Gestion des incertitudes
TD3 : Analyse de risque et évènements rares
Lucie Le Briquer 26 janvier 2018
Exercice 1(grandes déviations et échantillonnage d’importance) 1. (Xi)i.i.d.X˜n=Pn
i=1Xi. Pour x >E(X1), pn(x) =P
ÇX˜n n >x
å
=E
1Xn˜ n >x
−−−−−→
n→+∞ 0 par la loi forte des grands nombres.
pn
Å
E(X1) + y
√n ã
=P ÇX˜n
n >E(X1) + y
√n å
=E Å
1√n Xn˜ n −E(X1)
>y
ã
Or :
√n ÇX˜n
n −E(X1) å (L)
−−−−−→
n→+∞ N(0,Var(X1)) Ainsi,
pn
Å
E(X1) + y
√n ã
=P
»
Var(X1)G>y oùG∼ N(0,1).
2. Gi∼ N(0,1) doncG˜n∼ N(0, n).
pn(x) =P( ˜Gn>nx) =P(√
nG1>nx) =P(G1>√ nx) =
Z +∞
√nx
e−y
2
√ 2
2πdy Or,
ln Z +∞
y
e−z
2
2 dz∼ −y2 2 Car d’un côté on a,
Z +∞
y
e−z
2 2dz6
Z +∞
y
z ye−z
2 2dz=1
2e−y
2 2
1
et de l’autre il suffit de minorerR+∞
y . . .>R2y
y . . .. Finalement on a donc :
ln(pn(x))∼−nx2 2
3.
4.
5. Y ∼p
E(1Z>x
p q(z)) =
Z +∞
x
p
q(z)q(z)dz= Z +∞
x
p(z)dz=P(Y >x)
Leqoptimal est (cf cours) :
q(z) = 1Z>xp(z) P(Y >x) 6. Estimateur naïf :
1 K
K
X
k=1
1Xk˜n
n >x−−−−−→
K→+∞ P ÇX˜n
n >x å
=pn(x) et le TCL nous donne que :
1 K
K
X
k=1
1Xk˜n
n >x∈pn(x)±
… Var
1Xn˜ n >x
√n
On considère l’erreur relative,
… Var
1Xn˜ n >x
pn(x) =
ppn(x)(1−pn(x))
pn(x) ∼ 1 ppn(x)
car X˜nn ∼ B(pn(x)).
7. Ln:R−→R∗+ telle queE Ä 1
Ln( ˜Xn)ä
= 1et :
E(ϕ( ˜Xn)) =E[ϕ( ˜Yn)Ln( ˜Xn)] ∀ϕmesurable positive
ϕ(y) = 1B(y)
Ln(y) P( ˜Tn∈B) =E
Ç1B( ˜Xn) Ln( ˜Xn)
å
I˜k= K1 PK k=11Y k˜n
n>xLn( ˜Ynk).
I˜K −−−−−→
K→+∞ P ÇX˜n
n >x å
=pn(x)
2
