MÉCANIQUE DES TERRAINS PERMÉABLES

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( ( • > ( ) LA H O U I L L E B L A N C H E . I U I L U - T - A O U T l!)5-l

Mécanique des terrains permeables

The mechanics of permeable soils

PAR J. F E l í KA]S

^T

DO N

N1A1THE DE CO N EKHENC.ES A 1. ECOI.E l'OI.YTECHN IQUE

Le lexte ci-dessous resume la maliére d'nne serie de conférences faites aux Eleves Inge- níelas de l'Institut I'olylechnique de Grenoble au eours de ta session scolaire 1953-Í954. Leur objet est /'examen de eerlaines propriétés des terrains permeables partieiüiérement útiles pour les applications.

La premiere partie expose les ¡ais de l'écoule- ment laminaire en généralisant, par l'introdnc- tion du tenseur de perméabilité, la loi de Darcy aux milieux isotropes.

La seconde partie traite de ¡'equilibre limite des sois cohérents sans frollement interne el des sois puluérulents par la inéthode analyfi- que de Cauchy, par laquelle les lignes de glis- sement apparaissent comme courbes ctiradé- ristiques d'un systéme d'équation aux dérivées partidles.

La troisicme partie envisage les phcnoménes de propagation de discontinuités dans un sol permeable, compte tenu de l'existence de deux phases solide et liquide en ¡/résence.

Enfin une note de M. F. Serré sur l'énolulion en fonclion du temps du tassement des conches argileuses aborde le probléme du tassement des fondulions d'une maniere fouf á fail genérale.

The following lext is a resume of a series of feriares delivered to engineerimj studenls al lite Grenoble Polylechnic Institute during the lí)j:¡-l'J.r>'i session. The object of the lectures ivas lo examine tlióse properties of permeable soils which are of special importance in prac- tical problems.

The ftrst parí treats the laws of laminar flotv, generalising Darcy's laiv for isotropic soils bg inlroducing the permeability tensor.

The second part deals mith the limiting equilib- rium of cohesive soils ivithout inlernal fric-

lion, and of powdery soils. The analytieal melhod of Cauchy is used and gilíes the failure Unes as characterislic curves of a syslem o\

parlial differential equations.

The third parí considers the phenomena of propagation oí discontinuities in a permeable soil taking into accounl the exislcnce of bolh solid and liquid stages.

l-inulli/ a note by M. F . S E U I I E OH the lime elcmenl in the settlemenl of clay si rata introdu- ces the problem of foiindalion settlemenl in a oery general manner.

P R E M I E R E P A R T I E

É C O U L E M E N T D E L ' E A U D A N S L E S T E R R A I N S P E R M E A B L E S

La M é c a n i q u e d e s sois c o m p o r t e l ' é t u d e d e s p h é n o m é n e s de filtration d o n t les m a s s i f s n a t u - r e l s s o n t g é n é r a l e m e n t le siége et p o u r l a q u e l l e est e s s e n t i e l l e la c o n n a i s s a n c e d e s lois r é g i s s a n t I ' é c o u l e m e n t de l'eau a u t r a v e r s d e s m i l i e u x p e r m e a b l e s .

La p r e m i e r e p a r t i e de cet o u v r a g e c o n s i s t e en un e x p o s é a n a l y l i q u e de ees lois s o u s f o r m e s u f f i s a m m e n l g e n é r a l e p o u r e n g l o b e r la m u l t i - plicilé d e s c a s u s u e l s et s u f í i s a m m e n t p r e c i s e p o u r en p e r m c l t r c la r é s o l u t i o n . Y e s t c o n s t a m - m e n l e n v i s a g e u n m a s s i f n a l u r c l p o r e u x f o r m é de g r a i n s s o l i d e s m é n a g e a n t e n t r e e u x d e s Í n t e r - valles t r e s p e t i t s d o n t l ' e n s e m b l e c o n s t i t u e u n r é s e a u de c a n a u x ou t u b e s de l i l t r a t i o n de t r e s faibles s e c t i o n s i m p r e g n e s d ' e a u . T o u l e diffé- r e n c e de c h a r g e e n t r e d e u x r é g i o n s d u l i q u i d e

p r o v o q u e u n l e n t m o u v e m e n t de f i l t r a t i o n . D a n s c h a c u n d e s l u b e s , le m o u v e m e n t de l ' e a u se c o m - p o r t e c o m m e c e b ú d ' u n l i q u i d e v i s q u e u x á l'in- t é r i e u r d ' u n t u b e fin a v e c v i t e s s e n u l l e a u c o n - t a d d e s p a r o i s .

L e s p r o p r i é t é s de ce c a s é l é m e n t a i r e et f o n d a - m e n t a l s o n t d o n e e x p o s é e s e n p r e m i e r lieu p o u r é l r e é t e n d u e s s u c e e s s i v c m e u t a e c u x de la l i l t r a - tion u n i d i m e n s i o n n e l l e p u i s de la p l u s g e n é r a l e , e'esl-a d i r é s a n s d i r e c t i o n p r i v i l é g i é e d ' é c o u l e - m e n t . D a n s ees d i v e r s e s é v e n t u a l i t é s s o n t elTee- l u é e s la d é t e r m i n a t i o n d u c b a m p d e s v i t e s s e s d e l'eau et eelle d e s a c t i o n s h y d r o d y n a m i q u e s e x e r - cées s u r les g r a i n s d u m a s s i f f i l t r a n ! .

Ces c o n f é r e n c e s r e l a t i v e s a la M é c a n i q u e d e s sois p e r m e a b l e s c o m p o r t e n ! t r o i s p a r l i e s :

Article published by SHF and available athttp://www.shf-lhb.orgorhttp://dx.doi.org/10.1051/lhb/1954044

(2)

.11 n . i . i í T - A o u T 11)51 LA H O U 1 L L L B L A N C I I L •107

I. -— L a ñ l t r a t i o n d ' u n l i q u i d e v i s q u e u x á Pin- l é r i e u r d ' u n sol p o r e u x á s l r u c l u r e i n v a r i a b l e esl d ' a b o r d e x a n i i n é e . S o n t m i s e s en é v i d e n c e la loi de í i l l r a l i o n el d é t e r m i n é e s les a e t i o n s d u 1¡- q u i d c f i l t r a n l s u r la p h a s e solide.

II. — Le c h a u í p de ees a e l i o n s s ' a j o u l e a e e l u i d e la p e s a n l e u r el modifie les e o n d i t i o n s d e q u i -

libre d e s m a s s i l ' s oú i n t e r v i c n n e n t t e l s é c o u l e - m e n l s d e P e s p e c e . S o n t e x a i n i n é e s d i v e r s e s eir- c o n s l a n c e s de r u p l u r e p a r g l i s s c m e n t de e e u x - e i .

III. — Si le sol esl s u s c e p t i b l e de d é l ' o r m a l i o n p r o p r e — a r g ü e s - - les a e t i o n s en c a u s e m o d i - íianl P é l a t d e s t o r c e s i n l é r i e u r e s de la p h a s e solide e n p r o v o q u e n t l ' é v o l u t i o n . S o n l é t u d i é e s d e u x é v c n l u a l i l é s e x t r e m e s de celle-ci : la p r o - p a g a t i o n p a r o n d e s d ' e x c i t a t i o n s i n i l i a l e m e n t lo- c a l i s é e s s u r la s u r t a c e l i m i t a n t le m a s s i f el l'évo- l u t i o n l e n t e ou c o n s o l i d a l i o n .

Le l e x t e c i - d e s s o u s c o m p o r t e les c a l e u l s q u ' i l n'a p a s élé p o s s i b l e d e d é v e l o p p e r á l ' a m p h i - t h é a t r e .

I

É C O U L E M E N T G R A D U E L L E M E N T V A R I É D A N S U N T U B E F I N

1.

L ' é t u d e d e P é c o u l e m e n t g r a d u e l l e i n e n t v a r i é d a n s u n t u b e fin, d é d u i l d e s é q u a t i o n s g e n é r a l e s de l ' h y d r o d y i i a i n i q u e d e s lluides v i s q u e u x i n c o i n -

p r c s s i b l e s , c o n s l i l u e l'ex])osé p r é l i m i n a i r e i n d i s - p e n s a b l e á celle de la filtration au I r a v c r s d e s massil's. L e s r e s u l t á i s q u i y sonl o b l e n u s s ' é t e n - (leul a s s e z d i r e c t e m e n t a u x s i l u a t i o n s n a t u r e l l e s p l u s c o m p l e x e s c t les a p p r o x i m a t i o u s c o n s e n l i e s qui y s o n t m i s e s en é v i d e n c e p r e c i s e n ! le s e n s el l i m i l e n t la p o r t e e de l e u r a p p l i c a l i o n .

2. E Y U A T I O N S mi M O U V E M K N T .

E s l d o n e e n v i s a g é u n t u b e e y l i n d r i q u e á g e n e - r a t r i c e s p a r a l l é l e s á ox, i n e l i n é c s s u r Phori/.on d e l ' a n g l e Í, d o n l la s e c t i o n d r o i t e d u p l a n yoz (oz h o r i z o n l a l e ) a p o u r a i r e OJ el p o u r p é r i m é l r e /.

( s e c t i o n el p é r i m é l r e m o u i l l é s ) ífig. 1).

Le l i q u i d e , d e p o i d s s p é c i ü q u e «5 - - c y, tic eoef- licienl e i n é m a t i ( | u e de viscosilé v ¡ A / O , q u i 1c r e m p l i t , s'v é e o u l e s o u s Paction d e la p e s a n l e u r d ' a c c é l é r a t i o n y, a v e c e n l o u t p o i n t (.r, ;/, r) el á l ' i n s t a n t /, la vilesse \ ' (.r, y, r, /) d e c o o r d o n n é e s ti, v, u>. Des s i m p l i ü c a l i o n s e l a s s i t p i e s q u i c o n - d u i s e n t á s u p i i o s e r n u i l e s d a n s lout le l i q u i d e les c o o r d o n n é e s v el iv de sa vilesse a i n s i q u e los d é r i v é e s p a r l i e l l e s dn/dx et d-u/dx-, p e r m e t t c n l , en d é s i g n a n t p a r /;(.r, y. r, / ) . I¡> p r e s s i o n r e v e r s i - ble au p o i n t (,r, y, z) el á l ' i n s t a n t / d e m e l t r e les é q u a t i o n s de P h y d r o d y u n m i q u e |>ropres a u x écou-

l e m e n l s de Pespece s o u s la f o r m e (.*) : 1 dp

P 3.i' dp 3 y

y s i n Í ii -\

y e o s i ,

1 dp

S'v a d j o i n l la c o u d i l i o n a u x l i m i t e s :

ii (I. s u r la s u i f a c e l a l é r a l e du t u b e . (2) L e s d e u x d e r n i é r e s é < | u a ü o n s ( ' ) d é c é l e n t u n e (Ustribulion hijilroslutii/iie des pressions dans lanlc section droite da labe.

L a p r e n d e r e esl s u s c e p t i b l e de s u g g e s l i v e s I r a n s f o r i n a t i o n s .

L ' i n l r o d u c t i o n d a n s celle-ci de la penle mo- trice :

• • I C ) l> \ sin ( - '•- ) ÓX <77 d o i i n e :

c, II a

¡I

s o i l , p a r i n l é g r a l i o i i a l a s e c t i o n n i o u i l l é e ( P a i r e

, a d r, \- \

y ..'

íl (I r,,

p u i s , p a r l a Iransl'iuMualion d e I Í I I Í M A N N . e n u o - l a n l n l ' u n i t a i r e n o r m a l e x l é r i e t i r e m e n l a u e o n - l o u r /. :

1 / / '

"'

^h

(3)

•IOS LA H O U I L L E B L A N C H E ,T UIL LET- A () U T 19 f) 1

e n í i n , p a r é l i m i n a t i o n d e I e n t r e (4) et c e t t e d e r n i é r e :

» 8 o H - / ' 4" ( / * = = « — ^ / / " « i d , (6)

<ú

J^x dn <» , / u

A c e t t e é q u a t i o n s ' a j o u t e la c o n d i l i o n a n x li- m i t e s (2), et le g r o u p e a i n s i f o r m é d é f i n i s s a n t c o n i p l é t e m e n l le m o u v e m e n t a x i a l e n v i s a g é p a r la

p r i s e e n c o n s i d é r a t i o n d e la vitesse moyenne : V =¹ // u da

tú

(7j p e a l s ' é c r i r e :

" ...¹ /' " ds¹ ''' — ¹ //' ''[da.

- / / ' . " . rf,= 1 (8)

— 0 s u r la s u r f a c c l a l é r a l e d u l u h e .

P o u r t o u t m o u v e m e n t g r a d u e l l e m e n t v a r i é , c ' e s t - á - d i r e d e m e u r a n t e n b r e f assez p r o c h e d ' u n m o u v e m e n t u n i f o r m e , le s y s t é m e intégro-diffé- rcnticl (8), a p p a r e m m e n t fort c o m p l e x e , est j u s - ticiable d ' u n e f r u c t u e u s e m é t h o d e d ' a p p r o x i m a - lion q u i va é t r e e x p o s é e .

3. D É F I N I T I O N D ' U N M O U V E M E N T U N I F O R M E 1)K R E F E R E N C E .

Si l ' é c o u l e m e n t e s t uniforme, ú = 0. P o s a n l u/U = l, le s y s t é m e (8) se simplifie e t d e v i e n t :

8 , 5 - i r 4 ? .^rfít

<ú I^v dn

= 0

, — í f

lda = í O»)

s = 0 s u r la s u r f a e e l a t é r a l e d u l u b e . II m o n t r e q u e la f o n c t i o n ; n e d é p e n d q u e d e la s e c t i o n u.

P o u r u n t u b e c i r c u l a i r c d e r a y ó n /•, p a r e x e i n - ple, u n e i n t é g r a t i o n c l a s s i q u e d o n n e :

1 ^{? / -}

(>elte c o n s l a t a t i o n s u g g é r e , alin d e p u u r s u i v r e l ' é t u d c d u m o u v e m e n t g r a d u e l l e m e n t v a r i é , d e la r a p p o r t e r á u n mouvement uniforme de référence d e m é m e d é b i t , c ' e s t - á - d i r e d e m é r a e v i t e s s e U, el d e fixer s o n é t a t p a r l ' é c a r t d e v i t e s s e , ou p a r Imite q u a n t i t é p r o p o r l i o n n c l l e á celle-ci, q u ' i l

p r é s e n t e a v e c ce d e r n i e r . D ' u n e f a c ó n p r e c i s e , á cet efl'et, esl e h o i s i le n o m b r e :

u

I T (10)

u e s t la v i t e s s e r é e l l e d u m o u v e m e n t g r a d u e l l e - m e n t v a r i é , U s a v i t e s s e m o y e n n e d a n s la s e c - tion (D, \ la v a l e u r d u q u o t i e n t u/U d e la v i t e s s e d u m o u v e m e n t u n i f o r m e d e v i t e s s e m o y e n n e U.

P a r h y p o t h é s e , s d e m e u r e p e t i l d e v a n t u/V.

4 . L O I DU M O U V E M E N T ( i R A D U E L L E M E N T V A R I É .

C o m m e c o n s é q u e n c e d i r e c t o d e s d é í i n i t i o n s p o - sees el d e s r é s u l t a t s o b t e n u s c i - d e s s u s , l ' é c a r t e s a t i s f a i t a u s y s t é m e d ' é q u a l i o n s :

1 / d e , 1 / .

» .'^x dn v U V 1 (o

eda = Q

s = 0, s u r la s u r f a e e l a t é r a l e d u l u b e

ÍF d a \

(11)

a n a l o g u e á (8), m a i s le d e g r é d ' i n í i n i t u d e d e e p e r m e t d ' e n s i m p l i í i e r le d é v e l o p p e m e n t ,

M u l t i p l i a n t les p r e m i e r e s é q u a l i o n s (9) el (11) r e s p e c l i v e m e n t p a r — s d a et & d a, a j o u l a n t , p u i s i n t é g r a n t d a n s u>, a p r é s a v o i r d e s i g n é p a r ). la q u a n t i l e .

- / ' 4 ^£ " * ' .' x dn

(12) d é p o n d a n l c o m m e /, d e la s e u l e s e c l i o n (o>), il v i e n t :

/'^dÍL ds + X U + -¹- ¡Y (^e - - 1 ) ü d a = 0.C13)

.'x dn v II^a

L ' é l i m i n a l i o n d e P i n t é g r a l e c u r v i l i g n e e n t r e les é q u a l i o n s ( 5 ) el (13) d o n n e :

I - ^ - ü + - — 1

g o) ga ú d < ( 1 4 ) Ici i n t e r v i e n t P a p p r o x i m a t i o n a n n o n c é e t e n a n l á la p e l i l c s s e d e s. P a r (10), e n ell'el, lo s e c o n d l e r m e d e (14) égal á :

1 9¹⁰ est é q u i v a l e n t á :

1 u u

« T i

Í'Í ( / a,

d a,

(4)

JUILLET-AOUT 1 9 5 4 L A H O U I L L E B L A N C H E I0<)

el l ' é v a l u a l i o n de e e t l e s o n n n a l i o n (jui s'eíTeclue en p o s a n l :

d o n n e :

1

d dx

/ V² ,

I^a

v 2 y )

( 1 3 ;

de lelle s o r l e q u e :

1 = .U 9^w

9 9 7

^{2 "ff} ^{( 1 0}

E n l i n , p a r la d é f i n i t i o n (3) de I el en f a i s a n l é t a t de l'égalité d e sin i á 9 Y / 9 . r (OY v e r l i c a l e a s e e n d a n t e ) , il v i e n l 1 ' é q u a l i o n d u m o u v e m e n l g r a d u e i l e m e n l varié :

A V

9 w

9_

9.r 2 9

67

+ Y ) = U (17.1

(jui al'íirme la proportionnidité de la vítense moyenne d'écoulemcnt U au gradient de charge hydrauliquc :

a U²

2 / / + Y.

D o r é n a v a n t , s e u l s s e r o n t p r i s e n e o n s i d é r a t i o n les é c o u l e m e n l s á I r é s faibles vitesses, p o u r les- ([uels * U - / 2 g esl n é g l i g e a b l e d e v a n t (p/m) -f- Y.

D a n s ees c o n d i t i o n s , la charge r é d u i l e á ses t e r - m e s de p r e s s i o n el de p o s i t i o n est e q u i v a l e n t e á :

n (^a, y) bi n ó r m a l e e x l é r i e u r e en t o u t p o i n l r é - g u l i e r de ee c o n t o u r (fig. 2 ) .

2 ) — * •

F u ; . 2

Une j>arlicule de v o l u m e (/ du licpiide l i l t r a n l á la v i l e s s e V esl sollieitée p a r la forcé de p e s a n - te u_r F (/ d o n t le p o t e n t i e l esl d e s i g n é p a r T ( F = — g r a d Y). L e s cfl'orts á la s u r f a e e du li- q u i d e c o n l e n u d a n s le l u b e , o p p o s é s á e e u x e x e r - cés p a r celui-ei, l a n l s u r la p a r o i (L) d u l u b e

q u e s u r l e s j s e e l i o n s l i q u i d e s (o) et (.«'.), s o n t desi- g n e s p a r T da p o u r loul é l é m e n l d ' a i r e da, de lelle s o r l e q u e 1'aclion globale a a p p l i q u é e á (L) est :

T d < (20)

Le Théoréme des quuntités de mouvemenl en p e r m e l la d é t e r m i n a l i o n . P o u r le l i q u i d e c o n l e n u d a n s le l u b e , il s'éerit en ellet :

d V

dt i

í / r - 4

T (/ <j

<1> JL Y. (18) T </.

(|iii s e r a r e t e n u c p o u r r e p r é s e n l e r la v i l e s s e m o y e n n e d ' é c o u l e m c n t p a r :

U g di 9'1>

A v dx (10)

L e s c o n s é q u e n c e s de (19) q u i s e r o n t d é e r i l e s o n t d o n n é lieu á d e s -verifications e x p e r i m e n t a l e s g é n é r a l e m e n t s a t i s f a i s a n t e s q u i j u s t i f i e n l les a p p r o x i n i a t i o n s c i - d e s s u s , effectuées s o u s la d o u - ble b y p o t h é s e d ' u n m o u v e m e n l quasi uniforme et tres lent.

5. A c n o x suii M-: T I U K .

Le t u b e c o n s i d e r é en (2) esl l i m i t é p a r sa s u r - face l a t é r a l e c y l i n d r i q u e (L) et p a r d e u x s e c t i o n s p l a n e s n o n n é c e s s a i r e m e n l d r o i t e s (<r) el « ) . Soil

d'oii :

l i ü ^¥ ^j ^, ⁺ . ) j y ^r ^, ' " ⁱ £ • r d i

en n é g l i g c a n l les t o r c e s d ' i n e r t i e d e v a n t les t o r - ces d o n n é e s , c o m m e , e t p o u r la m é m e r a i s o n , 1'énergie c i n e f i q u e d u (ilet l i q u i d e a élé négligée en ! 4 | d a n s l'exjiression de son é n e r g i e t o t a le.

O r , le v e e t e u r T, p r o d u i t p a r ii d u l e n s e u r - t e n - sion T de c o o r d o n n é e s (*) :

N, N, ^ N, =

T , = 0, T., du

dz

du ' 09 '

(*) N o l a l i o n d e L A M I Í .

On a p o s é : ¡t v £>.

C o m p t e t e m í d e ee q u e l> -. w -- 0 ¡ 2 ]

(5)

•170 LA H O U I L L E B L A N C H l i J U l L J . E T - A o L ' T 105 1

a p o u r c o i n p o s a n t c s :

RP , ., du , du

''I' ' dy' + ™ dz '

„ . du ,.

'^{X ; A} dy •'>'•

9//

el il v i e n l p o u r celles de a dy

r '-dV I * P^d *

9/i . dz 9Y

- f i* , , ' ' a ¡a

du , 3?/

9u ,

a • — d s ,

dz

Mais il e s t a i s é d e s ' a s s u r e r , p a r t r a n s f o r i n a ü o n e n i n t é g r a l e s c u r v i l i g n e s , q u e les d e r n i e r s t e r m e s d e c h a c u n e d e s e x p r e s s i o n s p r e c e d e n t e s s o n t n u l s c o m m e e s t n u l u s u r les p é r i m é t r e s de <¡ et a', si b i e n q u e l ' a c t i o n c h e r c h é e e s l é q u i p o l l e n t e au v e c t e u r (**) :

a= l'j'j _ i g r a d Y d V — "u fj P d <j — « ' jj^ p d <¡.

(21) Le fait q u e c e l l e g r a n t l e u r s o i l indépendunle de la viscosité du liquide e s t t o u t a fait r e m a r - q u a b l e . II est á l ' o r i g i n e d ' u ü l e s s i m p l i í i c a l i o n s d a n s l ' é v a l u a t i o n d e s efforts e x e r c é s s u r u n m a s - sil' p e r m e a b l e p a r le l i q u i d e q u i s'y é c o u l e .

l i e e u x d e s i n t e r v a l l e s a c t i f s g o r g é s d ' e a u q u i s'y é c o u l e . S e r a e n v i s a g é e u n e f r a g m e n t a t i o n d e lels e n s e i n b l e s en p a r t i c u l i e r m a c r o s c o p i q u e s , d e v o l u m e c o n s i d e r é c o m m e i n f i n i t e s i m a l p o u r les b e s o i n s d e l ' a n a l y s e , m a i s c o m p o r t a n t u n t r e s g r a n d n o m b r e de g r a i n s et p a r s u i t e u n t r e s g r a n d n o m b r e d ' i n t e r v a l l e s a c t i f s . L a s u r f a c e li- m i t a n t u n e telle p a r t i c u l e est, p a r d é í i n i l i o n de eelle-ci, t o u t e n l i é r e t r a c é e d a n s les s e u l s i n t e r - valles a c t i f s , é c h a p p a n t a i n s i a u x g r a i n s et a u x p e l l i c u l e s d ' e a u q u i y d e m e u r e n t a l t a d l e s .

L e s i n t e r v a l l e s a c t i f s s ' a s s e i n b l e n l e n l u b e s de l i l l r a l i o n et il e s t ici s u p p o s é q u e c e u x - c i s o n t s e n s i b l e m e n t p a r a l l é l e s á l ' a x e .

2. L O I DE LA F I L T K A T I O N .

C o E E F l C I E N T UE P E H M É A I 1 I L 1 T É .

P o u r c h a c u n d e ees t u b e s , il est loisible d e c o n c e v o i r d e s c a r a c l é r i s t i q u e s g é o m é t r i q u e s n i o y e n n c s et n o l a u í m e n l une. s e c l i o n d r o i l e d ' a i r e t o , d e p é r i m é l r e y, á t r a v e r s l a q u c l l e í i l l r e le d é b i l (1.1.19) :

q = y - A v

9<1>

dx (1)

Soil a l o r s u n e s e c l i o n d ' a i r e il, n ó r m a l e au t u b e s u r l a q u c l l e , p a r c o n s é q u e n t , le g r a d i e n l h y d r a u l i q u e 9/9.r d e m e u r e c o n s t a n t et d o n t la .seclion mouillée, e ' e s t - á - d i r e l ' a i r e l o l a l e d e s sec- l i o n s d r o i l e s d e s i n t e r v a l l e s a c t i f s c o u p é s p a r (U) esl r, il. Le d é b i l Q á I r a v e r s (il) esl :

Q = .9.. y

V l >~'\

9<1>

9 x (2)

La v i t e s s e nioyenne nelle, r a p p o i ' l é e a u x s e u l s t u b e s d e l i l l r a l i o n , e s t :

U Q (3)

La vitesse nioyenne bride, r e l a l i v e á la s e c - lion filtrante d ' a i r e Q, e s t :

II

F I L T R A T I O N U N I D I M E N S I O N N E L L E

1. CO.NSTITUTION UES M A S S I E S I T L T K A N T S .

Les sois p e r m e a b l e s ( s a b l e s , a r g ü e s , vases) s o n t c o n s l i t u é s e s s e n t i e l l e m e n l p a r la j u x t a p o s i - lion de g r a i n s s o l i d e s , e n r o b é s d ' e a u q u i y a d h é r e p l u s ou m o i n s , et d e ce fait n e p a r t i c i p e p a s au m o u v e m e n t g e n e r a l d e filtration, m é n a g e a n t e n -

("*') /i e t n', u n i t u i r e s i i o r m a u x e x t é i i e u r e m e n t a l a et a ' ) -

(4) Ces d e u x g r a n d e u r s ne d o i v e n l l'aire l'objcl d ' a u c u n e c o n f u s i ó n . D ' e x p é r i c n c e s s y s l é m a t i q u e s s u r d e s ( i I l i e s d e s a b l e , D A U C Y a pu d é d u i r e la p r o p o r l i o n n a l i l é de la v i t e s s e n i o y e n n e b r i l l e de l i l l r a l i o n U au g r a d i e n l h v d r a u l i q u e 9'í>/9.i:. f.elte loi :

V = - K f , (5) dx

esl bien c o m p a t i b l e a v e c les é q u a l i o n s d e l'by- d r o d y n a m i q u e c o m m e il r é s u l l e d e s d é v e l o p p e -

(6)

JUILLKT-AOUT 1 9 5 4 L A H O U I L L E B L A N C H E 4 7 1

m e n t s p r é c é d e n t s q u i m e t t e n t e n o u t r e e n l u m i c r c la d é p e n d a n c e d u coe/ficient de perméabilité K a y a n t les d i m e n s i o n s ( L T^{- 1}) d ' u n e v i l e s s e d e s c a r a c t é r i s t i q u e s p h y s i q u e s d u filtre et d u l i q u i d e ( i l t r a n t . E n effet :

U V O A

x x v a l e u r m o v e n n e d e —

V " A

d a n s ü .

K e s t a i n s i f o n c t i o n d e s d i m e n s i o n s t r a n s v e r s a - les et d e la f o r m e d e s l u b e s (<o//.), de la d i s t r i - bu tion d e ees t u b o s (r¡), de la v i s c o s i t é d e l'eau (v).

P o u r s i m p l i f i e r l ' é c r i t u r e d e e e r t a i n s d é v e l o p p e - m e n t s u l t é r i e u r s , n o u s p o s o n s :

( 7 ü)

/,• = ~ s - v a l e u r m o v e n n e de : si b i e n q u e

K = T, k

Coito a n a l y s e , q u i e x p l i c i t e les d i v e r s f a e l c u r s d o n l d é p e n d la p e r m é a b i l i t é d ' u n filtre, n ' e s t g u é r e s u s c e p t i b l e , é t a n t d o n n é l ' i r r é g u l a r i l é d e f o r m e d e s t u b e s et la d i v e r s i t é d e l c u r r é p a r t i t i o n d a n s u n sol d o n n é , d ' e x t e n s i o n q u a n t i t a t i v e , et c'est á l ' e x p é r i m e n t a t i o n , s u r é c h a n t i l l o n p r é l e - vés ou m i e u x in situ, q u e s o n t d e m á n d e o s e n fait et p o u r c h a q u é c a s p a r t i c u l i e r les v a l e u r s n u m c - r i q u e s d u coefficient d e p e r m é a b i l i t é d o n t voici, c i - d e s s o u s , p o u r d i v e r s e s n a t u r e s d e l e r r a i n s , q u e l q u e s o r d r c s de g r a n d e u r .

V A L E U R S MOYENNES A P P R O X I M A T I V E S UU C O E F F I C I E N T D E P E R M É A M L Í T É

P O U R D I V E R S T E R R A I N S

Désignation du sol K

( m / s )

Sable 5 1 0 - '

1 0 - "

5 1 0 - » 1 0 - "

5 1 0 ~^{u >}

Sable fin

5 1 0 - ' 1 0 - "

5 1 0 - » 1 0 - "

5 1 0 ~^{u >}

Sable a r g i l e u x A r g ü e g r a s s e

5 1 0 - ' 1 0 - "

5 1 0 - » 1 0 - "

5 1 0 ~^{u >}

5 1 0 - ' 1 0 - "

5 1 0 - » 1 0 - "

5 1 0 ~^{u >}

r e n c e d e c h a r g c c o n v e n a b l e . Le module des vi- des (*) de ce m i l i e u é l a n l ni p a r d é l i n i l i o n :

< y ' = m %•>

L a r e s u l t a n t e A de l'action de l'eau s u r l'en- s e m b l e d e s g r a i n s d e 1? se d é d u i t d e ( 1 . 1 . 2 1 ) p a r u n e d o u b l e i n l é g r a t i o n é t e n d u e :

— Au v o l u m e V' o c c u p é effectivenienl p a r l'eau l i b r e ;

— A la s u r f a e e 2>, c a r s u r celle-ci Taire d e s g r a i n s ou d e la p e l l i c u l c d ' e a u fixée á c h a - c u n d ' e u x e s t n u l l e o u q u a s i n u l l e . II v i e n t :

A = — / / /⁽. 9 g r a d Y (/ V — I/ '. h p d n O r , p a r la I r a n s f o r m a l i o n de O R E E N :

/ / . í í / j r f o = Ij'l f>VM\p<1V,

et p o u r le v o l u m e i n f i n i t e s i m a l dV c o m p o r t a n ! , le v o l u m e d ' e a u d V' — m d V, l'action é l é i n e n - lairo s u r les g r a i n s e s t :

d A = - (o 77i g r a d Y 4- g r a d p) d V (8) D a n s le c h a m p g r a v i l i q u e ( O Y v e r l i e a l e a s c e n - d a n t e ) , Y = g Y , el c o i n n i e la chnrge <1> e s t e q u i - v a l e n t e á (p / 5 j ) 4 Y , i n t r o d u i s a n l d a n s (8) c e l t e d e r n i é r e q u a n t i l é , celle-ci p r e n d la f o r m e : d A = w g r a d <1> 4 - w (1 — 77)) g r a d Y d V O»

Le s e o o n d l o r i n e d e eetlo s o m m e r e p r é s e n l e l'aclion arehimédienne s u r le v o l u m e (1 - - m) (/'V d e s g r a i n s s o l i d e s c o n l e n u s d a n s d V, á l a q u e l l e se r é d u i t l'action de l'eau en l'abseneo d ' é c o u l e - m e n t , p u i s q u e la c h a r g e «1> est a l o r s c o n s t a n t e d a n s l o u t le massif.

L'action de couranl c o r r e s p o n d a i n s i a u ]>re- m i c r t e r m o d e (9), soil — íit g r a d <!' (/ V- Son c a - r a c l é r e d e forcé d e v o l u m e m é r i l e d ' é l r e n o t é .

III

F I L T R A T I O N T R I D I M E N S I O N N E L L E

A C T I O N D E O O U R A N T .

Soil u n e f r a c l i o n íinie d ' u n massif, o e c u p a n l , g r a i n s e t l i q u i d e c o i n p r i s , le v o l u m e V l i m i t é p a r la s u r f a c c "§ et c o m p o r t a n t u n t r e s g r a n d n o m b r e d e g r a i n s d o n l les i n l e r v a l l e s a c t i f s do v o l u m e t o t a l V' s o n t g o r g é s d ' e a u en m o u v e m e n l ou s u s c e p t i b l e s d e se m o u v o i r s o u s u n e dill'é-

1.

O o m m e a u c h a | ) i l r e p r e c e d e n ! , il est s u p p o s é ipie les i n l e r v a l l e s d u massif s ' a s s e m b l e n l n a l u -

1*) Lo module dea vides o e d o i t p a s tire c o u f o n d u a v i ' C Vindire des vides • f r é q u e m m u n l u l i l i s é p a r l o s p r a l i - i-icns, d é l i n i c o i n n u ' r a p p o r t . d u v o l u m e d e s v i d e s a u v o - l u m e d e s p l e i n s e t l i é a u p e é c é d e n t p a c t-—(m/i—wi).

(7)

4 7 2 LA H O U I L L E B L A N C H E JVILI.ET-AOUT 1 9 5 4

r e l l e m e n t en tabes de filtration d a n s l e s q u e l s J'cau s'écoule píTectivcineiit. M a i s icí, ees d e r - n i e r s s o n l a priori de d i r e e l i o n s q u e l c o n q u e s d a n s

l ' e s p a e e . Cette o r g a n i s a t i o n c o n t i e n t u n s c h é i n a de e a l c u l p r o p i e e á de l ' r u c t u e u s e s i n v e s t i g a t i o n s a n a l y t i q u e s q u i v o n t é t r e e x p o s é e s .

2. LOI DE LA F I L T R A T I O N . T E N S E U R DE PERM CARI- L I T É .

S o i e n t M (x, y, z) u n p o i n t d u n i a s s i f filtrant r a p p o r t é á t r o i s a x e s d e c o o r d o n n é e s r e c t a n g u - l a i r e s Ox, Oy, Oz ( O í / v e r t i c a l e a s c e n d a n t e ) el en ec p o i n t , t r a c é d a n s le m a s s i f , l ' é l é m e n t de s u r f a c e <j de n ó r m a l e n (a, f¡, y) et l ' a n g l e s o l i d e i n f i n i m e n t délié d S, de s o m m e t M, d ' a x e /7 (íig. 3 ) . Soit t, (Tí) d 2 la s u r f a c e m o u i l l é e d ' u n i l é d ' a i r e de a c o r r e s p o n d a n t a u x t u b e s d e filtra- tion d o n t les d i r e c t i o n s i n t é r i e u r e s á d 22 s o n l a i n s i s e n s i b l e m e n t p a r a l l é l e s á 77. L a s u r f a c e m o u i l l é e p a r ees t u b e s , d o n t l i m i t é d ' a i r e de l ' é l é m e n t de s u r f a c e a, de n ó r m a l e Ti^l t r a e é e d a n s le m a s s i f e s t :

V (Ti) 77.7ÍJ d S

Le yradient hydraulique e n M s u i v a n t la d i - r e c t i o n 7Tj é t a n t j , c o m p t e t e n u d u q u a s i - p a r a l l é - l i s m e d e s t u b e s et p a r a p p l i c a t i o n d e s r é s u l t a t s a n t é r i e u r s [ 1 . 2 . 2 ] r e l a t i f s á c e t t e c i r c o n s t a n c e , le d é b i t filtrant a u t r a v e r s de l ' u n i t é d ' a i r e de c, le l o n g d e s t u b e s de d i r e c t i o n s i n t é r i e u r e s á d 23, est :

dq = k 7)' (77) 77.77j j d 2

Le d é b i l total, a u t r a v e r s de l ' u n i l é d ' a i r e de n, le l o n g d e s t u b e s de toutes directions possibles,

F k ¡ . :¡

r e s u l t e de l ' i n t é g r a t i o n de dq au d e m i - e s p a c e ( a n - gle solide 2 TC) s i t u é p a r r a p p o r t á c¹ d u colé d e la n ó r m a l e p o s i ü v e 77,. Soit ( 1 . 1 . 1 8 ) :

,1. = I | y,

w

la charge hydraulique en M, on sait q u e :

</<!>

9,-^{+ ?}' 9^{? / 1} ' 9 r II v i e n t a i n s i :

f , , d ,^v

S o n s le s i g n e d ' i n t é g r a t i o n k et t, s o n t f o n c l i o n d e l ' o r i e n t a t i o n d u t u b e q u ' i l s c o n c e r n e n t , c ' e s l - á - d i r e de 77 (a, y), et le r é s u l t a t de la s o m m a l i o n d e m e u r e e n définilive f o n c t i o n de «i («i, Pi, 7±).

Ce q u i c o n d u i t á p o s e r :

A = / """/vV B

- ' o

C = P* k TI' r rf s l) = / k v •! [i d s ,^u y o jo E

= f~

^{" k}^T{^a^y^d^23,^{F =}

í'*

^k^{t ¡ '}^{p a}^d^2]

Jo Jo et á i n t r o d u i r c le tcnseur symétrique du second o r d r e K, de m a t r i c e :

( 2 )

mi tcnseur de perinéubilité, p a r l e q u e l le débil u n i t a i r e (/ s ' e x p r i i n e s o u s la f o r m e c o n d e n s é e :

A F E

Iv =

1

^F ^B ⁿ

• E D c

q = — K . g r a d ^.n^ (3) N o t a m m e n t , les d é b i t s p a r i m i t é d ' a i r e s n o r m a l e s a u x a x e s O x , O y , Oz, s o n t r e s p e c t i v e m e n t , a u p o i n t M (x, y, z).

. 9 , „ 9 * , 9'1>

^ '⁼ ^A ' 9 F ⁺ ^{P ! h} -6z (4)

f et d e u x a n a l o g u e s p a r p e r m u t a t i o n c i r c u l a i r e . De (3), p a r a p p l i c a t i o n de la L r a n s f o r m a ü o n de G R E E N , r e s u l t e l ' e x p r e s s i o n d u débil sortanl du v o l u m e i n f i n i m e n t p e t i t (/ V e n t o u r a n t le p o i n t M :

<IQ d i v ( K . g r a d 'lo d V (5) L ' é q u a t i o n (5) t r a d u i t la Loi de filtration s o u s sa f o r m e la p l u s g e n é r a l e et d o n n e lieu á d i v e r - ses p a r t i c u l a r i s a t i o n s .

a) S ' a g i s s a n t d ' u n m a s s i f — p a r e x e m p l e e o n s - t i t u é p a r d u s a b l e bien t a s s é , d o n t les g r a i n s s o n t lixés et p a r s u i t e l ' i n d i c e d e s v i d e s m c o n s l a n l en c h a q u é p o i n t —- siége d ' u n é c o u l e m e n t á s u r - face l i b r e , elle d o n n e :

div ( K . g r a d ) = 0

en t o u t p o i n t de la n a p p e , et á c e t t e équation

(8)

.frii.i.in-AouT 1051 LA H O U I L L L 151. A N CII K l~;i

indéfinie d o i v c n t é t r c a d j o i n t e s deux conditions aux limites e x p r i m a n t la n u l l i l é d u d é b i l q n o r - m n l e m e n t au i'ond i m p e r m e a b l e de n ó r m a l e ñ s u r lcquel r e p o s e le s a b l e , el l'égalité d e la p r e s - sion p ii la p r e s s i o n a t m o s p h é r i q u e p^lt en loul p o i n l de la s u r f a c e libre (L) de la n a p p e , s u r f a c e d ' a i l l e u r s i n e o n n u e , el v a r i a b l e avee le t e n i p s d a n s t o u t e a u t r e é v e n t u a l i l é q u e eelle d ' u n m o u - v e m e n l s l a t i o n n a i r e .

b) Mais sollieité p a r les c h a r g e s s u p e r í i c i e l l c s el l ' a e t i o n de c o u r a n t , le massit' p e u t e b a n g e r de f o r m e — c'est le c a s d ' u n e a r g ü e q u i se c o n - solide — et le m o d u l e des v i d e s ;jj est fonclion d u l e m p s . Le v o l u m e fluide m d V, c o n t e n u á l ' i n s l a n l f d a n s le v o l u m e d gorgé d ' e a u , a u g - m e n t e de (dm/dt) dt.d V, p e n d a n t la p é r i o d e dt s u c c é d a n t á l ' i n s l a n l t, et c e t t e q u a n l i t é é t a n t p r é c i s é m e n t égale a u débil r e n t r a n t — d Q d a n s d %"> p e n d a n t ce l e m p s , il vient p a r ( 5 ) Véquaiion indéfinie de l ' é c o u l e m e n t :

din

dt — div í K . g r a d <1')

c) P l u s g é n é r a l e m e n l , q u e les p o r o s de d V s o i e n t ou non g o r g é s d ' e a u , d é s i g n a n l p a r J]l d V le v o l u m e de celle-ci á l ' i n s l a n t /, on a :

div ( K . g r a d <1>) = 0 9 J l l

di

d) Les moiivements pcrmanents de filtralion ]>our l e s q u e l s v i l e s s e s el p r e s s i o n s d c m e u r e n t i n - d é p e n d a n t e s d u t e m p s m é r i l e n t eníin u n e a t t e n - tion s p é c i a l e . E n t o u t p o i n t M(.r, ij, z), la cliarge 

est f o n c t i o n , a l'exclusion d u t e n i p s / d e s s e u l e s e o o r d o n n é e s .r, z. La vitcsse b r i l l e de filtration esl t o u j o u r s V = — K . g r a d * et l ' é q u a t i o n de c o n t i n u i l é I r a d u i s a n l l ' i n v a r i a n c e d u (lux s o r l a n l de I'élénienl de v o l u m e s'écrit :

div ( K . g r a d ) = 0.

.'1. H O M O f i É X É I T É E T I S O T R O P I E .

Les e o o r d o n n é e s du l e n s c u r de p e r m é a b i l i l é el ses d i r e c l i o n s p r i n c i p a l e s d e p e n d e n ! en t o u t e gé- n é r a l i t é d e s e o o r d o n n é e s x, y, z, d u p o i n t M oii est c o n s i d e r é l ' é c o u l e m e n t . U n e c i r c o n s t a n e e r e - m a r q u a b l e est celle d ' u n m i l i e u homoyénc p o u r l e q u e l ees g r a n d e u r s s o n t en t o u t p o i n l les m é m e s , ce q u i e n t r a m e d ' é v i d e n t e s simplifica- l i o n s t c n a n t á l'existence d ' a x e s p r i n e i p a u x de d i r e c t i o n s fixes, p a r r a p p o r l a u x q u e l s K, c o n s t a n i d a n s t o u l le inassif, p r e n d la f o r m e r é d u i l e d i a - g o n a l e :

i A 0 O l

K = ⁱ\ o

l o

n o

O

c

1 vient alorf '/ = - - { A d

a.

dx¹

+ B 9^q dy ''

3--I»

"3.r-

3-

dif

c

) d v.

dz² : (81 Un a u l r e cas j m r t i c u l i e r i m p o r t a n ! c o n c e r n e les m i l i e u x isótropos, lels q u e K et T, y s o i e n t , en un p o i n l M d o n n é , les inénies p o u r t o u l e s d i - r e c t i o n s , c ' e s l - á - d i r e i n d é j i e n d a n t s de n (a, [i, v).

Le l e n s e u r K p r e n d a l o r s u n e f o r m e s i m p l e , p u i s - (jue ses e o o r d o n n é e s :

A = />• T, "^z-d", sont é g a l e s , l a n d i s (jue :

J

II

B.

F s o n t n u i l e s , en a p p l i e a t i o n de d e u x p r o p r i é l é s c o n n u e s el q u a s i e v i d e n t e s des f o n c t i o n s o r l b o - g o n a l e s . Le c a l c u l de la v a l e u r c o m i i u i n c d e s t r o i s p r e m i e r e s s'effeetue d a n s le s y s t é i n e de eoor- d o n n é e s s p h é r i q u e s (/• = 1 , 9 , 0 . ) de pdle M, el cette q u a n l i t é ou coefjícient de perméabililé du m i l i e u i s ó t r o p o a p o u r v a l e u r :

K k v¡' I' '" d 9 / " " eos- 0 sin 0 d 0

- -f- st /,•

m a i s sa d é l e r m i n a t i o n á p a r t i r de la f o r m u l o ci- d e s s u s p r é s e n t e les m é m e s d i f l i c u l t é s (jue cellos de k et r¡ (cf. [1 2 2] et est l i n a l e m e n t d o m a n d é e á l ' e x p é r i o n c e .

Los d é b i l s definís a u p r é e é d e n l a r t i c l e o n t a i n s i , d a n s le cas de l ' i s o t r o p i e d u m i l i e u , r e s p e c t i v e - m e n t p o u r e x p r e s s i o n s :

q = K grad ./7, (9) ,/ Q = — div (K gradT-) d V (10) E n í i n , la d o u b l e c i r c o n s t a n e e d ' u n e isotropie homoyéne, si f r é q u e m r n e n t é v o q u é e p a r les ingé- n i e u r s c o m n i e a p p r o x i m a t i o n s u f l i s a n l e p o u r l e u r s b e s o i n s , i m p l i q u e la c o n s l a n c e du coefli- cicnt de p e r m é a b i l i l é s c a l a i r c K d a n s t o u t le m a s -

(9)

4 7 4 LA H O U J L L E B L A N C H E J U I L L E T - A O U T 1 9 5 4

síf, d'oíi r e s u l t e P e x p r e s s i o n d u d é b i t s o r t a n t d u v o l u m e d V •

dQ K ^{2 , 2}^*_

>\r- d v, ( n ;

el la e o n d i t i o n s u r le c o n l o a r i m p e r m e a b l e (S) de n ó r m a l e ñ (a, fi, y) :

9

9.r~

94>

9y

3 * - = 0 ( 1 2 )

4 . A C T I O N ni-: C O U R A X T .

L ' a c t i o n e x e r c é e p a r le c o u r a n l s u r les g r a i n s d u massit' p e r m e a b l e e n t r e l e s q u e l s il liltre se d e t e r m i n e c o m m e en [ 1 . 2 . 3 ] oü s o n t m i s e n évi- d e n c e c o m m e s o l l i c i t a n t le v o l u m e é l é m e n l a i r e dV,

1'action a r c h i m é d i e n n e :

<o ( 1 — ; ? 7 ) g r a d ;/ (/ V l ' a c t i o n d e c o u r a n t :

— co g r a d •!> d V soit p o u r l ' a c t i o n t o t a l e :

d~Á = [ — B g r a d + ra (1 — 7 í 7 ) g r a d i¡] d V

¡ n d é p e n d a n t e d u t e n s e u r de p e r m é a b i l i t é .

5 . R E S U M E E T C O N C L U S I O X S .

L e s d é v e l o p p e m e n t s c i - d e s s u s s u p p o s e n t a i n s i les m a s s i f s n a t u r e l s f o r m e s d e g r a i n s , r é d u c t i - bles, en ce q u i c o n c e r n e l ' é c o u l e m e n t de í i l t r a t i o n , a u s c h é m a s u i v a n t . D i s p o s a n t d ' u n t r e s p e t i t v o - l u m e m a t é r i e l c o n t i n u d e t d ' u n t r e s g r a n d n o m b r e de fines a i g u i l l e s , á l ' a i d e de c h a c u n e de celles-ci on t r a n s p e r c e le p r e m i e r d ' u n e m a n i e r e q u e l c o n q u e u n t r e s g r a n d n o m b r e d e fois. Le r é s u l t a t de l ' o p é r a t i o n est u n e d e s p a r t i c u l e s m a - c r o s c o p i q u e s d o n t la j u x t a p o s i t i o n c o n s t i t u e le v o l u m e f i l t r a n t V s o u m i s a u c a l c u l . A i n s i á la s t r u c t u r e n a t u r e l l e g r a n u l a i r e , a été s u b s t i t u é , p o u r les b e s o i n s de l ' a n a l y s e , u n c o n t i n u m a t é - riel p e r c é d e t u b e s . Cet artífice n ' e s t p a s s a n s s o u l e v e r q u e l q u e s o b j e c t i o n s t h é o r i q u e s , m a i s l ' e x p é r i e n c e en j u s t i f i e d a n s u n e c e r t a i n e m e - s u r e la l é g i t i m i t é . Ceci é t a n t , F é t a b l i s s e m e n t d e s é q u a t i o n s g e n é r a l e s r é g i s s a n t le c h a m p d e s vi- t e s s e s et c e l u i d e s a c t i o n s h y d r o d y n a i n i q u e s i n - t e r n e s d ' u n tel m a s s i f a n é c e s s i t é l ' i n t r o d u c t i o n s u c c e s s i v e :

a) D ' u n coeflicient de í i l t r a t i o n k (ñ) et d e l ' a i r e

m o u i l l é e u n i t a i r e r¡' (¡i) relatii's en t o u t p o i n l M á c h a q u é d i r e c t i o n de l ' e s p a c e :

b) D u t e n s e u r K, d o n t les c o o r d o n n é e s , p a r s u i t e d ' u n c h a n g e m e n t de n o l a l i o n s (jui s ' e x p l í - cpie de l u i - m é m e , sont c o n l e n u e s d a n s l ' e x p r e s - sion :

K¡;= \ lj kti'a.^jd a,

l ' i n t é g r a l e é t a n t é l e n d u e á la s p h é r e de c e n t r e M el de r a y ó n imité.

Cette g r a n d e u r f o n d a m e n t a l e , q u e n o u s a v o n s j)roposé a u t r e f o i s d ' a p p e l e r tenseur de perméabi- lité, d o n n e lien á i n l e r p r é t a t i o n i n l é r e s s a n l e . Elle n ' e s t a u t r e e n efi'et q u e le t e n s e u r d ' i n e r t i e relatif á son c e n t r e d ' u n e s i m p l e c o u c h e s p h é r i q u e de r a y ó n i m i t é et d e d e n s i t é ( 1 / 2 ) kr¡'. L'ellipsoide d'inertie de c e t t e d i s t r i b u t i o n est i n d é p e n d a n t d u p o i n t c o n s i d e r é d u m a s s i f si ce d e r n i e r e s t h o m o - g e n e , c'est u n e s p h é r e s'il e s t i s o t r o p e . D a n s la p l u p a r t d e s c a s u s u e l s d ' u n e c o n s t i t u t i o n a y a n l m i s e n ceuvre la s e u l e g r a v i t é , il e s t de r é v o l u l i o n a u t o u r de s o n a x e v e r t i c a l . d é s i g n a n t e n c h a q u é p o i n t le p o t e n t i e l de l ' é c o u l e m e n t ou c h a r g e a u s e n s de B E R X O U L L I , les p r o p r i é t é s d u c h a m p d e s v í t e s s e s e t d u c h a m p d e s a c t i o n s h y d r o d y n a m i - q u e s s o n t r é s u m é e s f o r m e l l e m e n t p a r la v a l e u r d u d é b i t filtrant a u t r a v e r s d e l ' u n i t é de v o l u m e , soit :

— d i v ( K . g r a d ),

et p a r celle d e l ' a c l i o n e x e r c é e p a r le c o u r a n l s u r la m é m e p o r t i o n d u massif, soit :

ój g r a d

i n d é p e n d a n t e de la c o n s t i t u t i o n de cclui-ci et de la v i s c o s i t é d u liipiide en m o u v e i n e n t .

II c o n v i e n t , en o u t r e , de n o t e r q u e t o u t ceci s u p p o s e e s s e n t i e l l e m e n t :

a) Le r é g i m e de í i l t r a t i o n , l e n t , u n i f o r m e ou q u a s i u n i f o r m e , ce q u i r e v i e n t á a d i n e t l r e u n e limite supérieure d u g r a d i c n t h y d r a u - l i q u e e t u n e l i m i t e s u p é r i e u r e d e s e s v a - r i a t i o n s t e m p o r e l l e s , a u - d e l á d e s q u e l l e s c e t t e d o u b l e c i r c o n s t a n c e n ' e s t p a s r é a - Iisée;

/)) Q u e la p r o p o r t i o n de l ' e a u m o r t e , e n t o u r a n t les g r a i n s , á l ' e a u c i r c u l a n t e , q u i s e m b l e b i e n d e v o i r d é p e n d r e d u g r a d i e n t h y d r a u - l i q u e , d e m e u r e faible [ 1 . 2 . 3 ] , ce q u i limi- terait inférieurement c e t t e d e r n i é r e q u a n - t i t é .

S o u s ees r e s e r v e s , c ' e s t - á - d i r e d a n s la p l u p a r t d e s é v e n t u a l i t é s u s u e l l e s , les r é s u l l a t s é t a b l i s s o n t p r o p r e s á r e p r é s e n t e r c o n v e n a b l e m e n l . le p h é n o - m é n e en c a u s e .

(10)

,Iun.LET-AouT 1954 LA H O U 1 L L K B L A N C H E ^{4 7 5}

I V . A P P L I C A T I O N S

La d é t e r m i n a l i o n d e l ' é c o u l c m e n t de l'eau d a n s le sol a d o n n é lien á d ' i m p o r l a n t s t r a v a u x ilonl les r e s u l t á i s s o n l e x p o s é s d a n s de n o n i h r e u x o u - v r a g e s , n o t a m i n e n l d a n s e e u x cites en r é f é r e n e e a u x q u e l s le l e c l e u r se r e p o r t e r a é v e n t u e l l e m e n l . II n o u s a n é a n m o i n s s e m b l é titile d e c l a s s e r et d e d é c r i r e ici les m é l h o d e s q u i y s o n l c o u r a i n m e n t m i s e s e n oeuvre et p a r l e s q u e l l e s á u n e a n a l y s e s o u v e n t i n a c c e s s i b l e s o n l s u b s l i t u é s d e f r u c l u e i i x p r o c e d e s d ' a p p r o x i m a l i o n . A c e t l e lin, n o u s e n v i - s a g e r o n s Irés g é n é r a l e m e n t , et s a u f e x e e p t i o n s p é - eiíiée, d e s m o u v e m e n l s pluns, e n d i s l i n g u a n t les é c o u l e m e n l s n o n p e r m a n e n l s d e s é c o u l e m e n l s s l a l i o n n a i r e s , les é c o u l e m e n l s e n e h a r g e d e s é e o u -

l e i n e n t s á s u r i ' a c e l i b r e .

a ) M o u v e m e n t s p e r m a n e n t s

1. R É S K A U X KQl'lPOTICNTIKLLKS-LICiNr.S 1)K COUKANT.

S o u s r h y p o t h é s e de la p e r m a n e n c e d e l'écoule- m e n l , v i t e s s e el p r e s s i o n s o n l i n d é p e n d a n t e s d u t e m p s , e t la c h a r g e h y d r a u l i q u e <l> en t o u t p o i n l est f o n c t i o n d e s s e u l e s c o o r d o n n é e s de celui-ci.

D a n s r h y p o t h é s e la p l u s g e n é r a l e d e l ' a n i s o - I r o p i e , la v i t e s s e b r u t e de filtration ( 1 . 2 . 3 ) est :

V = - - K . g r a d 4>

el l ' é q u a l i o n de c o n l i n u i t é I r a d u i s a n t l ' i n v a r i a n c e t e m p o r e l l e d u flux s o r t a n t d e r é l é n i e n t d e vo- l u m e s ' é c r i t (.1.2.10) :

n = A 9

"dx B 9 * 9;/

A 3 -

B ^ 0

( 1 )

(2) 3.r- dy-

L e s lignes :

4' (x, y) — li ' h p a r a m é l r e <l> = (/>/'<»> -|- f/ j s o n l les équipotenlielles d u c h a m p de l i l l r a l i o n . L e s ligues de courant >!' (,r, ;/) k (k p a r a m é l r e ) sonl d é l i n i e s p a r :

3 ' F

+ v ^3>f

3,r 3;/

d ' o ñ , e n t r e et M', les é q u a l i o n s ú4> 3<r dy ' dy

3>I'

= B A 3«1-

d.r

c o m p a t i b l e s avec 1'équalion d e c o n l i n u i t é ( 2 ) . E q u i p o t e n t i e l l e s el ligues d e c o u r a n t f o r m e n l un r é s e a u d o n ! voici les p r i n c i p a l e s p r o j i r i é l é s . Soil l ' u n e d e s inniUcs de celui-ci, c o n s l i t u é p a r l"in- l e r s e c t i o n d e s d e u x équij)oleiitielles (h, /i o/))

M ¡ x , y!

F i n . 4

div (K . g r a d <ln = 0

L ' é l u d e d e s m o u v e m e n t s en c a u s e s e r a l i m i l é e au c a s d ' u n j i l i é n o m é n e p l a n r a p p o r t é a u x a x e s O.v.Oy ( O Í / , v e r t i c a l e a s c e n d a n t e ) el d ' u n niassif homogéne d e d i r e c t i o n s p r i n c i p a l e s p a r a l l é l e s a u x a x e s d e c o o r d o n n é e s . Cette c i r c o n s t a n c e , d ' u n réel i n l é r é t j i r a t i q u e , c o n c e r n e en p a r l i c u l i e r les iníil- t r a t i o n s d a n s le c o r p s d e s d i g n e s e n I e r r e , les i n f r a s t r u c l u r e s d e h a r r a g e , a u t o u r d e s p a r a f o u i l - les d e ees o u v r a g e s , et g é n é r a l e m e n t á I r a v e r s l o u l

massif, indéfini le l o n g d ' u n e d i r e c t i o n h o r i z o n - tale Oz, d o n t le m o d e d e c o n s t i t u l i o n p a r s é d i - m e n t a t i o n í m a s s i f s n a t u r e l s ) ou e o m p a c t a g o ( m a s s i f s artificiéis) a m i s e n j e u la s e u l e g r a v i t é .

S o i e n t u et v les c o o r d o n n é e s d e V, A et B cellos d u t e n s e u r d e p e r m é a b i l i t é K, m i s s o u s f o r m e d i a g o n a l e , q u i n e s o n l a u l r e s q u e les coef- ficienls de perméabilité h o r i z o n t a l el v e r t i c a l d u massif. Le m o u v e n i e n t d e filtration est régi p a r les é q u a t i o n s :

el d e s d e u x lignes de c o u r a n t (A-, k 3 k) (lig. 4 ) . Le flux ou débil c i r c u l a n t e n t r e les d e u x l i g n e s de c o u r a n t c o n s e c u t i v o s <!' A-.'I' = A" o A a poní- v a l e u r :

(/y = T ' . //'<|. 3 s * — ii 3 y * -|- /' o í *

= i(•„ 3 ;/ ,„ >r^r 3.r .j,= 3 A- Ci) // est é.gnl a la différenee de cote de ees ligues.

L e s c o s i n u s d i r e c l e u r s e o s * , sin * d e l'éípiipo- l e n t i e l l e <l> = /i, en M, eos [i et sin ¡5 de la ligue d e c o u r a n t T = A' a u m é m e p o i n l , p r o p o r l i o n n e l l c s r e s p e c t i v e m e n l á 'I',,, et '!>,, p o u r les p r e n i i e r s , á u el v ])our les s e c o n d s , s a t i s f o n t á :

eos_*_ e o s ? , sinjx sin fi _⁽. ^

A i n s i , équipotentielle el ligue de courant du point M soni conjugúeos relativement á l'ellipse de ceñiré M el d équulion :

(11)

L A H O U I L L E I I L A N C H E .1 I I L I . K T - A Í . U T 1951

A

+

^{JL. _ i}B

La (léfiniüon d u r é s e a u s ' a c h é v c p a r cello do la longueur d'arc d'équipotentielle 3 a^-,,, c o m p r i s e e n t r e los lignes d e e o u r a n l c o l e e s A- el k---3 k.

O n a :

3 k = 3 q = A 'I'.,, 3 y ^

soit :

,,^{r %} . dh ~.

— B =— 8 x,„ , dy +

, , „ , 3.s,i, / , sin a

3⁼ — s /, i A —

ds * \ eos £ d'oi'i, p a r (4) :

B ^COS a sin ¡i

1 9A- ~,

\ / A B^{3 / 1}

Le c a s de Visoivopie m é r i t e u n e a t t e n t i o n p a r - l i e u l i é r e . D a n s c e t t e ó v e n t u a l i t é , A = B == K , les é q u a l i o n s ( 1 ) et ( 2 ) d e v i e n n e n t :

„ 3<1> 3'1»

dx dy 3- , 3-4¿ ⁼ ⁰

(6)

( 7 )

Le p r o b l é m e se r é d u i t á la r e c h e r c h e d ' u n c l'onction h a r m o n i q u e <l> s a t i s l ' a i s a n l a u x c o n d i - t i o n s a u x l i m i t e s i m p o s é e s s u r l e s q u e l l e s n o u s r e v i e n d r o n s . L a s o l u t i o n e s t i n d é p e n d a n t e d u coefíioient d e p e r m é a b i l i t é K et il e n est de m é m e d u r é s e a u é q u i p o t e n t i e l l e s - l i g n e s d e c o u - r a n t q u i d e v i e n t orthogonal et d o n t les a r e s s a i i s - font á :

1 dk .

* K oh *

II est d ' a i l l e u r s loisible d e r é d u i r e a u c a s iso- I r o p e eelui d e l ' a n i s o t r o p i e , ] ) u i s q u e l'affinité :

X Y = y

VX \ / B t r a n s f o r m e les é q u a t i o n s ( 1 ) et ( 2 ) en :

n = — x/A" 3

3 X /> = - - \ ' B 34) 3 Y

3~X^{2 +} 3 Y^{2 —} '

Cello r e m a r q u e p e r m e t d e l i m i l e r les d é v e l o p -

p e m e n t s q u i v o n t s u i v r e a la c i r e o n s l a n c o tyi>i- q u e d e la í i l t r a l i o n i s ó t r o p o .

2 . E c . O t ' E E M E N T S EN C H A R G E .

N o u s d e s i g n ó o s a i n s i e e u x q u i i n t é r e s s e n t l ' é t e n d u e d ' u n m a s s i f p e r m e a b l e l i m i t é p a r d e s r é g i o n s i m p e r m e a b l e s c o j a c e n t e s a u p r e m i e r . L e s a r e s d e f r o n t i é r e s o n t l i g u e s d e c o u r a n t . C'esl le c a s d ' u n e n a p p e c a p t i v o lello celle r e p r é s e n - tée c i - d e s s o u s (fig. 5 ) .

F i o . 5

L e p r o b l é m e c o n s i s t e a d é t e r i n i n e r la fonction harmonique 4> (.r, y) s a t i s f a i s a n t au c o n t o u r C d i g n e s d el C²) ó la c o n d i t i o n (d 4>/dn) = i) (ñ, n ó r m a l e a u c o n t o u r ) . C'est la u n p r o b l é m e d e

D I R I C H I . E T . Celui-ci é t a n t r é s o l u , la v i t e s s e e s l c o n n u e e n t o u t p o i n t c o m n i e K g r a d , et la p r e s - s i o n r e s u l t e d e l a d é f i n i t i o n d e l a c h a r g e 4> = (p/u>) 4 - y, q u i r e m p l a c e ici l ' é q u a t i o n d e LAGRANGE d e r h y d r o d y n a m i q u e d e s c o u r a n t s p l a n s i r r o t a t i o n n e l s . L e s p r o c e d e s t h é o r i q u e s ( p o - t e n t i e l c o m p l e x e ) et e x p é r i m e n t a u x ( c u v e r h é o - é l e c t r i q u e ) e m p l o y é s p o u r le r é s o u d r e s o n t c o n - n u s et n o u s n ' y i n s i s t e r o n s p a s en n o u s b o r n a n l á p r é s e n t e r d e u x e x e m p l e s s i m p l e s et p a r t i c u l i é r c -

m e n t c a r a c t é r i s t i q u e s .

a) Drainage d'une nappe eaptiue.

Soit u n e n a p p e i n d é l i n i e v e r s le b a s , l i m i l é e v e r s le h a u t p a r u n p l a n h o r i z o n t a l xo z a u - d e s - s u s d u q u e l r é g n e u n m a s s i f i m p e r m e a b l e . Cello n a p p e est a n i m é e á l'infini d ' u n e v i t e s s e u n i -

- i h - i h

F i o . 6

for m e h o r i z o n t a l e p a r a l l é l e á ox, d e g r a n d e u r Y⁰ et c o m p o r t e u n d r a i n r e c t i l i g n e indéfíni h o r i z o n - tal p a r a l l é l e á oz, calé á la colé - h, d e d é b i l Q (fig. 6 ) . II s ' a g i t d e d é t e r i n i n e r les c a r a c t é r i s t i - q u e s de l ' é c o u l e m e n t d a n s le m a s s i f p e r m e a b l e .

(12)

J U I L L U T - A O U T 15)5-1 L A H O U I L L E B L A N C H E •177

Le d r a i n d e faible r a y ó n e s l a s s i m i l a b l e á u n p u i t s h y d r o d y n a m i q u e d'affixe — ih, de débit Q, et l a m é t h o d e d e s i m a g e s e o n d u i l á a s s i g n e r a u p o t e n l i e l e o m p l e x e l ' e x p r e s s i o n f íz) de la v a r i a - ble : = ,i'-f- ¡y :

/' (z) =

K

Q

2 ü

log (- -|- ih) {z •-- ih) S'en d é d u i s e n t les é q u i p o t e n l i e l l e s et les l i g u e s de e o u r a n t d ' é q u a t i o n s r e s p e e l i v e s :

«I> = V⁰ K

Q log /'„ i\

V⁰

K U _{'2 T}^{Q _} ^(Oí^{+ 0}²^).

a i n s i q u e l'expression. de la v i l e s s e e o m p l e x e w : Q ( 1 , 1 \ w = u ^ID V„

i/i í/i y

D a n s le c a s p a r t i c u l i e r d ' u n e n a p p e au r e p o s á 1'iníini ( V⁰ = (i), le r o s c a n é q u i p o t e n t i e l l e s - l i g n e s de e o u r a n t c o m p o r t e u n e t a m i l le d ' o v a l e s de CASSINI e v a n e s c e n t e e n — ih, et u n e f a m i l l e d ' h y - p e r b o l e s d ' a s y m p t o t e ox (fig. 7 ) .

F i o . 7

b) Filtration sous un ridean de pal plan ches.

Le r i d e a u v e r t i c a l A B esl f'oncé j u s q u ' á la cote

—- h d a n s u n sol p e r m e a b l e i n d é f i n i de p e r m é a - bilité K. De p a r t et d ' a u t r e , l'eau en e q u i l i b r e p r é s e n t e u n e d é n i v e l é e H (ñg. 8 ) .

L ' é c o u l e m c n t de fillration q u i s'élablit d a n s le m a s s i l a d m e t c o m n i e ligue de e o u r a n t i n i p o s é c le s e g i n e n t OA (a r a m o n t ) , AC) (a l'aval) el c o m n i e é q u i p o t e n l i e l l e s les t l e m i - d r o i t e s ox' et o.r e n t r e l e s q u e l l e s la dilTérence de p o t e n l i e l esl tu H.

O n satist'ail á ees c o n d i l i o n s p a r le p o l e n l i e l e o m p l e x e :

fíz) H

— a r e eos ih p a r l e q u c l :

x = h sin «I- , - >r

11 ^S^h u H

h eos T. 

mil

T. »F

oj H

L e s l i g u e s de e o u r a n t s o n l les d e m i - e l l i p s e s d ' é q u a l i o n :

s b -

+

c h -

mlrl h-.

L e s é q u i p o l e n l i e l l e s s o n t les q u a r t s d ' h v p e r b o - les h o m o l ' o c a l e s d e s p r e c e d e n t e s (foyer A) d ' é q u a - lion :

x- II-

s i n - T. _

TS'U cos- w 11 h*

.'!. E C O I ' L F M K N ' T S A S U l l F A C K I J H H K .

C'esl le c a s d e s n a p p e s pliréaticpies. T r e s g é n é - r a l e m e n l la filtration s'efTeclue a u - d e s s u s du t o i l (C) d ' u n m a s s i f i m p e r m e a b l e , t o u l en é l a n l limi- tée v e r s le b a ú l p a r u n e l i g u e d ' e a u (S), lixe en r é g i m e s l a l i o n n a i r e , m a i s a priori i n e o n n u e (lig. {).). II s ' a g i t e n c o r é de d é l e r m i n e r le p o l e n -

Niveau du sol

liel b a r m o n i ( [ u c «I» f.r,;/). M a i s l ' e x i s l e n c e de la ligue d ' e a u , ligue de e o u r a n t le l o n g d e l a q u c l l c la p r e s s i o n égale la jiression a l m o s p h é r i q u e p,¡, i n l r o d u i t les n o u v e l l e s c o n d i l i o n s a u x l i m i t e s :

d <l> _n l><>

(13)

178 LA H O U Í L L E B L A N C H E J U I U . I N ' - A O U T lüó'l

le l o n g de e e t t e c o u r b e (S), d o n t l ' o r d o n n é e y ( . 1 ) e s t u n e inconnue d u p r o b l é m c . L ' a n a l y s e s ' a v é r e i m p u i s s a n t e p o u r a b o r d c r c e l u i - c i et il f a n t se r e s o n d r e á l ' e m p l o i d e u i é t h o d c s a p p r o c h é e s q u i s e m b l e n t p r o c e d e r de t r o i s c i r c o n s t a n c e s d i s - l i n c t e s .

1" L ' é e o u l c m c n t r e s u l t e de l ' i n l r o d u c t i o n , d a n s la n a p p e a u r e p o s ou de m o u v e n i e n t c o n n u , de q u e l q u e s s i n g u l a r i t é s alTectant s u f í i s a m m e n l p e u la ligne d ' e a u p r i m i t i v e p o u r q u e celle-ci p u i s s e é t r e c o n s e r v é e . L a m é t h o d e d u p o t e n t i e l c o m - p l e x e p e u t e n c o r é é t r e a p p l i q u é e ;

2" L ' i n t u i t i o n ou q u e l q u e s t á t o n n e m c n t s d i r i ges p a r celle-ci p e r m e t le t r a c é de la l i g n e d ' e a u q u i se t r o u v e g r a d u é e e n e h a r g c e t s e r t d e b a s e de d é p a r t p o u r le t r a c é d u r é s e a u q u a d r a t i q u e d o n t les é q u i p o t e n t i e l l e s d o i v e n l a b o u t i r n o r m a - l e m e n t a u x l i g u e s d e e o u r a n t i m p o s é e s . C'est l'ex- t e n s i o n a u x p h é n o m é n e s de t i l t r a l i o n d e la m é t h o d e de P I Í A S I L f a m i i i é r e a u x h y d r a u l i e i e n s ;

'.V L e s n i v e a u x d ' a l i m e n t a l i o n et d e r e s t i t u l i o n é t a n t peu d i f l e r e n l s , la ligue d ' e a u y = ;/ (.r) p r é  sente, d e faibles p e n t e s , et les é q u i p o l e n l i e l l e s q u i la q u i l l e n l n o r m a l e m e n t se e o n f o n d e n t avec (les s e g m e n l s r e e t i l i g n e s v e r l i e a u x . L a c o n s e r v a - tion d u d é b i l ( i l l r a n t á t r a v e r s ees d e r n i e r s fixe 1'équation difTérentielle de la l i g n e ( S ) .

a) Détcrminalion in s i l u de la perméabilité d'un sol

D a n s le sol p e r m e a b l e de p r o f o n d c u r indéfinie, la n a p p e d ' e a u d e s u r í a c e libre xoz h o r i z o n t a l e esl au r e p o s . U n e c r é p i n e s p h é r i q u e de r a y ó n o e s t foncee d a n s celle-ci á la p r o f o n d e u r h, r e l a - t i v e m e n t g r a n d e p a r r a p p o r t á o (fig. 10) et p e r

m e t d ' i n j e e t e r d a n s le l e r r a i n u n d é b i l d ' e a u d o n t e s t m e s u r é e la va leu r Q en r é g i m e p e r m a - n e n t . Si Ja s u r l ' a c e l i b r e xoy n ' e s t p a s s e n s i b l e - í u e n t modifiée p a r l ' é e o u l e m c n t a i n s i d e t e r m i n é , le p o t e n t i e l d o n l d e r i v e la v i t e s s e de ce d e r n i e r

« J2

0

p

F I O . 10

e s t ( m é t h o d e d e s i m a g e s , t'onetion h a r m o n i q u e - l y p e de l ' e s p a c e ) :

II s ' a n n u l e á I'intini el est é q u i v a l e n t á Q / ( 4 z K ?) a u v o i s i n a g e de la c r é p i n e . L a dilTé-

r e n c e d e s l e e t u r e s f a i t e s s u r d e u x t u b e s p i é z o - m é l r i q u e s é t a b l i s l ' u n a u v o i s i n a g e de la c r é p i n e , l ' a u l r c t r e s l o i n de celle-ci, f o u r n i r a c e l t e h a u - t e u r d ' o ü r e s u l t e la v a l e u r d u coefficient de p e r m é a b i l i t é K. L a m é t h o d e d é c r i l e i m p l i q u e u n e e v i d e n t e c o n t r a d i c l i o n , p u i s q u e le j)lan xoy y e s t s i m u l t a n é m e n l c o n s i d e r é c o m m e u n e é q u i - p o t e n l i e l l e ( c h a r g e c o n s t a n t e ) el c o m m e u n e s u r - face de e o u r a n t ( m é t h o d e d e s i m a g e s ) . Ceci n ' a p a s lieu de n o u s s u r p r e n d r e : e n fail, la s u r l ' a c e

Substratutn impermeable

F l L T R A T I O N A T R A V E K S UNE DIGUE.