Gestion des incertitudes

Gestion des incertitudes

TD3 : Analyse de risque et évènements rares

Lucie Le Briquer 26 janvier 2018

Exercice 1(grandes déviations et échantillonnage d’importance) 1. (X_i)i.i.d.X˜_n=Pn

i=1X_i. Pour x >E(X₁), p_n(x) =P

ÇX˜_n n >x

å

=E

1Xn^˜ n >x

−−−−−→

n→+∞ 0 par la loi forte des grands nombres.

pn

Å

E(X1) + y

√n ã

=P ÇX˜n

n >E(X1) + y

√n å

=E Å

1^√_n Xn^˜ n −E(X₁)

>y

ã

Or :

√n ÇX˜n

n −E(X₁) å (L)

−−−−−→

n→+∞ N(0,Var(X₁)) Ainsi,

pn

Å

E(X1) + y

√n ã

=P

»

Var(X1)G>y oùG∼ N(0,1).

2. Gi∼ N(0,1) doncG˜n∼ N(0, n).

pn(x) =P( ˜Gn>nx) =P(√

nG1>nx) =P(G1>√ nx) =

Z +∞

√nx

e^−y

2

√ 2

2πdy Or,

ln Z +∞

y

e^−z

2

2 dz∼ −y² 2 Car d’un côté on a,

Z +∞

y

e^−z

2 2dz6

Z +∞

y

z ye^−z

2 2dz=1

2e^−y

2 2

1

et de l’autre il suffit de minorerR+∞

y . . .>R2y

y . . .. Finalement on a donc :

ln(pn(x))∼−nx² 2

3.

4.

5. Y ∼p

E(1Z>x

p q(z)) =

Z +∞

x

p

q(z)q(z)dz= Z +∞

x

p(z)dz=P(Y >x)

Leqoptimal est (cf cours) :

q(z) = 1Z>xp(z) P(Y >x) 6. Estimateur naïf :

1 K

K

X

k=1

1Xk^˜n

n >x−−−−−→

K→+∞ P ÇX˜n

n >x å

=pn(x) et le TCL nous donne que :

1 K

K

X

k=1

1Xk^˜n

n >x∈pn(x)±

… Var

1Xn^˜ n >x

√n

On considère l’erreur relative,

… Var

1Xn^˜ n >x

p_n(x) =

ppn(x)(1−pn(x))

p_n(x) ∼ 1 pp_n(x)

car ^X˜_nⁿ ∼ B(pn(x)).

7. Ln:R−→R^∗+ telle queE Ä ₁

L_n( ˜Xn)ä

= 1et :

E(ϕ( ˜Xn)) =E[ϕ( ˜Yn)Ln( ˜Xn)] ∀ϕmesurable positive

ϕ(y) = 1^B(y)

Ln(y) P( ˜Tn∈B) =E

Ç1^B( ˜Xn) Ln( ˜Xn)

å

I˜k= _K¹ PK k=11^{Y k˜}n

n>xLn( ˜Y_n^k).

I˜K −−−−−→

K→+∞ P ÇX˜n

n >x å

=pn(x)

2