D1987- Une variante olympique [*** à la main]
Soit ABC un triangle de cercle circonscrit (Γ). Un cercle (γ) de centre A rencontre le côté BC aux points D et E de sorte que B,D,E et C sont distincts et dans cet ordre sur la droite (BC). On note F et G les points
d’intersection de (γ) avec (Γ) de sorte que A,F,B,C et G sont dans cet ordre sur (Γ). Soit K le second point d’intersection du cercle circonscrit au triangle BDF avec le côté AB. Soit L le second point d’intersection du cercle circonscrit au triangle CGE avec le côté CA. On suppose que les droites FK et GL ne sont pas
confondues et qu’elles rencontrent respectivement le cercle (Γ) aux points S et T.
Prouver que
Q₁ : les angles GDK et FEL sont droits Q₂ : les segments AS et AT sont égaux
Source : ce problème est une variante du problème n°4 des IMO 2015 proposée par l’auteur lui-même.
Solution proposée par Bernard Vignes
Q₁
On trace la médiatrice de DG qui passe par A est perpendiculaire à DG en son milieu M et coupe la droite FD au point N.
On a FDG = 180° ‒ FAG/2. Dès lors NDG = FAG/2 et MND = 90° ‒FAG/2.
Comme AN est médiatrice de DG, on a DNG = 2.(90° - FAG/2) = 180° ‒FAG.
Il en résulte que les quatre points F,A,G,N sont sur un même cercle qui est n'est autre que le cercle (Γ).
circonscrit au triangle ABC.
D'où les relations d'angles BAN = BFN = BKD. Les droites AN et HD sont parallèles et la droite KD est perpendiculaire à DG.
Une démonstration identique donne LE perpendiculaire à FE, les points L et E ayant pour homologues les points K et D et les points D et G ayant pour homologues les points E et F.
Q₂
Comme le triangle AFG est isocèle de sommet A par construction, les segments AS et AT sont égaux dès lors que les droites FK et GL se rencontrent en un point X situé sur la médiatrice AO de FG.
Soit P le point d'intersection de FG avec le côté AC.
On a les relations d'angles :AGP = AGF = ACF = ACG (car AF = AG).
On en déduit APG = AGC puis GPC = 180° ‒AGC = ABC = DFK.
Par ailleurs dans les quadrilatères inscriptibles FDEG et CELG, on a :
DFG = 180° ‒DEG = GEC = GLP.
Il en résulte :GFX = DFK ‒ DFG = GPC ‒ GLP =PGL = FGX. Cqdf
