B130- Les entiers magiques :
On dit qu’un entier positif n est magique si on peut placer les entiers de 1 à n dans n cases d’un carré de côté c de manière que les c lignes, les c colonnes et les 2 diagonales du carré aient toutes la même somme. [Les cases vides contiennent 0].
Déterminer les 20 plus petits entiers magiques
solution proposée par Michel Lafond:
Ce sont : [1, 8, 9, 14, 15, 16, 19, 20, 21, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 31, 32, 33, 34, 35]
un exemple :
Le carré magique 3 × 3 archi-connu :prouve la "magie"
de n = 9 avec la constante 15.
4 9 2
après soustraction de 1 à toutes les cases :on prouve la "magie" de n = 8 avec la constante 12.
3 8 1
3 5 7 2 4 6
8 1 6 7 5
Soit n un entier magique dans un carré c c et avec une constante k.
On a :
n n c k
n
2
) 1 ... (
3 2
1
(1)Il est évident que
n c n
(2)Par ailleurs, l’une des lignes contient l’entier n donc k n (1) implique alors
2
1
n
c
.Si n > 1 l’égalité est impossible sinon on aurait k = n mais la ligne et la colonne contenant n – 1 devraient avoir une somme égale à n, alors que la seule possibilité est (n – 1) + (1) = n.
c est donc inférieur ou égal à
2
n
(sauf pour n = 1).Si on a c =
2
n
, alors k = n + 1. C’est encore impossible car la ligne et la colonne contenantn devraient avoir une somme égale à n + 1 et la seule possibilité est (n) + (1).
Ainsi, si n est magique, alors n = 1 ou
2 c n
n
(3)Remarquons tout de suite que (3) implique n = 1 ou n 5 (4)
Enfin si on a
c n
alors n = c2 ce qui veut dire qu’on a un carré magique "traditionnel".Et il est bien connu que n = 1 et n = c2 c 3 sont magiques.
Résumons :
n = 1 et n = c2 c 3 sont magiques.
n = 22 = 4 n’est pas magique à cause de (4).
Si dans un carré magique traditionnel de côté c, on ôte 1 à tous les nombres, on obtient (après
élimination du 0), un carré c c contenant tous les entiers de 1 à c2 – 1 avec l’égalité des sommes dans chaque ligne, colonne et diagonale puisque ces sommes étaient égales et qu’on a ôté c dans toutes les rangées ; donc :
n = c
2– 1 c 3 est magique.
n = 22 –1 = 3 n’est pas magique à cause de (4).
Les cas n = c2 et n = c2 – 1, étant réglés, pour les autres :
Il suffit d’explorer pour chaque n 5 qui n’est pas de la forme p2 ou p2 – 1, les valeurs possibles de c parmi les diviseurs de
.
2 ) 1 ( n
n
qui vérifient2 c n n
. n et c étant choisis, la constante k est égale àc n n
2 ) 1 (
d’après (1).
Pour n 40 on trouve :
n
2
) 1 ( n
n
n
n / 2 c k =c n n
2 ) 1 (
5 10 2,24 2,5 aucun
6 15 2,45 3 aucun
7 28 2,65 3,5 aucun
8 c2-1
9 c2
10 55 3,16 5 aucun
11 66 3,32 5,5 aucun
12 78 3,46 6 aucun
13 91 3,61 6,5 aucun
14 105 3,74 7 5 21
15 c2-1
16 c2
17 153 4,12 8,5 aucun
18 171 4,24 9 aucun
19 190 4,36 9,5 5 38
20 210 4,47 10
5 42
6 35
7 30
21 231 4,58 10,5 7 33
22 253 4,69 11 aucun
23 276 4,80 11,5 6 46
24 c2-1
25 c2
26 351 5,10 13 9 39
27 378 5,20 13,5
6 63
7 54
9 42
28 406 5,29 14 7 58
29 435 5,39 14,5 aucun
30 465 5,48 15 aucun
31 496 5,57 15,5 8 62
32 528 5,66 16
6 88
8 66
11 48
12 44
33 561 5,74 16,5 11 51
34 595 5,83 17 7 85
35 c2-1
36 c2
37 703 6,08 18,5 aucun
38 741 6,16 19 13 57
39 780 6,24 19,5
10 78
12 65
13 60
15 52
40 820 6,32 20 10 82
{ 1 ; 8 ; 9 ; 15 ; 16 ; 24 ; 25 ; 35 ; 36 } sont magiques (cas
n = c2 ou n = c2 – 1)
Les cas : 14 ; 19 ; 20 ; 21 ; 23 ; 26 ; 27 ; 28 ; 31 ; 32 ; 33 ; 34 ; 38 ; 39 sont ci-dessous :
n = 14 k = 21
6 14 1
n = 19 k = 38
1 8 10 3 16
4 3 9 5 2 11 13 12
8 13 14 6 18
7 12 2 17 9 5 7
11 10 4 19 15
n = 20 k = 42
1 3 14 8 16
n = 20 k = 35
1 3 18 8 5
n = 20 k = 30
1 3 18 8
5 20 7 10 7 12 16 7 11 12
6 19 4 13 6 19 10 15 2 13
18 15 9 9 15 11 14 16
12 2 11 17 13 2 20 9 4 17
14 17 4 19 5 6
20 10
Comme on le voit ci-dessus, un même entier peut être magique avec des tailles de carrés et des constantes différentes. Ce cas semble de plus en plus fréquent lorsque n augmente.
n = 21 k = 33
16 1 3 8 5
n = 23 k = 46
1 3 22 12 8
13 20 5 20 7 14
9 18 6 16 9 21
11 7 15 6 10 17 13
10 21 2 18 11 2 15
17 12 4 4 19 23
19 14
n = 26 k = 39
1 14 18 6
3 24 5 7
4 26 9
17 22
19 20
11 13 15
2 25 12
21 8 10
16 23
n = 27 k = 63
1 3 5 22 14 18
n = 28 k = 58
1 3 16 24 14
26 16 8 6 7 5 26 7 2 18
9 20 10 11 13 28 9 11 10
15 23 4 21 4 20 13 6 15
27 19 17 22 17 19
12 24 2 25 8 27 23
12 21 25
n = 31 k = 62
2 1 30 4 25
n = 32 k = 88
25 1 21 16 15 10
13 28 21 24 6 17 18 12 11
8 31 3 5 15 22 19 14 26 7
22 29 11 31 20 4 30 3
7 18 10 27 8 32 2 13 5 28
12 17 9 24 27 9 23 29
14 6 23 19
26 16 20
n = 33 k = 51
24 27
n = 34 k = 85 12 17 8 14
26 25 29 32 9 15
23 28 23 25 18 19
30 21 16 30 6 31 2
32 19 21 27 11 26
33 18 5 13 1 14 10 20 22
20 31 7 24 3 17 34
16 15 7 13 28 4 33 8 12
11 10 4 6 1 2 3 9 5
22 29
24 33 29 31
37 20 26 34
19 38 21 39
26 31 28 32
23 34 24 36
11 1 6 2 3 5 4 10 15 38 22
14 18 25 33 27
13 32 12 30 10 9 11
29 28 37 23
30 27 5 1 6 19 13 7 3 4 2
36 21 15 17 12 16
35 22 25 35
7 16 9 8 17 8 20 14 18
