D´emontrer qu’on a Φp(X) =X(p−1)/2Φ+p(X+ 1/X)

Universit´e Paris 7-Denis Diderot Alg`ebre – Ann´ee 2007-08 M1 math´ematiques

DEVOIR `a rendre le 21 d´ecembre 2007

Soitpun nombre premier impair. Notonsµp={e^2ikπ/p/0< k≤p−1}l’ensemble des racines primitives p-`eme de 1 dans Cet µ<sup>+</sup><sub>p</sub> ={e<sup>2ikπ/p</sup>/0< k≤(p−1)/2}. On rappelle que lep-`eme polynˆome cyclotomique Φp ∈Z[X] est donn´e par Φp(X) = (X^p−1)/(X −1) =Q

ζ∈µp(X −ζ) et est irr´eductible surQ. On pose Φ⁺_p(X) =Q

ζ∈µ⁺_p(X−ζ−ζ⁻¹).

I 1. Calculer Φ⁺₃(X) et Φ⁺₅(X).

2. D´eterminer le degr´e de Φ⁺_p(X).

3. D´emontrer qu’on a Φp(X) =X^(p−1)/2Φ⁺_p(X+ 1/X).

4. En d´eduire que Φ⁺_p(X)∈Z[X]. (On pourra consid´erer Φ⁺_p(X) =P

nanXⁿ etn0= Max{n/an∈/Z}.) 5. D´emontrer que Φ⁺_p(X) est irr´eductible surQ.

II

NotonsQ(µp) lep-`eme corps cyclotomique,i.e. le corps de d´ecomposition de ΦpdansC. Fixonsζ0∈µp. SoitQ(ζ₀+ζ₀⁻¹) un corps de rupture de Φ⁺_p dansC.

1. Quel est le degr´e deQ(ζ0+ζ₀⁻¹) surQ?

2. Combien y a-t-il de plongementsσ: Q(ζ0+ζ₀⁻¹)→C? 3. Quelles sont alors les valeurs possibles deσ(ζ0+ζ₀⁻¹) ? 4. D´emontrer que σest alors `a valeurs dansR.

5. D´emontrer que Q(ζ₀+ζ₀⁻¹) est contenu dansQ(µ_p).

III

On rappelle que l’extensionQ(µp)|Qest galoisienne et que l’application (Z/pZ)^∗→Gal(Q(µp)/Q) qui

`

aa+pZassocieσa est un isomorphisme de groupes, o`uσa est caract´eris´e parσa(ζ) =ζ^a (ζ∈µp). Notons Q(µp)⁺ le sous-corps de Q(µp) form´e par les ´el´ements invariants par{σ1, σ₋₁}.

1. Quel est le degr´e de l’extensionQ(µp)⁺|Q?

2. D´emontrer que Q(µp)⁺ contientQ(ζ0+ζ₀⁻¹), puis que Q(ζ0+ζ₀⁻¹) =Q(µp)⁺. 3. D´emontrer queQ(µp)⁺ est un corps de d´ecomposition de Φ⁺_p(X).

4. D´emontrer que l’extensionQ(µp)⁺|Qest galoisienne.

5. Quel est le lien entre le groupe de Galois de cette extension et (Z/pZ)^∗ ?

IV

Soitqun nombre premier impair distinct de p. Le symbole de Legendre

p q

vaut par d´efinition 1 sip est un carr´e modulo q (i.e. la classe ˜pde pmoduloq s’´ecrit a² aveca∈ Z/qZ) et −1 sinon. SoientP et Q∈Z[X] deux polynˆomes unitaires de degr´esretsrespectivement. Notons R(P, Q) =Q

α,β(α−β) (o`uα etβ parcourent respectivement les racines deP etQdansCcompt´ees avec multiplicit´es) le r´esultant de ces polynˆomes. On note ˜P et ˜Qles classes dansF_q[X] deP etQ.

1. D´emontrer que R(P, Q) = (−1)^rsR(Q, P) et que la classe moduloqde R(P, Q) est R( ˜P ,Q).˜ 2. D´emontrer que ˜Φ⁺_q(X) = (X−2)^(q−1)/2. En d´eduire que R( ˜Φ⁺_q,Φ˜⁺_p) = ˜p^(q−1)/2.

3. Etablir que´

p q

≡p^(q−1)/2 (modq).

4. D´emontrer que R(Φ⁺_q,Φ⁺_p)²=Q

λ∈µqλ^−(p−1)/2Φp(λ). En d´eduire que R(Φ⁺_p,Φ⁺_q)∈ {−1,1}.

5. D´emontrer que R(Φ⁺_q,Φ⁺_p) =_p

q

. En d´eduire la formule de Gauss (loi de r´eciprocit´e quadratique) :

p q

q p

= (−1)^{p−12 q−12} .