On considère la suite ( ) u

PanaMaths Janvier 2012

On considère la suite ( ) u

n

définie par :

0

, 1

2 !

n

n k

k

n u

=

k

∀ ∈ ^` = ∑

Montrer que la suite ( ) u

n

converge vers un nombre irrationnel.

Analyse

On peut s’inspirer de la démarche (classique) consistant à établir que la suite de terme générale

0

1

!

n n

k

u =

∑

₌ k converge vers un réel irrationnel (il s’agir de e).

Résolution

Notons, dans un premier temps, que pour tout entier naturel n, on a :

( )

1

1 1

0 0

1 1 1

2 ! 2 ! 2 1 ! 0

n n

n n k k n

k k

u u

k k n

+

+ +

= =

− = − = >

∑ ∑

+

La suite

( )

un est donc strictement croissante.

Par ailleurs, pour tout entier naturel k, on a : 1 1

2^kk!≤ k! et donc, pour tout entier naturel n :

0 0

1 1

2 ! !

n n

k

k₌ k ≤k₌ k

∑ ∑

^{, soit :}

0

1

!

n n

k

u ≤

∑

₌ k ^. Or, on a classiquement :

0 0

1 1

, lim

! !

n n

k n k

n e

k ^→+∞ k

= =

∀ ∈^`

∑

≤

∑

= ^.

La suite

( )

un est donc majorée (par e).

La suite

( )

un étant croissante et majorée, elle converge.

Nous notons L sa limite.

Pour montrer que le réel L n’est pas rationnel, nous introduisons la suite

( )

vn définie par : , 1

2 !

n n n

n v u

∀ ∈` = + n

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Pour tout n entier naturel, on a :

( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

( )

1 1 1

1 1

1 1

1

1 1

2 1 ! 2 !

1 1

2 1 ! 2 !

1 1 1

2 1 ! 2 1 ! 2 !

2 1

2 1 ! 2 !

1 1

2 1 ! 2 !

1 1 1

2 1 ! !

n n n n n n

n n n n

n n n

n n

n n

n

v v u u

n n

u u

n n

n n n

n n

n n

n n

+ + +

+ +

+ +

+

⎛ ⎞

− = + + −⎜⎝ + ⎟⎠

= − + −

+

= + −

+ +

= −

+

= −

+

⎛ ⎞

= ⎜⎜⎝ + − ⎟⎟⎠

Comme

(

^{n+1 !}

)

^{≥n!, on a :}

(

^{n+11 !}

)

^−n1!≤0 et on en déduit que la suite

( )

vn est décroissante.

Enfin, on a immédiatement : ^lim

( )

^{lim 1 0}

2 !

n n n

n v u n

→+∞ − = →+∞ n = .

Les suites

( )

un et

( )

vn sont respectivement croissante et décroissante et ^lim

(

n n

)

⁰

n v u

→+∞ − = .

On en déduit que les suites

( )

un et

( )

vn sont adjacentes.

Elles admettent donc une limite commune. Comme lim _n

n u L

→+∞ = , on a finalement : lim _n lim _n

n u n v L

→+∞ = →+∞ =

et : 1

, ^{n n} 2ⁿ !

n u L u

∀ ∈` < < + n .

Supposons que la limite L soit un réel rationnel. Posons p

L= q où p et q sont deux entiers naturels premiers entre eux.

Avec l’entier q, l’inégalité précédente s’écrit : 1 2 !

q q q

u p u

q q

< < + . D’où :

2^q ! _q 2^q !p 2^q ! _q 1

q u q q u

< q < +

Or :

( ) ( )

0 0 0

1 2 !

2 ! 2 ! 2 1 ... 1

2 ! 2 !

q

q q q

q q q k

q k k

k k k

q u q q q q k

k k

−

= = =

=

∑

=

∑

=

∑

× − × × + ^.

On en déduit : 2^qq u! _q∈`.

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On a ainsi encadré l’entier ^{2qq!p 2q}

(

^{q 1 !}

)

^p

q = − par deux entiers naturels consécutifs. Les inégalités étant strictes ce résultat est absurde.

Le réel L n’est donc pas rationnel.

Résultat final

La suite de terme général

0

1 2 !

n

n k

k

u =

∑

₌ k est convergente et admet pour limite un réel irrationnel.