G.S. BERRADA REVISION 2 (Etude de Fonction Exponentielle)

(1)

G.S. BERRADA REVISION 2 (Etude de Fonction Exponentielle) PROF,ELAJI pc.BIOF. 2+4+6

PROBLEME

I) Soit g la fonction définie par : ^{g x}

( ) (

^{= −}^{1 2}^{x e}

)

²^x ⁻¹

1) Calculer lim ( )

x g x

→− et lim ( )

x g x

→+

2) Montrer que

(

^{ }^{x IR}

)

^:^{g x}^

( )

^{= −}⁴^xe²^x^.

3) Dresser le tableau de variations de g ; en déduire que :

(

^{ }^{x IR}

)

^;

( ) 0 g x  .

II) soit f la fonction définie sur IR par : ^{f x}

( )

^{= +}^x

(

^x⁻¹

)

^e²^x^.

Soit

( )

Cf sa courbe représentative dans un repère orthonormé

(

^{O i j}^{; ;}

)

^;

avec i =1 cm. 1) Montrer lim ( )

x f x

→− = − et lim ( )

x f x

→+ = +.

2) Montrer que

( )

Cf admet une branche parabolique de direction l'axe des ordonnées au voisinage de+.

3) Montrer que la droite

( )

^ d’équation y x= est une asymptote oblique à

( )

Cf au voisinage de−.

4) Etudier la position relative de

( )

Cf et la droite

( )

^ ^.

5) Montrer que:

(

^{ }^{x IR}

)

^;^{f x}^^{( )}^{= −}^{g x}^{( )}^.

6) Calculer f(0)et donner une interprétation géométrique au résultat.

7) Dresser le tableau de variations de f.

8) Etudier la Concavité de

( )

Cf .

9) Montrer que

( )

Cf coupe l'axe des abscisses en un seul point dont l’abscisse appartenant à IR, puis montrer que : 1 1

2   10) Tracer

( )

Cf et la droite

( )

^ dans le repère

(

^{O i j}^{; ;}

)

^.

11) En utilisant une intégration par parties, montrer que :

1 2 2

0

( 1) 3

4

x e

x− e dx= −



12) Calculer l'aire de la partie du plan délimitée par

( )

Cf ; la droite

( )

^ ^;

l'axe des ordonnées et la droite d'équation:x =1.

13) On pose :^{g x}

( )

⁼ ¹⁻^{x e}^x ; calculer le volume du solide engendré

par la rotation en un seul tour de

( )

Cf autour de l'axe des abscisses sur  0;1

14) a) Montrer que f admet une fonction réciproquef⁻¹définie sur IR.

(2)

b) Construire

( )

^ la courbe de f⁻¹dans le repère

(

^{O i j}^{; ;}

)

^.

c) Montrer que f⁻¹est dérivable en0et que :

( )

¹ 2

(0) 1

2 2 1

f 

 

−  = −

− + . 15) Montrer que la suite

( )

vn de définie par : v_n = f⁻¹( )ⁿ est convergente

et Calculerlim _n

n v

→+ . III) Soit

( )

un la suite définie par :

( )

0

1 1

2 ( )

n n

u

u ₊ f u⁻ n IN

 =

 =  

 .

1) Montrer que :

(

^{ }^{n IN}

)

^; un ¹.

2) Montrer que

( )

un est une suite décroissante.

3) En déduire que

( )

un est convergente et calculer lim _n

n u

→+ .