Transformations du milieu continu

(1)

Transformations du milieu continu

(2)

Extensom´ etrie

mesures du d´eplacement relatif de deux points

(3)

Extensom´ etrie

mesures du d´eplacement relatif de deux points

3/75

(4)

Mesures de champ

mesures de champs de d´eformations

(5)

Mesures de champ de d´ eplacement

essai de traction simple

5/75

(6)

Mesures de champ de d´ eplacement

(7)

Mesures de champ de d´ eplacement

7/75

(8)

Mesures de champ de d´ eplacement

allongement de la zone utile

´

etat initial état déformé

(9)

Mesures de champ de d´ eplacement

méthode de corrélation d’images : reconnaissance des motifs autour d’un réseau de points matériels et suivi de leurs déplacements

1 2

9/75

(10)

Mesures de champ de d´ eplacement

méthode de corrélation d’images : reconnaissance des motifs autour d’un réseau de points matériels et suivi de leurs déplacements

1 2

(11)

Mesures de champ de d´ eplacement

champs de...

-0.55 -0.475

-0.4 -0.325

-0.25 -0.175

-0.1 -0.025

0.05 0.125

0.2 0.275

0.35 0.425

0.5

U2 minimum:-0.583 maximum:0.545 1

2

-0.24 -0.21

-0.18 -0.15

-0.12 -0.09

-0.06 -0.03

-2.78e-17 0.03

0.06 0.09

0.12 0.15

U1 minimum:-0.253 maximum:0.221 1

2

d´eplacementu2 d´eplacementu1 en mm

11/75

(12)

Mesures de champ de d´ eplacement

profils de d´eplacement le long d’une ligne

x2(mm) u2

(mm)

-0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6

0 2 4 6 8 10 12 14 16

x1(mm) u1

(mm)

-0.25 -0.2 -0.15 -0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

verticale horizontale

(13)

Mesures de champ de d´ eplacement

profils de d´eplacement le long d’une ligne

x2(mm) u2

(mm)

-0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6

0 2 4 6 8 10 12 14 16

x1(mm) u1

(mm)

-0.25 -0.2 -0.15 -0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

verticale horizontale

F₂₂−1 = ∂u₂

∂x₂ F₁₁−1 = ∂u₁

∂x₁

13/75

(14)

Plan

1 Mise en ´evidence exp´erimentale

2 Le gradient de la transformation Transports convectifs

D´ecomposition polaire

Extension et glissement simples

3 D´eformations

Mesures de d´eformations Transformations infinit´esimales

4 Compatibilité d’un champ de déformation Le cas général des transformations finies

Equations de compatibilit´e dans le contexte infinit´esimal

5 Bilan : d´eformation du milieu continu

(15)

Plan

3 D´eformations

(16)

Transformation du milieu continu

( , )E R

Ω₀ Ωt

X Φ x

la transformation Φ x = Φ(X,t)

le champ de d´eplacement u(X,t) =x −X = Φ(X,t)−X

(17)

Le gradient de la transformation

Φ

X x

dX dx

application linéaire tangente associée à Φ Φ(X +dX)−Φ(X) = ∂Φ

∂X.dX +o(X,dX)

´

el´ement de fibre mat´erielledX initiale etdx actuelle F_∼(X,t) = ∂Φ

∂X =GradΦ =1_∼+Gradu, dx =F_∼.dX Le gradient de la transformationF_∼est une caract´erisation locale de la transformation (F_∼(X,t = 0) =1_∼)

Le gradient de la transformation 17/75

(18)

Le gradient de la transformation

Le gradient en coordonnées cartésiennes orthonormées (e_i)i=1,3

dx_i =F_ijdX_j, avec F_ij = ∂x_i

∂X_j =δ_ij+ ∂u_i

∂X_j et F_∼=F_ije_i⊗e_j

dx1 = ∂Φ1

∂X₁dX1+∂Φ1

∂X₂dX2+∂Φ1

∂X₃dX3

dx₂ = ∂Φ2

∂X₁dX₁+∂Φ2

∂X₂dX₂+∂Φ2

∂X₃dX₃ dx₃ = ∂Φ₃

∂X₃dX₁+∂Φ₃

∂X₃dX₂+∂Φ₃

∂X₃dX₃



 dx1

dx₂ dx3



=





F11 F12 F13

F₂₁ F₂₂ F₂₃ F31 F32 F33







 dX1

dX₂ dX3





les composantes deF_∼ sont sans dimension physique

(19)

Plan

3 D´eformations

(20)

Transport d’un ´ el´ ement de volume

• volume ´el´ementaire initial dV et actuel dv

(21)

Transport d’un ´ el´ ement de volume

• volume ´el´ementaire initial dV et actuel dv

dV =dX₁.(dX₂∧dX₃) = [dX₁,dX₂,dX₃] = det(dX₁,dX₂,dX₃) dv = [dx₁,dx₂,dx₃] = [F_∼.dX₁,F_∼.dX₂,F_∼.dX₃]

dv =J dV J= detF_∼>0 jacobien de la transformation

• transformationisochore en un point ou en tout point

un mat´eriau est dit incompressibles’il ne peut subir que des transformations isochores

(22)

Retour sur la conservation de la masse

ρdv =ρ₀dV =ρJ dV =⇒ρ₀=Jρ

interprétation en terme de changement de variable dans une intégrale sur un domaine matérielD(t)

Z

D(t)

ρ(x,t)dv = Z

D0

ρ(Φ(X,t),t)J

| {z }

ρ0(X)

dV

avecD₀= Φ⁻¹(D(t))

(23)

Transport d’un ´ el´ ement de surface

Φ

X x

N n

dS =dX₁∧dX₃=dSN, ds =dx₁∧dx₃=dsn

(24)

Transport d’un ´ el´ ement de surface

Φ

X x

N n

dS =dX₁∧dX₃=dSN, ds =dx₁∧dx₃=dsn l’élément de surface est défini par les directions matérielles orthogonalesdX₁ et dX₃ qu’il contient. Le vecteur élément de surfacedS ne se transforme pas comme une fibre matérielle :

ds =J F_∼^−T.dS

dS et ds (resp. N etn) ne sont pas constitués des mêmes points matériels

(25)

Plan

3 D´eformations

(26)

D´ ecomposition polaire du gradient de la transformation

Pour tout tenseurF_∼ inversible, il existe deux tenseurs sym´etriques d´efinis positifs U_∼ et V_∼ uniques et un unique tenseur orthogonal R_∼ tels que

F_∼=R_∼.U_∼ =V_∼.R_∼

SidetF_∼>0,R_∼ est une rotation pure (i.e. detR_∼ = +1).

R_∼ rotation propre (3 composantes) R_∼⁻¹ =R_∼^T U_∼,V_∼ d´eformations pures (6 composantes) U_∼^T =U_∼, V_∼^T =V_∼

(27)

D´ ecomposition polaire de F

_∼

F

U R

R V

(28)

Transport d’un tri` edre principal de U

_∼

• d´ecomposition spectrale deU_∼ et V_∼

U_∼.V_r =λrV_r, λr >0 (no sum), U_∼ =

3

X

r=1

λrV_r ⊗V_r Les vecteurs propres sont appel´esdirections principalesouaxes principauxdeU_∼, et les valeurs propresd´eformations principales

v_r =R_∼.V_r, V_∼ =

3

X

r=1

λ_rv_r ⊗v_r

• Tout tri`edre principal deU_∼ se transforme en un tri`edre trirectangle.

L’orientation du trièdre déformé par rapport au trièdre initial est donnée exactement parR_∼

=⇒ il est intéressant de suivre une grille dont les arêtes (fibres matérielles) sont parallèles aux directions principales deU_∼. C’est le cas si les trièdres trirectangles formés par des arêtes de la grille initiale se transforment en trièdres trirectangles. L’orientation du triangle final par

(29)

Plan

3 D´eformations

(30)

Transformations homog` enes

• transformationhomog`ene: F_∼(X,t) =F_∼(t)

´

etat initial homogène hétérogène

lorsque tous les carrés déformés sont superposables, la déformation est homogène

• conséquence sur le champ de déplacement : x(t) =F_∼(t).X +c(t) pour tout couple de points matériels

x₁−x₂ =F_∼.(X₁−X₂)

(31)

Extension simple

(32)

Extension simple







x₁ =X₁(1 +λ) x2 =X2

x₃ =X₃

F_∼=1_∼+λe₁⊗e₁, [F_∼] =





1 +λ 0 0

0 1 0

0 0 1





R_∼ =1_∼, U_∼ =F_∼

(33)

Glissement simple

(34)

Glissement simple







x₁ =X₁+γX₂ x2 =X2

x₃ =X₃

, F_∼=1_∼+γe₁⊗e₂, [F_∼] =





1 γ 0 0 1 0 0 0 1





(35)

Glissement simple

C_∼ =1_∼+γ(e₁⊗e₂+e₂⊗e₁)+γ²e₂⊗e₂, [C_∼] =





1 γ 0

γ 1 +γ² 0

0 0 1





Les valeurs propres deC_∼ sont λ₁ = 1

2(γ²+ 2 +γp

γ²+ 4) = (1

2(γ+p

γ²+ 4))² λ₂ = 1

2(γ²+ 2−γp

γ²+ 4) = (1

2(−γ+p

γ²+ 4))² λ3 = 1

Les vecteurs propres deC_∼ et U_∼ sont V₁ = 1

2(−γ+p

γ²+ 4)e₁+e₂ V₂ = 1

2(−γ−p

γ²+ 4)e₁+e₂ V₃ = e₃

(36)

Glissement simple

U∼=





 1 q

1 + (γ/2)²

γ 2

q

1 + (γ/2)² 0 γ

2 q

1 + (γ/2)²

1 +γ²/2 q

1 + (γ/2)² 0

0 0 1







V∼=







1 +γ²/2 q

1 + (γ/2)²

γ 2

q

1 + (γ/2)² 0 γ

2 q

1 + (γ/2)²

1 q

1 + (γ/2)² 0

0 0 1







R_∼=







1 q

1 + (γ/2)²

γ 2

q

1 + (γ/2)² 0

−γ 2

q

1 + (γ/2)²

1 q

1 + (γ/2)² 0

0 0 1







la rotation propre est une rotation autour dee₃d’angle tanθ=−^γ₂

(37)

Plan

3 D´eformations

(38)

Plan

3 D´eformations

(39)

Les tenseurs de Cauchy–Green

Φ

X x

dX₁ dX₂ dx₁

dx₂

D´eformations 39/75

(40)

Les tenseurs de Cauchy–Green

Φ

X x

dX₁ dX₂ dx₁

dx₂

dx₁.dx₂= (F_∼.dX₁).(F_∼.dX₂) =dX₁.F_∼^T.F_∼.dX₂ =dX₁.C_∼.dX₂ le tenseur de Cauchy–Green droitC_∼ =F_∼^T.F_∼instaure une m´etrique sur Ω₀

dX₁.dX₂ =dx₁.B_∼⁻¹.dx₂

le tenseur de Cauchy–Green gaucheB_∼ =F_∼.F_∼^T instaure une m´etrique sur Ω_t

(C_∼ etB_∼ sont sym´etriques et d´efinis positifs, B_∼ 6=C_∼^T !!)

(41)

Variation de longueurs

• variation de longueurs

kdxk²− kdXk²

• allongement relatif

dX =kdXkM λ(M) = kdxk kdXk

• interpr´etation des composantes de C_∼ λ(e₁)

(42)

Variation de longueurs

• variation de longueurs

kdxk²− kdXk² =dX.(C_∼−1_∼).dX =dx.(1_∼−B_∼⁻¹).dx

• allongement relatif

dX =kdXkM λ(M) = kdxk

kdXk = q

M.C_∼.M =kF_∼.Mk=kU_∼.Mk

• interpr´etation des composantes de C_∼ λ(e₁) =p

C₁₁= q

F₁₁² +F₂₁² +F₃₁²

C11 d´esigne donc le carr´e de l’allongement du premier vecteur de base

(43)

Variation d’angles

• variation d’angle entre deux éléments de fibre matérielle dX₁ =|dX₁|M₁, dX₂ =|dX₂|M₂

dx₁=|dx₁|m₁, dx₂ =|dx₂|m₂ cos Θ =M₁.M₂

cosθ=m₁.m₂

• angle de glissementγ des directionsM₁ etM₂ dans le plan de glissement (M₁,M₂)

γ := Θ−θ

Si Θ =π/2 (directions initialement orthogonales) sinγ =

• interpr´etation des composantes deC_∼ : M₁ =E₁ et M₂ =E₂ sinγ =

(44)

Variation d’angles

• variation d’angle entre deux éléments de fibre matérielle dX₁ =|dX₁|M₁, dX₂ =|dX₂|M₂

dx₁=|dx₁|m₁, dx₂ =|dx₂|m₂ cos Θ =M₁.M₂

cosθ=m₁.m₂ = M₁.C_∼.M₂ λ(M₁)λ(M₂)

• angle de glissementγ

γ := Θ−θ

Si Θ =π/2 (directions initialement orthogonales) sinγ = M₁.C_∼.M₂

λ(M₁)λ(M₂)

• interpr´etation des composantes deC_∼ : M₁ =E₁ et M₂ =E₂ sinγ = √C12

C₁₁C₂₂

(45)

Retour sur les mouvements de corps rigide

Une transformation homogène est appelée mouvement de corps rigide lorsque la distance entre tout couple de points matériels reste inchangée au cours du mouvement :

∀X₁,X₂ 6= 0, kx₁−x₂k=kX₁−X₂k

(46)

Retour sur les mouvements de corps rigide

Une transformation homogène est appelée mouvement de corps rigide lorsque la distance entre tout couple de points matériels reste inchangée au cours du mouvement :

(F_∼.(X₁−X₂))² = (X₁−X₂).F_∼^T.F_∼.(X₁−X₂) = (X₁−X₂).(X₁−X₂)

=⇒ F_∼^T.F_∼=C_∼=1_∼

Le gradient de la transformation est donc orthogonal direct. C’est une rotationQ_∼(t). La transformation correspondante est

x =Q

∼(t).X +c(t)

(47)

Mesures de d´ eformation

• candidats

C_∼,B_∼,U_∼,V_∼

• quelques règles supplémentaires conventionnelles pour une mesure de déformation :

? elle est sym´etrique et sans dimension physique;

? elle est nulle pour un mouvement de corps rigide et enF_∼=1_∼;

? son développement limité autour deF_∼=1_∼s’écrit

1

2(H_∼+H_∼^T) +o(H_∼)

H_∼ =F_∼−1_∼=Gradu

• les tenseurs de Green–Lagrange et d’Almansi

E∼:= 1

2(C_∼−1_∼), A_∼ :=1

2(1_∼−B_∼⁻¹) E∼= 1

2(H_∼+H_∼^T+H_∼^T.H_∼) Eij= 1

2(∂u_i

∂Xj

+ ∂u_j

∂Xi

+∂u_k

∂Xi

∂u_k

∂Xj

)

• mesures lagrangiennes/ mesureseul´eriennes de d´eformation

(48)

Grandes d´ eformations / grandes rotations

F_∼=R_∼.U_∼

(49)

Petites d´ eformations / grandes rotations

U_∼ '1_∼+E_∼, kE_∼k 1

pour les corps élancés dans une ou deux directions (poutres, plaques et coques...), “grandes transformation” n’implique pas nécessairement “grande déformation”...

(50)

Grandes d´ eformations / petites rotations

repr´esentation des petites rotations

[R_∼] =





cosφ −sinφ 0 sinφ cosφ 0

0 0 1



'





1 0 0 0 1 0 0 0 1



+





0 −φ 0

φ 0 0

0 0 0





R_∼ '1_∼+ω_∼ ω_∼ antisym´etrique : ω_∼^T =−ω_∼

(51)

Plan

3 D´eformations

(52)

Petites d´ eformations / petites rotations

H_∼ =Gradu, F_∼=1_∼+H_∼ =1_∼+ε_∼+ω_∼ ε∼= 1

2(H_∼+H_∼^T), ω_∼ =1

2(H_∼−H_∼^T)

• le contexte des transformations infinitésimales (dans un référentiel donné) :

kH_∼ =Graduk 1⇐⇒F_∼=O(1_∼)

transformation infinit´esimale = petite d´eformation + petite rotation F_∼=1_∼+ε_∼+ω_∼'(1_∼+ω_∼).(1_∼+ε_∼)

tenseur desdéformations infinitésimales εij =¹₂(ui,j+uj,i) tenseur desrotations infinitésimales ω_ij:= ¹₂(u_i,j−u_j,i)

• objectif : tenue en service des mat´eriaux et des structures (dimensionnement, fiabilit´e)

• pi`ege : on peut toujours calculerε_∼mais il n’a de sens que dans le contexte infinit´esimal...

F∼=Q

∼ =⇒C_∼ =1_∼, E_∼= 0 mais ε_∼= 1 2(Q

∼+Q

∼

T)−1_∼6= 0 !!!

(53)

Etude des d´ eformations dans le contexte infinit´ esimal

• C_∼'1_∼+ 2ε_∼, E_∼'ε_∼

• variation de volume dv

dV = detF_∼= det





1 +u1,1 u1,2 u1,3

u_2,1 1 +u_2,2 u_2,3 u_3,1 u_3,2 1 +u_3,3





cas d’une transformation isochore

• variation de longueur

λ(M) = kdxk kdXk =

q

M.C_∼.M

• variation d’angle

cosθ=m₁.m₂ = M₁.C_∼.M₂ λ(M₁)λ(M₂) cas de deux directions initialement orthogonales

(54)

Etude des d´ eformations dans le contexte infinit´ esimal

• C_∼'1_∼+ 2ε_∼, E_∼'ε_∼

• variation de volume dv−dV

dV 'divu =traceε_∼ cas d’une transformation isochore : traceε_∼= 0

• variation de longueur kdxk − kdXk

kdXk 'M.ε_∼.M si M =e₁, l’allongement relatif estε11

• variation d’angle

cosθ= M₁.M₂+ 2M₁.ε_∼.M₂ (1 +M₁.ε_∼.M₁)(1 +M₂.ε_∼.M₂) cas de deux directions initialement orthogonales : γ '2M₁.ε_∼.M₂

si M₁=e₁, M₂ =e₂, alors γ '2ε12

(55)

Application : jauges de d´ eformation

kdxk − kdXk

kdXk 'M.ε_∼.M

(56)

Application : jauges et extensom` etres

Dans une zone “utile” o`u la transformation est (quasi–)homog`ene, X₂−X₁=l0M

x₂−x₁=lm C11= l²

l₀², E11= l²−l₀² l₀² Dans le contexte infinit´esimal

ε₁₁= l−l₀ l₀ = δl

l₀ SiF_∼.M kM,

F₁₁=U₁₁= l l₀

(57)

Plan

3 D´eformations

(58)

Plan

3 D´eformations

(59)

Position du probl` eme de compatibilit´ e

le champC_∼(X,t) caract´erise la forme actuelle de tous les petits parall´elogrammes individuels

Compatibilit´e d’un champ de d´eformation 59/75

(60)

Position du probl` eme de compatibilit´ e

le champC_∼(X,t) caract´erise la forme actuelle de tous les petits parall´elogrammes individuels

(61)

Position du probl` eme de compatibilit´ e

A quelles conditions est–il possible de reconstituer le puzzle et comment passer de

`

a ?

(62)

Position du probl` eme de compatibilit´ e

• Question 1 (théorique) : soitC_∼(X) un champ de tenseurs d’ordre 2 symétriques définis positifs, à quelles conditions existe–t–il une transformation Φ(X) telle que

(GradΦ)^T.(GradΦ) =C_∼ ?

Si un tel champ u(X) existe, le champ de d´eformationC_∼(X) est dit compatible

• Question 2 (th´eorique, pratique) : si ces conditions sont remplies, de combien diff`erent les solutions possibles?

• Question 3 (pratique) : si ces conditions sont remplies, comment reconstituer le(s) champ(s) de d´eplacement du milieu si l’on connaˆıt le champ de d´eformation?

en d’autres termes, connaissantC_∼(X), comment reconstituerR_∼(X) pour connaˆıtreF_∼(X) et l’int´egrer ensuite?

(63)

Un cas particulier

Trouver une classe de champsC_∼ qui soient syst´ematiquement compatible?

(64)

Un cas particulier : les d´ eformations homog` enes

Trouver une classe de champsC_∼(X) qui soient syst´ematiquement compatible?

les déformations homogènes sont toujours compatibles : C_∼(X) =C_∼₀ (les pièces du puzzle ont toutes la même forme

parallélépipédique)

• Si la transformation est homogène (F_∼(X) =F_∼₀), alors la déformation est homogène

démonstration basée sur l’unicité de la décomposition polaire

• Si la déformation est homogène (C_∼(X) =C_∼₀) alors la transformation est homogène

intuitif mais d´emonstration plus d´elicate

(65)

Un cas particulier : les d´ eformations homog` enes

Trouver une classe de champsC_∼(X) qui soient syst´ematiquement compatible?

les déformations homogènes sont toujours compatibles : C_∼(X) =C_∼₀ (les pièces du puzzle ont toutes la même forme

parallélépipédique)

• Si la transformation est homogène (F_∼(X) =F_∼₀), alors la déformation est homogène

démonstration basée sur l’unicité de la décomposition polaire

• Si la déformation est homogène (C_∼(X) =C_∼₀) alors la transformation est homogène

intuitif mais d´emonstration plus d´elicate

Corollaire : si lad´eformation de Green–LagrangeE_∼ est nulle en tout point, alors la transformation est un mouvement de corps rigide

(66)

R´ eponse ` a la question 2

SoitC_∼(X) un champcompatible de tenseurs d’ordre 2 sym´etriques d´efinis positifs.

Supposons qu’il existe 2 transformations Φ1(X) et Φ2(X) de déplacements dont C_∼(X) soit le champ des déformations de Cauchy–Green droit associé. Quel est le lien entre Φ₁ et Φ₂?

(67)

R´ eponse ` a la question 2

Supposons qu’il existe 2 transformations Φ1(X) et Φ2(X) de déplacements dont C_∼(X) soit le champ des déformations de Cauchy–Green droit associé. Quel est le lien entre Φ₁ et Φ₂? Réponse : les deux transformations diffèrent d’unmouvement de corps rigide

F_∼₂ =Q_∼.F_∼₁ Φ₂(X) =Q

∼.Φ₁(X) +c

(68)

R´ eponse ` a la question 2

Supposons qu’il existe 2 transformations Φ1(X) et Φ2(X) de déplacements dont C_∼(X) soit le champ des déformations de Cauchy–Green droit associé. Quel est le lien entre Φ₁ et Φ₂? Réponse : les deux transformations diffèrent d’unmouvement de corps rigide

F_∼₂ =Q_∼.F_∼₁ Φ₂(X) =Q

∼.Φ₁(X) +c

On va r´epondre aux questions 1 et 3 uniquement dans le contexte infinit´esimal

(69)

Plan

3 D´eformations

(70)

Compatibilit´ e dans le contexte infinit´ esimal

Soitε_∼(X) un champ de tenseurs symétriques, à quelles conditions existe–t–il un champ de déplacementsu(X) tel que

1 2

(Gradu) + (Gradu)^T

=ε_∼(X) ?

les 6 champsε_ij(X) ne doivent d´ependre en fait que de la connaissance de 3 champsui(X)

Conditions de compatibilit´e :

∀i,j,k,l, ε_ij,kl +ε_kl,ij =ε_il,jk+ε_jk,il

(71)

Conditions de compatibilit´ e

• cas 2D

ε11,22+ε22,11−2ε12,12= 0

3 champs εij - 1 condition = 2 degr´es de libert´e (u1,u2)

• cas 3D

ε11,22+ε22,11−2ε12,12= 0 ε22,33+ε33,22−2ε23,23= 0 ε_33,11+ε_11,33−2ε_31,31= 0 ε_12,23+ε_23,12=ε_22,31+ε_31,22 ε23,31+ε31,23=ε33,12+ε12,33

ε31,12+ε12,31=ε11,23+ε23,11

on peut établir trois relations supplémentaires liant ces équations =⇒3 conditions indépendantes seulement

6 champs εij - 3 conditions = 3 degr´es de libert´e (u1,u2,u3)

(72)

Plan

3 D´eformations

(73)

Bilan : transports convectifs

Transport d’un élément de fibre matérielle : dx =F_∼.dX Transport d’un élément de surface : ds =JF_∼^−TdS Transport d’un élément de volume : dv =J dV

Bilan : d´eformation du milieu continu 73/75

(74)

Bilan : transformations finies

F_∼=R_∼.U_∼ =V_∼.R_∼ gradient de la transformation (detF_∼>0) R_∼ rotation propre (detR_∼ = 1)

U_∼ tenseur droit de d´eformation pure V_∼ tenseur gauche de d´eformation pure C_∼ :=F_∼^T.F_∼=U_∼² tenseur de Cauchy–Green droit B_∼:=F_∼.F_∼^T=V_∼² tenseur de Cauchy–Green gauche

E_∼:= 1

2(C_∼−1_∼) tenseur de Green–Lagrange A_∼:= 1

2(1_∼−B_∼⁻¹) tenseur d’Almansi

(75)

Bilan : le contexte infinit´ esimal

H_∼ =ε_∼+ω_∼=Gradu gradient du d´eplacement

ε∼= 1

2(Gradu + (Gradu)^T) tenseur des d´eformations infinit´esimales

ω_∼= 1

2(Gradu −(Gradu)^T) tenseur des rotations infinit´esimales

F_∼=1_∼+_∼ε+ω_∼ '(1_∼+ε_∼).(1_∼+ω_∼), C_∼'1_∼+ 2ε_∼'B_∼, E_∼'ε_∼

|dx| − |dX|

|dX| 'M.ε_∼.M allongement infinit´esimal

dv−dV

dV 'divu =traceε_∼ variation de volume infinit´esimale

Bilan : d´eformation du milieu continu 75/75