2- 1- Examen Nat Sc Eco 2013 Session de rattrapage Sujet de maths

(1)

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Examen Nat Sc Eco 2013 Session de rattrapage Sujet de maths

Exercice 1(5 pts)

On considère la suite numérique

 

Un n IN_ définie par :

 

0

1

3 8

6

n n

U

U n IN

 U

 

 

   

 



1-

Calculer U et ₁ U ₂

2-

On pose : ²

4

n n

n

V U U

 

 ; pour tout nIN .

a) Calculer V₀ ; puis montrer que

 

Vn n IN_ est une suite géométrique de raison ¹ q 2. b) Calculer V en fonction de n. _n

c) Montrer que : ⁴ ² 1

n n

n

U V V

 

 ; pour tout nIN.

d) Déduire que:

4 1 2

2

1 1

2

n

n n

U

  

  

    

 

; pour tout nIN.

e) Calculer lim

 n

n U

Exercice 2 : (3 pts)

1- Vérifier que pour tout xIR^ :3 ¹ ³x ¹

x x

   ; puis calculer l’intégrale :

1

3 1

e x x

I 



^ dx^. 2- a) En utilisant une intégration par parties calculer :

1^eln J 



x dx^.

b) Dans un repère orthonormé



O i j; ;

  

Cg est la courbe représentative de la fonction g définie sur l’intervalle

 

^{0; 6} ^{par :}^{g x}^{( )} ³^x ¹ ^ln^x

x

   .

3- En utilisant les résultats de la question 1-calculer l’aire de la partie hachurée dans la figure ci- dessous.

Exercice 3: (8 pts)

On considère la fonction numérique f définie sur



^0;



^{par :} ^{f x}^{( )}^



^x^ln^x



²^³^x²^³^.

1- a) Calculer lim  

x_ f x . b) Montrer que :  

0

lim 3

x__ f x   .

(2)

www.guessmaths.co E-mail : [email protected] whatsapp : 0604488896 2- a) Pour tout x de



^0;^



; calculer f( )x ; puis montrer que :

1 2 11

( ) 2 ln

2 4

f x  x  x  . b) Déduire le signe de f x( )sur



^0;



^.

c) Dresser le tableau de variation de f sur



^0;^



^.

d) Calculer f(1); puis déduire de ce qui précède le signe def x( )sur



^0;^



^.

Exercice 4 : (4 pts) (Donner tous les résultats sous forme de fractions)

Un Sac contient sept boules (indiscernables au toucher): trois(3)boules portent le numéro5; deux(2) boules portent le numéro4et deux(2) boules portent le numéro3. .

On tire de façon aléatoire simultanément deux boules.

On considère les événements A et B :

A «Les deux boules tirées porte chacune un numéro impair »

B «Les deux boules tirées portent des numéros dont la somme est supérieure ou égale à 9» 1- a) Déterminer le nombre de tirages possibles.

b) Calculer : P A  2- Montrer que :   3

P B 7.

3- Sachant que l’événement B est réalisé calculer la probabilité de tirer deux boules qui porte chacune un numéro impair.

4- Les événements A et B sont-ils indépendants ? justifier votre réponse..