MÉCANIQUE DES TERRAINS PERMÉABLES

1 5 0 L A H O U I L L E B L A N C H E N ° 2 - MARS-AVRIL 1 9 5 5

Mécanique des terrains perméables

The mechanics of perméable soils

PAR J . FERBiUSDON

MAITRE DE CONFÉRENCES A L'ÉCOLE POLYTECHNIQUE

{Suite)

Le texte ci-dessous résume la matière d'une série de conférences faites aux Elèves Ingé- nieurs de l'Institut Polytechnique de Grenoble au cours de la session scolaire 1953-1954-. Leur objet est l'examen de certaines propriétés des terrains perméables particulièrement utiles pour les applications.

La première partie expose les lois de l'écoule- ment laminaire en généralisant, par l'introduc- tion du tenseur de perméabilité, la loi de Darcy aux milieux isotropes.

La seconde partie traite de l'équilibre limite des sols cohérents sans frottement interne et des sols pulvérulents par la méthode analyti- que de Cauchy, par laquelle les lignes de glis- sement apparaissent comme courbes caracté- ristiques d'un système d'équation aux dérivées partielles.

La troisième partie envisage les phénomènes de propagation de discontinuités dans un sol perméable, compte tenu de l'existence de deux phases solide et liquide en présence.

Enfin une noie de M. F. Serre sur l'évolution en fonction du temps du tassement des couches argileuses aborde le problème du tassement des fondations d'une manière tout à fait générale.

The [ollowing iext is a résumé of a séries of lectures delivered to engineering students at the Grenoble Polytechnic Institute during the 1953-i95b session. The abject of the lectures was to examine those properties of perméable soils which are of spécial importance in prac- tical problems.

The first part treats the laws of laminar flow, generalising Darcy's law for isotropic soils by introducing the permeability tensor.

The second part deals with the limiting equilib- rium of cohesive soils without internai fric-

tion, and of cohesionless soils. The analytical method of Cauchy is used and gives the faihire tines as characteristic curves of a System of partial differential équations.

The third part considers the phenomena of propagation of discontinuitîes in a perméable soil taking into account the existence of both solid and liquid stages.

Finally a note by M. F . SERRE on the time élément in ihe seulement of clay strata introdu- ces ihe problem of foundation seulement in

a oery gênerai manner.

T R O I S I È M E P A R T I E <*'

DYNAMIQUE DES SOLS PERMÉABLES

L ' é t u d e d e l a S t a t i q u e d e s t e r r a i n s p e r m é a b l e s [ L U ] a n é c e s s i t é la p r i s e e n c o n s i d é r a t i o n d e la d i s t i n c t i o n c o u t u m i è r e e n t r e sols pulvéru- lents et sols cohérents e t n o u s a v o n s p r é c i s é n o - t a m m e n t q u e les p r e m i e r s s o n t c o n s t i t u é s d e g r a i n s s o l i d e s i n d é f o r m a b l e s e n c o n t a c t , a l o r s

(*) La Houille Blanche, n" 4, 1954, p p . 4 6 6 - 4 8 0 ; n" 1, 1955, p p . 6 3 - 8 5 .

q u e d a n s l e s s e c o n d s , les g r a i n s , d ' a i l l e u r s d e d i m e n s i o n s i n c o m p a r a b l e m e n t p l u s p e t i t e s , s o n t e n r o b é s d ' e a u fixée q u i i n t e r d i t l e u r c o n t a c t . D e c e t t e d i f f é r e n c e s t r u c t u r a l e r é s u l t e n t q u e l q u e s p r o p r i é t é s d o n t la c o n n a i s s a n c e e s t i n d i s p e n s a - b l e à l ' i n t e l l i g e n c e d e l a s u i t e .

O n s a i t q u e l a T h e r m o d y n a m i q u e c a r a c t é r i s e t o u t s y s t è m e m a t é r i e l p a r s o n p o t e n t i e l i n t e r n e et p a r s e s i r r é v e r s i b i l i t é s i n t r i n s è q u e s . E x a m i -

Article published by SHF and available athttp://www.shf-lhb.orgorhttp://dx.doi.org/10.1051/lhb/1955031

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l i o n s l a n a t u r e d e c e l u i - c i e t d e celles-ci p o u r c h a c u n d e s c a s e n v i s a g é s .

E n t r e g r a i n s d ' u n m i l i e u p u l v é r u l e n t n ' i n t e r - v i e n t a u c u n e a c t i o n r é v e r s i b l e . L e p o t e n t i e l d ' u n t e l e n s e m b l e , s o m m e d e s p o t e n t i e l s i n d i v i d u e l s d e s g r a i n s i n d é f o r m a b l e s q u i le c o n s t i t u e n t , d é - p e n d d e l a s e u l e t e m p é r a t u r e , e t t o u t e s f o r c e s i n t é r i e u r e s s o n t d e s a c t i o n s d e c o n t a c t i n t r o - d u i s a n t d e s i r r é v e r s i b i l i t é s i n t r i n s è q u e s d u t y p e frottement mécanique. L e t r a v a i l d e s f o r c e s e x - t é r i e u r e s et c e l u i d e s f o r c e s d ' i n e r t i e m i s e s e n j e u a u c o u r s d e t o u t e é v o l u t i o n d ' u n tel m a s s i f c o m p e n s e n t u n i q u e m e n t le t r a v a i l d e ces d e r n i è - r e s , d o n t le c a r a c t è r e c o m p l e x e et a s s e z m a l d é - fini n e s e m b l e g u è r e p r o p i c e a u x i n v e s t i g a t i o n s a n a l y t i q u e s . D ' a i l l e u r s , l ' a b s e n c e d ' a c t i o n s i n t e r - n e s r é v e r s i b l e s et l a p e r m a n e n c e d e f r o t t e m e n t m é c a n i q u e e n t r e g r a i n s r e n d e n t les m a s s i f s p u l - v é r u l e n t s i m p r o p r e s à l a p r o p a g a t i o n d e p e r t u r - b a t i o n s p o u v a n t p r e n d r e n a i s s a n c e à l e u r s s u r - faces l i m i t e s . Cette p r o p r i é t é , q u i c o n d u i t c o m m e o n s a i t à les u t i l i s e r c o m m e é c r a n s (*) d a n s m a i n t e s t e c h n i q u e s , les e x c l u t d e l a D y n a m i q u e q u e n o u s a v o n s e n v u e . L a m é c a n i q u e i n t e r n e d e s m i l i e u x c o h é r e n t s e s t b i e n d i f f é r e n t e . L ' e a u fixée a u x g r a i n s s ' o p p o s e à t o u t e t e n t a t i v e de d é f o r - m a t i o n d ' u n e n s e m b l e d e c e u x - c i , p a r l a m i s e e n j e u d e f o r c e s é l a s t i q u e s d é r i v a n t d ' u n p o t e n - t i e l d ' a c t i o n s m u t u e l l e s (**). E l l e e s t e n o u t r e s u p p o r t d ' i r r é v e r s i b i l i t é s i n t r i n s è q u e s d u t y p e viscosité, c ' e s t - à - d i r e f o n c t i o n s c r o i s s a n t e s d e s v i t e s s e s d e d é f o r m a t i o n e t s ' a n n u l a n t a v e c celles

ci. L e s c a r a c t è r e s d ' u n t e l m i l i e u p a r t i c i p e n t à la fois d e c e u x d u c o r p s s o l i d e d é f o r m a b l e e t d e c e u x d u l i q u i d e v i s q u e u x d e la m é c a n i q u e c l a s - s i q u e q u i s'y p r é s e n t e n t i r r é m é d i a b l e m e n t e n - c h e v ê t r é s . L e t r a v a i l d e s f o r c e s e x t é r i e u r e s e t c e l u i d e s f o r c e s d ' i n e r t i e r e l a t i f s à u n e é v o l u t i o n d é t e r m i n é e c o m p e n s e le t r a v a i l d e s a c t i o n s i n - t e r n e s p r é c i t é e s , c ' e s t - à - d i r e l a v a r i a t i o n d u p o - t e n t i e l d ' a c t i o n s r é v e r s i b l e s e t le t r a v a i l d e s i r r é v e r s i b i l i t é s d e v i s c o s i t é .

(*) O n c o n n a î t l ' u s a g e q u i a é t é f a i t e n f o r t i f i c a t i o n d e m a s s i f s l d e s a b l e i n t e r p o s é s e n t r e d a l l e s d ' é c l a t e m e n t et d a l l e s d e c o u v e r t u r e d e c e r t a i n s o r g a n e s a c t i f s . D a n s u n o r d r e d ' a p p l i c a t i o n a n a l o g u e , u n b a r r a g e d e r e t e n u e e n e n r o c h e m e n t s , j u s t i c i a b l e d ' u n b o m b a r d e m e n t , s e r a p l u s p r o p r e à r é s i s t e r a u x effets d e c e l u i - c i q u ' u n b a r - r a g e e n b é t o n , m ê m e m a s s i f .

(**) C'est l à , d u m o i n s , l ' i n t e r p r é t a t i o n h a b i t u e l l e m e n t d o n n é e d e l a c o h é s i o n d e s a r g i l e s . D e s e x p é r i e n c e s r é c e n t e s (M. HABIB) s e m b l e n t b i e n m o n t r e r q u e c e t t e c a u s e n ' e s t p a s u n i q u e e t q u ' i l e x i s t e d e s a t t r a c t i o n s d ' u n e a u t r e n a t u r e e n t r e g r a i n s . Q u o i q u ' i l en s o i t , la m é t h o d e s u i v i e ici, q u i m e t e n œ u v r e l e s s e u l s p r i n c i p e s d e l a T h e r m o d y n a m i q u e p a r l a d é f i n i t i o n d ' u n p o t e n t i e l i n t e r n e f o n c t i o n d e v a r i a b l e s n o r m a l e s r e c o n n u e s , t r a d u i t n é c e s s a i r e m e n t l a r é a l i t é d e s f a i t s s a n s f a i r e i n t e r v e n i r l e u r o r i g i n e p r o f o n d e et d o i t a i n s i c o n d u i r e à d ' i n t a n - g i b l e s r é s u l t a t s .

L a D y n a m i q u e d e s m i l i e u x c o h é r e n t s q u e n o u s a l l o n s e x p o s e r c o n s i s t e e n :

L ' é t a b l i s s e m e n t d e s équations générales r é g i s - s a n t t o u t e é v o l u t i o n d e s m a s s i f s d e l ' e s p è c e ; L ' é t u d e d e la propagation par ondes d e p e r t u r -

b a t i o n s a f f e c t a n t u n e r é g i o n d e l e u r s u r f a c e l i m i t e l o r s q u ' u n t e l p h é n o m è n e p e u t effecti- v e m e n t y i n t e r v e n i r , c ' e s t - à - d i r e l o r s q u e les i r r é v e r s i b i l i t é s s o n t n é g l i g e a b l e s ;

L ' e x a m e n d e s p r i n c i p a u x c a r a c t è r e s d e l e u r é v o - l u t i o n l e n t e , ou consolidation, d é t e r m i n é e p a r l ' a p p l i c a t i o n d ' u n c h a r g e m e n t s u p e r f i c i e l . S o n c h a m p d ' a p p l i c a t i o n , q u i c o m p o r t e n o r - m a l e m e n t les a r g i l e s , les m a r n e s e t les v a s e s d a n s c e r t a i n e s c o n d i t i o n s q u i s e r o n t p r é c i s é e s , s ' é t e n d a u x r o c h e s p o r e u s e s d a n s la m e s u r e où les v a r i a t i o n s v o l u m é t r i q u e s d e celles-ci c o r r e s - p o n d e n t e s s e n t i e l l e m e n t à celles d e s c a n a l i c u l e s e m p l i e s d e l i q u i d e c i r c u l a n t q u i les t r a n s p e r c e n t .

I

L E S É Q U A T I O N S D E L A D Y N A M I Q U E D E S S O L S P E R M É A B L E S

1 . F R A C T I O N N E M E N T MACROSCOPIQUE D E S MAS- S I F S ( * ) .

L e s m a s s i f s e n c a u s e s o n t c o n s t i t u é s p a r d e s g r a i n s s o l i d e s d o n t les i n t e r s t i c e s s o n t p l e i n s d ' e a u . U n e p a r t i e d e celle-ci e s t fixée à la s u r f a c e d e s é l é m e n t s s o l i d e s d o n t elle i n t e r d i t le c o n t a c t d i r e c t . L a r e s t e e s t l i b r e et s u s c e p t i b l e , r e l a t i v e - m e n t a u x g r a i n s s o l i d e s , d e d é p l a c e m e n t s finis.

N o u s n o u s t r o u v o n s a i n s i e n p r é s e n c e d ' u n e p h a s e d é s i g n é e e n bref p a r s o l i d e c o m p o r t a n t g r a i n s et e a u fixée et d ' u n e p h a s e l i q u i d e , q u i é v o l u e n t s é p a r é m e n t en s ' i n t e r p é n é t r a n t . P o r - t o n s n o t r e a t t e n t i o n s u r la p r e m i è r e . E l l e e s t r é d u c t i b l e à la j u x t a p o s i t i o n d e s p a r t i c u l e s m a - c r o s c o p i q u e s d i s t r i b u é e s d a n s le v o l u m e a p p a - r e n t V d e s u r f a c e S. C h a c u n e d ' e l l e s e s t c o m - p o s é e d ' u n 1res g r a n d n o m b r e d e g r a i n s e t d e l ' e a u fixée c o r r e s p o n d a n t e , e t les m ê m e s g r a i n s a i n s i q u e la m ê m e e a u fixée c o n c e r n e n t l a m ê m e p a r t i c u l e s u i v i e a u c o u r s de s o n é v o l u t i o n . Soit m le m o d u l e d e s v i d e s d e v a l e u r i n i t i a l e m⁰, g é n é r a l e m e n t v a r i a b l e a v e c le t e m p s , d u s c h é m a a i n s i défini. A l ' i n s t a n t t, le v o l u m e dV d u m a s -

(*) Cet a r t i c l e c o n c e r n e l e s é d i f i c e s à s t r u c t u r e g r a n u - l a i r e : a r g i l e s , m a r n e s , v a s e s ; l e c a s d e s r o c h e s p o r e u s e s s o u s l a r é s e r v e é n o n c é e c i - d e s s u s , d o n n e l i e u à r é s u l t a t s f o r m e l l e m e n t i d e n t i q u e s .

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si!', q u i e s t a u s s i el p a r d é i i n U i o n le v o l u m e a p p a r e n t d e l a p a r t i c u l e m a c r o s c o p i q u e , c o m - p o r t e le l i q u i d e c i r c u l a n t d e v o l u m e m d V, la p h a s e s o l i d e de v o l u m e ( 1 — m ) d 1?, e t les p o i d s spécifiques r é e l s D e t a p p a r e n t A d e c e t t e d e r - n i è r e s a t i s f o n t à l a r e l a t i o n d e d é f i n i t i o n :

A = ( l — m ) D , ( 1 )

s o i t à l ' i n s t a n t i n i t i a l :

A⁰ = ( 1 - — m⁰) 1 ) .

2. T R A N S F O R M A T I O N GÉOMÉTRIQUE D E S M A S S I F S T R I D I M E N S I O N N E L S .

T o u t e t r a n s f o r m a t i o n d ' u n m a s s i f d e l ' e s p è c e e s t a s s i m i l a b l e , p a r p a s s a g e à l a l i m i t e , à celle d ' u n s o l i d e c o n t i n u d é f o r m a b l e d o n t les p r o p r i é - t é s c o n n u e s v o n t ê t r e r a p p e l é e s r a p i d e m e n t à s e u l e fin d e p r é c i s e r t o u t e s n o t a t i o n s u t i l e s p o u r les d é v e l o p p e m e n t s u l t é r i e u r s .

L ' e s p a c e d a n s l e q u e l é v o l u e le m a s s i f e s t r a p - p o r t é à t r o i s a x e s r e c t i l i g n e s r e c t a n g u l a i r e s fixes 0Xi(i = 1 , 2, 3 ) . A t o u t p o i n t m (x^lt x², x³) d ' u n p r e m i e r é t a t (e) d i t initial, la t r a n s f o r m a t i o n ( T ) , définie b i u n i v o q u e m e n t p a r :

Xj = Xi + u^t (x^lt x², x³1) (2)

fait c o r r e s p o n d r e à l ' i n s t a n t if le p o i n t : M C X i X s X g ) (*).

L e s X^t e t les dX^t/dXj s o n t f o n c t i o n s b i e n d é - finies et c o n t i n u e s d e s x^} e t l ' e n s e m b l e d e s p o i n t s M c o n s t i t u e l ' é t a t a c t u e l (E) d u m a s s i f .

L e t e n s e u r d u s e c o n d o r d r e :

g r a d i e n t d u vecteur de transformation u^t, e s t d i t tenseur de transformation. Sa d é c o m p o s i t i o n e n t e n s e u r s s y m é t r i q u e e t a n t i s y m é t r i q u e d e m ê m e o r d r e s'effectue e n p o s a n t :

" y + ^ua= 2 e^Vp « y — uⁿ = 2 p^H (4) d ' o ù :

iZy = e^ - pij (5)

L e c o m p o s a n t e^y e s t s y m é t r i q u e et le c o m p o - s a n t a n t i s y m é t r i q u e p^i} p e u t ê t r e r e p r é s e n t é p a r le v e c t e u r :

Pk = Pu = — PJI (6)

(*) L e s p o i n t s m (xiXsx^s) e t M (X,XïX^b) s e r o n t g é n é r a l e - m e n t d é s i g n é s : p o i n t x⁽ e t p o i n t X i .

o ù (i, j , k) e s t p e r m u t a t i o n p a i r e d e s n o m b r e s

1 , 2, 3 .

E n v i s a g e o n s le p o i n t xⁱ -\- dx^{, d u v o i s i n a g e de x^it d e l ' é t a t (e). L a t r a n s f o r m a t i o n (T) l u i fait c o r r e s p o n d r e d a n s (E) le p o i n t X^t + d X„ d u voi- c i n a g e d e X^; h o m o l o g u e d e x^t, e t p a r (2) il v i e n t l ' é g a l i t é :

dXj = ( 8 y + H y ) dXj (*)

q u e les r e l a t i o n s (5) et (6) c o n d u i s e n t à m e t t r e s o u s l ' u n e ou l ' a u t r e f o r m e :

dXi = ( 8^y + e^iS — Pij) dxj, (7) rfXj = dx^t 4 - e^y dxj 4 - pj dx^k — p^k dx,. (7') où (i, /*, k) e s t p e r m u t a t i o n p a i r e d e s n o m b r e s ( 1 ,2, 3 ) . S o i e n t dx^h dx¹'^t, d e u x v e c t e u r s d ' o r i g i n e Xi d e l ' é t a t (e).

L ' a i r e d u p a r a l l é l o g r a m m e c o n s t r u i t s u r dx^t et dx\ e s t r e p r é s e n t a b l e p a r le t e n s e u r a n t i s y - m é t r i q u e :

d a^i} — dx⁽ dx'j — dx, dx'f (8) ou p a r le v e c t e u r :

da^h = d (Sij (9)

(i, j , k, p e r m u t a t i o n p a i r e d e 1 , 2, 3 ) .

L a t r a n s f o r m a t i o n (T) l u i fait c o r r e s p o n d r e d a n s (E) les v e c t e u r s dXj, dX\ d ' o r i g i n e X^{, e t l ' a i r e d u p a r a l l é l o g r a m m e c o n s t r u i t s u r dX^b dX'i e s t r e p r é s e n t a b l e p a r le t e n s e u r a n t i s y m é t r i q u e :

d S ,^; == dX^{ dX'j — dXj dX't, (10) o u p a r le v e c t e u r :

(i,j,k, p e r m u t a t i o n p a i r e d e 1 , 2, 3 ) . ( 1 1 ) Il s ' a g i t d ' e x p r i m e r d S^{? s} e n f o n c t i o n d e d a^ki. A cet effet, p o s o n s 3X;/3.x'j = X^a, si b i e n q u e :

dXi = Xjj dxp dX'j = Xj^m dx^m Il v i e n t s u c c e s s i v e m e n t :

dXj dX'j = X^a Xj^m dxi dx'^m, dXj dX'i

=

d ' o ù p a r différence, e t p e r m u t a t i o n d ' i n d i c e s d e s o m m a t i o n :

d S^y = X^a X^im (dx,, dx>^m — dx^m dx',) = X^a X^{/ w} d e^lm, s o i t :

d S,^; = (Xjj X^jm — Xj-„, X^im) d aⁿ (l, m, n, p e r m u t a t i o n p a i r e de 1 , 2, 3 ) ,

C) ô u = 0 si i p£ j, Ôfj = 1 s i i = j e s t l e s y m b o l e d e KnÔNECKER.

MARS-AVRIL 1 9 5 5 - N " 2 — L A H O U I L L E B L A N C H E 1 5 3

ce q u i p e u t e n c o r e s ' é c r i r e et c o m m e :

,.™ d (X$ X*) »

d S* = -dl^J ^d «" (12) L ' i n t r o d u c t i o n d u d é t e r m i n a n t f o n c t i o n n e l :

j ⁼ . r — >d (X¹

a

d e l a t r a n s f o r m a t i o n ( T ) , a s s i g n e à c e t t e d e r n i è r e e x p r e s s i o n l a f o r m e s i m p l e :

d o n t l ' i n v e r s i o n d o n n e : d r. :

3 r J d „„ dX,

1 9 X , J 3,x'„

d2

.

(14)

(15) A n o t e r q u e (14) e t (15) p r é c i s e n t l e s r e l a t i o n s e x i s t a n t e n t r e les c o s i n u s d i r e c t e u r s a^& d e l a n o r - m a l e p o s i t i v e à l ' a i r e d a^lc d e m e s u r e d a, e t l e s p^{f c} d e l a n o r m a l e p o s i t i v e à F a i r e t r a n s f o r m é e d S^k d e m e s u r e d S . E n effet, c o m m e :

d <s^k = -x^k d a, d Jj^k = {J*. d S (16) (14) e t (15) d o n n e n t s u c c e s s i v e m e n t les r e l a t i o n s i n v e r s e s l ' u n e d e l ' a u t r e :

d s

" à x

' "•

1 d S SX^;,

J d o 3.-C,, ^{[ /}' "

(17)

(18)

A l ' é l é m e n t dxt d e l o n g u e u r d?, d e l ' é t a t (e), la t r a n s f o r m a t i o n (T) f a i t c o r r e s p o n d r e l ' é l é m e n t d X^f, d e l o n g u e u r d L , d e l ' é t a t ( E ) . C a l c u l o n s d L - :

d L - = S^y d X^{ d X^; soit p a r (2) :

d L² = 8^y (Sa - j - "ik> (h+ ^lliù d.r^{; ;} dxj, p u i s , e n d é v e l o p p a n t e t p a r r é d u c t i o n d e s s y m - b o l e s d e KRÔNECKER :

d L² = (8« + n^B + « » + " « ««) d c^A dx^

E n p o s a n t :

2 E^w = u^M + u^{l k} - f H^{F F C} «^F 3 » ,

il v i e n t :

du, du,

dL* = (S„ + 2 E , , ) dx^k dx^h

(19)

d*² = S^M d a ^ d ^ , il s ' e n s u i t q u e :

d L2 — dl- = 2 Ew etef c d.r, (20) D e (19) e t d e (20), il r é s u l t e q u e le t e n s e u r sy- métrique d u s e c o n d o r d r e Ew, d i t tenseur de déformation, c a r a c t é r i s e l a d é f o r m a t i o n p u r e q u e l a t r a n s f o r m a t i o n ( T ) c o m p o r t e . L e s inva- riants, d é d u i t s d e E^w par- c o n t r a c t i o n , v o n t j o u e r e n D y n a m i q u e u n r ô l e e s s e n t i e l q u e l a s u i t e m e t - t r a e n é v i d e n c e . B o r n o n s - n o u s p r é s e n t e m e n t à fixer l ' e x p r e s s i o n d e celles d e c e s q u a n t i t é s q u i s e r o n t p a r t i c u l i è r e m e n t u t i l e s :

Il = E « — E l ! + ^E2 2 + Es

«n² + E²2² - j - E^{3 R 2}

+ 2 ( E^{1 2 2} + E^{2 3}2 + E^{8 1}2 ) . (21) Ces g é n é r a l i t é s d e g é o m é t r i e c l a s s i q u e s e r o n t c o m p l é t é e s p a r u n r é s u l t a t q u i l'est p e u t - ê t r e m o i n s e t q u i c o n c e r n e l a variation infinitésimale de la transformation. L e m a s s i f a y a n t s u b i la t r a n s f o r m a t i o n ( T ) , s u p p o s o n s c h a q u e p o i n t X, d e l ' é t a t (E) affecté p a r l a t r a n s f o r m a t i o n infi- n i t é s i m a l e d e v e c t e u r 8 u^h f o n c t i o n c o n t i n u e d e s Xj, X², X^{; i}, le c o n d u i s a n t a u p o i n t X'„ tel q u e :

X'« = X⁴ + 8 X, = Xt + n, + S H , ( X^x X² X⁸) . L ' e n s e m b l e d e s p o i n t s X'» c o n s t i t u e u n n o u v e l é t a t (E') i n f i n i m e n t v o i s i n d e l ' é t a t ( E ) . A la v a r i a t i o n S u^t a i n s i i m p o s é e c o r r e s p o n d la m o d i - fication i n f i n i t é s i m a l e S E y d e Ey, q u i c a r a c t é r i s e

l a d é f o r m a t i o n p u r e d u m a s s i f d a n s l ' é t a t (E) d é d u i t d ' u n p r e m i e r é t a t (e) p a r la t r a n s f o r m a - t i o n ( T ) . I l s ' a g i t d e c a l c u l e r S Ey. D e (20) r é - s u l t e n t les é g a l i t é s :

d L² = dP + 2 E „ d.r, d e , = 8^l7 dX, d Xⁱ d ' o ù , p a r d i f f é r e n t i a t i o n :

2 8 E ,7 d.r; dx, — 8^y (d 3 X, d X , i d 3 X,. d X , ) . p u i s , p a r d é v e l o p p e m e n t d e s p r o d u i t s e t r é d u c - t i o n d e s s y m b o l e s d e KRONECKEB :

2 S E^{( i} dx,- d.r,. - + f | ^ - ) d X , rfX, soit e n c o r e :

C e t t e i m p o r t a n t e f o r m u l e t r o u v e r a s o n a p p l i - c a t i o n e n D y n a m i q u e .

1 5 4 L A H O U I L L E B L A N C H E N " 2 - MARS-AVRIL 1 9 5 5

3. E Q U A T I O N S D E CONTINUITÉ.

T o u t e p a r t i c u l e — d e la p h a s e s o l i d e — i n i - t i a l e m e n t a u p o i n t x^t ( é t a t e, v a r i a b l e s d e L A - GRANGE), p a s s e à l ' i n s t a n t t a u p o i n t Xj ( é t a t E , v a r i a b l e s d ' E u L E R ) a v e c l a v i t e s s e 7J (v^lf v², v^s) d e c o o r d o n n é e s :

_ 3 X , _

Vi ~ dt ~~ dt '

et il e s t loisible d e d é f i n i r à cet. i n s t a n t c o m m e à t o u t a u t r e s a m a s s e s p é c i f i q u e o (x^lt x², x^s> t) ( v a r i a b l e s d e LAGRANGE) OU Ç> ( X ^ X², X³, t) (va- r i a b l e s d ' E u L E R ) q u o t i e n t p a r le v o l u m e p a r t i c u - l a i r e a p p a r e n t dV d e s a n i a s s e p a r t i c u l a i r e . L ' i n - d i c e 0 é t a n t r e l a t i f à l ' é t a t i n i t i a l e t d é s i g n a n t le j a c o b i e n d e la t r a n s f o r m a t i o n ( T ) , l ' i n v a r i a n c e t e m p o r e l l e d e c e t t e d e r n i è r e e s t t r a d u i t e p a r u n e première équation de continuité :

g J = ^{? 0} ( v a r i a b l e s d e LAGRANGE) ( 2 3 ) , à l a q u e l l e c o r r e s p o n d e n v a r i a b l e s d ' E u L E R u n e r e l a t i o n c o m p o r t a n t l e s d é r i v é e s t e m p o r e l l e s ? e t v d e o e t ïï :

o - f o D i v ï J ( * ) = 0 ( v a r i a b l e s d ' E u L E R ) . (24) A u t r a v e r s d e c e t t e p a r t i c u l e , filtre l ' e a u li- b r e a v e c u n e v i t e s s e a b s o l u e b r u t e m o y e n n e V ( V u V², V^s) . L a c o n t i n u i t é a s s i g n e à l a v a r i a - t i o n d e v o l u m e d e l a p a r t i c u l e s o l i d e e n t r e d e u x i n s t a n t s u n e v a l e u r é g a l e a u v o l u m e d ' e a u q u i s'y a c c u m u l e . II e n r é s u l t e u n e seconde équation de continuité :

D i v (7J + V) = 0 ( v a r i a b l e s d ' E u L E R ) (25) q u i s ' é c r i t a u s s i :

d (v, + V^{l f} X „ X²) d ( X , , V² + P⁸, X„)

d(x^vx²,x^:i) d(x^t,x²,xⁿ)

_l_ d (Xj, X^{2 >} V³ + V-^À) _ q , 2 0 )

e n v a r i a b l e s d e LAGRANGE.

4. V I T E S S E D E FILTRATION. F O R C E S MISES E N J E U .

D a n s l ' é t u d e p r é l i m i n a i r e d e l a filtration [ 1 ] a b o u t i s s a n t à l ' e x p r e s s i o n d u c h a m p d e s v i t e s s e s m o y e n n e s b r u t e s d u l i q u i d e l i b r e e t à celle d e s a c t i o n s e x e r c é e s p a r celui-ci s u r u n e n s e m b l e

(*) L e s o p é r a t e u r s d i f f é r e n t i e l s g r a d i e n t , d i v e r g e n c e ...

s o n t r e s p e c t i v e m e n t n o t é s G r a d , D i v , ... e n v a r i a b l e s d ' E u L E R ; g r a d , d i v ... e n v a r i a b l e s d e LAGRANGE. A i n s i :

D i v v . = ?>Vi/dX^t, d i v v = 2>vⁱ/'dXⁱ.

d e g r a i n s s o l i d e s et d e l i q u i d e fixé, c o n s t i t u a n t p a r m o r c e l l e m e n t l a p a r t i c u l e m a c r o s c o p i q u e , c e t t e d e r n i è r e é t a i t r é p u t é e a u r e p o s r e l a t i v e - m e n t a u r e p è r e a b s o l u e t n o u s a v o n s p u d é d u i r e d e s r é s u l t a t s é t a b l i s s o u s c e t t e h y p o t h è s e l a s t a - t i q u e et n o t a m m e n t les c o n d i t i o n s l i m i t e s d ' é q u i - libre d e s m a s s i f s d e t e r r e [ 2 ] . D a n s l e s p h é n o - m è n e s a c t u e l l e m e n t e n v i s a g é s , l a p h a s e s o l i d e s u b i t u n e t r a n s f o r m a t i o n g é o m é t r i q u e d e la n a - t u r e d e celle d é c r i t e a u § 2, d o n t il c o n v i e n t d e t e n i r c o m p t e p a r u n e m o d i f i c a t i o n a p p r o p r i é e d e s e x p r e s s i o n s s u s v i s é e s .

A v e c les n o t a t i o n s a n t é r i e u r e s p a r l e s q u e l l e s K d é s i g n e le t e n s e u r d e p e r m é a b i l i t é d e l a p h a s e s o l i d e , $ l a c h a r g e h y d r a u l i q u e , v l a v i t e s s e d e t r a n s l a t i o n p a r t i c u l a i r e à l ' i n s t a n t t, il v i e n t p o u r la v i t e s s e V d e filtration :

V = — K . G r a d $ + V (27) E n o u t r e , d é s i g n a n t ox² l ' a x e d e c o o r d o n n é e s

p a r a l l è l e à l a v e r t i c a l e a s c e n d a n t e et i n t r o d u i - s a n t l ' a c c é l é r a t i o n V d e l a p h a s e l i q u i d e , l a r é - s u l t a n t e d e s a c t i o n s g r a v i f i q u e s e t d e celle d u l i q u i d e l i b r e , s o l l i c i t a n t la p a r t i c u l e s o l i d e d e v o l u m e a p p a r e n t a c t u e l dV, n o t é e F dV, d e v i e n t : FdV = — - j ^ G r a d # + [A — rs(l—m] G r a d X²

j n s v 7 j .^d^ , ⁽²⁸⁾

9

p a r a d j o n c t i o n à ( ï , 2, 9) d e s f o r c e s d ' i n e r t i e p r é - c é d e m m e n t n é g l i g é e s [ 1 , I, 5 ] . C o m m e il f a l l a i t s'y a t t e n d r e , elle se r é d u i t a u x f o r c e s d e p e s a n - t e u r e t a r c h i m é d i e n n e l o r s q u e les v i t e s s e s v et V d e c h a c u n e d e s p h a s e s e n p r é s e n c e s o n t l e s m ê - m e s e t q u e l ' a c c é l é r a t i o n d e la p h a s e l i q u i d e e s t n u l l e à l ' i n s t a n t t. Il e s t u t i l e e t c o m m o d e d e r a p p o r t e r c e s f o r c e s d e v o l u m e à n o u v e a u m i s e s en é v i d e n c e a u c h a m p d e s v a r i a b l e s d e LAGRANGE, en i n t r o d u i s a n t le v o l u m e a p p a r e n t i n i t i a l dV de la p a r t i c u l e d e v o l u m e a p p a r e n t a c t u e l d1J et e n p o s a n t :

fdV'=FdV (29) D è s l o r s , d é s i g n a n t t o u j o u r s p a r J le j a c o b i e n

d e la t r a n s f o r m a t i o n ( T ) , c o m p t e t e n u d e l ' é q u a - t i o n d e c o n t i n u i t é ( 2 3 ) , o n p e u t d o n n e r à f l ' e x p r e s s i o n :

f = — oî J G r a d *

— (1 - - m „ ) (D — ra) g r a d X² — (^m w / # ) "v (30) Celle-ci, d o n t la s t r u c t u r e e s t b i e n c o n f o r m e à l ' i n t u i t i o n l a p l u s d i r e c t e q u a n t a u x d i v e r s e s s o l - l i c i t a t i o n s m i s e s e n j e u : a c t i o n d e c o u r a n t , f o r - ces d e p e s a n t e u r e t a r c h i m é d i e n n e s , f o r c e s d ' i n e r - tie, e s t à la b a s e d e s d é v e l o p p e m e n t s u l t é r i e u r s .

MARS-AVRIL 1955 - N ° 2 L A H O U I L L E B L A N C H E 155

B i e n e n t e n d u , l ' a p p r o x i m a t i o n q u i a c o n d u i t e n [ 1 , I, 4 ] à n e r e t e n i r d a n s l a c h a r g e # q u e les t e r m e s d e p r e s s i o n ( p / s ) et d e p o s i t i o n ( X²) n ' e s t p l u s l é g i t i m e e t il c o n v i e n t d e l e u r a d j o i n - d r e , e n t o u t e g é n é r a l i t é , c e l u i c a r a c t é r i s a n t l ' é n e r g i e c i n é t i q u e , s o i t œ V²/ 2 g.

5. P O T E N T I E L E T I R R É V E R S I B I L I T É S INTERNES D E LA P H A S E SOLIDE. E Q U A T I O N DU MOUVEMENT.

L ' é t a t intérieur d e la p h a s e s o l i d e e s t d é t e r - m i n é à l ' i n s t a n t t p a r la d é f o r m a t i o n p u r e Ey et p a r l a v a r i a t i o n d e t e m p é r a t u r e % c o m p t é e s à p a r t i r d e l ' é t a t i n i t i a l . L e s v a r i a b l e s E y e t T s o n t n o r m a l e s a u s e n s d ' H E L M O L T z . A u m ê m e i n s t a n t et e n t o u t p o i n t d e la p h a s e s o l i d e p e u t ê t r e défini à u n e f o n c t i o n l i n é a i r e p r è s d e T, le poten- tiel spécifique interne W, f o n c t i o n u n i f o r m e d e E^y e t T, t e l q u e le p o t e n t i e l d e l a p a r t i c u l e m a - c r o s c o p i q u e d e m a s s e p dV d u v o i s i n a g e d e X*

s o i t :

rff = 0 f (Ey, ^T) dV

L e p o t e n t i e l t o t a l §< d e la p h a s e s o l i d e d e v o - l u m e a p p a r e n t V l i m i t é p a r la s u r f a c e S e s t l a s o m m e d e s p r é c é d e n t s , c a r il e s t p o s t u l é c o m m e c o n f o r m e à l ' e x p é r i e n c e q u e p a r m i les a c t i o n s m u t u e l l e s e n t r e p a r t i c u l e s m a c r o s c o p i q u e s , s o n t n é g l i g é e s les f o r c e s à d i s t a n c e e t q u e les a c t i o n s d e c o n t a c t o n t u n t r a v a i l n u l , s i n o n f i g u r a n t d a n s c e l u i d e s i r r é v e r s i b i l i t é s . D è s l o r s :

ff =(ff ? ¥ ( E y , T ) dV (31)

Ceci é t a n t , à p a r t i r d e l ' é t a t a c t u e l e n v i s a g e o n s la m o d i f i c a t i o n i n f i n i t é s i m a l e (§ 2) 8 X 4 = 8114 c o m p a t i b l e a v e c les l i a i s o n s e x i s t a n t à l ' i n s t a n t t e t e n p a r t i c u l i e r a v e c l a n a t u r e p h y s i q u e d e l a p h a s e solide, et s o i e n t les v a r i a t i o n s c o n c o m i t - t a n t e s :

8 %^e d u t r a v a i l d e s f o r c e s e x t é r i e u r e s s o l l i c i t a n t l a p h a s e solide,

8 J d u t r a v a i l d e s f o r c e s d ' i n e r t i e d e la p h a s e s o l i d e ,

8 / d u t r a v a i l n o n c o m p e n s é d e s i r r é v e r s i b i l i t é s i n t r i n s è q u e s d e l a p h a s e s o l i d e ,

8^T ff> d u p o t e n t i e l d e l a p h a s e s o l i d e à t e m p é r a - t u r e c o n s t a n t e .

L a T h e r m o d y n a m i q u e p o s e l ' é q u a t i o n f o n d a - m e n t a l e :

S Ç , -^r- S J = &^rg î - f S / (32)

q u i , p o u r t o u t e é v o l u t i o n réelle et p a r c o m p a r a i -

s o n a u t h é o r è m e d e s f o r c e s v i v e s , c o n f è r e u n e s i g n i f i c a t i o n a u t r a v a i l d% d e s f o r c e s i n t é r i e u - r e s d e l a p h a s e s o l i d e :

(d^x§, + df)

I l c o n v i e n t d ' e x p l i c i t e r c h a q u e t e r m e d e (32) p o u r t o u t e v a r i a t i o n v i r t u e l l e d e l ' é t a t a c t u e l d e la p h a s e s o l i d e . Cette m o d i f i c a t i o n d ' é t a t e s t c a - r a c t é r i s é e , les v a r i a b l e s é t a n t n o r m a l e s , p a r les s e u l s 8 Xf = S U y à l ' e x c l u s i o n d e S t .

Calcul de S <ë^e :

L e s f o r c e s e x t é r i e u r e s c o m p o r t e n t d e s f o r c e s d e v o l u m e (§ 4 ) , d e c o o r d o n n é e s F^tdV, e t d e s f o r c e s d e s u r f a c e d o n t celle a g i s s a n t s u r l'élé- m e n t d e s u r f a c e d S e s t "S d S , d e c o o r d o n n é e s

%i d S . L e u r t r a v a i l p o u r le d é p l a c e m e n t v i r t u e l 8 X; = 8 u^t e s t :

T

Calcul de 8 J

8,T = —jlf 0 0,011, dV :"34) Calcul de 8^T gï :

P a r d i f f é r e n t i a t i o n , e t c o m p t e t e n u d e la c o n - d i t i o n d e l i a i s o n i m p o s a n t la c o n s t a n c e d e la m a s s e p a r t i c u l a i r e çdV, p o u r t o u t S u , , l ' é q u a - t i o n (31) d o n n e :

O r

soit p a r (22) : 8^T W

9 o^T

dW 3 E «

S^x WdV (35)

8 E y ,

2 S- W = dW f 3 8 u,, . 3 8 u^h\ dX^k dX^k

dE,j \ dX^{k 1} S X , / Va* dx^t p u i s , a p r è s d é v e l o p p e m e n t e t p e r m u t a t i o n d ' i n d i - ces d e s o m m a t i o n :

J T 1 3 E^y ^ dE^H J Zx, dX^k '

P o s o n s :

1 kl ~ ~7T~

dW \ ZX^k dX, 2 \ 3 E y ¹ dE^}ij dx^} dx^t (36) L e t e n s e u r d u s e c o n d o r d r e s y m é t r i q u e T , d e c o o r d o n n é e s T^kl, e s t d i t tenseur des tensions ré-

1 5 6 • L A H O U I L L E B L A N C H E - - — N " 2 - MARS-AVRIL 1 9 5 5

versibles. T e n a n t c o m p t e d e s o n e x p r e s s i o n d a n s (35), il v i e n t ;

^9 = (37)

p u i s , p a r l a t r a n s f o r m a t i o n d e GREEN ( * ) rrr 3 th

**9 = \\ T^H8 n , d S^{f c}-

2 3X,. 8 UtdV

(38) Calcul de S / :

Il s ' a g i t d u t r a v a i l n o n c o m p e n s é d e s i r r é v e r - s i b i l i t é s i n t r i n s è q u e s d e l a p h a s e s o l i d e , c ' e s t - à - d i r e d e l ' o p p o s é d u t r a v a i l v i r t u e l d e s r é s i s t a n c e s p a s s i v e s i n t é r i e u r e s à celle-ci. F a i s o n s l ' h y p o - t h è s e s i m p l e e t i n t u i t i v e q u ' à p a r t i r de l ' é t a t a c t u e l , ce t r a v a i l d é p e n d d e l a s e u l e d é f o r m a t i o n v i r t u e l l e c a r a c t é r i s é e p a r le t e n s e u r s y m é t r i q u e d u s e c o n d o r d r e :

3 8 u . VX^k

3 8 u^k clX,,

D a n s c e s c o n d i t i o n s , p o u r e x p r i m e r S / , i n v a - r i a n t p a r n a t u r e , s ' i m p o s e l ' i n t r o d u c t i o n d u t e n - s e u r s y m é t r i q u e d u s e c o n d o r d r e ? , d e c o o r d o n - n é e s t^kl, d i t t e n s e u r d e s tensions irréversibles tel q u e :

f ^{9 S a} ' dV (38)

soit p a r la t r a n s f o r m a t i o n d e GREEN :

JJ y.

rrr Mr.***

Zu^tdV (39)

L a s p é c i f i c a t i o n d e s p a r a m è t r e s d o n t t^kl d é - p e n d , a i n s i q u e l a f o r m e d e c e t t e d é p e n d a n c e , r é s u l t e n t d e l ' o b s e r v a t i o n p h y s i q u e . B o r n o n s - n o u s i c i à i n s i s t e r s u r l a n é c e s s i t é d u c a r a c t è r e t e n s o r i e l m i s e n é v i d e n c e c o m m e c o n s é q u e n c e d e l a s e u l e h y p o t h è s e c o n c e r n a n t le t r a v a i l d e s r é - s i s t a n c e s p a s s i v e s .

C o m p t e t e n u d e c e s r é s u l t a t s , l ' é q u a t i o n (32) s ' é c r i t :

f f f J j k , ^(T « + ^t ' ' ^{) + F}- ⁸ u,dV

+ f f ^x l>» — ( T « + t^kl) p^{f c}] 8 i^h d S = 0 E l l e d o i t ê t r e s a t i s f a i t e p o u r t o u s S u^t c o m p a t i - b l e s a v e c les l i a i s o n s e x i s t a n t à l ' i n s t a n t if e t

(*) A v e c R» c o s i n u s d i r e c t e u r s d e l a n o r m a l e N à d S : d 2^s = f f e d 2 ( 1 6 ) .

q u e l l e q u e s o i t l ' é t e n d u e d u v o l u m e a p p a r e n t V d e l a p h a s e s o l i d e .

a) S u p p o s o n s q u ' a u c u n e c o n d i t i o n p a r t i c u l i è r e n e s o i t i m p o s é e p a r l a n a t u r e p h y s i q u e d e l a p h a s e s o l i d e à s a d é f o r m a t i o n . L e s S u^t p e u v e n t ê t r e a r b i t r a i r e m e n t c h o i s i s . P a r é v a n o u i s s e m e n t d e V e n X^{, il v i e n t :

e t

n = ( T^w + t^kl) p^fc, s o i t :

= ( T + F) .N"

( T^H+ f^K) + F , — p » , 3Xi

(41)

(42) D i v ( T ' + t) 4 - F — -⁹v = 0

L a p r e m i è r e définit l a contrainte e n t o u t p o i n t d e l a p h a s e s o l i d e , c o m m e s o m m e d e s t e n s i o n s r é v e r s i b l e e t i r r é v e r s i b l e . L a s e c o n d e , o ù F a l a v a l e u r (28) e s t l'équation indéfinie d u m o u v e - m e n t d e l a p h a s e s o l i d e ;

b) M a i s c e t t e c i r c o n s t a n c e n ' e s t p a s u n i q u e . O n c o n ç o i t e t il se t r o u v e e f f e c t i v e m e n t d e s s o l s incompressibles, p a r e x e m p l e c e r t a i n e s a r g i l e s a u t e r m e d e l e u r c o n s o l i d a t i o n , d o n t l a m a s s e s p é c i - f i q u e e s t i n v a r i a b l e p o u r t o u t e t r a n s f o r m a t i o n , e t d o n t les d é p l a c e m e n t s v i r t u e l s , a u l i e u d ' ê t r e a r b i t r a i r e s , s a t i s f o n t p a r c o n s é q u e n t à la c o n d i - t i o n d e l i a i s o n s u p p l é m e n t a i r e :

3 X ^•à II, 8,,.

3 X^{f c} 8 u , ^ 0 (43) L a p r i s e e n c o n s i d é r a t i o n d e s é q u a t i o n s si- m u l t a n é e s (40) e t (43) n é c e s s i t e l ' i n t r o d u c t i o n d ' u n multiplicateur scalaire p a r l e q u e l :

J p ( X , , f ) 8w

' °0

s o i t p a r l a t r a n s f o r m a t i o n de G R E E N : 3

11 . . . {Z^ttp)iu^ldV+ / / 8 „ / > 8 a , d 2 = 0

JJJ ^ÔXk JJ s,

D e c e t t e d e r n i è r e é q u a t i o n et d e (40) r é s u l t e n t les é g a l i t é s :

i TCÎ = — • 3^W p 4 - (Tu + t,^;l) h

( « + ( T + 1 ) . N . et :

3

(44)

dX^k s o i t :

(— ki P + T^w 4 - t^ld) 4 - F^?. — ? v^t == 0, (45)

• G r a d p + D i v ( T + f) 4 - F —⁹v = Q.

MARS-AVRIL 1 9 5 5 - N » 2 L A H O U I L L E B L A N C H E 1 5 7

L a p r e m i è r e définit la contrainte e n t o u t p o i n t d e l a p h a s e solide c o m m e s o m m e d e s t e n s i o n s r é v e r s i b l e e t i r r é v e r s i b l e e t d ' u n e p r e s s i o n s c a - l a i r e p. L a s e c o n d e , o ù F a l a v a l e u r ( 2 8 ) , e s t l ' é q u a t i o n indéfinie d e l a p h a s e solide i n c o m p r e s - sible.

6. T R A N S F O R M A T I O N S INFINITÉSIMALES.

S e r o n t e n v i s a g é e s p a r l a s u i t e l e s t r a n s f o r m a - t i o n s i n f i n i t é s i m a l e s d e la p h a s e solide, d o n t l'in- t é r ê t p r o c è d e d e l a f a i b l e d é f o r m a b i l i t é d e s sols c o h é r e n t s o u d e s r o c h e s e n p l a c e s o u s F a c t i o n d e s s o l l i c i t a t i o n s q u i p e u v e n t les affecter. P o u r celles-ci, le v e c t e u r d e t r a n s f o r m a t i o n et s o n g r a - d i e n t s o n t i n f i n i m e n t p e t i t s . II r é s u l t e d e là q u e l - q u e s s i m p l i f i c a t i o n s c l a s s i q u e s e t n o t a m m e n t la p o s s i b i l i t é d ' u n d é v e l o p p e m e n t d u p o t e n t i e l i n - t e r n e l i m i t é a u s e c o n d o r d r e r é p u t é suffisant p o u r r e p r é s e n t e r , a v e c l ' a p p r o x i m a t i o n r e q u i s e , les p h é n o m è n e s t h e r m o d y n a m i q u e s d o n t c e s m i - l i e u x s o n t g é n é r a l e m e n t le siège. A u p o t e n t i e l spécifique, d é t e r m i n é à u n e f o n c t i o n l i n é a i r e p r è s d e l a t e m p é r a t u r e , p e u t a i n s i ê t r e a s s i g n é e l'ex- p r e s s i o n (*) :

T ^a A T² - j - ®°« E y + © i^{t f} % + A y .^M e^i:1 eⁿ. d o n t c h a q u e t e r m e c o m m e W e s t i n v a r i a n t , ce q u i c o n f è r e à c h a q u e coefficient u n c a r a c t è r e t e n - s o r i e l p r o p r e :

A e s t u n s c a l a i r e , a u q u e l u n r a i s o n n e m e n t s i m p l e d e T h e r m o d y n a m i q u e , a s s i g n e la v a l e u r

— G⁰/ 2 T⁰, o ù C⁰ d é s i g n e la c h a l e u r spécifique d e l a p h a s e s o l i d e d a n s l ' é t a l i n i t i a l à t e m p é r a - t u r e T " ; ©°y e t ®^{x t j} s o n t d e u x t e n s e u r s s y m é t r i - q u e s d u s e c o n d o r d r e i n t r o d u i s a n t c h a c u n six c o o r d o n n é e s .

A^{y M} e s t u n t e n s e u r d u q u a t r i è m e o r d r e s y m é - t r i q u e e n ij e t kl e t p a r r a p p o r t à c h a c u n d e s g r o u p e s (ij), (kl) à v i n g t et u n e c o o r d o n n é e s , c o m m e l e s coefficients d ' u n e f o r m e q u a d r a t i q u e e n c^ye^M.

L a s i g n i f i c a t i o n d e s t r e n t e - t r o i s g r a n d e u r s t e n - s o r i e l l e s ® et A e s t p r é c i s é e p a r l a c o n s i d é r a t i o n d u t e n s e u r d e s t e n s i o n s r é v e r s i b l e s d e la p h a s e solide. L e s c o o r d o n n é e s d e c e l u i - c i s o n t e n effet (36) :

T — ? f W j 3'*' \ 3X„ 3 X ,

" ~ 2 1/3E;; 1 mj Zx, dx,' soit :

o_ f~3^lF , 3 ¥ , fm- , _3>r \

L k l - 2

j

, / 3iF , \ , / 3 ¥ , 3 T \ 1

(*} et, - 1 / 2

(«w +

Cette e x p r e s s i o n e s t r i g o u r e u s e . Il c o n v i e n t d e m e t t r e e n é v i d e n c e s o n d é v e l o p p e m e n t du pre- mier ordre. A, c e t o r d r e d ' a p p r o x i m a t i o n , la m a s s e spécifique a c t u e l l e g d e l a p h a s e s o l i d e est d o n n é e e n f o n c t i o n d e s a m a s s e spécifique i n i t i a l e p a r (23) o ù J - 1 — e ( * ) , soit :

ç>= Po d — e ) , D ' a u t r e p a r t :

f (' H; + ^{H ; )}

^{e»„ +}

o / 3*F , dW \ ⁿⁿ

o { 3 ¥ , 3lF \ _ „„

o / dW , dW \ T V " 3 Ê : ^ 3 E :

d o n n e d e s t e r m e s d ' o r d r e s u p é r i e u r a u p r e m i e r , si b i e n q u e :

Tw« p0 [(1 — e ) ©°w + 9 < »Kaw

+ & > * « B + ® * « T + 2 A^{w > y} e«] (46) D è s l o r s p e u t ê t r e p r é c i s é e la signification p h y - s i q u e d e s d i v e r s coefficients i n t r o d u i t s d a n s le d é v e l o p p e m e n t l i m i t é d u p o t e n t i e l i n t e r n e .

Soit T°^A.„ le t e n s e u r t e n s i o n r é v e r s i b l e clans l'état initial :

T ° „ = ^{? 0} «<>„ (47)

Soit T^{J M} la t e n s i o n r é v e r s i b l e d u e à la m o d i - fication d e t e m p é r a t u r e t q u i affecte la p h a s e s o - lide, l o r s q u ' e s t m a i n t e n u e s a c o n f i g u r a t i o n g é o - m é t r i q u e i n i t i a l e p a r d e s l i a i s o n s a p p r o p r i é e s . P o s o n s :

foi = ?« « ' H . ^ 8 ) il v i e n t :

T³,^{£ î} = p^M T.

Enfin, f a i s a n t a p p a r a î t r e d a n s (46) les p a r t i e s p r i n c i p a l e s d e la d é f o r m a t i o n p u r e et d e la r o t a - t i o n p a r t i c u l a i r e f**), et p o s a n t :

X«.y = T ° » S/y + T »^w 3„ - - T»,, 3„ + 2 A^klJi, il v i e n t :

T „ =

T0„ + fa

(*) e --. en

+ te + ta

{**) p^i} = 1 / 2 (H,, — IÏJI). (Cf. § 2.)

1 5 8

v e r s e s c a u s e s m o d i f i c a t i v e s d e l a t e n s i o n r é v e r - sible e t l e s g r a n d e u r s q u i l e s c a r a c t é r i s e n t : la variation de température, p a r l e t e n s e u r s y m é -

t r i q u e hf,

l a déformation pure, p a r l e s v i n g t e t u n coef- ficients d ' é l a s t i c i t é i s o t h e r m i q u e "ku,a\

la rotation particulaire.

P o r t o n s n o t r e a t t e n t i o n s u r c e t t e d e r n i è r e . E l l e e s t r e p r é s e n t é e p a r :

f T ^u = = 2 T »^{3 1}p² — 2 T o^{a 2}p⁸,

< e t d e u x a n a l o g u e s p a r p e r m u t a t i o n c i r c u l a i r e . ( T '^{1 2} = — T o^{8 1} P\ 4 - T<>³² p² + CT°n — T °^{2 2}) P „

(51) et d e u x a n a l o g u e s p a r p e r m u t a t i o n c i r c u l a i r e .

Son effet e s t n u l si l e s t e n s i o n s i n i t i a l e s s o n t n u l l e s o u d e l a f o r m e T \ = S^y T ° , c ' e s t - à - d i r e s'y r é d u i t à l a t e n s i o n s c a l a i r e T ° .

7. T R A N S F O R M A T I O N S INFINITÉSIMALES A P A R T I R D'UN ÉTAT N A T U R E L .

E n v i s a g e o n s u n e a r g i l e d e p o i d s s p é c i f i q u e A — 2 t / m³, d e coefficient d ' é l a s t i c i t é l o n g i t u d i - n a l e E = 5 0 k / c m³, a u q u e l c o r r e s p o n d le coef-

ficient d e L A M É A = 2 0 k / c m². A / i = 1 0 m d e

p r o f o n d e u r d ' u n m a s s i f d ' u n t e l sol, l e s p r e s - s i o n s d u e s à l a p e s a n t e u r , d e l ' o r d r e d e A h = 2 k / i o m², s o n t n é g l i g e a b l e s d e v a n t X poul- ies a p p r o x i m a t i o n s d e l a p r a t i q u e . A h = 100 m , elles s o n t d u m ê m e o r d r e d e g r a n d e u r .

S e r a qualifié d e naturel t o u t é t a t d ' é q u i l i b r e p o u r l e q u e l l e s t e n s i o n s s o n t n é g l i g e a b l e s d e - v a n t l e s coefficients d ' é l a s t i c i t é d e l a m a t i è r e .

O n s a i t q u e s i l ' é t a t i n i t i a l d ' u n m a s s i f e s t n a t u r e l , v a r i a b l e s d e LAGRANGE e t v a r i a b l e s d ' E u L E R p e u v e n t l é g i t i m e m e n t ê t r e c o n f o n d u e s p o u r l ' é t u d e d e t o u t e t r a n s f o r m a t i o n i n f i n i t é s i - m a l e d e c e d e r n i e r à p a r t i r d e c e l u i - c i , si b i e n q u e l e s é q u a t i o n s d u m o u v e m e n t se r é d u i s e n t : a) D a n s le c a s g é n é r a l ( 4 1 ) e t (42) à (*) :

w = ( f + f ) . n . (52)

d i v ( T 4 - t) + f

— p

b) L o r s q u e l a p h a s e s o l i d e e s t c o m p l è t e m e n t c o n - solidée (44) e t (45) à :

(*) /i n o r m a l à l ' é l é m e n t a d e l a s i t u a t i o n i n i t i a l e , / d o n n é p a r ( 3 0 ) ,

N " 2 - MARS-AVRIL 1 9 5 5

n = — p n 4 - f/r +

I).

— g r a d p + d i v ( T + F) 4 - f — p⁰ V = 0. (55) a v e c :

d i v « = 0. ( 5 6 ) E n o u t r e , l a r e l a t i o n (50) s e r é d u i t à :

T^w* T °^w + p^MT + A^{W i <}, e y . (57)

L a r o t a t i o n p a r t i c u l a i r e , d o n t l'effet a é t é m i s e n é v i d e n c e a u § 6, n ' y i n t e r v i e n t p a s .

L ' h y p o t h è s e d ' u n é t a t i n i t i a l n a t u r e l e s t à l ' o r i g i n e d e f r u c t u e u s e s s i m p l i f i c a t i o n s s u r l e s - q u e l l e s n o u s r e v i e n d r o n s , m a i s i l y a l i e u d e n e p a s p e r d r e d e v u e q u e c e t t e c i r c o n s t a n c e , p o u r i n t é r e s s a n t e q u ' e l l e soit, c o m p o r t e d e s e x c e p t i o n s t e n a n t , c o m m e l ' e x e m p l e c i t é a u d é b u t d e c e t a r t i c l e le m o n t r e , s o i t à u n e d é f o r m a b i l i t é r e l a t i - v e m e n t g r a n d e d e l a p h a s e s o l i d e (faible v a l e u r d e À), s o i t à u n e é p a i s s e u r n o t a b l e d u m a s s i f ( g r a n d e v a l e u r d e h). I l c o n v i e n t e n f i n d e n o t e r l ' e x i s t e n c e p o s s i b l e d a n s c e r t a i n e s r o c h e s d e t e n - s i o n s i n i t i a l e s d ' o r i g i n e t h e r m i q u e p o u v a n t a t - t e i n d r e d e s v a l e u r s c o n s i d é r a b l e s . D e t e l l e s s i - t u a t i o n s n e s o n t p a s j u s t i c i a b l e s d e s d é v e l o p p e - m e n t s q u i v o n t s u i v r e e t d o i v e n t ê t r e é t u d i é e s à l ' a i d e d e s é q u a t i o n s g é n é r a l e s é t a b l i e s a n t é r i e u - r e m e n t d o n t l a m i s e e n œ u v r e s ' a v è r e d ' a i l l e u r s p a r t i c u l i è r e m e n t d é l i c a t e .

8 . T R A N S F O R M A T I O N S ISOTHERMES. T R A N S F O R M A - T I O N S ADIABATIQUES.

B o r n o n s - n o u s a u x transformations infinitési- males effectuées à p a r t i r d ' u n état naturel. L ' e x - p r e s s i o n d u p o t e n t i e l d é d u i t e d e ( 4 6 ) :

P O V = T",, e^fj

- Afi' +

(58) e t celle d u t e n s e u r t e n s i o n q u i e n d é r i v e (57) :

T B^S. T < » „ + P^HT 4 - X^w,^yc^f;

s o n t d i r e c t e m e n t a d a p t é e s à l ' é t u d e d e s t r a n s f o r - m a t i o n s isothermes, à T n u l , p o u r l e s q u e l l e s elles s e r é d u i s e n t à :

? 0 W = T °^y e^V) + ( 1 / 2 ) l^{k l t i j} e,^a e^iit

e t :

T l;l ~ 1 "/,-!+ ^AA-Î,ij ^ey -

L e s v i n g t e t u n coefficients d'élasticité iso- therme l^{M t i }} s u f f i s e n t à c a r a c t é r i s e r l e s p r o p r i é - t é s é l a s t i q u e s d e l a p h a s e s o l i d e à p a r t i r d e

L A H O U I L L E B L A N C H E