J A N V I E R - F É V R I E R 1 9 5 5 L A H O U I L L E B L A N C H E 63
Mécanique des terrains perméables
The mechanics of perméable soils
P A R J. FEREANDON
MAITRE DE CONFÉRENCES A L'ÉCOLE POLYTECHNIQUE
Le texte ci-dessous résume la matière d'une série de conférences faites aux Elèves Ingé- nieurs de l'Institut Polytechnique de Grenoble au cours de la session scolaire i95S-195b. Leur objet est l'examen de certaines propriétés des terrains perméables particulièrement utiles pour les applications.
La première partie expose les lois de l'écoule- ment laminaire en généralisant, par Vintroduc- tion du tenseur de perméabilité, la loi de Darcy aux milieux isotropes.
La seconde partie traite de l'équilibre limite des sols cohérents sans frottement interne et des sols pulvérulents par la méthode analyti- que de Cauchy, par laquelle les lignes de glis- sement apparaissent comme courbes caracté- ristiques d'un système d'équation aux dérivées partielles.
La troisième partie envisage les phénomènes de propagation de discontinuités dans un sol perméable, compte tenu de l'existence de deux phases solide et liquide en présence.
Enfin une note de M. F . Serre sur l'évolution en fonction du temps du tassement des couches argileuses aborde le problème du tassement des fondations d'une manière tout à fait générale.
The following text is a résumé of a séries of lectures delivered to engineering students at the Grenoble Polytechnic Institnte during the 1953-I95Ï session. The object of the lectures was to examine those properties of perméable soils which are of spécial importance in prac- tical problems.
The first part treats the laws of laminar flow.
generalising Darcy's law for isotropic soils by introducing the permeability tensor.
The second part deats with the limiting equilib- rium of cohesive soils without internai fric-
tion, and of cohesionless soils. The analytical method of Cauchy is used and gives the failure Unes as characteristic curves of a System of partial differential équations.
The third part considers the , phenomena of propagation of discontinuâtes in a perméable soil talcing into account the existence of both solid and liquid stages.
Finally a note by M . F . SERRE on the time élément in the seulement of clay strata introdu- ces the problem of foundation seulement in a very gênerai manner.
D E U X I È M E P A R T I E <*>
É T A T S L I M I T E S D E S M A S S I F S F I L T R A N T S L e s m a s s i f s n a t u r e l s ( s a b l e s , a r g i l e s , v a s e s ) sur
l e s q u e l s s o n t édifiés l e s c o n s t r u c t i o n s sont, e n p l u s d e s c h a r g e s s u p e r f i c i e l l e s q u e l e u r t r a n s m e t - t e n t l e s f o n d a t i o n s d e c e s d e r n i e r s , s o l l i c i t é s p a r d e s f o r c e s d e v o l u m e c o m p o r t a n t l e u r p o i d s p r o - p r e e t l e s a c t i o n s , m i s e s e n é v i d e n c e p r é c é d e m - m e n t , d e l ' e a u y filtrant.
L a s e c o n d e p a r t i e d e c e t e x p o s é e s t c o n s a c r é e à l ' e x a m e n d e s c o n d i t i o n s d ' é q u i l i b r e d e c e s s o l s s o u s l e s f o r c e s p r é c i t é e s .
I l y s e r a t r a i t é s u c c e s s i v e m e n t :
— de l ' é t a t l o c a l d e s c o n t r a i n t e s ,
—- de l'état d ' é q u i l i b r e l i m i t e d e s s o l s c o h é r e n t s à f r o t t e m e n t nul,
— de l ' é t a t d ' é q u i l i b r e l i m i t e d e s s o l s p u l v é r u - l e n t s .
(*) La Houille Blanche, n° 4, 1 9 5 4 , pp. 4 6 6 - 4 8 0 .
L e p r e m i e r p o i n t e s t , à d i r e v r a i , c l a s s i q u e , m a i s s a c o n n a i s s a n c e e s t i n d i s p e n s a b l e p o u r l a c o m p r é h e n s i o n d e l a s u i l c . A u d e u x i è m e s ' a t t a - c h e n t d e s é q u a t i o n s i n t é g r a b l e s d ' o ù p r o c è d e n t d e s r é s u l t a t s t a n g i b l e s i m m é d i a t e m e n t u t i l i s a b l e s p a r l ' i n g é n i e u r . Il e n e s t a u t r e m e n t d u d e r n i e r p o u r l e q u e l il f a u d r a s e c o n t e n t e r d e g é n é r a l i t é s e t d e q u e l q u e s r é s u l t a t s p a r t i e l s d ' a i l l e u r s f r u c t u e u x .
I
É T U D E L O C A L E D E S C O N T R A I N T E S
1 . C O N T I N U I T É M A C R O S C O P I Q U E .
L e s s o l s p u l v é r u l e n t s o u c o h é r e n t s f o r m é s p a r la j u x t a p o s i t i o n d ' é l é m e n t s d e n a t u r e , d e f o r m e , et d e d i m e n s i o n s t r è s d i v e r s e s , n e s o n t p a s s u s -
Article published by SHF and available athttp://www.shf-lhb.orgorhttp://dx.doi.org/10.1051/lhb/1955025
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e e p t i b l e s d ' u n e a n a l y s e p r é c i s e f a i s a n t é t a t d e leur c o n s t i t u t i o n i n t e r n e c o m p l e x e . Mais la p l u - p a r t d e s o b s e r v a t i o n s et i n v e s t i g a t i o n s d ' o ù p r o - c è d e n t les r é s u l t a t s utiles a u x i n g é n i e u r s , c o n c e r - n e n t d e s e x t e n s i o n s finies d ' u n n o m b r e si é l e v é d e p a r t i c u l e s q u ' i l a p p a r a î t l é g i t i m e d e l e s t r a i t e r c o m m e d e s c o n t i n u s m a c r o s c o p i q u e s e u é g a r d à la r e c h e r c h e d e s g r a n d e u r s m o y e n n e s c a r a c t é r i s - t i q u e s d e leur état m é c a n i q u e .
2. R E P R É S E N T A T I O N P L A N E D E L A D I S T R I B U T I O N L O C A L E D E S C O N T R A I N T E S .
I! est a i n s i p o s s i b l e d e définir p o u r l e s m a s s i f s e n t e r r e d e s t e n s i o n s i n t e r n e s o u c o n t r a i n t e s a n a - l o g u e s à c e l l e s d e la m é c a n i q u e d e s c o n t i n u s m a - t é r i e l s d é f o r m a b l e s et e n p o s s é d a n t t o u t e s l e s p r o p r i é t é s g é o m é t r i q u e s s u p p o s é e s c o n n u e s d u l e c t e u r . L a p o s s i b i l i t é d ' u n e r e p r é s e n t a t i o n p l a n e d e l'état d e s f o r c e s i n t é r i e u r e s est l ' u n e d e c e l l e s q u i s e r a s o u v e n t p r i s e e n c o n s i d é r a t i o n p a r la s u i t e et d o n t il c o n v i e n t , afin d e fixer, u n e f o i s p o u r t o u t e s , c e r t a i n e s c o n v e n t i o n s et n o t a t i o n s , d e r a p p e l e r s u c c e s s i v e m e n t l e s d é v e l o p p e m e n t s e s s e n t i e l s .
Soit à c e t effet u n m a s s i f c o n t i n u , s u p p o s é t o u t d ' a b o r d bidimensionneL E n t o u t p o i n t M, les a x e s r e c t a n g u l a i r e s d e c o o r d o n n é e s é t a n t d e d i r e c t i o n s q u e l c o n q u e s , et l e s c o m p r e s s i o n s é t a n t c o m p t é e s p o s i t i v e m e n t , s o i e n t Nx, N2, T3 ( n o t a - tions d e L a m é ) l e s c o o r d o n n é e s d u t e n s e u r d e s c o n t r a i n t e s . L e s c o m p o s a n t e s n o r m a l e s N et t a n - g e n t i e l l e s T d e l a c o n t r a i n t e r e l a t i v e à l ' é l é m e n t d e d r o i t e (P) p a s s a n t p a r M et défini p a r l ' a n - gle 0 d e s a n o r m a l e Mn et d e Ox s o n t :
,T N i + N., , Nn No « A , rr. • O A
\ r _ — ^ -|_ — L _ - -—- c o s 2 0 -\- 13 s i n 2 ô ( D 2
N - N..
) .Ali sin 2 0 + Tr> c o s 2 6
D a n s le s v s t è m e d ' a x e s r e c t a n g u l a i r e s liés à ( P ) , Mn, Mt (fig. 13), le p o i n t m (N, T ) d é c r i t ainsi, l o r s q u e 6 v a r i e , le c e r c l e ( F ) p a s s a n t p a r l e s
Fui. 13
p o i n t s m} (N,, T3) et m2 (N2, — T; î) c o r r e s p o n d a n t r e s p e c t i v e m e n t à 0 = 6" et 0 = Or/2), e t d i a m é t r a -
l e m e n t o p p o s é s . L e c e n t r e O d e ( F ) a p o u r a b s - c i s s e = ( 1 / 2 ) (Nx + N2) . L ' a n g l e (m^ om) est é g a l à 2 0. L e s c o n t r a i n t e s p r i n c i p a l e s o n t p o u r g r a n d e u r s l e s a b s c i s s e s a et b d e s p o i n t s A e t B d ' i n t e r s e c t i o n d e ( F ) et d e mn; e l l e s f o n t a v e c Ux les a n g l e s ( 1 / 2 ) (omx A ) et ( 1 / 2 ) (omx B ) , é t a n t e n t e n d u q u e l e s a n g l e s , d a n s le p l a n nMt d e la r e p r é s e n t a t i o n , s o n t c o m p t é s p o s i t i v e m e n t d a n s le s e n s a m e n a n t Mt sur Mn.
L ' e x t e n s i o n d e l a c o r r e s p o n d a n c e c i - d e s s u s a u x m a s s i f s tridimensionnels r é s u l t e d u t h é o - r è m e s u i v a n t d o n t est s e u l e m e n t d o n n é l ' é n o n c é . E n u n p o i n t q u e l c o n q u e M d u m a s s i f , soit @ l a c o n t r a i n t e r e l a t i v e à l ' é l é m e n t p l a n (P) d e n o r - m a l e Mn. Sur Mn p o r t o n s l e s t r o i s p o i n t s A , B , C (fig. 14) d o n t l e s a b s c i s s e s p a r r a p p o r t à l'ori-
,t
(P) (P) M
FIG. 1 4
gine M s o n t l e s v a l e u r s a, b, c d e s c o n t r a i n t e s p r i n c i p a l e s e n M; p u i s , d a n s le p l a n Mn ©, t r a -
ç o n s l e s t r o i s c e r c l e s d e d i a m è t r e A B , B C , C A . L ' e x t r é m i t é m d e l a c o n t r a i n t e © est, q u e l l e q u e soit l a p o s i t i o n d e Mn, intérieure au plus grand des cercles et extérieure aux deux autres.
3 , F R O T T E M E N T I N T E R N E E T C O H É S I O N . C O U L O M B .
L O I D E
L ' e x p é r i e n c e c o n d u i t à a d m e t t r e q u e toute r u p - t u r e d ' é q u i l i b r e d ' u n m a s s i f e n t e r r e , s o u s l ' a c - t i o n d e s o l l i c i t a t i o n s e x t é r i e u r e s p a r t i c u l i è r e s , s ' a m o r c e p a r d e s g l i s s e m e n t s i r r é v e r s i b l e s le l o n g d e c e r t a i n s d e s e s é l é m e n t s d e s u r f a c e . E n u n p o i n t M, soit (P) l ' u n d ' e u x d e n o r m a l e Mn ei
® (N, T ) l a c o n t r a i n t e r e l a t i v e à c e l u i - c i . L a c o n - d i t i o n d e n o n - a p p a r i t i o n d e s d é s o r d r e s e n c a u s e c o n s i s t e e n u n e i n é g a l i t é d e l a f o r m e :
| T | < N t g 9 + C t r a d u i s a n t la loi d e C O U L O M B .
(2)
En t o u t e g é n é r a l i t é , 9 et C d é p e n d e n t d e la p o s i t i o n et d e l ' o r i e n t a t i o n d e Mn. D a n s l ' h y p o - t h è s e , t r è s g é n é r a l e m e n t a d o p t é e p a r la suite, d ' u n sol i s o t r o p e , c e s p a r a m è t r e s sont, e n un point d o n n é , d e s p a r a m è t r e s d é s i g n a n t r e s p e c - t i v e m e n t l ' a n g l e d e frottement interne et la c o h é - s i o n e n c e p o i n t . Si, p a r s u r c r o î t , le m a s s i f e s t h o m o g è n e , c e s q u a n t i t é s sont d e s c o n s t a n t e s a b -
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s o l u e s p e r m e t t a n t , d u p o i n t d e v u e d e l a s t a b i - lité i n t e r n e , d e le c a r a c t é r i s e r .
L a c o n n a i s s a n c e d e la v a l e u r d e s c o e f f i c i e n t s c a r a c t é r i s t i q u e s ? e t C q u i s ' a v è r e ainsi e s s e n - tielle e s t d e m a n d é e à l ' e x p é r i e n c e d a n s c h a q u e c a s p a r t i c u l i e r . Sont d o n n é s , à titre indicatif, d a n s le t a b l e a u c i - d e s s o u s , q u e l q u e s o r d r e s d e g r a n d e u r .
V a l e u r s m o y e n n e s et a p p r o x i m a t i v e s des coefficients c a r a c t é r i s t i q u e s de divers t e r r a i n s
Désignation du sol
Angle de Cohésion Désignation du sol frottement interne C
(en degrés) heciopièzes
S a b l e f i n . . S a b l e l i m o n e u x
o u a r g i l e u x L i m o n
Argile
Argile g r a s s e V a s e .
33 à 35 27 à 33 25 à 33 25 à 27 15 à 25 0 à 15
0,5 à 1 0,2 à 0,5 0,1 à 0,2
L e s m a t é r i a u x p u l v é r u l e n t s o u à c o h é s i o n nulle c o m p r e n n e n t l e s sables, l e s m a t é r i a u x s a n s frot- t e m e n t i n t e r n e , c e r t a i n e s vases et n o t a m m e n t la p l u p a r t d e s v a s e s m a r i n e s g o r g é e s d ' e a u . E n - tre c e s d e u x c a t é g o r i e s e x t r ê m e s s ' é t e n d la g a m m e d e s argiles et d e s marnes.
Il y a l i e u d e n o t e r le c a r a c t è r e a p p r o c h é d e la loi d e C O U L O M B . Celle-ci a s s i g n e e n effet a u x d i v e r s s o l s q u ' e l l e c o n c e r n e u n e c o u r b e intrin- s è q u e f o r m é e d e d e u x d r o i t e s s y m é t r i q u e s p a r r a p p o r t à l ' a x e d e s c o n t r a i n t e s n o r m a l e s , et c e t t e f o r m e n ' e s t m a n i f e s t e m e n t p a s c o m p a t i b l e a v e c la p r o p r i é t é d e c e u x - c i d e se r o m p r e s o u s d e s c h a r g e s d e t r a c t i o n r e l a t i v e m e n t m o d é r é e s . E n fait, si l e s c o u r b e s i n t r i n s è q u e s d e s s a b l e s (fig. 15) se r é d u i s e n t à d e u x d e m i - d r o i t e s d u p l a n
t
(a) (b) (c) \
Fin. 15
n > o p a s s a n t p a r l ' o r i g i n e et i n c l i n é e s d e ± ? ( a n g l e d e f r o t t e m e n t i n t e r n e ) sur T a x e d e s n, c e l l e s d e s v a s e s , (fig. 15 b) et c e l l e s d e s a r g i l e s o u d e s m a r n e s (fig. 15 c) sont c u r v i l i g n e s et a d m e t t e n t r e s p e c t i v e m e n t p o u r a s y m p t o t e s l e s f a i s c e a u x d e d r o i t e s t = =t= C, f = ± n t g 9 + C d o n t e l l e s p o s s è d e n t n a t u r e l l e m e n t la s y m é t r i e
p a r r a p p o r t à l ' a x e d e s n, et a v e c l e s q u e l l e s e l l e s p e u v e n t l é g i t i m e m e n t ê t r e c o n f o n d u e s p o u r l e s c o m p r e s s i o n s q u e l q u e p e u i m p o r t a n t e s . D a n s c e t t e é v e n t u a l i t é , u n m a s s i f i s o t r o p e s e r a d o n c s t a b l e si, e n c h a c u n d e s e s p o i n t s M, la c o n d i - tion (2) est s a t i s f a i t e p o u r t o u t e d i r e c t i o n Mn, a u t r e m e n t dit, si le c e r c l e r e p r é s e n t a t i f d e s c o n - traintes l e s p l u s d a n g e r e u s e s est situé a u - d e s s o u s d e la d r o i t e d ' é q u a t i o n :
t = n tg 9 + C
4 . N O T I O N D ' É Q U I L I B R E L I M I T E .
Il s'agit d ' é t u d i e r , d a n s une c i r c o n s t a n c e très p a r t i c u l i è r e q u i s e r a g é n é r a l i s é e u l t é r i e u r e m e n t , l e s p r o p r i é t é s e s s e n t i e l l e s d ' u n m a s s i f e n t e r r e e n é q u i l i b r e l i m i t e , c ' e s t - à - d i r e tel q u e c e r t a i n e s m o d i f i c a t i o n s t r è s p e t i t e s d e s s o l l i c i t a t i o n s e x t é - r i e u r e s y p r o v o q u e n t d a n s u n e z o n e finie d e s d é - s o r d r e s i r r é v e r s i b l e s . E n tout p o i n t d ' u n t e l m a s - sif, s o u s l e s r é s e r v e s é n o n c é e s c i - d e s s u s , q u a n t à l'intensité d e s p r e s s i o n s , est a l o r s s a t i s f a i t e l'égalité d e C O U L O M B . E s t clone t r è s l i m i t a t i v e - m e n t e n v i s a g é u n m a s s i f pulvérulent ( s a b l e s e c ) d e p o i d s s p é c i f i q u e A et d ' a n g l e d e f r o t t e m e n t i n t e r n e 9, li mi té v e r s le h a u t p a r u n p l a n h o r i -
FIG. 1 6
z o n l a l n o n c h a r g e . S e s é l é m e n t s h o r i z o n t a u x sont p r i n c i p a u x p o u r la d i s t r i b u t i o n d e s c o n t r a i n t e s q u i y r é g n e n t , et à la p r o f o n d e u r //, l'intensité d e la p r e s s i o n v e r t i c a l e est Ay. L a c o n s i d é r a t i o n d e l ' é q u i l i b r e d u m a s s i f n e suffit p a s à d é t e r m i n e r Ja p r e s s i o n p r i n c i p a l e h o r i z o n t a l e Nj q u i p e u t ê t r e c o m p r i s e e n t r e d e u x v a l e u r s e x t r ê m e s N\
et N"^ a b s c i s s e s d e s p o i n t s d ' i n t e r s e c t i o n d e Mn et d e s c e r c l e s d'équilibres limites C et C/' p a s - s a n t p a r le p o i n t d ' a b s c i s s e Ay d e c e t a x e et t a n - g e n t s à la d r o i t e d e C O U L O M B : / = n tg 9 (fig. 1 6 ) . T o u s l e s é t a t s p o s s i b l e s s o n t a i n s i c o m p r i s e n t r e l'état d ' é q u i l i b r e i n f é r i e u r N \ o u d e poussée, et Tétat d ' é q u i l i b r e s u p é r i e u r N"-, o u d e butée sur l e s q u e l s v a p r é c i s é m e n t p o r t e r n o t r e a t t e n t i o n .
D a n s c h a c u n d e c e u x - c i , à c o n d i t i o n d ' a t t r i - 6
- L À H O U I L L E B L A N C H E .JANVIER-FÉVRIER 1 9 5 5
b u e r à l a c o n s t a n t e À l ' u n e o u l ' a u t r e d e s v a l e u r s r é s u l t a n t d i r e c t e m e n t d e l a figure :
j
et q u i c a r a c t é r i s e n t l ' é t a t d e poussée e t l ' é t a t d e butée r e s p e c t i v e m e n t , l e s c o n t r a i n t e s e n t o u t p o i n t r é s u l t e n t d e s e x p r e s s i o n s :
N2 = A y ,
C o n s i d é r o n s Vétat de poussée. E n c h a q u e p o i n t M d u massif, s u r l e s d e u x é l é m e n t s e\ e t e'2 d ' i m a g e s t\ e t t'2> l a c o n t r a i n t e p r é s e n t e a v e c l a n o r m a l e Mn l ' i n c l i n a i s o n m a x i m u m (9 d a n s l e c a s a c t u e l d ' u n s o l p u l v é r u l e n t ) , s y m é t r i q u e s p a r r a p p o r t à l ' h o r i z o n ox, ils s o n t i n c l i n é s sur cet a x e d e s a n g l e s (fig. 17) :
0'* 4 ^ ' 2 = - H i - +
Butée
L ' e n s e m b l e d e s e\ o u éléments de glissement de première espèce e s t p o r t é p a r l e r é s e a u d e s droites de glissement de première espèce d i s - t r i b u é e s e n f a i s c e a u d e p a r a l l è l e s s y m é t r i q u e s p a r r a p p o r t à ox (fig. 17 b). L ' é t a t d e butée c o m - p o r t e d e s r é s u l t a t s a n a l o g u e s . A u x é l é m e n t s e'\
et e "2 d ' i m a g e s if\ e t f'2 (fig. 16) c o r r e s p o n d e n t d e m ê m e l e s lignes de glissement de seconde es- pèce f a i s a n t a v e c ox l e s a n g l e s :
- - p , V'o = - - ^- — - X
et s e g r o u p a n t e n f a i s c e a u x p a r a l l è l e s (fig 17 c ) .
R E M A R Q U E : L e s é q u i l i b r e s l i m i t e s t r è s p a r t i - c u l i e r s d o n n a n t lieu, t e l s c e u x d é c r i t s c i - d e s s u s , à l i g n e s d e g l i s s e m e n t p a r a l l è l e s , sont dits é q u i - l i b r e s d e R A N K I N E .
5. S T R U C T U R E M É C A N I Q U E D E S M A S S I F S E N É Q U I - L I B R E .
Afin d e justifier l e s d é v e l o p p e m e n t s q u i v o n t s u i v r e e t d ' e n f a c i l i t e r l a c o m p r é h e n s i o n , q u e l - q u e s i n d i c a t i o n s s u r l a c o n s t r u c t i o n d e s m a s s i f s e n t e r r e e n é q u i l i b r e sont u t i l e s . U n t e l e n s e m - b l e e s t f o r m é d e z o n e s d e d e u x n a t u r e s . D a n s l e s p r e m i è r e s ( E ) , j u s t i c i a b l e s e n p r e m i è r e a p p r o x i -
m a t i o n d e l a t h é o r i e d e l ' é l a s t i c i t é , l ' é q u i l i b r e e s t surabondant, e t u n e p e t i t e m o d i f i c a t i o n d e l ' é t a t d e s c o n t r a i n t e s r é s u l t a n t d e l a m i s e e n j e u d e f o r - c e s a c c i d e n t e l l e s n ' y d é t e r m i n e n t q u e d e s p e r t u r - b a t i o n s q u a s i - r é v e r s i b l e s . L e c e r c l e r e p r é s e n t a - tif d e s c o n t r a i n t e s l e s p l u s d a n g e r e u s e s e s t e n t o u t p o i n t situé a u - d e s s o u s d e l a d r o i t e d e C O U -
L O M B , t = n tg 9 + C. D a n s l e s s e c o n d e s ( L ) e n équilibre limite, i n f é r i e u r o u s u p é r i e u r , l ' é g a l i t é t = n tg 9 + C e s t e n t o u t p o i n t v é r i f i é e . L e c e r - c l e r e p r é s e n t a t i f d e s c o n t r a i n t e s e s t t a n g e n t à l a d r o i t e d e C O U L O M B . L e s r é g i o n s ( L ) , q u i p e u v e n t d ' a i l l e u r s s ' é v a n o u i r e n a r c s o u e n p o i n t s i s o l é s o ù e s t a t t e i n t l ' é q u i l i b r e l i m i t e , s o n t s é p a r é e s
d e s r é g i o n s ( E ) p a r d e s surfaces de glissements} i n t é r i e u r s a u m a s s i f o u c o n s t i t u a n t t o u t o u p a r - tie d e s a f r o n t i è r e . D a n s l ' é v e n t u a l i t é d e l a d i s - t r i b u t i o n p l a n e d e s m a s s i f s h o r i z o n t a l e m e n t i n - définis, l e s d i r e c t r i c e s d e s s u r f a c e s d e g l i s s e m e n t c y l i n d r i q u e s c o n s t i t u e n t d e s lignes de glissement.
F I G . 1 8
L e s c i r c o n s t a n c e s t r è s g é n é r a l e s s o n t i l l u s t r é e s p a r d e u x e x e m p l e s . L a figure 18 e s t l a c o u p e e n t r a v e r s d ' u n m a s s i f s u r l e p o i n t d e c é d e r r e t e n u p a r u n s o u t è n e m e n t . O n y a t r a c é l a l i g n e d e g l i s s e m e n t y p a r t a n t d u p i e d d u m u r e t s é p a - r a n t l e s z o n e s ( E ) e t ( L ) .
L a figure 19 e s t r e l a t i v e à u n p j e u t r a n s m e t - tant a u s o l s o u s - j a c e n t l a c h a r g e P q u ' i l r e ç o i t en t ê t e . D e u x é v e n t u a l i t é s s o n t à d i s t i n g u e r : o u
( L )
F I G . 1 9
b i e n l a s u r f a c e i n f é r i e u r e d u p i e u c o n s t i t u e la s e u l e z o n e e n é q u i l i b r e l i m i t e , o u b i e n c e t état s ' é t a b l i t d a n s u n e z o n e finie e n t o u r a n t c e t t e e x - t r é m i t é e t s é p a r é e p a r l a l i g n e d e g l i s s e m e n t d u r e s t e d u m a s s i f .
F I G . 17
N i = A y , T3 = 0.
J A N V I E R - F É V R I E R 1 9 5 5 L A H O U I L L E B L A N C H E 67
L ' e x p r e s s i o n ligne de glissement e s t s u s c e p t i - b l e d e s u g g é r e r u n e i n t e r p r é t a t i o n e r r o n é e d u p r o c e s s u s d e r u p t u r e q u ' i l c o n v i e n t d e s i g n a l e r . P o u r l e s s o l s p u l v é r u l e n t s , n o u s v e r r o n s e n effet q u e , sur c h a q u e ligne d e g l i s s e m e n t , l a c o n t r a i n t e fait a v e c l a n o r m a l e l ' a n g l e 9 d e f r o t t e m e n t i n - t e r n e . Il e s t a l o r s t e n t a n t d ' i m a g i n e r l a r u p t u r e c o m m e u n g l i s s e m e n t d e s z o n e s ( L ) sur l e s z o - n e s ( E ) s a n s d é f o r m a t i o n à l ' i n t é r i e u r d e c e s r é g i o n s r e s p e c t i v e s . Mais c e t y p e d e m o u v e m e n t n ' e s t c i n é m a t i q u e m e n t p o s s i b l e q u e si l e s l i g n e s d e g l i s s e m e n t s e r é d u i s e n t à d e s a r c s d e c e r c l e s o u à d e s s e g m e n t s d e d r o i t e s . Il r é s u l t e r a d ' u n e a n a l y s e u l t é r i e u r e q u e l e u r r é s e a u est l o i n d'of- frir u n e telle s i m p l i c i t é . E n fait, l ' o b s e r v a t i o n d e s g l i s s e m e n t s d e talus, p a r e x e m p l e , m o n t r e q u ' e n - t r e d e u x z o n e s e n m o u v e m e n t relatif a p p a r e m - m e n t i n d é f o r m é e s , p r e n n e n t n a i s s a n c e d e s z o n e s t r o u b l é e s d e s i n g u l a r i t é s t e l l e s q u e f a i l l e s , d é c h i - r e m e n t » y r e n d a n t i l l u s o i r e t o u t e i n v e s t i g a t i o n q u a n t i t a t i v e .
II
T H É O R I E D E L ' É Q U I L I B R E L I M I T E D E S SOLS C O H É R E N T S S A N S F R O T T E M E N T I N T E R N E 1.
P l u s i e u r s r a i s o n s m i l i t e n t e n f a v e u r d ' u n e é t u d e d é t a i l l é e d e s é t a t s l i m i t e s d e s s o l s d é p o u r - v u s d e f r o t t e m e n t i n t e r n e , d o n t c e r t a i n e s v a s e s m a r i n e s c o n s t i t u e n t u n e x e m p l e d ' u n e v a s t e e x - t e n s i o n :
— L e u r c o n s i d é r a t i o n c o n d u i t à d e s p r o b l è m e s t r è s g é n é r a l e m e n t i n t é g r a b l e s d o n t l e s s o - l u t i o n s s e r v i r o n t d e g u i d e s q u a l i t a t i f s l o r s d e c i r c o n s t a n c e s m o i n s f a v o r a b l e s a u x d é - v e l o p p e m e n t s a n a l y t i q u e s ;
— L e s r é s u l t a t s c o n c e r n a n t l e s s o l s p u l v é r u l e n t s n e p e u v e n t l e u r ê t r e é t e n d u s p a r l e j e u d e s t h é o r è m e s d e s é t a t s c o r r e s p o n d a n t s (*)
d o n t l ' é n o n c é s ' a v è r e i l l u s o i r e e n c e q u i l e s c o n c e r n e ; f o r c e est d o n c d e p r o c é d e r à u n e a n a l y s e d i r e c t e ;
<*) T h é o r è m e des é t a t s c o r r e s p o n d a n t s (CAQUOT) : U n s y s t è m e c o h é r e n t (v, C) est en é q u i l i b r e si l'on p e u t lui f a i r e c o r r e s p o n d r e un m i l i e u p u l v é r u l e n t en équi- l i b r e , o c c u p a n t le m ê m e espace, a d m e t t a n t le m ê m e f r o t - t e m e n t a p p a r e n t i n t e r n e 0 0 et s o u m i s , s u r les p a r o i s qui le l i m i t e n t , a u x m ê m e s efforts que le m i l i e u c o h é r e n t , a u g m e n t é de l a p r e s s i o n h y d r o s t a t i q u e :
H = — C cotg 9
— Enfin, l o r s d e s r u p t u r e s d e m a s s i f s g o r g é s d ' e a u , il s e m b l e b i e n q u e le f r o t t e m e n t » e n - tre g r a i n s n ' a y a n t e n c e t t e c i r c o n s t a n c e q u e d e s c o n t a c t s f o r t u i t s d ' i m p o r t a n c e n é g l i - g e a b l e , e s t n u l o u quasi-nul» et q u e s u b - siste l a s e u l e c o h é s i o n c o m m e c o n s é q u e n c e d ' a t t r a c t i o n s i n t e r n e s .
E n v u e d ' u n e t e l l e a n a l y s e , l e s o l e s t s u p p o s é s o u m i s à d e s a c t i o n s s u p e r f i c i e l l e s q u i s e r o n t é v e n t u e l l e m e n t p r é c i s é e s u l t é r i e u r e m e n t et à d e s f o r c e s d e v o l u m e c o m p o r t a n t l e s f o r c e s g r a v i f i - q u e s et l e s f o r c e s h y d r o d y n a m i q u e s d e r é s u l - t a n t e :
d F = — g v a d \ ô>$ + [A — ET(1 — m)] y V (O y? v e r t i c a l e a s c e n d a n t e ) , sur t o u t e p a r t i c u l e m a c r o s c o p i q u e d e v o l u m e dV 1 . 3 . 4 .
D é s i g n a n t p a r :
0 = A — S (1 _ m) <*> (2)
le p o i d s s p é c i f i q u e d u s o l , c o m p t e t e n u d e l a p o u s s é e a r c h i m é d i e n n e , e t p a r :
Y = a > # + S y , (3)
le p o t e n t i e l t o t a l d o n t l e s f o r c e s d e v o l u m e d é r i - vent, il v i e n t i n d i f f é r e m m e n t :
d F = — g r a d ( w # + 0 y) d V = — g r a d Y d V e t l e s f o r c e s p a r u n i t é d e v o l u m e p a r t i c u l a i r e o n t p o u r p r o j e c t i o n s sur l e s a x e s : :
dx ' *dy
'
Zz2. E Q U A T I O N S I N D É F I N I E S D ' É Q U I L I B R E L I M I T E .
E s t e n v i s a g é l i m i t a t i v e m e n t u n m a s s i f d é - p o u r v u d e f r o t t e m e n t i n t e r n e , d e c o h é s i o n C, r a p p o r t é a u x a x e s r e c t a n g u l a i r e s Ox, Oy (verti- c a l e a s c e n d a n t e ) , d e p o i d s s p é c i f i q u e A, s o l l i c i t é p a r d e s f o r c e s d e v o l u m e d e l ' e s p è c e d é c r i t e c i - d e s s u s . D a n s c e t t e h y p o t h è s e et e n d e h o r s d e s z o n e s d ' a p p a r i t i o n d e r u p t u r e p a r t r a c t i o n , e s t défini c o m m e état limite c e l u i p o u r l e q u e l l e c e r c l e (C) r e p r é s e n t a t i f d e s c o n t r a i n t e s (fig. 20) a p o u r r a y o n l a v a l e u r C d e l a c o h é s i o n , e t s e r e t r o u v e p a r s u i t e t a n g e n t a u x d r o i t e s t = =t= C a u x p o i n t s tt et t2, i m a g e s d e s é l é m e n t s p o u r l e s q u e l s l ' i n c l i n a i s o n d e l a c o n t r a i n t e sur l a n o r -
( * ) A désigne le poids spécifique a p p a r e n t de l a p h a s e solide c o n t e n u d a n s le v o l u m e d X) d o n t le p o i d s t o t a l est A d T .
68 L A H O U I L L E B L A N C H E J A N V I E R - F É V R I E R 1 9 5 5
m a i e Mn est m a x i m u m . Ces é l é m e n t s , dits d e glissement, sont o r t h o g o n a u x . L e s l i g n e s d e glis- s e m e n t q u i leur s o n t t a n g e n t e s c o n s t i t u e n t ainsi un r é s e a u r é e l d e d e u x f a m i l l e s d i s t i n c t e s (Tx)
t
c
j V m , ( NtJ3îc
f
j V m , ( NtJ3î
M
m2( N2T5) \ ^ JzQJ
ti FIG. 20
et ( F o ) , d ' a r c s S3 et S2. P a r tout p o i n t d u m a s s i f p a s s e n t d e u x t e l l e s c o u r b e s o r t h o g o n a l e s . S o i e n t 9 (fig. 21) F a n g l e d e l a d i r e c t i o n ( Fa) a v e c la v e r - t i c a l e My et 91 la p r e s s i o n m o y e n n e e n M, o u d e m i - s o m m e d e s p r e s s i o n s p r i n c i p a l e s , N1 ? N2, T3,
FIG. 2 1
les c o o r d o n n é e s d u t e n s e u r d e s c o n t r a i n t e s r e l a - tif au point M. C o m p t e t e n u d e Fégalité é v i - d e n t e :
5 1 = 1/2 0 \ \ + N2)
par la c o n s i d é r a t i o n d e la figure (1), il vient l e s r e l a t i o n s :
N, = 91 + C sin 2 0 .91 — C sin 2 0 - C c o s 2 0
( 4 )
d é f i n i s s a n t les c o m p o s a n t e s d e L A M É p r o p r e s à l ' é q u i l i b r e l i m i t e , e n f o n c t i o n d e s d e u x p a r a m è - tres 91 et 6. P a r l ' i n t r o d u c t i o n d e c e u x - c i , les é q u a t i o n s i n d é f i n i e s d e l ' é q u i l i b r e :
3 N , 0,
dx
+
3 T:î "dx dr3 T3
dx •ày +
dr
3 . ' /
= 0, en p o s a n t :
s ' é c r i v e n t :
[ - j L + 2 C c o s 2 6 - | 1 + 2 C s i n 2 f l ^
\ dx dx dy
— 2 C c o s 2 6 — -
3 # ?>ij
+ 2 C s i n 2 6 ~
= 0, (6)
= 0.
E l l e s c o n s t i t u e n t u n s y s t è m e d e d e u x é q u a - tions a u x d é r i v é e s p a r t i e l l e s d e TC et 6, d o n t v a ê t r e e n t r e p r i s e l a d i s c u s s i o n .
3 . L E P R O B L È M E D E C A U C H Y P O U R L E S F O N C T I O N S % ( O U 91) E T 6.
C h e r c h o n s à q u e l l e s c o n d i t i o n s est p o s s i b l e la d é t e r m i n a t i o n d e d e u x f o n c t i o n s TC et 6, s o l u t i o n s d u s y s t è m e (6) p r e n a n t sur u n a r c y (£, TJ) a p p a r - t e n a n t a u m a s s i f d e s v a l e u r s TC ( Ê , 'n), 0 &, y\) ré- s u l t a n t d ' u n e d i s t r i b u t i o n d o n n é e d e s c o n t r a i n t e s le l o n g d e y. E s t ainsi p o s é le p r o b l è m e d e C A U -
C H Y p o u r l e s é q u a t i o n s ( 6 ) . C e l l e s - c i , é c r i t e s p o u r :r = l, y = TJ et l e s r e l a t i o n s :
, 3TC » . 3TC
f o r m e n t , p a r r a p p o r t a u x d é r i v é e s p a r t i e l l e s d e s f o n c t i o n s TC et 0, u n s y s t è m e l i n é a i r e d e q u a t r e é q u a t i o n s à q u a t r e i n c o n n u e s d o n t le d é t e r m i - n a n t e s t :
D
1 0 dl 0
0 1 tfr, 0
2 C c o s 2 0 2 C sin 2 0
0 dl
2 C sin 2 6 2 C c o s 2 0
0 d Y]
— 2 CCcos Od£ + sin Odïi) (•— sinO r / ^ + c o s Orfr,) Si D est d i f f é r e n t d e z é r o sur (y), l a r é s o l u t i o n d e s é q u a t i o n s est p o s s i b l e sur c e t t e l i g n e . P a r d i f f é r e n c i a t i o n s s u c c e s s i v e s o n p e u t a l o r s c a l c u l e r d e s d é r i v é e s d e t o u s o r d r e s d e TC et 0 et c o n s t r u i r e les d é v e l o p p e m e n t s t a y l o r i e n s d e c e s f o n c t i o n s a u v o i s i n a g e d e y.
L ' a n n u l a t i o n d e D, e n t r a î n a n t u n e impossibi- lité o u u n e indétermination p o u r l a r é s o l u t i o n e n q u e s t i o n se p r o d u i t , si Varc y se confond avec une ligne de glissement. Si c e l l e - c i est d e p r e - m i è r e e s p è c e ( f a m i l l e Vt) :
c o s 6 d t - f sin Ô d tj = 0
Si c ' e s t u n e ligne d e s e c o n d e e s p è c e ( f a m i l l e Fo) :
c o s
91 + Y ( 5 )
ô + - J -
j
d l + sin +j
d 7] = 0On e n c o n c l u t q u e l a r é s o l u t i o n d u p r o b l è m e
JANVIER-FÉVRIER 1 9 5 5 L À H O U I L L E B L A N C H E
cle C A U C H Y est g é n é r a l e m e n t impossible à p a r t i r d e s d o n n é e s a r b i t r a i r e s %{\, TJ), 0 (Ç, tq) r e l a t i v e s à u n e l i g n e d e g l i s s e m e n t q u e l c o n q u e d u massif.
P o u r q u ' e l l e soit indéterminée doit e x i s t e r e n o u - tre, e n t r e l e s d o n n é e s % et G et p o u r c h a c u n e d e s f a m i l l e s ( I \ ) e t ( P2) , u n e r e l a t i o n d i f f é r e n t i e l l e q u e n o u s a l l o n s f o r m e r t*). A cet effet, m u l t i p l i o n s la p r e m i è r e é q u a t i o n (6) p a r dl= — s i n O d s ^ l a s e c o n d e p a r d t\ = c o s 6 dslt et a j o u t o n s , il v i e n t :
d T: — 2 C d 0 = 0, le l o n g d e s
D e m ê m e , m u l t i p l i o n s l a p r e m i è r e é q u a t i o n (6) p a r :
d l = — c o s 0 ds2 la s e c o n d e p a r :
d T j = - sin ô ds2, et a j o u t o n s , il vient :
tfx + 2 C e / 8 = : 0 le l o n g d e s ( F2) . E n r é s u m é , aux lignes de glissement ( I \ ) et ( r2) de première et de seconde espèce, sont r e s - p e c t i v e m e n t a t t a c h é s l e s s y s t è m e s d i f f é r e n t i e l s :
t c o s 0 d i + sin 0 d -r\ == 0
t dx — 2 C d Ô = 0 ( }
j sin 0 d Z — c o s 0 d T, == 0 ( d 7 r + 2 C d O = 0
Si (y) n ' e s t p a s l i g n e d e g l i s s e m e n t du massif, p a r t o u t p o i n t M i n t é r i e u r a u q u a d r i l a t è r e f o r m é p a r q u a t r e lignes d e g l i s s e m e n t , d e u x à d e u x i s s u e s d e s e x t r é m i t é s d e y (fig- 2 2 ) , p a s s e n t d e u x l i g n e s d e g l i s s e m e n t r e n c o n t r a n t y e n a et £ e n t r e s e s e x t r é m i t é s A et B , C h a c u n e d e c e s l i g n e s é t a - blit u n e r e l a t i o n e n t r e l e s v a l e u r s d e et G e n M;
FIG. 22
% et 6 y sont d o n c b i e n d é t e r m i n é e s . A u c o n t r a i r e , p o u r u n p o i n t e x t é r i e u r a u q u a d r i l a t è r e d e s l i g n e s d e g l i s s e m e n t , o n n e p e u t m e n e r q u ' u n e s e u l e o u z é r o l i g n e d e g l i s s e m e n t r e n c o n t r a n t (y). Suivant
(*) Ces r e l a t i o n s t r a d u i s e n t en fait J'équilibre du q u a - d r i l a t è r e infinitésimal de côtés dsi et ds<>> f o r m é p a r l'in- t e r s e c t i o n de d e u x lign'es (ri ) et de deux lignes (f2) infi- n i m e n t v o i s i n e s .
les r é g i o n s du p l a n , la s o l u t i o n est soit d é t e r m i - n é e , soit s i m p l e m e n t o u d o u b l e m e n t i n d é t e r - m i n é e .
R E M A R Q U E . — L e s l i g n e s d e g l i s s e m e n t a p p a - r a i s s e n t ainsi, d u p o i n t d e vue a n a l y t i q u e , c o m m e les lignes caractéristiques du système d ' é q u a t i o n a u x d é r i v é e s p a r t i e l l e s ( 6 ) . L e r a i s o n n e m e n t f a i l m o n t r e q u ' e l l e s s o n t r é e l l e s . L e s r e l a t i o n s (7) et (8), qui e x p r i m e n t l e s c o n d i t i o n s p o u r q u e le p r o b l è m e d e C A U C H Y , g é n é r a l e m e n t i m p o s s i b l e à p a r t i r d e d o n n é e s a r b i t r a i r e s d e z et 0 le long d ' u n e ligne c a r a c t é r i s t i q u e , soit i n d é t e r m i n é , sont d i t e s caractéristiques d u s y s t è m e e n c a u s e .
4 . P R O P R I É T É S G É N É R A L E S D E S L I G N E S D E G L I S S E - M E N T E T D E C E R T A I N E S F O N C T I O N S S ' Y R A T - T A C H A N T .
L ' e x i s t e n c e d ' u n r é s e a u d e l i g n e s d e g l i s s e m e n t a y a n t été m i s e n é v i d e n c e , il s e m b l e d ' a u t a n t p l u s i n d i q u é d'y r a p p o r t e r l e m a s s i f e n v u e d e l ' é t u d e d e s o n état l i m i t e q u ' i l c o n s t i t u e u n s y s - t è m e n a t u r e l d e c o o r d o n n é e s o r t h o g o n a l e s p a r - t i c u l i è r e m e n t a p p r o p r i é à c e t t e fin.
S o i e n t d o n c , r e l a t i v e m e n t a u r e p è r e p r i m i t i f x o y p a r r a p p o r t a u q u e l l e s c o o r d o n n é e s d ' u n p o i n t q u e l c o n q u e d ' u n e l i g n e d e g l i s s e m e n t sont t o u j o u r s d é s i g n é e s p a r 5 v\ :
u (Ç -n) = O , v (X v0 = Q» (9) les é q u a t i o n s d e s l i g n e s d e g l i s s e m e n t d e s e c o n d e
e s p è c e (T2) et d e p r e m i è r e e s p è c e ( r , ) r e s p e c t i v e -
FIG. 23
m e n t . Ces d e r n i è r e s s o n t o r i e n t é e s c o m m e p r é c i s é sur la figure 23, et p a r l ' i n t r o d u c t i o n d e s q u a n - tités p o s i t i v e s Ex, E2,
d é f i n i e s p a r :
( 1 0 ) l e u r s a r c s é l é m e n t a i r e s ont p o u r e x p r e s s i o n s :
dsx = Et du ( p o u r F - , ) , ds» = E2 du ( p o u r F2) (11) L a m i s e e n œ u v r e d e s d é f i n i t i o n s n o u v e l l e s a i n s i p r é c i s é e s c o n d u i t t r è s d i r e c t e m e n t à q u e l -
q u e s p r o p r i é t é s i m p o r t a n t e s q u i v o n t ê t r e e x - p o s é e s ,
7 0 L A H O U I L L E B L A N C H E J A N V I E R - F É V R I E R 1 9 5 5
a) Transformation des équations caractéristiques.
A u x s y s t è m e s (7) e t ( 8 ) , r e l a t i f s a u x l i g n e s d e g l i s s e m e n t , s e s u b s t i t u e n t a i n s i l e s é q u a t i o n s :
3 . du
3TC
+ Ex sin 6 39
: 0 , | 3 - — Ex c o s
ou 6 = 0
(12) 2 C ~ = 0, (le l o n g d e t o u t e Fj) du ou
| |+E2c o s ( 0, 4- Eo sin 3y *
6 = 0 (13) j?!! _l 2 C | i = 0, (le l o n g d e t o u t e F2)
3y ' d u
b) Courbure des lignes de glissement.
L a c o u r b u r e kx d e s l i g n e s (Tx) et c e l l e k2 d e s l i g n e s ( r2) , q u i ont r e s p e c t i v e m e n t p o u r v a l e u r s :
k ^ - L ^ - , k * = 4 - ^ > (14)
Exdu E2 dv
s a t i s f o n t k d e s é q u a t i o n s d i f f é r e n t i e l l e s i n t é g r a - b l e s q u i v o n t ê t r e f o r m é e s . A c e t effet, l ' i d e n t i - fication d e s d é r i v é e s s e c o n d e s d2 l/du dv, d é d u i - t e s d e s p r e m i è r e s é q u a t i o n s (12) e t (13) d o n n e :
s i n 0 3 EX
dv • Ex C O S ô ~ dv
• c o s 9 3 E2 du -4- Eo sm ô
3 u et d e m ê m e p a r l a c o n s i d é r a t i o n d e s d é r i v é e s d2 V 3 a dv, il vient ;:
c os 6 - | ^ L — E , s i n ô | *
dv dv
— — s m 1 3 E o soit e n r é s o l v a n t e n 3 Ex
3tf
F 30
3 n et 3 E2
E2 c o s 6 du 3 E2
du
dv * du p u i s , c o m p t e t e n u d e (14)
1 3 E , du
E, Eo 3 » k,
9 E , EtE2 3 u (16) Dérivant ensuite chacune des équations (.15) par du et 3y respectivement, il vient pour valeur commune de :
320
_
b 3 EX , „ 9/c, Suau '
( 1 7 )
Or, les relations caractéristiques (deuxièmes équations (12) et (13)) dérivées, soit :
92 7!
du dv du dv du dv 2 C 32ô
3 u dv = 0
e n t r a î n e n t l a n u l l i t é d e ( 32 Si;) = 0, c e q u i , p a r ( 1 7 ) , a s s i g n e a u x c o u r b u r e s d e s a t i s f a i r e a u s y s t è m e :
1 dkx
E2 dv
q u i , p u i s q u e
1 dkx
— 7 ^ = 0,
dk, 1
Ex 3 «
E2 dv ds2
d e v i e n t finalement : dkx
1 E ,
a\s2 - ^ = 0, 3A:2 d s3
3 £2 3 «
+ *
2dk2 dsi
0. (18) S o u s c e t t e f o r m e , F i n t é g r a t i o n a n n o n c é e e s t i m m é d i a t e et, e n d é s i g n a n t p a r gx et ?2 l e s r a y o n s d e c o u r b u r e d e s l i g n e s d e g l i s s e m e n t ( Fx) e t ( r2) , d o n n e l e s r e l a t i o n s :
H + s2 = O , te — * i = Cto,
p r o p r e s à p e r m e t t r e le t r a c e d e s l i g n e s d e g l i s - s e m e n t à p a r t i r , p a r e x e m p l e , d e d e u x l i g n e s d e g l i s s e m e n t d e c h a q u e s y s t è m e s e c o u p a n t e n u n p o i n t .
c) Recherche directe des fonctions et 6.
L e p r o b l è m e d e l a r e c h e r c h e d e s l i g n e s d e glis- s e m e n t et p a r s u i t e c e l u i d e l a d é t e r m i n a t i o n d e s f o n c t i o n s % e t 6, à p a r t i r d e s d o n n é e s d e c e l l e - c i sur u n e c o u r b e d u m a s s i f [3] s o n t a i n s i g é o m é - t r i q u e m e n t r é s o l u s . Ce d e r n i e r p e u t t o u t e f o i s ê t r e a b o r d é d ' u n e a u t r e m a n i è r e , et l e s c o n s é q u e n c e s q u i s ' e n s u i v e n t p r é s e n t e n t q u e l q u e i n t é r ê t .
C o n s i d é r o n s l e s r e l a t i o n s c a r a c t é r i s t i q u e s (12) et ( 1 3 ) . E n t o u t e g é n é r a l i t é , f (v) e t g (u) d é s i - g n a n t d e u x f o n c t i o n s a r b i t r a i r e s d e s v a r i a b l e s , e l l e s s ' i n d i q u e n t p a r :
• 2 C e = f (v), 7C + 2 C ô = #(tt) P l u s i e u r s c a s d o i v e n t ê t r e e n v i s a g é s :
1° / et g d é p e n d e n t e f f e c t i v e m e n t d e s v a r i a b l e s . P a r u n c h a n g e m e n t d e f o n c t i o n s c o n v e n a b l e s , il e s t a l o r s p o s s i b l e d e r é d u i r e le s y s t è m e p r é c é - d e n t à :
TC 2C 0 = C v, 7c + 2 C 0 = C n , (20)
d ' o ù :
% = C u -f- v u — v (21
J A N V I E R - F É V R I E R 1 9 5 5 LA H O U I L L E B L A N C H E 71
Ainsi, l a c o n n a i s s a n c e d e s c o o r d o n n é e s c u r v i - l i g n e s u et y d ' u n p o i n t d u m a s s i f é q u i v a u t à c e l l e d e s f o n c t i o n s % et G e n c e p o i n t . Or, d a n s l e r é s e a u c o o r d o n n é (Tl9 r2) , c e l l e s - c i s o n t l i é e s a u x a b s c i s s e s c u r v i l i g n e s sl9s2 p a r l e s é q u a t i o n s (11) i n t é g r é e s , si b i e n q u ' e n définitive t o u t e l a q u e s - tion e s t r é g i e p a r l e s f o n c t i o n s Ex(u.v) E2(u.v).
C'est l ' é q u a t i o n a u x d é r i v é e s p a r t i e l l e s c o m m u n e , à l a q u e l l e c h a c u n e d ' e l l e s satisfait, q u i v a m a i n - t e n a n t ê t r e f o r m é e . C o m p t e t e n u d e (21), l a d é r i - v a t i o n d é j à e f f e c t u é e d e s p r e m i è r e s é q u a t i o n s (12) et (13) r e l a t i v e m e n t k u et v d o n n e :
d2l du dv
du du
- Et c o s G— sin G dE, du
1 7)Y
E2 sin G — c o s 0
2 ou
~ E, sin G + c o s G
l ou 1 fi - a ^ E o
~— E.> c o s G — sin Ô - -
2 ou d ' o ù :
E 9 = — 2
du ' E i = — 2 3 E2 du s o i t p a r s é p a r a t i o n d e s f o n c t i o n s , l e s d e u x é q u a - t i o n s d u s e c o n d o r d r e c h e r c h é e s :
d2 E,
du du 4
d2 En
du du 4 E2 = 0 (22) i d e n t i q u e s , d u t y p e c l a s s i q u e d e s télégraphistes, et p o u r l ' i n t é g r a t i o n d e s q u e l l e s o n s e r e p o r t e r a a u x t r a i t é s d ' a n a l y s e s .
2° / e t g s e r é d u i s e n t à d e s c o n s t a n t e s o et b.
% et G s o n t a l o r s c o n s t a n t s d a n s t o u t le m i l i e u , l e s l i g n e s d e g l i s s e m e n t c o n s t i t u e n t u n r é s e a u d e droites o r t h o g o n a l e s . C'est l e c a s d e R A N K Ï N E é v o - q u é c i - d e s s u s . Il c o n v i e n t d e n o t e r q u e p a r l a d é f i n i t i o n d e w = 91 + ts $ + S y, c e t t e é v e n t u a - lité i m p l i q u e d e s c o n d i t i o n s a u x l i m i t e s c o n v e - n a b l e s t a n t p o u r l e s p r e s s i o n s (.91) q u e p o u r l ' é c o u l e m e n t d e filtration (#) q u i r è g n e d a n s l e m a s s i f .
3° U n e s e u l e d e s d e u x f o n c t i o n s , p a r e x e m p l e g, s e r é d u i t à u n e c o n s t a n t e b. L e s d e u x r e l a - t i o n s c a r a c t é r i s t i q u e s q u i s ' i n t è g r e n t p a r :
W _ 2 c e = / ( D ) , Z + 2 C G : (23) d o n n e n t :
2% = f(v) +b, 2CQ = b — f(v)
G étant i n d é p e n d a n t d e u, l'intégration d e la
p r e m i è r e é q u a t i o n (7; d o n n e , p a r la f o n c t i o n a r b i t r a i r e h (v) :
c o s 0 5 + sin G t\ = h (v) (24)
L e s l i g n e s d e p r e m i è r e e s p è c e ( rx) c o n s t i t u e n t un faisceau de droites à u n p a r a m è t r e , t a n g e n - tes à une c o u r b e (C) (fig. 2 4 ) . L e s l i g n e s d e s e -
(b) FIG. 2 4
c o n d e e s p è c e (P2) t r a j e c t o i r e s o r t h o g o n a l e s d e s ( Fx) s o n t l e s développantes d e (C). L e l o n g d ' u n e l i g n e d e p r e m i è r e e s p è c e , % e s t c o n s t a n t , c e q u i i m p l i q u e c o m m e e n 2° d e s c o n d i t i o n s d e c h a r - g e m e n t et u n p o t e n t i e l d ' é c o u l e m e n t p a r t i c u l i e r s . Cette c i r c o n s t a n c e p r é s e n t e u n c a s d e d é g é n é r e s - c e n c e l o r s q u e (C) s ' é v a n o u i t p o n c t u e l l e m e n t . L e s (Tj) s o n t a l o r s l e s r a y o n s d e s c e r c l e s c o n c e n t r i - q u e s ( r2) (fig. 24 6 ) .
5. E Q U I L I B R E L I M I T E P A R A L L È L E .
L e s g é n é r a l i t é s t h é o r i q u e s d é v e l o p p é e s c i - d e s - s u s s o n t p r é c i s é e s sur le c a s p a r t i c u l i e r d e l ' é q u i - libre l i m i t e p a r a l l è l e p o u r l e q u e l , p a r d é f i n i t i o n , les f o n c t i o n s 91 = 1/2 (Nx + N2) et G d e m e u r e n t
c o n s t a n t e s l e l o n g d e d r o i t e s p a r a l l è l e s à l ' a x e OX f a i s a n t l ' a n g l e i a v e c l ' h o r i z o n t a l e ox (fig. 2 5 ) .
FIG. 2 5
Cette s i t u a t i o n e s t n o t a m m e n t à c o n s i d é r e r p o u r la d é t e r m i n a t i o n d e s d i m e n s i o n s l i m i t e s d e s t a l u s s u s c e p t i b l e s d ' e n a s s u r e r l a s t a b i l i t é . S o i e n t M u n p o i n t d u m a s s i f d ' o r d o n n é e y e t l e s l i g n e s d e g l i s s e m e n t d e c e p o i n t ( Fx) et ( r2) q u i c o u p e n t l a d r o i t e d ' o r d o n n é e y + d y r e s p e c t i v e m e n t e n M\
et M V L e l o n g d e c h a c u n d e s é l é m e n t s d e c e s l i g n e s , d e l o n g u e u r dst e t ds2t l e s o r d o n n é e s l e t 7j d e M s u b i s s e n t d e s v a r i a t i o n s :
dlt — — sin G dst9 d l„ = - c o s 0 ds\>.
d t\x = c o s G dsx (25) d v)2 = sin 0 ds.2
L A H O U I L L E B L A N C H E JANVIER-FÉVRIER 1 9 5 5
et la v a r i a t i o n d ' o r d o n n é e a m a n i f e s t e m e n t p o u r e x p r e s s i o n s :
rf y = — sin (Ô — i) d$2 = c o s (0 — i) dsx (26) D ' a u t r e p a r t , l e s v a r i a t i o n s d e 91 et d e 0 sont les m ê m e s d a n s l e s m ê m e s c o n d i t i o n s , et l e u r s v a l e u r s , r e l a t i v e s à l a d r o i t e d ' o r d o n n é e y + d y, s a t i s f o n t a u x é q u a t i o n s s i m u l t a n é e s :
d dl — 2 C d 0 + rf Y j = 0 rf 3 1 + 2 C rf G + rf Y2 == 0
(27)
c o n s é q u e n c e s d e s r e l a t i o n s c a r a c t é r i s t i q u e s et o ù dYx et d Y2 d é s i g n e n t r e s p e c t i v e m e n t l e s v a - r i a t i o n s d e Y — w $ -|- S y le long d e ( I \ ) et ( r2) à p a r t i r d u p o i n t M. Ces d e r n i è r e s q u a n t i t é s , c o m p t e l e n u d e (25), o n t d ' a i l l e u r s p o u r v a l e u r s :
d \ \
d Yo =
~ sin G dsd\ x + c o s G ds^ dr_
d~n dl c o s G ds.,- J ) Y
3ti
(28)
soit e n c o r e p a r (26) :
d Yx
= 5?-
s i n 0 + c o s Gsin 0 rf,%
Y c o s (G — i)
dY d y
rfY2 = f -3 1
9?
ds, c o s (0 — z)
A | 3Y . , \ dy
c o s G - — — - sin 0 — — '
dt\ sin (G — i)
dr dy ds2 sin (G — ï) E x p l i c i t a n t l e s d é r i v é e s p a r t i e l l e s d e Y p a r l'in- t r o d u c t i o n d e la v i t e s s e d e filtration :
V = — K g r a d
(K c o e f f i c i e n t d e p e r m é a b i l i t é d u s o l h o m o g è n e et i s o t r o p e ) d ' i n t e n s i t é V, f a i s a n t a n g l e a a v e c ox en p o s a n t :
il vient :
9Y =
dl
p u i s : d YT =
d Yo =
ô? V K S
& -, dr
• — SX C O S a, — - 9*0
(30)
B X s i n a + S,
S [X sin (G — a) + c o s G]
5 [ — X c o s (G — a) + sin G]
dy c o s (G -
d*
•i)
sin (G — i)
E n f i n p a r (31), le s y s t è m e (27) d e v i e n t : i d 91 — 2 C d G - f 8 [X s i n (G — tt) + c o s 0 ] Y
c o s (0 — O f d dl + 2 C d G + S [ — X c o s (G — a) + s i n G]
Sa r é s o l u t i o n e n d y et d dl d o n n e : 2 C
(32) - = 0
ddl
a v e c : 2 C
sin 2 (0 — i) d G,
[ s i n (2 G — i) — X c o s (2 6-
[x = X c o s (i — a) — s i n i.
sin (0 — i)
(33)
. — i ) ] rfG (34)
(35) L ' i n t é g r a t i o n n é c e s s i t e l a c o n n a i s s a n c e d e s f o n c t i o n s X et ^, c ' e s t - à - d i r e c e l l e d u c h a m p d e s v i t e s s e d e filtration. S u p p o s o n s , c e q u i e s t t o u - j o u r s l i c i t e à titre d ' a p p r o x i m a t i o n , c e l u i - c i u n i - f o r m e d a n s l a z o n e p l u s o u m o i n s é t e n d u e d u m a s s i f c o n s i d é r é . D a n s c e s c o n d i t i o n s , X e t v-, c o m m e V et a, s o n t c o n s t a n t e s et l e s é q u a t i o n s (33) et (34) i n t é g r é e s d e v i e n n e n t :
— c o s 2 (0 — f) + C<°, C
(36)
91 = — — [ c o s (2 G — i) X sin (2 0 a — ï.) ] + C1*.
(37) Ces d e r n i è r e s p r é c i s e n t c o m p l è t e m e n t l ' é t a t d ' é q u i l i b r e e n v i s a g é p a r s e s l i g n e s d e g l i s s e m e n t et l ' i n t e n s i t é d e s c o n t r a i n t e s e n t o u t p o i n t . L e s l i g n e s d e g l i s s e m e n t s o n t d ' a i l l e u r s s u s c e p t i b l e s d ' u n e d é f i n i t i o n g é o m é t r i q u e p r é c i s e . E n effet, r a p p o r t a n t c e l l e s - c i a u x a x e s OX, OY sur c h a q u e (Xi), dX et dY sont l i é s p a r :
rfX d'où, p a r (33) : rf X = -
tg (G — f) rf Y
C
H- S sin- (0 — i) rf 0
+ Ct e et p a r i n t é g r a t i o n :
X = — J J l [ ~ A = J _ * s i n 2 ( « — i ) ~
P o s a n t :
2 ( 6 — i ) = c o , (38)
et c o m p t e t e n u d e (36), s ' o b t i e n n e n t a i n s i l e s
