n, y compris le nombre n lui-même, sont égales l’une et l’autre à m+n. Par extension, on dit que trois nombres entiers p, q et r constituent un
« triplet amical » si les sommes respectives des diviseurs de chacun d’eux, le nombre lui-même étant inclus, sont toutes trois égales à la somme p + q + r. Trouver un triplet amical dont deux des termes sont multiples de deux entiers amicaux.
Pour un nombre puissance d’un nombre premier, pa, la somme des diviseurs σ est égale à (pa+1-1)/(p-1), et pour un nombre quelconque, elle est égale au produit de celles de ses facteurs premiers.
Pour deux nombres amicaux σ(m)=σ(n)=m+n.
Pour un triplet amical, où deux termes sont des multiples d’une paire de nombres amicaux, p=km, q=kn, et σ(p)= σ(q)= σ(r)=p+q+r.
Supposant k premier avec m et n, σ(p)=σ(q)=σ(k)*(m+n), donc (σ(k)-k)(m+n)=r. Pour k premier, σ(k)-k=1, r=m+n, et σ(r)= σ(k)*r
Les plus petits nombres amicaux sont 220 et 284 car σ(220)=σ(4)*σ(5)*σ(11)=7*6*12 σ(284)=σ(4)*σ(71)=7*72, donc σ(220)=σ(284)=504=220+284. Or σ(504)=1560 qui n’est pas multiple de 504 donc k premier ne convient pas.
En essayant le premier carré admissible, k=9, on trouve σ(9)=13, σ(9)-9=4, 4*504=2016=32*9*7 et comme σ(32*7)=σ(32)*σ(7)=63*8=504=σ(220)=σ(284) ; 9*220=1980, 9*284=2556, et le triplet 1980, 2016, 2556 est amical.
