Nombres complexes (4) Transformations

(1)

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TS Nombres complexes (4)

Transformations

Problème :

Étant donnée une transformation du plan complexe qui à tout point M(z) associe le point M’(z’), exprimer z’ en fonction de z.

Expression complexe de la transformation.

I. Écriture complexe d’une translation 1°) Règle

Le plan complexe P est muni d’un repère orthonormé direct



^{O, ,}^{u v}^{ }



^.

(Il en est ainsi dans tout le chapitre.)

 

w a



est un vecteur du plan.

M(z) est un point quelconque du plan.

M’(z’) est son image par la translation de vecteur ^{w a}^

 

^(notée^t_w^^).

On note ^M'tw^

 

^M .

On a : z' z a (expression complexe de la translation).

O u^ v

M

M'

w w

2°) Démonstration

 

M' M

tw

 ^  MM' w  z' z a  z' z a

2 II. Écriture complexe d’une homothétie

1°) Règle

(a) est un point fixé.

k est un réel non nul.

M’(z’) est son image par l’homothétie de centre  et de rapport k (notée h___{, k}_).

On note M’ = h__,_k_

 

M .

On a : ^z'^^{k z}



^^a



^^a (expression complexe de l’homothétie).

O



u v

M

M'

2°) Démonstration

 , 

 

M'h__k M  M'k M

 ^{z' a}^ ^^{k z}



^^a



 ^z'^^{k z}



^^a



^^a

III. Écriture complexe d’une rotation 1°) Règle

(a) est un point fixé.

 est un réel fixé.

M’(z’) est son image par la rotation de centre  et d’angle  (notée R__{ }_,_).

On note M’ = R__{ }, _

 

M .

On a : z'eⁱ^



za



a (expression complexe de la rotation).

(2)

3 2°) Démonstration

O





M'

M

u v

1^er cas : M   (z  a)

 _, 

 

M'R_{ } M 

  ^{ }

M M'

M, M' 2

  



    



 



 

arg 2

z a z' a z' a z a

   

 

  

 





 

1

arg 2

z' a z a z' a z a

 

 





 

  

 



 z' a 1 eⁱ z a

 

  

 ^{z' a} ^eⁱ^



^z^a



 ^{z' a}^ ^^eⁱ^



^z^^a



2^e cas : M =  (z = a)

Le point  est invariant par R__{ }_,_.

On a encore :  ⁱ

 

0

e z' a  ^ za

4 IV. Formulaire récapitulatif

1°) Translation de vecteur ^{w a}^

 

^:^z'^{ }^z ^a

2°) Homothétie de centre  et de rapport k : ^z'^^{k z}



^^a



^^a^.

3°) Rotation de centre  et d’angle  : ^z'^^eⁱ^



^z^^a



^^a^.

4°) Mise en garde

Ne pas confondre !   ^*

 , k

h_  ^z'^^k



^z^^a



^^a

 , 

R_{ }  ^z'^^eⁱ^



^z^^a



^^a

  5°) Remarque utile pour les exercices

i 2

e i





i 2

e i

 

  6°) Remarque

S_: symétrie de centre .

 , 1

S_h_{ }

 , 

S_R_{ }

(3)

5 V. Propriétés de conservation

1°) Conservation des milieux

L’image du milieu d’un segment est le milieu du segment image.

2°) Conservation des angles géométriques et des angles orientés

3°) Conservation de l’alignement et de l’ordre des points

4°) Effet sur les distances

Conservation sauf pour les homothéties de rapport k avec k   ^* \ {– 1 ; 1} : multiplication par | k |.

5°) Effet sur les aires

Conservation sauf pour les homothéties de rapport k avec k   ^* \ {– 1 ; 1} : multiplication par k².

VI. Image d’une droite et d’un cercle

1°) Image d’une droite par une translation ou une homothétie : droite parallèle (mais pas pour une rotation)

2°) Image d’un cercle

Pour une translation ou une rotation :

C ^A

r  C ’ A' r 'r

Pour une homothétie :

C ^A

r  C ’ A' r' k r

Nombres complexes (4) Transformations

TS Nombres complexes (4)

Transformations





 

 

 

 

 





 









 





 

   

 

 









 

 

















  ^{ }