Feuille d’exercices n°11

Lycée Benjamin Franklin PTSI−2014-2015

D. Blottière Mathématiques

Feuille d’exercices n°11

Fonctions réelles de la variable réelle − partie 2

Exercice 98

1. Calculer les nombres suivants Arcsin

µ1 2

¶

; Arcsin(1) ; Arcsin Ã

− p2

2

! .

2. En utilisant les propriétés des applications réciproques (a) donner un intervalleIdeRtel que :

∀x∈I, Arcsin(sin(x))=x; (b) donner un intervalleJdeRtel que :

∀y∈J, sin(Arcsin(y))=y.

3. Calculer les nombres suivants Arcsin³

sin³π 3

´´ ; Arcsin

µ sin

µ

−5π 4

¶¶

; Arcsin µ

sin µ13π

6

¶¶

. 4. Soitx∈[0,π]. Simplifier l’écriture de Arcsin(cos(x)).

5. Soitx∈[−π,π]. Simplifier l’écriture de Arcsin(sin(x)). On scindera l’étude en plusieurs parties.

Exercice 99

Soitf la fonction définie par

f:x7→Arccos(x)+Arcsin(x).

1. Préciser le domaine de définitionD_f def.

2. On noteD^◦_f l’ensembleD_f privé de ses bornes. Justifier quef est dérivable surD^◦_f. 3. Calculerf^′(x) pour toutx∈D^◦_f.

4. En déduire

∀x∈[−1,1], Arccos(x)+Arcsin(x)=π 2.

Exercice 100

Soitf la fonction définie par

f:x7→Arctan(x)+Arctan µ1

x

¶ . 1. Préciser le domaine de définitionD_f def.

2. Montrer quef est dérivable surD_f. 3. Calculerf^′(x) pour toutx∈D_f. 4. En déduire

∀x∈R^∗, Arctan(x)+Arctan µ1

x

¶

=

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯ π

2 six>0

−π

2 six<0.

1

Exercice 101

1. Soitf la fonction définie par

¯

¯

¯

¯

¯

¯

f : ]−1,1[ → R

x 7→ x

p1−x². (a) Justifier quef est dérivable sur ]−1,1[.

(b) Calculerf^′(x) pour toutx∈]−1,1[.

2. Soitgla fonction définie par

¯

¯

¯

¯

¯

¯

g : ]−1,1[ → R

x 7→ Arctan

µ x

p1−x²

¶ . (a) Justifier quegest dérivable sur ]−1,1[.

(b) Calculerg^′(x) pour toutx∈]−1,1[.

3. En déduire

∀x∈]−1,1[, Arcsin(x)=Arctan

µ x

p1−x²

¶ .

Exercice 102 Démontrer

π

4 =Arctan µ1

2

¶

+Arctan µ1

3

¶ .

Exercice 103

1. Étudier la limite éventuelle dep

xln(x)+1

x quandxtend vers 0⁺. 2. Étudier la limite éventuelle dexln(x)−x²quandxtend vers+∞. 3. Étudier la limite éventuelle dep

x e^1x quandxtend vers 0⁺.

Exercice 104

SoitIun intervalle non vide deR. Soitf :I→Cune application. On dit que f est dérivable sur I si les deux fonctions à valeurs réelles

¯

¯

¯

¯

Re(f) : I → R

x 7→ Re(f(x)) et

¯

¯

¯

¯

Im(f) : I → R

x 7→ Im(f(x))

sont dérivables surI. Si tel est le cas, alors on définitla dérivée de f comme étant la fonctionf^′définie par

¯

¯

¯

¯

f^′ : I → C

x 7→ Re(f)^′(x)+iIm(f)^′(x).

On fixe un nombre complexe ade forme algébriquea=α+iβoù (α,β)∈R². On considère l’application f définie par

¯

¯

¯

¯

f : R → C

x 7→ e^ax.

1. Démontrer quef est dérivable surR. 2. Démontrer que

∀x∈R, f^′(x)=a e^ax.

2