MÉCANIQUE DES TERRAINS PERMÉABLES

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4 0 8 L A H O U I L L E B L A N C H E N " 3 - JUILLET 1 9 5 5

M é c a n i q u e des terrains p e r m é a b l e s

T h e m e c h a n i c s o f p e r m é a b l e soils

P A R J. FERRANDON

M A I T R E D E C O N F É R E N C E S A L ' É C O L E P O L Y T E C H N I Q U E

(Suite et fin)

Le texte ci-dessous résume la matière d'une série de conférences faites aux Elèves Ingé- nieurs de l'Institut Polytechnique de Grenoble au cours de la session scolaire Ï 9 5 3 - Ï 9 5 4 . Leur objet est l'examen de certaines propriétés des terrains perméables particulièrement utiles pour les applications.

La première partie expose les lois de l'écoule- ment laminaire en généralisant, par l'introduc- tion du tenseur de perméabilité, la loi de Darcy aux milieux isotropes.

La seconde partie traite de l'équilibre limite des sols cohérents sans frottement interne et des sols pulvérulents par la méthode analyti- que de Cauchy, par laquelle les lignes de glis- sement apparaissent comme courbes caracté- ristiques d'un système d'équation aux dérivées partielles.

La troisième partie envisage les phénomènes de propagation de discontinuités dans un sol perméable, compte tenu de l'existence de deux phases solide et liquide en présence.

Enfin une note de M. F. Serre sur l'évolution en fonction du temps du tassement des couches argileuses aborde le problème du tassement des fondations d'une manière tout à fait générale.

The following text is a résumé of a séries ot lectures delivered to engineering students at the Grenoble Polytechnic Institute during the 1953-19M session. The object of the lectures was to examine those properties of perméable soils which are of spécial importance in prac- tical problems.

The first part treats the laws of laminar flow.

generalising Darcy's law for isotropic soils by introducing the permeability tensor.

The second part deals with the limiting equilib- rium of cohesive soils without internai fric- tion, and of cohesionless soils. The analytical method of Cauchy is used and gives the failure Unes as characteristic curves of a System oj partial differential équations.

The third part considers the phenomena of propagation of discontinuities in a perméable soil taking into account the existence of both solid and liquid stages.

Finally a note by M . F . S E R R E on the time élément in the seulement of clay strata introdu- ces the problem of foundation seulement in

a very gênerai manner.

T R O I S I È M E P A R T I E <*>

D Y N A M I Q U E DES SOLS PERMÉABLES

III

C O N S O L I D A T I O N D E S A R G I L E S

1.

L ' a p p l i c a t i o n de charges à la surface l i m i t e d'un sol a r g i l e u x en é q u i l i b r e d é t e r m i n e une é v o l u t i o n , dite consolidation, de c e l u i - c i au c o u r s de laquelle l'eau l i b r e est expulsée des r é g i o n s les plus chargées. L e p h é n o m è n e de consolida-

( * ) Cf. la Houille Blanche, n" 4, 1954, p p . 466-480;

n" 1, 1955, p p . 63-85; n » 2, 1955, p p . 150-166.

tion se révèle par la d é f o r m a t i o n p r o g r e s s i v e et très lente des c o u c h e s intéressées d o n t le tasse- m e n t final, bien q u ' a p p r é c i a b l e et parfois m ê m e c a t a s t r o p h i q u e q u a n t à la stabilité des ouvrages a u x q u e l l e s elles t i e n n e n t lieu de f o n d a t i o n , de- m e u r e g é n é r a l e m e n t p e t i t eu égard aux d i m e n -

sions de celles-ci.

Les é q u a t i o n s indéfinies [3, I ] régissent ce c h a n g e m e n t d'état, mais elles s e r o n t simplifiées

Article published by SHF and available athttp://www.shf-lhb.orgorhttp://dx.doi.org/10.1051/lhb/1955041

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JUILLET 1955 - N° 3 L A H O U I L L E B L A N C H E 409

p o u r t e n i r c o m p t e de l ' o r d r e d ' i n f i n i t u d e postulé des d é p l a c e m e n t s et des vitesses.

2. EQUATIONS INDÉFINIES DE LA CONSOLIDATION.

L a phase solide est assujettie à une transfor- m a t i o n ( T ) définie par le v e c t e u r û (u^t), par la<- quelle la p a r t i c u l e m a c r o s c o p i q u e de masse spé- cifique, m o d u l e des vides et coefficients d'élas- t i c i t é p0, m0, \ h m , o c c u p a n t p r i m i t i v e m e n t le v o i - sinage du p o i n t (X-LXZXS), passe à l ' i n s t a n t t de la c o n s o l i d a t i o n au p o i n t ( X j X2 X3) :

Xi = X^T + U,;. ( X i x²x³ t), avec la vitesse ïï(Uj v² v³) :

L a d é f o r m a t i o n de cette phase est en o u t r e définie par la p a r t i e p r i n c i p a l e e ( e^y) du tenseur de d é f o r m a t i o n p u r e :

2

9 u{ 9Uj dxj

et l'état de tension r é v e r s i b l e est représenté par le tenseur s y m é t r i q u e T ( Ty) i n i t i a l e m e n t égal à f o ( T % . ) .

La phase liquide de poids spécifique ns = g^xg (litre à t r a v e r s la p r e m i è r e de p e r m é a b i l i t é ~R(Ky) avec la vitesse b r u t e V ( V¹V²V³) , et la vitesse, relative des deux phases en présence est liée à la charge h y d r a u l i q u e actuelle $ (x¹ x² x³ t) par la loi de D A R C Y généralisée :

V- - H grad # .

N o u s nous p r o p o s o n s de d é t e r m i n e r à c h a q u e instant de la c o n s o l i d a t i o n la p o s i t i o n q u ' o c c u p e la phase solide par r a p p o r t à sa s i t u a t i o n i n i - tiale, c'est-à-dire le v e c t e u r ïi et a c c e s s o i r e m e n t la charge h y d r a u l i q u e $ en t o u t p o i n t .

A cet effet, nous r e m a r q u o n s q u e l ' é q u a t i o n de c o n t i n u i t é , déduite de (3, I, 25) p o u r t e n i r c o m p t e des hypothèses actuelles :

div (7J + V ) = 0

par la loi d ' é c o u l e m e n t rappelée ci-dessus, s'écrit :

div (2 v — K grad * ) = 0 (1) et que l ' é q u a t i o n indéfinie du m o u v e m e n t de la phase solide (3, I, 53) dans l a q u e l l e sont négligées forces d ' i n e r t i e et de v i s c o s i t é :

div f + f = 0,

par l ' e x p r e s s i o n des forces de v o l u m e (3, I, 30) débarrassée des forces d ' i n e r t i e négligeables p o u r l ' é v o l u t i o n lente envisagée, s'écrit :

î

ts grad <1> — (1 — mⁿ) ( D — <3) grad x² et celle du tenseur tension en f o n c t i o n de la dé- f o r m a t i o n pure (3, I, 57) :

M, a ci i >

donne

- ^ ( T o w + W < , > - « | î

( 1 —

m

⁰

)

( D — TÏT) dx 'S- = 0 Et c o m m e , dans l'état i n i t i a l d ' é q u i l i b r e

3 ( T ° ,c !) — (1 — m0) ( D — TDO axh

il v i e n t , par différence : 3

9 x J L =0

9.T;

• 75 3<I>

dx, 0 (2)

Les équations (1) et (2) sont les équations indéfinies de la consolidation.

Si la phase solide est i n i t i a l e m e n t homogène et isotrope, ces p r o p r i é t é s élastiques sont définies par les deux seuls coefficients d'élasticité X et \>-, et le tenseur de p e r m é a b i l i t é se r é d u i t au coeffi- ficient de p e r m é a b i l i t é K. Sous cette h y p o t h è s e , les é q u a t i o n s (1) et (2) d e v i e n n e n t , par q u e l q u e s t r a n s f o r m a t i o n s classiques :

K Ao <T> = 2 div u (3) (X -)- !J.) gra,d div u + p. A² u — rrr grad «I> (4) A v e c les c o n d i t i o n s initiales et les c o n d i t i o n s aux l i m i t e s , les é q u a t i o n s (1) et ( 2 ) , et plus p a r t i - c u l i è r e m e n t les é q u a t i o n s (3) et ( 4 ) , définissent la f o n c t i o n scalaire <ï> et la f o n c t i o n v e c t o r i e l l e ïï, régissant le p h é n o m è n e envisagé.

3. P E T I T S MOUVEMENTS ET DÉPLACEMENT DE L'ÉQUI- LIBRE DES MASSIFS TOTALEMENT CONSO- LIDÉS.

N o u s e x a m i n o n s m a i n t e n a n t l ' é v o l u t i o n d'un massif r é d u i t à sa phase solide ( g r a i n s et eau fixée) ne s ' a c c o m p a g n a n t plus à l ' é c h e l l e m a c r o s - c o p i q u e de v a r i a t i o n v o l u m é t r i q u e sensible. C'est bien là, par e x e m p l e , le cas d'un m a t é r i a u à

s t r u c t u r e l a m e l l a i r e d o n t toutes les p a r t i c u l e s enrobées d'eau fixée sont parallèles à u n plan.

Les é q u a t i o n s indéfinies se déduisent aisément:

(3)

4 1 0 L A H O U I L L E B L A N C H E N " 3 - J U I L L E T 1 9 5 5

de celles établies en t o u t e généralité en [ 3 , I, 7 ] . Dans l'hypothèse d'une phase solide i n i t i a l e m e n t h o m o g è n e et i s o t r o p e , par i n t r o d u c t i o n d'un sca-

laire p et r é d u c t i o n de / aux actions de pesanteur, il v i e n t :

i div u = 0

! grad ,(T° — p) + y. A² Û +^{P o} g =^{9 o} u pour d é t e r m i n e r les f o n c t i o n s i n c o n n u e s p et ïï.

S'il s'agit de la r e c h e r c h e des d é p l a c e m e n t s d ' é q u i l i b r e à p a r t i r de l'état i n i t i a l par le

seul j e u des s o l l i c i t a t i o n s superficielles, ce q u i c o r r e s p o n d à m a i n t s p r o b l è m e s p r a t i q u e s , tel celui de la stabilité des f o n d a t i o n s ; à cet égard,

c o m p t e t e n u de l ' é q u i l i b r e dans l'état i n i t i a l , par suppression des t e r m e s de vitesse et d'accéléra- t i o n , les é q u a t i o n s précédentes d e v i e n n e n t :

i div u = 0

( — grad p + u. A² u = 0

Elles régissent t o u t d é p l a c e m e n t d ' é q u i l i b r e des massifs de l'espèce. O n ne m a n q u e r a pas de noter leur i d e n t i t é f o r m e l l e aux é q u a t i o n s de

STOKES ( * ) de la d y n a m i q u e des fluides v i s q u e u x i n c o m p r e s s i b l e s en m o u v e m e n t s t a t i o n n a i r e .

( ' ) A c e l a p r è s q u e le d é p l a c e m e n t u est r e m p l a c é p a r l a v i t e s s e v.

I N D E X B I B L I O G R A P H I Q U E

B O U S S I N E S Q . — « R e c h e r c h e s t h é o r i q u e s s u r l ' é c o u l e m e n t des n a p p e s d ' e a u i n f i l t r é e s d a n s l e sol et s u r le d é b i t d e s s o u r c e s , et c o m p l é m e n t s » . Journal de Mathématiques pures et appliquées, 5" s é r i e , t. X , 1904.

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